北师大版九年级数学上册 36 垂径定理（专项练习）

专题3.6垂径定理（专项练习）

一、单选题

知识点一、利用垂径定理求值

1.如图：AB是。O的直径，弦CD_LAB于E,若AB=20,CD=16,则线段BE的长为

（）

A.4B.6C.8D.10

2.AB为00的直径，弦十点£已知CD=16,OE=6,则。。的直径为（）

3.如图，在半径为2道的。。中，弦AB,CO互相垂直，垂足为点P.若A8=CZ>8,则

A.4V2B.2&

C.4D.2

4.如图，在。。中，直径EF_LCO,垂足为若CD=2,EM=5,则。。的半径为

E

A.0.2B.2.6C.2.4D.4

知识点二、利用垂径定理求平行弦

5.00的半径是13,弦AB=24,C£>=10,则A8与CO的距离是（）

A.7B.17C.7或17D.34

6.如图，A,B,C,D是。0上的四个点，AD〃BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（）

A.弧AB=MCDB.弧AB>弧CDC.弧AB〈弧CDD.无法确定

7.AB和CD是。。的两条平行弦，AB=6,CD=8,00的半径为5,则AB与CD间的

距离为（）

A.1或7B.7C.1D.3或4

8.0。的半径为10cm,弦AB//CD,AB=\6,CD=\2,则AB、CO间的距离是:

（）

A.14B.2C.14或2D.以上都不对

知识点三、利用垂径定理求小圆问题

9.已知△ABC的边BC=2百，且△ABC内接于半径为2的。O,则NA的度数是（）

A.60°B.120°C.60°或120°D.90°

10.如图，在以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm,

A0=8cm,则OC氏为（）cm

AB

A.5B.4C.]#D.

11.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底

面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm,水的最大深度是2cm,则杯底有水

面AB的宽度是（）cm.

C.46D.4x/5

知识点四、利用垂径定理求其他问题

12.如图，已知00的半径为5,弦AB=8,则。。上到弦A3期饵直线的距离为2的点

C.2个D.1个

13.如图，已知。。的直径48_LCD弦于点旦则下列结论不一定成立的是（）

A.CE—DEB.AE—OEC.NCOA=ZDOAD.AOCE三AODE

14.如图,。。的半径为5,弦A8=8,尸是弦AB上的一个动点（不与4,8重合），下列

符合条件的0P的值是（）

A.C.3.5D.2.5

15.如图，已知。。的半径为4,M是。。内一点，且0M=2,则过点M的所有弦中，弦

C.3条D.4条

知识点五、垂径定理的推论

16.已知点A仇。在上.则下列命题为直命题的是（）

A.若半径。3平分弦AC.则四边形。钻C是平行四边形

B.若四边形Q4BC是平行四边形.则/43。=120。

C.若NA8C=120。.见弦AC平分半径。3

D.若弦4c平分半径。6.则半径08平分弦AC

17.下列语句，错误的是（）

A,直径是弦B.相等的圆心角所对的弧相等

C.弦的垂直平分线一定经过圆心D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦

18.如图，在OO中，AB是直径，。。是弦，AB1CD,垂足为E，则下列说法中正确

的是（）

A.AD=2OBB.点8是劣弧CO的中点C.OE=EBD.D足

A3弧中点

19.下列语句中不正确的有（）

①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条

直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧

A.3个B.2个C.1个D.4个

知识点六、利用垂径定理的实陈应用

20.往直径为52c7〃的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽A5=48cm,

则水的最大深度为（）

A.ScmB.10c/7?C.16cmD.20cm

21.如图，是CO的内接三角形，AB=BC,ZBAC=30°,A3是直径，AO=8,

则AC的长为（）

22.如图，A8是OO的弦，OC工AB交OO于点C,点、D是。O上一点,ZADC=3（r,

则N8OC的度数为（）.

A.30°B.40°C.50°D.60°

23.如图，将半径为4。k的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）

A.46cmB.2-73cmC.百cmD.acm

二、填空题

知识点一、利用垂径定理求值

24.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点0是这段弧所在圆的圆心，AB=40m,

点。是AB的中点，点。是A8的中点，且CO=10m,则这段弯路所在圆的半径为

________m.

25.如图，半径为5的与），轴交于点”（O,T）,Ar（0,-10）,点尸的坐标为

26.如图，A3是00的直径，弦于点E,若A5=10,8=6,则鹿的长为

27.如图，0M交4轴与民C两点，交了轴于点4,弦CEJ_43于点的纵坐标为

2,B（3jl0）,。卜6,（））.则圆心M的坐标为一.

