2019-2021北京初三(上)期中数学汇编：弧、弦、圆心角

1/12019-2021北京初三（上）期中数学汇编弧、弦、圆心角一、单选题1．（2021·北京市月坛中学九年级期中）如图，已知AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°，那么∠AOE等于（

）A．40° B．50° C．60° D．120°2．（2021·北京铁路二中九年级期中）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么弧AC所对的圆心角的大小是（

）A．45° B．60° C．80° D．90°3．（2019·北京市昌平区第四中学九年级期中）如图所示，C是⊙O上一点，若，则∠AOB的度数为（

）A．20° B．40° C．80° D．140°4．（2019·北京十五中九年级期中）在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题:甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦.下面对这两个命题的判断,正确的是A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错5．（2019·北京市第四十四中学九年级期中）如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．70°二、填空题6．（2021·北京市第五十六中学九年级期中）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，①；②；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC．则上面结论中正确的有_______________．7．（2021·北京八十中九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦，分别过M、N作AB的垂线，垂足为C、D，以下结论①AC＝BD；②AM＝BN；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为弧AN的中点，则D为OB中点．所有正确结论的序号是___．8．（2021·北京四中九年级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为___________分钟．9．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，连接AC，CD，则AC______2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）10．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，在⊙O中，若AB=BC=CD，则AC与2CD的大小关系是：AC__2CD．（填“＞”，“＜”或11．（2019·北京八中九年级期中）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是弧BD的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为__°．12．（2019·北京市陈经纶中学分校九年级期中）如图，在条件：①∠COA＝∠AOD＝60°；②AC＝AD＝OA；③点E分别是AO、CD的中点；④OA⊥CD且∠ACO＝60°中，能推出四边形OCAD是菱形的条件有_____个．三、解答题13．（2021·北京市第四十三中学九年级期中）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．14．（2021·北京市三帆中学九年级期中）在∠MON的两边OM，ON上分别取点H，I，作弧HI（可以是优弧，也可以是劣弧）．若弧HI上所有点都在∠MON内部或边上，称点H、I是∠MON的内嵌点，弧HI所在圆的半径为∠MON的“角半径”，记为．例如，下图1、图2、图3中的H、I都是∠MON的内嵌点．已知∠MON=60°，H、I是∠MON的内嵌点时，（1）当OH=OI=2时，的最小值是_________________；（2）当OH=2，弧HI是半圆时，求线段OI长度的取值范围；（3）当OH≤OI，=3，时，求线段OI长度的范围．15．（2021·北京市月坛中学九年级期中）已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD16．（2021·北京十五中九年级期中）下面是小明设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O的内接正三角形．作法：如图，①作直径AB；②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；③连接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，∵OC＝OB＝BC，∴△OBC为等边三角形．∴∠BOC＝°．∴∠AOC＝°．同理∠AOD＝120°，∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．∴AC＝CD＝AD（）（填推理的依据）．∴△ACD是等边三角形．17．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，A、B是⊙O上的两点，C是弧AB中点．求证：∠A＝∠B．18．（2021·北京育才学校九年级期中）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．19．（2019·北京·首都师范大学大兴附属中学九年级期中）如图，点C是半圆O上的一点，AB是⊙O的直径，D是的中点，作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F，求证：AF=DF.下面是小明的做法，请帮他补充完整（包括补全图形）解：补全半圆O为完整的⊙O，连接AD，延长DE交⊙O于点H（补全图形）∵D是的中点，∴.∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，∴（）（填推理依据）∴∴∠ADF=∠FAD（）（填推理依据）∴AF=DF（）（填推理依据）20．（2020·北京市第六十六中学九年级期中）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.已知：直线及直线外一点P.求作：直线，使.作法：如图，①在直线上取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，交直线于两点；②连接，以B为圆心，长为半径画弧，交半圆于点Q；③作直线.所以直线就是所求作的直线.根据小明设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：连接，∵，∴__________.∴（______________）（填推理的依据）.∴（_____________）（填推理的依据）.21．（2019·北京十五中九年级期中）如图,AB是⊙0的直径,点C在⊙0上,D是中点,若∠BAC=70°,求∠C．下面是小雯的解法,请帮他补充完整:解:在⊙0中,∵D是的中点∴BD=CD．∴∠1=∠2()(填推理的依据).∵∠BAC=70°,∴∠2=35°.∵AB是⊙0的直径,∴∠ADB=90°()(填推理的依据).∴∠B=90°-∠2=55°.∵A、B、C、D四个点都在⊙0上,∴∠C+∠B=180°()(填推理的依据).∴∠C=180°-∠B=(填计算结果).22．（2021·北京市第一五九中学九年级期中）下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程.已知：⊙O．求作：⊙O的内接正三角形．作法：如图，①作直径AB；②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；③连接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．根据小董设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，∵OC=OB=BC，∴△OBC为等边三角形（_______________）（填推理的依据）．∴∠BOC=60°．∴∠AOC=180°-∠BOC=120°．同理∠AOD=120°，∴∠COD=∠AOC=∠AOD=120°．∴AC=CD=AD（_______________）（填推理的依据）．∴△ACD是等边三角形．23．（2019·北京市第十三中学九年级期中）如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长于G，判断弧EF和弧FG是否相等，并说明理由．24．（2021·北京市第五十四中学九年级期中）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E．（1）求证：BC=BD；（2）若BC=15，AD=20，求AB和CD的长．

