北京市衡中清大教育集团2025届考前模拟考试试卷

北京市衡中清大教育集团2025届考前模拟考试试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若圆锥轴截面面积为2百，母线与底面所成角为60。，则体积为()

AGR指「26n276

---万»•---71G--------兀------71

3333

2.某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2。19年这一年的收支情况，下列说法中错误的是()

A.月收入的极差为60B.7月份的利润最大

C.这12个月利润的中位数与众数均为30D.这一年的总利润超过400万元

3.已知〃力是定义在［—2,2］上的奇函数，当不£(0,2］时，/(x)=2r-l,贝2)+/(0)=()

A.-3B.2C.3D.-2

4.已知集合4={1,3,5,7},B={2,3.4,5},则Ar8=

A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,457}

5.函数、=/。)(工£火)在(-8,1］上单调递减，且/(x+1)是偶函数，若/(2X-2)>/(2),则x的取值范围是

()

A.(2,+co)B.(-8,1)U(2,+8)

C.(1,2)D.(-oo,1)

6.已知椭圆*=的左、右焦点分别为耳，入，上顶点为点A,延长交椭圆〃于点4,若4

为等腰三角形，则椭圆T的离心率e二

旦

3

1V2

C.-D.—

22

7.相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调.如图的程序是与“三分损

益”结合的计算过程，若输入的x的值为1,输出的x的值为（）

8.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单

位去年的水费开支占总开支的百分比为（）

9.二项式（五十刍〃的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是。

A.180B.90C.45D.360

10.已知aw—,tan（a-n）=--,贝！1sina+cosa等于（）.

,1117

A.±-B.一一C.-D.一一

5555

11.已知抛物线Cy2=4x,过焦点厂的直线/与抛物线C交于A,〃两点。在x轴上方），且满足|A耳=3忸耳,

则直线，的斜率为（）

A.1B.73

C.2D.3

12.执行如图所示的程序框图，若输出的值为8,则框图中①处可以填（）.

A.S>7?B.S>21?C.S>28?D.S>36?

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线/（x）=（x2+x）勿x在点（1,次1））处的切线方程为.

14.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到

黑色障碍物，最后落入A袋或8袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是1,则小球落入

2

A袋中的概率为

B

15.定义在A上的函数/(刈满足：①对任意的xyeA,都有/(x-y)=/(x)-/(y)；②当x<0时，/(x)>0,

则函数/(x)的解析式可以是______________.

16.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为

778

824468

934

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

加+1

17.(12分)已知函数〃x)=其中〃

2bx

(1)①求函数/(x)的单调区间;

②若为,演满足㈤>七。=1,2),且戈I+赴>0,%2>。.求证：/(x,)+2/(x2)>y^.

⑵函数&(力=!加一1111.若内,mel0,-^对任意，玉工占，都有1/(内)一/(乂)l>lg(X1)-g(X2)l，求〃一〃

2k>Ja)

的最大值.

18.(12分)如图，四棱锥E-A8C0的侧棱。E与四棱锥产・48CQ的侧棱〃尸都与底面46co垂直，ADlCDt

ABHCD,AB=\AD=CD=4,AE=\AF=3>/2.

(D证明：DF〃平面BCE.

(2)设平面A3户与平面CD/所成的二面角为仇求COS20.

19.(12分)已知椭圆C:[+;=1(0</2<幻的离心率为@.且经过点(1,

crb-2

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点(0,2)的直线，与椭圆C交于不同两点A、以04、08为邻边的平行四边形Q4MB的顶点M在椭圆C

上，求直线/的方程.

20.(12分)如图，三棱柱ABC-48©的所有棱长均相等，片在底面A8C上的投影。在棱8C上，且〃平面

ADC.

(I)证明：平面J■平面BCC"；

(II)求直线AB与平面AOG所成角的余弦值.

21.(12分)如图所示,在四棱锥尸-A8CO中，底面A8CD是棱长为2的正方形,侧面尸AO为正三角形,且面PAD±

面A8CQ,E/分别为棱A仇尸。的中点.

(1)求证：Mil平面24。；

(2)求二面角。—石。一力的正切值.

22.(10分)如图，在三棱柱—中，AC=8C=LA3=J5,4C=1，4C，平面A8C.

B

(1)证明：平面RACG，平面8CC£

(2)求二面角A—B/-C的余弦值.

参考答案

一、选择题：木题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解题分析】

设圆锥底面圆的半径为小由轴截面面积为2G可得半径乙再利用圆锥体积公式计算即可.

【题目详解】

设圆锥底面圆的半径为人由已知，^x2rxV3r=2>/3,解得r=及，

1L

所以圆锥的体积v=二兀户乂也「=也7r.

33

故选：D

【题目点拨】

本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.

2、D

【解题分析】

直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.