知识点二、利用垂径定理求平行弦

28.已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3,则两条平行弦之间的距离为.

29.已知。0的半径为10cm,弦48〃CO,且A8=12cm,8=16cm,则弦A8和C。

之间的距离为.

30.已知。O的直径为20,AB,CD分别是。0的两条弦，且AB//CD,AB=16,CD=10,

则AB,CD之间的距离是.

31.已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm,若这圆的半径是5dm,则两条平行弦之间的

距离为.

知识点三、利用垂径定理求其他问题

32.如图，A5是圆。的弦，OCJ_AB,垂足为点C,将劣弧沿弦A6折叠交于OC

的中点。，若43=2而，则圆。的半径为.

33.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，AABC的顶点A在格点上，B是小正方

形边的中点，NABC=5O°，NBAC=3O°，经过点A,B的圆的圆心在边AC上.

（I）线段AB的长等于；

（II）请用无强度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P,使其满足

NPAC=NPBC=/PCB,并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）

34.如图，AR,。。是半径为5的OO的两条弦，AB=8,8=6,MV是直径，

AB_LMN于点、E，CDLMN^^FPC,夕为所上的任意一点，则24+尸C的最小

值为一.

35.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A,B,C,其中B点坐标为(4,4),则该圆

弧所在圆的圆心坐标为.

知识点四、垂径定理的推论

36.如图，点A、B在半径为3的。O上，以OA、AB为邻边作平行四边形OCBA,作点B

关于OA的对称点D,连接CD,则CD的最大值为.

37.如图，是。0的弦，C是A8的中点，连接0C并延长交0。于点O.若

。。=1,48=4,则0O的半径是.

38.如图AB是。0的直径，NBAO42。，点D是弦AC的中点，则/DOC的度数是,

度.

39.若。。的一条弦长为24,弦心距为5,则。。的直径长为.

知识点六、利用垂径定理的实际应用

40.如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm,下雨前水面宽为60cm,一场大雨过

后，水面宽为80cm,则水位上升cm.

41.如图，量角器的。度刻度线为A8,将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量

角器相切于点C,直尺另一边交量角器于点A,D，量得=点。在量角器上

的读数为60，则该直尺的宽度为cm.

42.《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何

原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不

知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材

截面图如图所示，己知：锯口深为1寸，锯道A3=l尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为

A

_J\5/

43.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的

经验公式是：弧田面积=!（弦x矢+矢2）.孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴

2

影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径

定理（当半径OC_L弦AB时，0C平分人8）可以求解.现己知弦A8=8米，半径等于

5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米.

三、解答题

知识点一、利用垂径定理求值

44.如图，A3是。。的直径，E为。。上一点，EFLAB于点F,连接OE,AC//OE,

OD_LAC于点D若BF=2,EF=4,求线段AC长.

知识点二、利用垂径定理求平行弦

45.如图，已知OO的半径长为R-5,弦AB与弦CD平行，它们之间距离为5,AB-6,

求弦CD的长.

知识点三、利用垂径定理求小圆问题

46.已知在以点0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).

(1)求证：AC=BD；

(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长.

知识点五、垂径定理的推论

47.如图所示，BC是半圆O的直径，AD1BC,垂足为D,弧长4B等于弧长4尸，BF与

AD,AO分别交于点E,G.求证：

(1)ZDAO=ZFBC；

(2)AE=BE.

知识点六、利用垂径定理的实际应用

48.好山好水好江山，石拱桥在江山处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全

通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平面4m,货船宽12m,

船舱顶部为矩形并高出水面3m.

(1)请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径；

(2)小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说

说你的理由.

参考答案

1.A

【分析】连接0C,求出OC,CE,根据勾股定理求出OE,即可求出答案.

解：连接OC,

VAB=20,

/.OC=OA=OB=W,

VAB1CD,AB过0,

/.CE=DE=-CD=8,

2

在RsOCE中，由勾股定理得：OE=J］。』？=6,

.\BE=10-6=4.

