2021届湖北省部分重点中学高三上学期第一次联考数学试题(教师版含解析)

湖北省部分重点中学2021届高三第一次联考高三数学试卷一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则下列说法正确的是()A.复数的实部为3 B.复数的虚部为C.复数的共轭复数为 D.复数的模为1【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的基本概念得选项.【详解】，所以的实部为，虚部为，的共轭复数为，模为，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.2.已知集合，，则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出集合，再求即可.【详解】因为，所以.所以.故选：C3.已知是平面向量,如果,那么与的数量积等于()A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题设可得,即,也即,故,应选A.考点：向量乘法运算.4.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系.对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻.若，，，根据指数与对数的关系，估计的值约为()A.0.4961 B.0.6941 C.0.9164 D.1.469【答案】C【解析】【分析】利用对数式与指数式的互化可得，再利用换底公式即可求出的近似值．【详解】解：，，故选：．【点睛】本题主要考查了对数式与指数式的互化，考查了换底公式的应用；5.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据面面关系、线面关系的判定定理及性质定理一一判断即可；【详解】解：对于A：若，，，则或与相交，故A错误；对于B：若，，，则与平行或，故B错误；对于C：若，，，则或与相交或平行，故C错误；对于D：若，如图设，过作，因为，，所以，所以，因为，所以，故D正确；故选：D6.若，则的值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角恒等变换可得，再由平方关系即可得解.【详解】因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以.故选：A.7.若函数是上的增函数，则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数在上为增函数，可得在R上恒成立，即恒成立，根据正弦型函数的值域，即可求得a的范围【详解】因为，所以因为在上的增函数，所以在R上恒成立，所以，即，所以，解得，故选：B8.对于函数，下列关于说法中正确的是()A.图像关于直线对称 B.在上单调递增C.最小正周期为 D.在上有两个极值点【答案】D【解析】【分析】A.由与是否相等判断；B.根据当时，是偶函数判断；C.由与是否相等判断；D.时，由判断.【详解】A.，图像不关于直线对称，故错误；B.当时，，是偶函数，不可能单调，故错误；C.，最小正周期不是，故错误；D.时，，，所以有两个极值点，故正确；故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知数列满足：，当时，，则关于数列的说法正确的是()A. B.数列为递增数列C. D.数列为周期数列【答案】ABC【解析】【分析】由，变形得到，再利用等差数列的定义求得，然后逐项判断.【详解】当时，由，得，即，又，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，所以，即，故C正确；所以，故A正确；，所以为递增数列，故正确；数列不具有周期性，故D错误；故选：ABC10.以下说法，错误的是()A.，使成立B.，函数都不是偶函数C.是的充要条件D.中，“”是“”的充要条件【答案】AB【解析】【分析】．根据特称命题的定义进行判断，．根据全称命题的定义进行判断，．根据充分条件和必要条件的定义进行判断，．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】解：对于A：设，则，当时，即在上单调递增，当时，即在上单调递减，，所以恒成立，即恒成立，故A错误；对于B：当时，为偶函数，故B错误；对于C：设，则函数为增函数，则，是的充要条件，故正确，对于D：在中，，则，则由，则必要性成立；，，两边平方得，，，则或，即或，当时，等价为，，即，此时，综上恒有，即充分性成立，综上中，“”是“”的充要条件，故正确，故选：AB11.若函数(其中)的图象关于点对称，且，函数是的导函数，则下列说法中正确的有()A.函数是奇函数 B.C.是函数的对称轴 D.【答案】AC【解析】【分析】根据题意，结合图象平移法则及奇函数的性质，即可判断A的正误；利用奇函数的定义，即可判断B的正误，根据图象关于点对称，代入特殊值，可求得a，b，c的值，即可求得的解析式，求导可判断C、D的正误，即可得答案.【详解】对于A：因为图象关于点对称，所以的图象关于点(0,0)对称，又因为，所以是奇函数，故A正确；对于C：因为，所以c=1又因为图象关于点对称，所以，所以，解得，所以，，所以对称轴为，故C正确；对于B：因为是奇函数，所以，即，故B错误，对于D：，故D错误.故选：AC【点睛】解题的关键是根据题意，结合左加右减的原则，可得为奇函数，再根据奇函数的定义，结合特殊值，可求得的解析式，再进行求解，综合性较强，属中档题.12.我国古代《九章算术》中将上、下两个面为平行矩形的六面体成为刍童.如图刍童有外接球，且，平面与平面的距离为1，则下列说法中正确的有()A.该刍童外接球的体积为 B.该刍童为棱台C.该刍童中在一个平面内 D.该刍童中二面角的余弦值为【答案】AD【解析】【分析】作出图形，设球心为O，上下底面的中心为，A.在中，，在中，，两式求得半径即可判断；B.根据棱台的几何特征判断；C.根据根据棱台的几何特征判断；D.过点F作平面ABCD，，连接MN，由为二面角的平面角求解判断.【详解】如图所示：设球心为O，上下底面的中心为，在中，，即，在中，，即，两式解得，所以，则，故A正确；若该刍童为棱台，则满足,而，故B错误；若该刍童中在一个平面内，则，则,而，故C错误；过点F作平面ABCD，，连接MN，则为二面角的平面角，易知FM=1，，所以，故D正确；故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数，在点处的切线方程为__________.【答案】【解析】【分析】由导数的几何意义求出斜率，再由点斜式写出方程.【详解】，在点处的切线方程为，即故答案为：14.在中，，，则__________.【答案】【解析】【分析】首先根据题意得到，再利用正弦定理即可得到答案.【详解】因为，所以，所以，解得.故答案为：15.已知三棱锥的四个表面是都是直角三角形，且平面，，则该三棱锥的体积为__________.