【题目详解】

由图可知月收入的极差为90-30=60,故选项A正确；

1至12月份的利润分别为20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利润最高，故选项B正确;

易求得总利润为380万元，众数为30,中位数为30,故选项C正确，选项D错误.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.

3、A

【解题分析】

由奇函数定义求出/(。)和/(—2).

【题目详解】

因为/")是定义在［-2,2］上的奇函数，.•./(())=0.又当x£(0,2］时，

/(x)=-1,/(-2)=-/(2)=-(22-1)=-3,「./(—2)+/(0)=—3.

故选：A.

【题目点拨】

本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键.

4、C

【解题分析】

分析：根据集合人={1,3,5,7},3={2,3,4,5}可直接求解4。8={3.5}.

详解：・・4={1,3,5,7},8={2,3,4,5},

.♦.Ac3={3,5},

故选C

点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最

简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.

5、B

【解题分析】

根据题意分析/(x)的图像关于直线x=l对称，即可得到/(x)的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到工的取值

范围。

【题目详解】

根据题意，函数>=/*)满足/(X+1)是偶函数，则函数/3)的图像关于直线X=1对称，

若函数y=fM在(TO,1］上单调递减，则fM在［L-HX))上递增，

所以要使/(2尤-2)>/(2),则有变形可得自-3|〉1,

解可得：或x<l,即x的取值范围为(―81)D(2,+8)；

故选：B.

【题目点拨】

本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题。

6、B

【解题分析】

设|B玛|=f,则|防|=2〃-£,\AB\-a-^tt

因为|A用=*所以|A8|>|A£|.若|A4|二|86|,则。二方一£,所以"，，

所以|A£|+|8£|=|4B|=2a,不符合题意，所以|8£|二|A8|,贝lj方—/=〃+■,

所以4=2,所以|引"=|45|=3/,\AFt|=2/,设/氏48=2。，贝lje=sin。，

在“184中，易得8s2。=；,所以l—2sin2〃=；,解得,抽。=年(负值舍去)，

所以椭圆T的离心率e=且.故选B.

3

7、B

【解题分析】

根据循环语句，输入x=l,执行循环语句即可计算出结果.

【题目详解】

输入为=1,由题意执行循环结构程序框图，可得：

2

第1次循环：x=§,i=2<4,不满足判断条件；

Q

第2次循环：x=1,i=3<4,不满足判断条件；

3232

第4次循环：1二三，z=4>4,满足判断条件；输出结果x=三.

2727

故选：B

【题目点拨】

本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判

定语句，本题较为基础.

8、A

【解题分析】

由折线匿找出水、电、交通开支占总开支的比例，再订算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费

开支占总开支的百分比.

【题目详解】

2。0

水费开支占总开支的百分比为…二、…x20%=6.25%.

250+450+10()

故选：A

【题目点拨】

本题考查折线图与柱形图，属于基础题.

9、A

【解题分析】

试题分析：因为（、6+三）”的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以〃二10,

T=GO•（石产小，令5—"=0,则r=2,7>4M=180.

x2

考点：1.二项式定理；2.组合数的计算.

10、B

【解题分析】

3

由已知条件利用诱导公式得tana=-二，再利用三角函数的平方关系和象限角的符号，即可得到答案.

4

【题目详解】

3

由题意得tan（。一兀）=tancr=——,

（兀3兀

又叫",所以兀J,cosa（0,sina）0,结合sir?a+co/a=1解得sina=|,cosa=一g,

所以sina+cosa5-5--5

故选B.

【题目点拨】

本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题.

11、B

【解题分析】

设直线1的方程为x=冲+1代入抛物线方程，利用韦达定理可得,K+%=4加，y必=-4面|人月|=3忸目可知

AF=3尸3所以可得另=-3%代入化简求得参数，即可求得结果.

【题目详解】

设4（A，yJ,（y>0,y?<。）•易知直线/的斜率存在且不为。，设为工，则直线，的方程为x=〃少+1.

tn

与抛物线方程联立得V=4（冲+1）,所以y）”-4，y+%=4机.因为q=3忸尸所以A尸=3E3，得

，二一3）人所以y；",即必=—迪，）1=25所以=G

故选:B.

【题目点拨】

本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标之间的关系，考查计算能力，属于中档题.

12、C

【解题分析】

根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时.

【题目详解】

第一次循环：S=OJ=\

第二次循环：S=l,i=2

第三次循环：S=3,，=3

第四次循环：S=6,i=4

第五次循环：5=10,/=5

第六次循环：S=15,1=6

第七次循环：S=21j=7

第八次循环：S=28/=8

所以框图中①处填SN28?时，满足输出的值为8・

故选：C

【题目点拨】

此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2x-y-2=0

【解题分析】

求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程.