故选：A.

【点拨】本题主要考查了垂径定理，熟练利用垂径定理是解题的关键.垂径定理：垂直

于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.D

【分析】连接OC,日垂径定理可知，点E为CD的中点，且OE_LCD,在RsOEC

中，根据勾股定理，即可得出OC,从而得出直径.

连接OC,・・・A8为。。的直径，弦。。_LA3于点E

ACE=—CD=8,

2

V0E=6.

在RSOEC中，由勾股定理得:

OC2=OE2+EC2,即OCJ62+82

解得：oc=io

，直径AB=2OC=20.

故选D.

【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理.熟练掌握定理是解答关键.

3.B

（分析】作于M,ONLCD于N,连接04,0C,根据垂径定理得出BM=AM=4,

DN=CN=4,根据勾股定理求出0M和0M证明四边形OMPN是正方形，即可解决问题.

解：如图，作0MJM4于M,ON工CD于N,连接OA,0C.

：.AM=BM=4,CN=DN=4,

♦：OA=OC=2«,

・•・OM=y]OA2-AMz=26『—42=2，

ON=yJoC2-CN2=^（2^）2-42=2-

，OM=ON,

•・・AB_LC。，

・•・ZOMP=ZONP=ZMPN=90°,

・•・四边形OMPN是矩形，

•：OM=ON,

・•・四边形OMP/V是正方形，

JO片血。M=2万

故选：B.

【点拨】本题考杳了垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是

学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型.

4.B

【分析】连接0C,设。。的半径为R,则OOR,0M=5-R,根据垂径定理求出CM,

根据勾股定理得出方程，求出即可.

解：连接OC,设。。的半径为七则。UR,OM=5-R,

•・•直径M_LC。，垂足为M,CD=2,

：.CM=DM=\,

在中，由勾股定理得：OC^OW+CM，

R2=(5-R)2+12,

解得R=2.6.

故选：B.

【点拨】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，用了方程思想，题目比较典型，难度

适中.

5.C

【分析】先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB,CD的弦心距OE,OF,再根据两弦在圆

心同侧和在圆心异侧两种情况讨论.

设E、F为AB、CD的中点，

AE=-AB=-x24=12,

22

11

CF=-CD=-xlO=5,

22

OE=ylAO2-AB2=V132-122=5,

OF=_“=Jl32—52=12,

①当两弦在圆心同侧时，距离=OF-OE=12-5=7;

②当两弦在圆心异侧对，距离=OE+OF=12+5=17.

所以距离为7或17.

故选C.

【点拨】本题主要考查勾股定理及垂径定理的应用.

6.A

【解析】因为在同圆中，平行弦所夹弧是等弧.故选A.

点拨:本题主要考查I员中平行弦所夹弧，解决本题的关键是要熟练掌握平行弦定理.

7.A

【分析】分两种情况：①当AB、CD在圆心两侧时；②当AB、CD在圆心同侧时：利

用垂径定理及勾股定理求出答案.

解：①当AB、CD在圆心两侧时:

过0作OE_LCD交CD于E点，过0作OF_LAB交AB于F点，连接OA、0C,如图

所示：

•・•半径r=5,弦AB〃CD,且AB=6,CD=8,

；・0A=0C=5,CE=DE=4,AF=FB=3,E、F、O在-•条直线上，

・・・EF为AB、CD之间的距离

在RgOEC中，由勾股定理可得：

OE2=OC2-CE2

・・・OE=752-42=3,

在Rt/kOFA中，由勾股定理可得：

OF2=OA2-AF2

・・・0F=后_32=%

・・・EF=OE+OF=3+4=7,

AB与CD的距离为7；

②当AB、CD在圆心同侧时；

同①可得：OE=3,0F=4；

则AB与CD的距离为：OF-OE=I：

综上所述：AB与CD间的距离为1或7.

故选：A.

【点拨】此题考查圆的垂径定理、直角三角形的勾股定理，解题中注意运用分类讨论的

思想避免漏解.

8.C

【分析】先根据勾股定理求出OE=6,0F=8,再分AB、CD在点0的同侧时，AB、CD

在点O的两侧时两种情况分别计算求出EF即可.