参考答案1．C【分析】根据弦、弧以及圆心角的关系可得，，即可求解．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴，又∵BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°，∴，∴，故选：C．【点睛】此题考查了弦、弧以及圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，弧相等，解题的关键是掌握弦、弧以及圆心角的关系．2．D【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可．【详解】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．连接AQ，CQ，在△APQ与△CQN中，∴△APQ≌△CQN（SAS），∴∠AQP＝∠CQN，∠PAQ＝∠CQN∵∠AQP＋∠PAQ＝90°，∴∠AQP＋∠CQN＝90°，∴∠AQC＝90°，即弧AC所对的圆心角是90°，故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也是常用来确定圆心的方法．3．C【分析】直接根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半，故可直接得到选项．【详解】如图，，；故选C．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．4．D【分析】根据在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等,则另外两组量也相等，可判断甲命题；由垂径定理可得判断乙命题.【详解】(1)在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧对应相等,故甲命题错误;(2)平分弦的直径垂直于不是直径的弦;故乙命题项错误;故选D.【点睛】本题主要考查同圆或等圆中，弧、弦、圆心角的关系及垂径定理.5．C【详解】试题分析：根据三角形的内角和定理得到∠A=80°，根据圆周角定理得到∠D=∠A=80°，∵D是的中点，∴，∴BD=CD，根据等腰三角形的内角和．∴∠DBC=∠DCB==50°，故选C．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．6．①②③④【分析】根据弦、弧、圆心角之间的关系解答即可．【详解】解：∵∠1=∠2，∴，故①正确；∵∠1=∠2，∴，即，∴，，故②③正确；由上证得，故④正确．故答案为：①②③④【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．7．①②④【分析】先证明四边形CMND是矩形，再证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），可得结论①②正确，证明AB=MN，可得③错误；证明△OBN是等边三角形，可得④正确，从而可得答案．【详解】解：连接OM、ON，AM如图，∵MC⊥AB、ND⊥AB，∴∠OCM=∠ODN=90°，∵，∴∠CMN+∠MCD=180°，∴∠CMN=90°，∴四边形CMND是矩形，∴CM=DN，在Rt△OMC和Rt△OND中，，∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴OC=OD，∠COM=∠DON，∴，故②正确，∵OA=OB，OC=OD，∴AC=BD，故①正确，当四边形MCDN是正方形时，CM=2OC，∴OM=OC，∴AB=2OM=OC=MN，故③错误，若M是的中点，连接BN，而∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，∵ON=OB，∴△ONB是等边三角形，∵ND⊥OB，∴OD=DB，故④正确．故答案为：①②④．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键．8．12【分析】先计算出圆的底端距离地面的距离为12，从而得到圆的底部到弦的距离为22，从而计算出弦所对的圆心角，用弧长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可．【详解】如图所示，根据题意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，∴CE=ED-CD=34-12=22，∴OE=OC-CE=44-22=22，在直角三角形OEF中，sin∠OFE=，∴∠OFE=30°，∴∠FOE=60°，∴∠FOB=120°，∴，∵圆转动的速度为，∴最佳观赏时长为（分钟），故答案为：12．【点睛】本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角函数，熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数是解题的关键．9．【分析】连接AB、BC，根据题意得AB=BC=CD，再根据三角形的三边关系，即可求解．【详解】解：如图，连接AB、BC，∵弧AB＝弧BC＝弧CD，∴AB=BC=CD，∵，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了圆的弧、弦，的关系，三角形的三边关系，熟练掌握同圆内，等弧所对的弦相等是解题的关键．10．【分析】如图，连接AB、BC，根据题意知，AB＝BC＝CD，又由三角形三边关系得到AB+BC＞AC得到：AC＜2CD．【详解】解：如图，连接AB、BC，∵∴AB＝BC＝CD，在△ABC中，AB+BC＞AC．∴AC＜2CD．故答案是：＜．【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到AB+BC＞AC．11．100【分析】根据AB=CD，C是弧BD的中点，得到弧CD=弧BC=弧AB，由等腰三角形的性质求出∠COD的度数，再根据圆周角定理得到∠A=∠ACB=∠COD=40°，最后根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵C是弧BD的中点，AB＝CD．