【答案】【解析】【分析】首先说明，再根据计算可得；【详解】解：因为三棱锥的四个表面是都是直角三角形，且平面，平面，平面，平面，所以，，若，则，，，则不为直角三角形，故因为，所以面，面，所以，所以所以所以故答案为：16.若正实数满足，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据，利用一元二次方程的解法结合，得到，进而得到，利用基本不等式求解.【详解】因为正实数满足，所以，解得，因为，所以，所以当且仅当，取等号，所以的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键是利用方程思想，由条件解得x，将问题转化为解决.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角的对边分别为，且.(1)求角；(2)若，为边的中点，在下列条件中任选一个，求的长度.条件①：的面积，且；条件②：(注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分)【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得，即可得解；(2)选择条件①：由三角形面积公式可得，由余弦定理可得，联立方程组即可得，，再由余弦定理即可得解；选择条件②：由同角三角函数的关系及三角恒等变换可得、，再由正弦定理可得，，结合余弦定理即可得解.【详解】(1)由可得，又，所以，由可得，所以即，又，所以；(2)选择条件①：由的面积可得，即①，又，所以②，联立①②得或，又，所以，，在中，由余弦定理可得，所以.选择条件②：由可得，所以，在中，由可得，所以，，所以在中，由余弦定理可得，所以.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦、余弦定理及三角恒等变换合理转化题目条件.18.数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，为数列的前项和，求.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；(2)利用(1)结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．【详解】解：(1)由题意，.由，①得，②①-②，得，所以又因为当时，上式也成立，所以数列的通项公式为.(2)由题意，，所以，③，④③-④，得从而.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．19.如图，四棱锥的底面是菱形，，且.(1)证明：平面平面；(2)若，棱上一点满足，求直线与平面所成角的正弦.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】(1)首先根据题意易证，，从而得到平面，再根据面面垂直的判定即可证明平面平面.(2)首先根据面面垂直的性质得到平面，易证为等边三角形，取的中点，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，再利用向量法求解线面成角即可.【详解】(1)因为，为中点，所以，又因为底面是菱形，所以.所以平面，又因为平面，所以平面平面.(2)因为平面平面，，所以平面.又因为底面是菱形，所以.，，所以，即.所以为等边三角形.取的中点，以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：，，，，，设，.所以，，，因为，所以，即，解得或(舍去).所以，，设平面的法向量，则，令，解得，.所以.，设直线与平面所成角为，则.【点睛】关键点点睛：本题主要考查面面垂直的证明和线面成角的计算，根据第一问结合题意建立空间直角坐标系和设出，并解出的值为解题的关键，属于中档题.20.已知是椭圆的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，且.(1)当时，求的面积；(2)当时，求的值.【答案】(1)；(2)2.【解析】【分析】(1)因为，由椭圆的对称性可得，可求得直线AM的方程，与椭圆联立，可解得M点的坐标，代入面积公式，即可求解；(2)设直线AM的方程为，与椭圆联立，利用韦达定理，可求得的表达式，代入弦长公式，可求得，同理可求得，根据题意，列出方程，即可求得k值.【详解】(1)设，由题意知，，因为，由椭圆的对称性可得，所以直线AM的方程为，将代入中，可得，解得或y=0(舍)，即，所以的面积.(2)设直线AM的方程为，联立方程，得，所以，即，所以，设直线AN方程为，同理可求得，由，得，即，即，因为，所以，所以.【点睛】解题的关键联立直线与曲线方程，利用韦达定理，求得的表达式，灵活运用弦长公式，求得，的表达式，即可得答案，难点在于解三次方程时，优先选择分解因式，可大大简化计算，提高正确率，属中档题.21.近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有着很大的健康隐患.目前，国际上常用身体质量指数(英文为，简称)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.某地区随机调查了6000名35岁以上成人的身体健康状况，其中有1000名高血压患者，得到被调查者的频率分布直方图如图：(1)求被调查者中肥胖人群的平均值；(2)根据频率分布直方图，完成下面的2×2列联表，并判断能有多大(百分数)的把握认为35岁以上成人高血压与肥胖有关？肥胖不肥胖总计高血压非高血压总计参考公式：，其中.参考数据：0.250.100.0500.0100.0011.3232.70638416.63510.828【答案】(1)；(2)能有的把握认为35岁以上成人高血压与肥胖有关；【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图，填写分布表．利用频率分布直方图求解被调查者中肥胖人群的平均值．(2)求出，对照参考数据，判断有多大(百分数)的把握认为35岁以上成人高血压与肥胖有关．【详解】(1)解：由图可知，1000名高血压患者中：，，，人数5000名非高血压患者中：，，，人数被调查者中肥胖人群的平均值．(2)由(1)及频率分布直方图知，1000名高血压患者中有人肥胖，5000名非高血压患者中有人肥胖，所以可得下列列表：肥胖不肥胖总计高血压3506501000非高血压115038505000总计150045006000由列联表中数据得的观测值为，所以能有的把握认为35岁以上成人高血压与肥胖有关．【点睛】独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．22.已知函数(且)定义域为.(1)若在上有且只有一个零点，求实数的值；(2)当时，若在上恒成立，求整数的最大值.(注：其中是自然对数的底数，)【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)令可得，两边同时取对数得，即有且只有一个解，设，求导后得单调性即可得的大致图象，数形结合即可