如图，过点O作OF_LCD于F,交AB于点E,

♦・♦AB//CD,

/.OEXAB,

在Rtz\AOE中，OA=10,AE=—AB=8,OE=6,

2

在R/COF中，OC=10,CF=—CD=6,/.OF=8,

2

当AB、CD在点O的同侧时，AB、CO间的距离EF=OF-OE=8-6=2；

当AB、CD在点O的两侧时,AB、CD间的距离EF=OE+OF=6+8=14,

【点拨】此题考查门别的垂径定理，勾股定理，在I员I中通常利用垂径定理和勾股定理求

半径、弦的一半、弦心距三者中的一个量.

9.C

【分析】连接OB,0C,作OD_LBC,利用垂径定理和特殊角的三角函数可求得

ZBOD=60°,从而求得答案.注意弦所对的圆周角有锐角和钝角两种情况.

①当△ABC时锐角三角形时,

连接OB,OC,过点O作OD_LBC于点D,

・•・BD^-BC=-x2y/3=y/3，

22

VOB=2

..-BD_6

,,sinN80Z)=----=—

OB2

:.ZBOD=60°

ZBOC=2ZBOD=2x60°=120°,

;BC=BC，

・•・Z4=-/BOC=-xl20°=60°；

22

②当△ABC时钝角三角形时，如图，

由①可知NE=60。，

•・•四边形ABEC是圆内接四边形,

/.ZE+ZA-1800,

・•・ZA=180°-60°=120°.

故NA的度数为60。或120。.

故答案为：C

【点拨】本题考查/垂径定理、圆周角定理和解直角三角形.正确作出辅助线是解题的

关键.

10.D

试题分析：0为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点，那么C

点是AB的中点，即AC=BC=l48=6；并且OC_LAB,在心&4OC中，由勾股定理得

222

AO=AC+OCr所以=4。2一4。2；A0=8cm,所以OC?=8?—6?=28•所

以oc=?「

考点：弦心距，勾股定理

【点拨】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟

悉勾股定理的内容

11.C

【分析】作OD_LAB于C,交小圆于D,可得CD=2,AC=BC,由AO、BO为半径，

贝|JOA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.

解：作OD_LAB干C交小网干D,则CD=2,AC=BC,

VOA=OD=4,CD=2,

，OC=2,

:・AC7O]_OC2=26，

.*.AB=2AC=4>/3.

故答案为C.

【点拨】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是

解答本题的关键.

12.B

【分析】作圆的直径于点。，连接0A,根据勾股定理求出。E的长，求得C、

E到弦人8所在的直线距离，与2比较大小，即可判断.

解：作圆的直径CE1/1B于点。，连接OA,

•・・AB=8,

・・・AO=4.

•・・O4=5,

・・.0£>=,52—42=3,

・•・CD=OC-3=5-3=2,即C至lj弦AB所在的直线距离为2,

・•・在劣弧AB上，到弦AB所在的直线距离为2的点只有。点：

VD/T=5+3=8>2,

・•・在伏弧AEB上到弦AB所在的直线距离为2的点有2个，即圆上到弦AB所在的直线

距离为2的点有3个.

故选：B.

【点拨】本题考查了垂径定理，转化为C、£到弦A3所在的直线距离，与2比较大小

是关键.

13.B

【分析】根据垂径定理得出CE=OE,由此可判断A,再根据全等三角形的判定方法

“AAS”即可证明△OC石丝进而可判断C、D,而AE与OE不一定相等，由此可判

断B.

的直径AB_LCD于点，

：・CE=DE,故A选项结论成立；

在A0CE和AODE中,

ZCEO=ZDEO=90°

«ZOCE=ZODE.

0C=0D

・••\OCE^ODE,故D选项结论正确；

AZCOA=ZDOA.故C选项结论正确；

而AE与OE不一定相等，故B选项结论不成立；

故选：B.

【点拨】本题考查了垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦

所对的两条弧.

14.C

【分析】连接。氏作与M.根据垂径定理和勾股定理，求出O尸的取值范围

即可判断.

解：连接。B,作。M_LA8与M.

yOMA.AB,

1

AM=BM=—AB=4,

2

在直角aOBM中，VOB=5,BM=4,

JOM=ylOB2-BM2=V52-42=3•

・・・3KOP<5,

故选：C.