∴弧CD=弧BC=弧AB，∵∠ODC＝50°，∴∠COD=180°﹣2∠ODC＝80°，∴∠A＝∠ACB∠COD80°＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣40°×2＝100°．故答案为：100．【点睛】本题考查了圆的有关性质．解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．12．4．【分析】根据菱形的判定方法即可得出答案.【详解】解：①中，可以发现两个等边三角形，然后证明出其四边都相等；②中，同①的证明方法；③中，根据垂径定理的推论证明垂直，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证明；④中，发现一个等边三角形，再根据等腰三角形的三线合一，证明对角线互相垂直平分．故有4个．【点睛】本题考查的是菱形的判定，菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．13．（1）20；（2）30°【分析】（1）根据垂径定理得到，∠OED=90°，设圆的半径为r，则OD=OB=r，OE=OB-OE=r-4，在△ODE中利用勾股定理求解即可；（2）由AB⊥CD，AB过圆心O，得到，由∠M＝∠D，得到，即可推出，则、、的度数是，则．【详解】解：（1）∵弦CD⊥AB，∴，∠OED=90°，设圆的半径为r，则OD=OB=r，OE=OB-OE=r-4，∴即，解得，∴圆的直径；（2）连接OC，∵AB⊥CD，AB过圆心O，∴，∵∠M＝∠D，∴，∴，∵MD过O，∴、、的度数是，∴∠MOC=60°，∴．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，弧、弦与圆周角的关系，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．14．（1）1；（2）；（3）3≤OI≤6【分析】（1）先计算HI＝2，当HI为半径时，的最小值是1；（2）求得当HI⊥ON时和HI⊥OM时，OI的值，从而确定范围；（3）先求出所对的圆心角，再求出圆心角所对的弦长，当OI＝OH时，求得OI最小值，当HI⊥OM时，求得最大值，从而求得范围．【详解】解：（1）∵OH＝OI，∠MON＝60°，∴△HOI是等边三角形，∴HI＝OH＝2，当HI是圆的直径时，＝1，故答案是1；解：（2）如图1，作HI⊥ON于I，∴OI＝OH•cos∠MON＝2•cos60°＝1，如图2，作HI′⊥OM交ON于I′，OI′＝，∴1≤OI≤4；（3）如图3，圆心记作A，作AB⊥HI于B，由得，，∴n＝120°，∴∠HAB＝∠HAI＝60°，∴HI＝2HB＝2•AH•sin60°＝3，当OH＝OI时，∵∠MON＝60°，∴△HOI是等边三角形，∴OI＝HI＝3，当HI⊥OM时，OI最大，OI＝，∴3≤OI≤6．【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆的有关计算等知识，解决问题的关键是正确理解题意，转化为有关圆的计算．15．见解析【分析】根据角之间的关系，得到，再根据弦与圆心角的关系，即可求解．【详解】证：∵∴∴【点睛】此题考查了弦、弧以及圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦相等，解题的关键是掌握它们之间的关系．16．（1）见解析；（2）60；120；同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等【分析】（1）利用画圆的方法作出C、D两点，从而得到△ACD；（2）在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，利用等边三角形的判定方法得到△OBC为等边三角形，则∠BOC＝60°，接着分别计算出∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．然后根据圆心角、弧、弦的关系得到AC＝CD＝AD，从而判断△ACD是等边三角形．【详解】（1）解：如图，△ACD为所作；（2）证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，∵OC＝OB＝BC，∴△OBC为等边三角形．∴∠BOC＝60°．∴∠AOC＝180°−∠BOC＝120°．同理∠AOD＝120°，∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．∴AC＝CD＝AD（在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等），∴△ACD是等边三角形．故答案为：60；120；同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等．【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．17．见解析【分析】连接，通过证明即可得结论．【详解】证明：如图，连接，是的中点，，，在和中，，，．【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．18．见解析【分析】根据AB＝CD得到，推出，得到，由此得到结论．【详解】证明：∵AB＝CD，∴，∴,即，∴，∴CE＝BE．【点睛】此题考查同圆中弦、弧的关系，圆周角的性质，等角对等边的判定，正确推导出是解题的关键．19．垂径定理，等弧所对的圆周角相等，等角对等边．【分析】利用圆周角定理以及垂径定理证明∠ADF=∠FAD即可解决问题．【详解】补全半圆O为完整的⊙O，连结AD，延长DE交⊙O于点H（补全图形）．∵D是的中点，∴.∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，∴（垂径定理）∴∴∠ADF=∠FAD（等弧所对的圆周角相等）∴AF=DF（等角对等边）故答案为垂径定理，等弧所对的圆周角相等，等角对等边．【点睛】此题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，等角对等边，解题关键是学会添加常用辅助线．20．（1）补全的图形如图所示见解析；（2），等弧所对的圆周角相等内错角相等，两直线平行.【分析】根据要求作图即可；根据圆的有关性质和平行线的判定求解可得