九师联盟2025届高三2月开学联考数学试题【含答案解析】

九师联盟2025届高三2月开学联考数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列集合中，与集合不相等的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据幂函数定义域、值域以及指数函数、对数函数值域等概念可得结论.【详解】对于A，由幂函数的定义域需满足可知，，即A正确；对于B，由幂函数的值域可知，，即B正确；对于C，由指数函数值域可知，可得C错误；对于D，由对数函数值域可知，可得D正确.故选：C2.已知a，，，若，则（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由复数四则运算结合复数相等求得，进而可求解；【详解】解：通分可得：，根据复数相等的定义，得解得，则，，所以故选：B3.已知圆台的上底面半径为2，母线长为4，母线与底面所成的角为，则圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由圆台的体积公式求解即可；【详解】由题意，得圆台的高为，下底面半径为，所以圆台的体积为.故选：A.4.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由椭圆定义得到，结合题中等式解得，，由勾股定理逆定理得到，由夹角求得直线的斜率.【详解】由椭圆的定义得，结合，解得，，所以，从而，所以故选：D.5.在艺术、建筑设计中，把短对角线与长对角线的长度之比为的菱形称为“白银菱形”.如图，在白银菱形ABCD中，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由结合数量积的运算性质即可求解；【详解】解：设O是AC与BD的交点，则，则，所以故选：C6.若方程在区间上有4个不同的实根，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，求得的范围，再结合与曲线的交点即可求解；【详解】设，得，则问题转化为直线与曲线在上有4个交点，于是，解得.故选：B.7.如图1，在平行四边形中，.沿将折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，如图2，若，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过勾股定理，可以证明和，利用直角三角形的性质“斜边上的中线长是斜边的一半”，可知的中点为外接球的球心，为半径，即可求得外接球的表面积.【详解】在Rt中，，又，所以，所以，同理可得.取的中点，则，所以为三棱锥外接球的球心，为半径，所以三棱锥外接球的表面积为.故选:C.8.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线交于点，连接交于点，若，则的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】由点到直线的距离公式和勾股定理可得，再由正弦定理和双曲线的定义可得然后由余弦定理结合离心率的定义可得结果.【详解】设，则，从而，由正弦定理，得，所以，由余弦定理，得，化简得，所以.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于能利用正弦定理和双曲线的定义求出再结合余弦定理求出间关系.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知随机变量，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由正态分布期望的性质可得A错误；由正态分布方差的性质可得B正确；由正态分布曲线的对称性可得C、D正确；【详解】对于A，由题意，得，而，故A错误;对于B，又，则，而，所以，故B正确;对于C，因为两个正态分布对应的正态密度曲线关于直线对称，所以，故C正确；对于D，由对称性，得，所以，故D正确.故选：BCD.10已知函数，则（）A.为奇函数 B.在上单调递减C.的图象关于点对称 D.