【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换

到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解.

15.C

【分析】过点M作A8_LOM交。。于点A、B,根据勾股定理求出AM,根据垂径定理

求出AB,进而得到答案.

解：过点M作AB_LOM交。。于点A、B,连接04,

2

在RsAOM中，AM=yJo^-OM2="2-2?=273，

••・A8=2AM=4X/L

则4百W过点M的所有弦W8,

则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共三条，

故选：C.

【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂直于选的直径平分这条弦，并平分弦

所对的两条弧是解题关键.

16.B

【分析】根据圆的有关性质、垂径定理及其推论、特殊平行四边形的判定与性质依次对

各项判断即可.

A.•・•半径08平分弦AC,

・・・0B_LAC,AB=BC,不能判断四边形0ABC是平行四边形，

假命题；

B.二四边形。46c是平行四边形，且OA=OC,

・•・四边形。钻。是菱形，

/.OA=AB=OB,0A/7BC,

•••△OAB是等边三角形，

・•・ZOAB=60°,

/.ZABC=120°.

真命题；

C.VZ^C=120°,

・•・NAOO120。，不能判断出弦4c平分半径。8,

假命题；

D.只有当弦AC垂直平分半径03时・，半径。8平分弦AC,所以是

假命题，

故选：B.

【点拨】本题主要考查命题与证明，涉及垂径定理及其推论、菱形的判定与性质、等边

三角形的判定与性质等知识，解答的关键是会利用所学的知识进行推理证明命题的真假.

17.B

【分析】将每一句话进行分析和处理即可得出本题答案.

A.直径是弦，正确.

B「・•在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，

・•・相等的I员I心角所对的弧相等，错误.

C.弦的垂直平分线一定经过圆心，正确.

D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦，正确.

故答案选：B.

【点拨】本题考查了圆中弦、圆心角、弧度之间的美系，熟练掌握该知识点是本题解题

的关键.

18.B

【解析】

【分析】根据弦的定义及垂径定理解答即可.

A.VAD<AB,・•・AD<20B,故不正确；

B.VARICD.・•・点8是劣弧C力的中点，故正确：

C.OE与EB不一定相等，故不正确；

D.〈CD不过圆心，:・。不是A8弧中点，故不正确；

故选B.

【点拨】本题考查了直径是圆内最长的弦，以及垂径定理，熟练掌握垂径定理是解答本

题的关键.垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧.

19.D

【分析】由圆的性质以及垂径定理对每个选项一一判断即可.

同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，结论①错误；平分弦的直径不一定垂直于

弦，结论②错误；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的左线都是它的对称轴，结论③错误；

长度相等的两条弧不一定是等弧，结论④错误.不正确的有①②③④.

故选D.

【点拨】本题主要考台圆的性质，熟记相关概念是解题的关键.

20.C

【分析】过点。作0O_LA8于。，交。。于E,连接根据垂径定理即可求得A。

的长，乂由。。的直径为52cm.求得。4的长，然后根据勾股定理，即可求得。。的长，

进而求得油的最大深度OE的长.

解：过点。作于。，交。。于E,连接OA,

由垂径定理得：AD=-AB=-x4S=24cm,

22

V0O的直径为52。〃，

OA=OE=26cm,

在向必。。中，由勾股定理得：OD=y/OA2-AD2=7262-242=1Ocm

・•・DE=OE-OD=26-\4=16an,

，油的最大深度为16cm,

【点拨】本题主要考查了垂径定理的知识.此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的

作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决.

21.B

【分析】连接BO,根据圆周角定理可得NBOA=60。，再由圆内接三角形的性质可得

OB垂直平分AC,再根据正弦的定义求解即可.

如图，连接0B,

•・•aASC是CO的同接三角形，

・・・OB垂直平分AC,

・•・AM=CM=-AC,OMA.AM,

2

又•・•AB=BC,ZBAC=30°,

/.ZBCA=30°,

/.ZBCZ4=60o,

又・.・AD=8,

・・・A0=4,

AM_AM_x/3

•••sin60°=

解得：AM=26，

・•・AC=2AM=473.

故答案选B.