【题目详解】

解：丁/(x)=(/+x)lnx,

/./(x)=(2x+l)Inx+(x2+x)—=(2x+l)Inx+x+1,

则/⑴=2,

又/(1)=。，即切点坐标为(1,0),

则函数在点(LAD)处的切线方程为y=2(x-l),

即2x—j—2=0,

故答案为：2x-y-2=0.

【题目点拨】

本题主要考查导数的几何意义，根据导数和切线斜率之间的关系是解决本题的关键.

14.2

4

【解题分析】

记小球落入小袋中的概率RB),则P(A)+P(8)=1,又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向

右下落，小球将落入8袋，所以有P(8)=ej+(gJ=：,则p(A)=]_p(B)=(.故本题应填，

15、/(x)=-x(或〃x)=—2x,答案不唯一)

【解题分析】

由/(汇-丁)=/(月一/()，)可得/⑺是奇函数，再由/<0时，>0可得到满足条件的奇函数非常多，属于开

放性试题.

【题目详解】

在=(y)中，令x=y=。，得/(0)=0；令工=0,

则/(一丁)=/(。)一/(')=一/()')，故/(X)是奇函数，由x〈0时，/(x)>0,

知/(x)=-x或/(x)=-2x等，答案不唯一.

故答案为：/(x)=-x(或/(x)=-2x,答案不唯一).

【题目点拨】

本题考查抽象函数的性质，涉及到由表达式确定函数奇偶性，是一道开放性的题，难度不大.

16、1

【解题分析】

写出茎叶图对应的所有的数，去掉最高分，最低分，再求平均分.

【题目详解】

解：所有的数为：77,78,82,84,84,86,88,93,94,共9个数，

去掉最高分，最低分，剩下78,82,84,84,86,88,93,共7个数，

-78+82+84+84+86+88+93.

平均分为-------------------------=o83,

故答案为1.

【题目点拨】

本题考查茎叶图及平均数的计算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（D①单调递增区间-f-J=,+ool单调递减区间|一；,一，］；②详见解析；⑵

k7a）yyjaJk\Ja\JaJ16

【解题分析】

⑴①求导可得/'（力二三一/wO,再分别求解/'（x）>0与r（“<0的解集,结合定义域分析函数的单调区间即

可.

②根据⑴中的结论，求出〃%）+2/（不）的表达式，再分玉VO与N>0两种情况，结合函数的单调性分析

〃与）+2/（&）的范围即可.

（2）求导分析g（^）=lat2-lnx的单调性,再结合/（x）单调性，设玉<々，去绝对值化简可得

/（芭）一网项）一"优）-8仇）］>0,再构造函数知（同=/。）七（戈）,工{0，+）根据函数的单调性与恒成立问

,2b八

题可知卜五？°，再换元表达b-a求解最大值即可.

【题目详解】

解：（1）/3=割，"。，

由/（%）>。可得X>«或X<

由/'（x）<o可得

（1W1A（\\}

故函数的单调递增区间-8一-尸，7_,+8,单调递减区间广，厂;

17a）\7a7a）

②,?%+x2>0,x2>0,

.•.%>0或王<0,

若A>0.因为国>-y=,故,图>-/=,

yjayjayja

由①知/（x）在（j+s］上单调递增,〃xJ+2〃x,）>3/U=沙>沙,

\\laJbb

若$<0,由|xj>-y=可得±v--7=Xi,

\JayJa

因为X］+七>°，X2>°，

、、1

所以冗2>一%>刀=，

由①八外在（9，壮）上单调递增，

/（七）十2/（人2）>/（人1）+2/（-人|）=/（一八［）>中

综上山）+2/（%）>g

⑵°<“<9时，8'（力=公一^=咛4<0*3在［（），9）上单调递减，

不妨设不〈12，

由（1）/（刀）在（0,9）上单调递减，

由|/（x）7（%）|>|g（x）-g（巧）1，

可得/（苞）一/（匕）>#（5）一印（8），

所以-g（占）一"（。卜屋切肉），

令M（x）=/（x）-g（x）,x£0,；,

\7a）

可得用（£）单调递减，

所以M，［x）=宴1-OY+1=（-2-］：：2"）V0在（0，9）上恒成立,

即1-2法N0在(0,%)上恒成立，即1-■20,

所以b£^-,b-=«---1+—<—,

22I4)1616

所以炉。的最大值上.

【题目点拨】

本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题，同时也考查了利用导数求解函数不等式以及构造函数分析函数的最

值解决恒成立的问题.需要根据题意结合定义域与单调性分析函数的取值范围与最值等.属于难题.

7

18、(1)证明见解析(2)--

【解题分析】

(1)根据线面垂直的性质定理，可得DE//BF,然后根据勾股定理计算可得R户最后利用线面平行的判定定理,

可得结果.