方程的实根之和为-4【答案】ACD【解析】【分析】由奇偶性的概念可判断A，通过导数可判断B，由对称性的概念可判断C，由C，，结合的零点可判断D；【详解】因为的定义域为，且，所以为奇函数，则正确;因为，所以在上单调递增，则错误;而，即，由为奇函数，可得的图象关于点对称，则正确；又当时，，则上无零点；当时，若，则;若，则，则在上仅有一个零点.根据对称性，在上无零点，在上仅有一个零点.由此，仅有两个零点和，且.而，将的图象左移2个单位长度，即得函数的图象，所以仅有两个零点，且这两个零点之和为，则D正确.故选：ACD.11.如图，正方形的边长为分别为边上的点，为垂足，若，则（）A. B.的周长大于2C.面积的最小值为 D.的最小值为【答案】AC【解析】【分析】由两角和的正切展开式结合题意可得A正确；由A中等式两边平方后变形再结合图形由勾股定理可得B错误；由基本不等式结合图形面积的拼接可得C正确；由两角和的正切展开式结合基本不等式求解可得D错误；【详解】对于A，如图，由，得；由及，得，，所以，整理得2，故A正确；对于B，由A得，即得，所以的周长为，为定值，故错误；对于C，由(当且仅当时取等号)，得，解得或，考虑到和，可得，应舍去，由此(当且仅当时取等号)；的面积为，故正确；对于D，设，由，整理得，即，即，解得，所以当且仅当时，的最小值为，故错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题选项C的关键在于利用基本不等式和所求面积等于正方形面积减去其余小三角形面积求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知定义在上的函数满足，且，则的一个解析式为_____.【答案】【解析】【分析】由偶函数的性质结合题意可得；【详解】由题意，得为偶函数，且，又，可得.故答案为：.13.已知，，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】将已知两个等式两边平方后，再相加，得到，由得到方程，求出，，再通过验证得到的最小值.【详解】将已知两个等式两边平方后，再相加，得，即，因为，所以，所以，解得，即当，得，不妨设，，又，解得，，则符合题意.故答案为：14.如图，是正八边形的中心，从其八个顶点中随机取出四个顶点为顶点作四边形，则可作平行四边形的概率为_____，则可作梯形的概率为_____.(用数字作答)【答案】①.②.【解析】【分析】第一空利用组合数先求出从八个顶点中随机取出四个顶点为顶点作四边形个数，再求出没两条直径构成的四边形个数即可；第二空设分别为正八边形的两条不同类型的对称轴，再分别讨论以和为对称轴的平行弦的梯形个数即可.【详解】从八个顶点中随机取出四个顶点为顶点作四边形，可得四边形个数为；八个顶点的连线中有4条过中心，即有4条直径，每两条直径可确定一个平行四边形，可得平行四边形的个数为，所以可作平行四边形的概率为；梯形可由两条平行但不等的弦的四个顶点构成.如图，设分别为正八边形的两条不同类型的对称轴.（1）以为对称轴的平行弦中，有2对平行且相等，所以4条平行弦可构成个梯形，而类似的平行弦共有4组，所以可构成梯形个；（2）以为对称轴的平行弦，，中，有1对平行且相等，所以3条平行弦可构成个梯形，而类似的平行弦共有4组，所以可构成梯形个.综合（1）（2）可得共有梯形24个，故可作梯形的概率为.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题第一空的关键是能够发现以直径端点作为定点的平行四边形；第二空关键是讨论以和为对称轴的平行弦的梯形个数.四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.“八段锦”，起源于北宋，已有八百多年的历史.古人把这套动作比喻为“锦”，意为五颜六色，美而华贵.体现其动作舒展优美，视其为“祛病健身，效果极好，编排精致，动作完美”，此功法分为八段，每段一个动作，故名为“八段锦”.作为传统养生功法，对人体有着很多的益处.为了继续推广“八段锦”，吸引更多的老年市民练习“八段锦”，促进老年市民的延年益寿，市老体协统计了全市的男性老年人和女性老年人(不小于60岁的均为老年人)练习“八段锦”的情况，采用简单随机抽样的方法抽取了练习“八段锦”的200位老年人，得到了性别与年龄的有关数据，并整理得到以下列联表：类型年龄(岁)合计