【点拨】本题主要考查了圆的垂径定理的应用，根据圆周角定理求角度是解题的关键.

22.D

【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出/OAC=/OCA=/AOC,

得出△OAC是等腰三角形，得出NBOC=NA0060。即可.

解：如图，:N/VX?=3O°,

...ZAOC=2ZADC=O)°.

〈AB是OO的弦，OC_LA3交OO于点C,

•••AC=BC-

・•・ZAOC=ZBOC=60°.

故选。.

【点拨】本题考查垂径定理,解题关键证明AC=8C

23.A

【分析】连接AO,过O作OD_LAB,交A8于点D,交弦AB与点E,根据折叠的性

质及垂径定理得到AE=BE,再根据勾股定理即可求解.

如图所示，连接AO,过。作OD_LAB,交A8于点D,交弦AB与点E,

A6折叠兀•恰好经讨圆心，

/.OE=DE,

•・•半径为4,

A0E=2,

V0D1AB,

:.AE=­AB，

2

在RSAOE中，AE=J042—O炉=2」

••・AB=2AE=46

【点拨】此题主要考查垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理的应用.

24.25

【分析】根据题意，可以推出人力=4。=20,若设半径为r,则O/)=r-I0,OB=r,结合勾

股定理可推出半径，•的值，

解：连接OD,：点C是A8的中点，。是A6的4点，

，OC1AB,

.\AD=DB=20m,

在RQA。。中，0AJOZ^+A。?，

设半径为r得:，=(r-10)MO2,

解得：r=25m,

・•・这段弯路的半径为25m,

故答案为：25.

【点拨】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为,•后,

用「表示出。的长度.

25.(-4,-7)

【分析】过尸作PQ垂直于)，轴，利用垂径定理得到。为MN的中点，由M与N的坐

标得到0M与ON的长，由0M-0N求出MN的长，确定出MQ的长，在直角三角形尸MQ

中，由PM与MQ的长，利用勾股定理求出尸。的长，由。M+MQ求出0Q的长，进而可得

出尸点坐标.

解：过户作PQ_Ly轴，与)，轴交于Q点，连接PM,

・・・Q为MN的中点，

•；M(0,-4),N(0,-10),

・・・OM=4,0210,

A10-4=6.

:.MQ;NQ=3,OQ=OM+MQ=4+3=1,

在Ri^PMQ中，PM=5,

根据勾股定理得：PQ=y]PM2-MQ2=V52-32=4,

:.P(-4,-7).

故答案为：(-4,-7).

【点拨】木题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题

的关键.

26.I

【分析】由题意易得CE=，CD=3,OC=5,根据勾股定理可求OE的长，然后问题可

2

求解.

解：:AB是OO的直径，AB=\0,

J0C=0B=-AB=5,

2

VCD1AB,CD=6,

，CE=-CD=3,ZCEO=90°,

2

・，・0E=yj0C2-CE2=4^

・•・BE=OB-OE=l

故答案为1.

【点拨】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键.

27.（Q,2）

【分析】过M作MN_LBC于N,连接CM,由垂径定理可求出CN的长，即可求出ON

的长，可得M的坐标.

解：过M作MN_LBC于N,连接CM,

V^（373,0）,C（->/3,0）,

***OB=，OC=y/3，

・・・BC=4百,

VMN±BC,

・・・CN=JAB=2G

・・・ON=S

AM（52）,

故答案为：（JJ，2；.

【点拨】本题考查的是垂径定理、坐标与图形特点，根据题意作出辅助线是解答此题的

关键.

28.1或5.

【分析】分两种情况：两条平行弦在圆心的同侧时和两条平行弦在圆心的两侧时，分情

况进行讨论即可.

两条平行弦在圆心的同侧时，则两条平行弦间的距离=3-2=1；

当两条平行弦在圆心的两侧时，则两条平行弦间的距离=3+2=5.

故答案为：1或5.

【点拨】本题主要考查两条平行弦之间的距离，注意分情况讨论.

29.14cm或2cm

【分析】根据垂径定理及勾股定理，可求出弦人〃、CO的弦心距；由于两弦的位置不

确定，因此需要分类讨论.