(2)利用建系的方法，可得平面的一个法向量为〃，平面CDF的法向量为〃?，然后利用向量的夹角公式以及

平方关系，可得结果.

【题目详解】

(1)因为。从L平面A3CD,所以

因为40=4,AE=5t。£=3,同理B尸=3,

ABCDfYffiABCDf

所以DE7/BF,又BF=DE,

所以平行四边形故DFMBE,

因为REU平面3CE,。尸<Z平面BCE

所以。尸〃平面BCE；

(2)建立如图空间直角坐标系，

则D(0,0,0),A(4,0,0),

C(0,4,0),F(4,3,-3),

DC=(0,4,0),DF=(4,3,-3),

设平面CO产的法向量为，〃=(x,Fz),

m-DC=4y=0

由《令x=3,得机=(3,0,4),

m-DF=4x+3y-3z=0

易知平面ABF的一个法向量为n=（1,0,0）,

所以cosV/九，n>=-t

5

iftcos2^=2cos20-\=

25

【题目点拨】

本题考查线面平行的判定以及利用建系方法解决面面角问题，属基础题.

19、(1)-4->,2=1(2)y=±x+2

4-'2

【解题分析】

（1）根据椭圆的离心率、椭圆上点的坐标以及/一从=02列方程，由此求得/,从,进而求得椭圆的方程.

（2）设出直线/的方程，联立直线/的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.根据平行四边形的性质以及向量加法的几何

意义得到OM=QA+O4,由此求得M点的坐标，将A伐M的坐标代入椭圆方程，化简后可求得直线/的斜率，由

此求得直线/的方程.

【题目详解】

（1）由椭圆的离心率为且，点（1,正）在椭圆上，所以£=巫,4+2=1，且/一/二。2

22a2cr

解得/=4方=1,所以椭圆。的方程为二+）「=].

4

（2）显然直线/的斜率存在，设直线/的斜率为攵，则直线/的方程为），二丘+2,设

三*2=1

A(%，yJ，3(/,%),"Go,%),由j4消去y得(1+4y)/+16"+12=(),

)，二丘+2

516k12

所以*F二一17/‘中2二中'

一_._.册=XI+X,

由已知得OM=OA+O8,所以〈，由于点A、B、M都在椭圆上,

+）’2

所以日

十）『二i,5十£二1,半十）'；ja；七）十（,十为y=i,

4

展开有0+3；)+华+$)+节_+2y%=1,2+百苍+4%y2=0,

4-4k2

又>\>2=(依+2)(也+2)=+2攵(％+%)+4=

1+4-

1?4一必2

所以2+—^+4x=0=>15=4公，.-.Ar=±—,

\+4k21+4公2

经检验满足△=（16攵了一4（1+4公）x12=64公一48>0,

故直线/的方程为y=±'叵x+2.

2

【题目点拨】

本小题主要考查根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力,

属于中档题.

20、（I）见解析（II）盟

14

【解题分析】

（I）连接AC交AG于点o,连接QD,由于A田II平面AOC，得出43\ODf根据线线位置关系得出ADJ.AC,

利用线面垂直的判定和性质得出A。_L0D,结合条件以及面面垂直的判定，即可证出平面A3G，平面BCGA；

(II)根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出8A=(1,6,0)和平面AOG的法向量

n=(-x/3,O,2),利用空间向量线面角公式，即可求出直线AB与平面AOG所成角的余弦值.

【题目详解】

解：(I)证明：连接AC交AG于点。，连接QD，

则平面48cl平面4£>G=0Q,

4B//平面ADQ,AB//0D,

•••O为4c的中点，为3C的中点，.•.AO_L3C

・・・8Cc4O=O,二仞，平面8CC4,

QADu平面人OG，.•平面AOG，平面8CG4

(H)建立如图所示空间直角坐标系。一冲2,设43=2

贝iJ8（T0,0）,A（0,V3,0）,4（0,0,百），G（2,0,6）

.•.加=U，G0）,DA=（0,V3,0）,D3=（2,0,@

&=0

设平面ADC的法向量为〃=(x,y,z),贝卜

2x+任=0'

取.-石得〃=（-6,0,2）,

设直线AB与平面ADC｝所成角为。

叵

..sin*cosIT

：.c°se;也

14

直线AB与平面八所成角的余弦值为上互.

14

【题目点拨】

本题考杳面面垂直的判定以及利用空间向量法求线面角的余弦值，考查空间想象能力和推理能力.

21、(1)见证明；⑵晅

3

【解题分析】

(D取PD中点G,可证是平行四边形，从而放AGt得证线面平行；

(2)取.4。中点。，连结PO,可得〃0_L面人4c力，连OB交CE于M,可证是二面角?一£。一。的平

面角，再在APMO中求解即得.

【题目详解】

(1)证明：取尸。中点G,连结G