辽宁省五校2025高三上学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页辽宁省五校2025高三上学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z=3+aia∈R，且z=13，则复数zA.−2或2 B.2 C.−2 D.−2i或2i2.已知A={x∈Z∣−1≤x<4},B=x∣2x>1,x∈R，则A.{x∣0<x<4} B.0,1,2,3 C.1,2,3 D.x∣1≤x≤33.已知a、b不共线，且AB=λa−b，BC=a+μb，那么AA.λ+μ=2 B.λ−μ=2 C.λμ=1 D.λμ=−14.若(3x−4)7=i=07A.−280 B.280 C.560 D.−5605.如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E,F分别在线段DB,DD1上，且DEDB=DFA.12 B.13 C.236.已知公差不为零的等差数列an满足a3+a7=aA.2026×2025 B.2026×2024 C.2025×2025 D.2024×20257.在数学上，常用x表示不大于x的最大整数，已知函数fx=lnxA.函数fx在定义域上是增函数 B.函数fx的零点有无数个

C.函数fx在定义域上的值域是−1,1 D.不等式f8.设双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，双曲线C上的两点A、A.102,+∞ B.2,+∞ 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若存在t，使得a−2<t<a+2与1a+2<1tA.a>2 B.a2+2a−3>0

C.a2+16a10.设函数fx=(x+1)2A.x=−1不是函数的极值点

B.当x∈−3,−2时，f−x−2>fx

C.当α∈π6,π11.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，A，B，P为抛物线C上的点，cos⟨FA,FB⟩=−1，若抛物线C在点A，B处的切线的斜率分别为k1,k2A.若AF+BF=4，则AF⋅BF=−1

B.直线PN的倾斜角α≥π4

C.若k1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆柱与圆锥的高均为2，且二者底面半径相等，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等，则圆锥的体积为

．13.已知函数fx=2sinωx+φω∈N∗,φ≤π2在区间−π14.已知fx=lnx,gx=eax+1,f′x是四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在▵ABC中，已知AB=2(1)求∠ABC；(2)若在BC边上存在点E，使▵ABE为锐角三角形，求AE+BE的取值范围．16.(本小题12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为(1)求椭圆C的方程；(2)直线l与C交于M,N两点(M,N在x轴的同侧)，F1,F2分别是椭圆C的左，右焦点，当F17.(本小题12分)高中数学标准化考试选择题分为单项选择和多项选择两种题型，按照现行评分标准，多项选择题一般从A,B,C,D四个选项中选出所有正确的选项(四个选项中有两个或三个选项是正确的)，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分(两个正确选项的每个正确选项3分，三个正确选项的每个正确选项2分)，有选错的得0分．(1)考生甲有一道正确选项为两个选项的多项选择题不会做，他随机挑选两个选项，求他猜对本题得6分的概率；(2)考生乙有一道答案为ABD的多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他得到分数的分布列和期望；(3)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为14，得3分的概率为12；考生丁得6分的概率为16，得3分的概率为13；丙，丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这218.(本小题12分)如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，已知CD(1)求证：平面A1ADD(2)求直线AE与BB(3)在线段BD1上是否存在与B不重合的点E，使得二面角B−AE−C的正弦值为2519.(本小题12分)若无穷正项数列an同时满足下列两个性质：①存在M>0，使得an<M,n∈N∗；②an为单调数列，则称数列an具有性质P，注：若数列xn的各项满足x(1)若an=n−1,bn=(2)已知离散型随机变量X服从二项分布Bn,p,0<p<12，记X为奇数的概率为pn(3)已知函数fx=x3−x2参考答案1.A

2.C

3.D

4.C

5.B

6.A

7.B

8.A

9.AD

10.BC

11.BCD

12.3π213.4(答案不唯一，4，5，6任写一个即可)

14.1e15.【小问1详解】因为AB=23,BC=3+因为∠ABC为▵ABC的内角，所以∠ABC=60【小问2详解】因为AB=2cos∠ACB=所以∠ACB=45设∠BEA=θ，由点E在BC边上，且▵ABE为锐角三角形，所以0所以45在▵ABE中，由ABsin所以23sin所以AE+BE=由f(θ)=1+cosθ所以AE+BE的范围为(3+

16.【小问1详解】由椭圆C:x2a2+y2椭圆方程化为x2+4y2=4b2由椭圆对称性，不妨设点A(x0,y因此|AB|=2|OA|=(所以椭圆C的方程为x2【小问2详解】如图，延长MF1交E于点M0，由(1)设M(x1,y1由x=my−3x24+设F1M与F2N的距离为d，四边形由MF1//NF2则S=又S当且仅当m2+1所以四边形F1F2

17.【小问1详解】由题意得甲同学所有可能的选择答案有n=C而其中正确选项只有一个，设符合条件的事件为M，故PM【小问2详解】乙同学所有可能的选择答案有n=C42设乙同学本题可能得分为X，则X的可能取值为0,4,6，P(X=0)=610=35所以乙同学可能得分的分布列为X046P331所以数学期望为E(X)=0×3【小问3详解】由题意得丙得0分的

概率为1−1丁得0分的概率为1−1丙丁总分刚好得18分的情况包含：事件A：丙得12分有6+6一种情况，丁得6分有6+0,0+6,3+3三种情况，则PA事件B：丙得9分有6+3,3+6两种情况，丁得9分有6+3,3+6两种情况，则PB事件C：丙得6分有6+0,0+6,3+3三种情况，丁得12分有6+6一种情况，则PC所以丙丁总分刚好得18分的概率P=PA+B+C

18.【小问1详解】由AB//CD，AB⊥AD，所以AD⊥CD．由CD1⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD由AD⊥CD，AD⊥CD1，CD∩CD1=C所以AD⊥平面C1CDD1，又AD⊂平面A1【小问2详解】取AB中点F，连接CF，在梯形ABCD中，因为AB=2CD，AB//CD，所以AF//CD，AF=CD，则在▱AFCD中，AD//CF，由AD⊥CD，则CD⊥CF，易知CD,CF,CD1两两垂直，分别以CD,CF,CD如下图所示：在四棱柱ABCD−A1B1C因为CD1⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD在Rt▵CDD1中，则A1,1,0，B−1,1,0，D1取AB=−2,0,0，AD设平面ABD1

的

法向量为n=x,y,z取z=1，则x=0,y=2，所以平面ABD1的一个法向量设点A1到平面ABD1设直线AA1与平面ABD1所成角为θ，则在四棱柱ABCD−A1B1C1D所以当直线AE与BB1所成角为θ时，其余弦值取得最大值，即为【小问3详解】由题意作图如下：由题可知CA=1,1,0，AB=因为E∈BD1，所以BE//BDAE=设平面AEB

的

法向量m1=则−2x1=0λ−2所以平面AEB的一个法向量m1设平面AEC的法向量m2=则x2+y2所以平面AEC的一个法向量m2设二面角B−AE−C的大小为α，则cosα由二面角B−AE−C的正弦值为255可得1−3λ53λ2−2λ+1由0<λ≤1，则λ=23，故存在，

19.【小问1详解】因为an=n−1单调递增，不存在正数使得an<M恒成立，所以数列an因为bn=12n<1，又数列【小问2详解】因为X=0,1,⋯,n,n∈N若X为奇数的概率为pn,X为偶数的概率为则pn+Cn2[1−p+Cn2而①−②2=p所以当0<p<12时，故pn随着n的增大而增大，且pn<12【小问3详解】令gx则g′x=3x2−2x−所以当x∈0,12时，g′x<0,g故g12⋅g0<0，由零点存在性定理