解：如图①，连接。4,OC,过点。作交C。于点F,交AB于点E,

因为A8//C。，所以OE_LCQ,

:•Rt△OAE中,OA=1Ocm,AE=—A8=6cm；

2

OE=y/oA2-AE2=8cm；

同理可得：OF=6cm；

故EF=OE+OF=14cm；

所以AB与CD的距离是14cm或2cm,

故答案为：14cm或2cm.

【点拨】此题主要考杳的是垂径定理以及勾股定理的应用，需注意弦AB、CD的立置

关系有两种，需分类讨论，不要漏解.

30.5百一6或56上6

【分析】分两种情况考虑:当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过。作OE_LCD,

交CD于点E,交AB于点F,连接OA,OC,由AB//CD,得到OFJ_AB,利用垂径定

埋得到E与卜分别为CD与AB的中点，在直角二角形AO卜中，利用勾股定埋求出。卜的

长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由OE—OF即可求出EF的长；当两

条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由OE+OF求出EF的长即可.

解：分两种情况考虑：

当两条弦位于圆心0一侧时，如图1所示，

过0作OEJLAB,交CD于点E,交AB于点F,连接OA,0C,

VAB//CD,/.OE±CD,

・・・F、E分别为AB、CD的中点，

/.AF=BF=-AB=8,CE=DE=-CD=5,

22

在Rt.COE中，OC=10,CE=5,

根据勾股定理得：OE=IOC?-CE?=Jl。2-52=56，

在RteAOF中，OA=10,AF=8.

根据勾股定理得：OF=dOA?-AF?HlO?=6,

则EF=0E-0F=56—6；

当两条弦位于圆心。两侧时，如图2所示，同理可得EF=OE+O尸=5/+6，

综上，弦AB与CD的距离为5>/5-6或5百+6,

故答案为：5方-6或5百+6.

【点拨】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理

是解本题的关键.

31.7dm或1dm

【分析】如图，AB〃CD,AB=6dm,CD=8dm,过0点作OE_LAB于E,交CD于

F点,连OA、OC,根据垂径定理得AE=BE=—AB=3,由于AB〃CD,EFJLAB,则EFlCD,

2

根据垂径定理得CF=FD=』CD=4,然后利用勾股定理可计算出0E=4,0F=3,再进行

2

讨论：当圆心0在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE+OF；当圆心O不在AB与

CD之间时，AB与CD的距离=OE-OF.

解：如图，AB〃CD,AB=6dm,CD=8dm,

过。点作OE_LAB于E,交CD于F点，连OA、OC,

AAE=BE=—AB=3,

2

VAB/7CD,EF_LAB,

AEF1CD,

.*.CF=FD=—CD=4,

2

在RtAOAE中，0A=5dm

OE=y/o^-AE2=452-32=4，

同理可得OF=3,

当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE+OF=4+3=7(dm)；

当圆心O不在AB与CD之间时,AB与CD的距离=OE・OF=4・3=1(dm).

故答案为7dm或1dm.

【点拨】本题考杳了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.也考杳

了勾股定理.

32.3万

【分析】连接OA,设半径为心用x表示OC,根据勾股定理建立x的方程，便可求得

结果.

解：解：连接04,设半径为乐

OC=-x,OC1AB,

3

:.AC=-AB=y/w,

2

-OA2-OC2=AC2F

x2-（-x）2=10,

3

解得,x=35/2"

故答案为3.

【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列

出半径的方程.

33.（I）姮；（II）如图，取圆与网格线的交点E,尸，连接所与AC相交，

2

得圆心0；A8与网格线相交于点。，连接。0并延长，交C。于点。，连接QC并延长，

与点3,O的连线3。相交于点P,连接AP,则点P满足NP4C=NP8C=N尸C5.