男性36

111女性

25

合计

200（1）补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为老年人的性别与年龄是否大于65岁有关联?（2）在这200位老年人随机抽取一位，求在该老人年龄大于65岁的情况下，为女性老年人的概率.附：，其中.0.010.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1）表格见解析，能（2）【解析】【分析】（1）由公式求得，结合附表即可判断；（2）法一，法二：由古典概型概率公式及条件概率计算公式即可求解；【小问1详解】补全列联表如下：类型年龄(岁)合计男性3675111女性642589合计100100200零假设为：老年人的性别与年龄是否大于65岁无关联.根据列联表中的数据，得依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即老年人的性别与年龄是否大于65岁有关联，该推断犯错误的概率不大于0.001.【小问2详解】设事件“抽取的一位老年人年龄大于65岁”，事件“抽取的一位老年人为女性老年人”，法一：所求概率为.法二：所求概率为.16.记数列的前n项和为，已知，（1）求的通项公式;（2）是否存在m和k，使得是和的等差中项?若存在，求出m和k的值;若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在且或【解析】【分析】（1）利用与的关系式，由等差数列定义即可判断数列是公差为d的等差数列，可得其通项公式；（2）由等差中项性质可得，即求出，再根据整除性质可得存在且或满足题意.【小问1详解】因为，①，所以，②，①-②，得，化简，得由，，得，仍适合，所以数列是公差为d的等差数列，所以【小问2详解】假设是和的等差中项，则，即，化简得，当时，，则，显然不成立;当时，由，解得当时，，则是和的等差中项；当时，，则是和的等差中项；当时，，则，不适合题意.综上，存在且或，使得是和的等差中项.17.如图，在三棱柱中，点，分别在棱，上，且，，，四点共面.（1）证明：四边形为平行四边形；（2）若点满足，侧面底面，，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先利用线面平行的判断定理与性质定理证明，再利用面面平行的性质证明，从而可得四边形为平行四边形；（2）取的中点，连接，以为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量夹角公式列方程求出，从而可得答案.【小问1详解】因为平面平面，所以平面.又平面，平面平面，所以.因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以四边形为平行四边形.【小问2详解】如图，取的中点，连接，由及，得为等边三角形，所以，又平面底面，平面所以底面，因为底面，从而；由及，得为等腰直角三角形，所以.以为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，则；设，则.设平面的法向量为，由，得，取，则.，设平面的法向量为，由得，取，则.所以，整理得，解得(舍去)或，此时18.已知抛物线的焦点为，准线为是上在第一象限内的点，若直线的倾斜角为，点到的距离为4.（1）求的方程;（2）设直线与交于两点，过点作直线轴，与交于点，直线与交于另一点.（i）求的最小值；（ii）探讨直线与公共点的个数.【答案】（1）（2）（i）（ii）【解析】【分析】（1）过作轴，为垂足，求得坐标，代入抛物线方程即可求解；（2）(i)求得，确定方程，联立抛物线，求得坐标，结合两点间距离公式即可求解；(ii)由点，求得，再结合点在抛物线上得到，确定方程，联立抛物线方程，通过解的个数即可判断；【小问1详解】根据抛物线的定义，得.过作轴，垂足，则，又，所以，代入，得，整理得，解得(舍去)或.故的方程为.【小问2详解】(i)由，解得，即，又，所以直线的方程为，代入，整理得，则，由，得，代入，得，即，所以，当且仅当时取等号.故当时，.(ii)由在直线上，得，即.由在上，得，所以，所以的方程为，结合，化简得，代入，整理得，因为，所以直线与仅有一个公共点.19.张景中院士在《与中学教师谈微积分》一文中，给出了“差商有界”函数和“广义差商有界”函数的定义，即若函数在区间上有定义，并且存在一个正数，使得且，不等式恒成立，则称在上为“差商有界”函数；若函数在区间上有定义，并且存在一个正整数，使得且，不等式恒成立，则称在上为“广义差商有界”函数.（1）已知，判断在区间上是否是“差商有界”函数？若是，请说明理由；若不是，请讨论是否是“广义差商有界”函数?（2）已知函数.（i）判断在区间上是否是“差商有界”函数？并说明理由；（ii）若在区间上是“广义差商有界”函数，求正整数的最小值.【答案】（1）不是“差商有界”函数，是“广义差商有界”函数（2）（i）不是，理由见解析；（ii）【解析】【分析】（1）利用函数新定义求解即可；（2）（i）利用函数新定义结合导数分析在区间上单调递减，得到与①矛盾的结果即可；（ii）结合函数新定义构造函数，利用导数分析其单调性求出的最小值，再构造函数，利用导数找到其