【解析】

【分析】（【）根据勾股定理即可求出AB的长

（II）先确定圆心，根据NEAF=90°取格点E、F并连接可得EF为宜径，与AC相交

即可确定圆心的位置，先在B0上取点P,设点P满足条件，再根据点D为AB的中点，根据

垂径定理得出0D_LAB,再结合已知条件/ABC=50"，NBAC=30°得出

/PAC=/PBC=NPCB=2。，设PC和DO的延长线相交于点Q,根据ASA可得

♦OPQ3.OPA,可得OA=OQ,从而确定点Q在圆上，所以连接。。并延长，交。。于点

Q,连接QC并延长，与点B0的连线BO相交于点P，连接AP即可找到点P

故答案为：叵

2

(II)取圆勺网格线的交点E,尸，连接后尸,与AC相交于点O,

•・・/EAF=90°，・・・EF为直径，

•・•圆心在边AC上.••点O即为圆心

•・•A3与网格线的交点D是AB中点，连接OD则ODJ_AB,

连接OB,V^BAC=30\OA=OB

AZOAB=ZOBA=30°»ZDOA=ZDOB=60°»

在BO上取点P,并设点P满足条件，•・•/ABC=50"

•・•APAC=ZPBC=/PCB=20，

.,.ZAPO=ZCPO=40°»

设PC和DO的延长线相交于点Q,yiljZDOA=ZDOB=ZPOC=ZQOC=600

・・・NAOP=NQOP=120°，

•・•OP=OP,・•..CIPQ=*OPAOA=OQ,

・••点Q在圆上，，连接。。并延长，交0O于点。，连接QC并延长，与点8。的

连线8。相交于点P，连接4。、则点P即为所求

【点拨】本题主要考查了应用与设计作图、勾股定理、垂径定理、三角形的全等的性质

与判定、等腰三角形的性质等知识，是一道综合性较强的题目，解题时首先要理解题意，弄

清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图.

34.7万

【分析】A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC,即当B、C、P在一条直线上

时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值

连接UA,OB,OC,作CH垂直于AB于H.

根据垂径定理，得到BE=BE=-AB=^CF=-CD=3

22

:.0E=ylOB2-BE2=V52-42=3

OF=y]0C2-CF2=752-32=4

，CH=OE+OF=3+4=7,

BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7,

在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7&，

则PA+PC的最小值为7&.

【点拨】正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键.

35.(2,0)

根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，

可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心.

36.375.

【分析】根据点B、D关于OA对称得出BD_LOA,进而得到BD_LCB,得出△CBD

是直角三角形，CB是固定值，只有当BD最大时CD就最大，转换成求BD的最大值・BD

都在圆上，所以BD的最大值就是直径，最后用勾股定理就能求出CD的最大值.

;平行四边形OCBA,

.•・OA〃CB,OA=CB

又・・・D是B点关于OA的对称点，

ADB1OA,

/.DB1CB,

AACBD是直角三角形

CD2-CB2+DB2

VCB=OA=r=3是固定值

・・・DB最大时就是CD最大

而B是圆上的点，D是B对称点且也在圆上

・•・当BD经过原点O是直径时最大，即BD=2r=6

，CD2=CB2+DB2=32+62=45

解得：CD=3逐，即CD的最大值是3逐.

【点拨】本题主要考查圆的性质、垂径定理、平行囚边形性质、勾股定理，找出ACBD

是直角三角形和BD的最大值是直径是解题的关键.

【分析】连接OA,根据垂径定理推论得出OC_LAB,由勾股定理可得出OA的长.

•••C是AB的中点,OA=OB,AB=4

AAC=—AB=2,OC±AB,

2

.,.OA12=OC2+AC2,

VCD=I

AOA2=(OA-1)2+22,

解得，OA=J

2

故答案为：一

2

【点拨】题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理推论判断出OC垂直平分AB

是解答此题的关键.

38.48

试题分析：根据点D是弦AC的中点，得至IJOD_LAC,然后根据/DOC二NDOA即可

求得答案：

•；AB是(DO的直径，，OA=OC.

,:ZA=42°,JZACO=ZA=42°.

•・・D为AC的中点，.・・OD_LAC.

二ZDOC=90°-ZDCO=90°-42°=48°.

39.26

【解析】

【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，由OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为

AB的中点，由AB的长求出AC的长,在直角三角形AOC中，由AC与0C的长，利用勾股

定理求出OA的长,即可确定出圆O的直径长.

解:根据题意画出相应的图形，如图所示，

1

.\AC=BC=-AB=12

2

在RSAOC中,AC=120C=5,,

根据勾股定理得:A0=〃02+0。2=［3,

则圆。的直径长为26.

故答案为：26

【点拨】此题考查勾股定理，垂径定理及其推论，解题关键在于画出图形

40.10或70

【分析】分水位在圆心