北师大版九年级数学下册讲义新课复习版

第一讲成比例线段与平行线分线段成比例

一、学问点荟萃

1、线段的比：假如选用同一个长度单位量得两条线段，的长度分别是01、

n,则就说这两条线段的比，或写成"=%

CDn

2、四条线段a、b、c、d中，假如a与b的比等于c与d的比，即色=£,则这四

bd

条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段.

3.留意点：

①，说明a是b的k倍：

②由于线段a、b的长度都是正数，所以k是正数；

③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一样；

④除了之外W,£与.互为倒数;

ha

⑤比例的基本性质：若:=；,则；若，则

baba

4、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

如图：a〃b〃c,贝ijA^=BC

DE

5、黄金分割：如图，点C把线段分成两条线

ACBC

如——=——

ABAC

,则称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点与的比叫做黄金比

=20.618.留意：一条线段有两个黄金分割点.

6、比例性质:

（1）假如=,则.，反之也成立.其中a与d叫做比例外项，b

与。叫做比例内项.特殊地，==//=.

（2）比例的合比性质假如=,则=.

（3）比例的等比性质假如==3=（8+冽---F〃W0）,则=.

二、典例精讲

例1、依据比例性质求解：

（1）

（2）已知则组叱=,s二,

b4bb

例2、己知a：b：4：3：2,且a~6.

（1）求o,b,c的值。（2）求4o—3的值。

例3、.若"£=色心="£=火，求k的值。______

acb

例4、四条线段a、b、c、d成比例，其中326,则线段a的长度是多少？假如改

成四条线段b、c、d、a成比例，其中326,则此时线段a的长度是多少？

例5.如图，在△中，E、F分别是和上的点，且〃，

（1）假如=7,5,二4,则的长是多少？

（2）假如二10,.6,=5,则的长是多少？

例6、已知1⑵=5,=7,4,求的长。

三、中考链接

四、课堂练习

1、若@=£=£=2,则〃+c+e=a-c+2j

bdfb+d+/b—d+2

2、已知2=£=g=L且a+c-e=3,则b+d-/=

bdf2

4、下列四组线段中，成比例线段的是（）

A3,4,5,6B4,8,3,5

C5,15,2,6D8,4,1,3

5、在比例尺是1：6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15厘米，南京

到北京的实际距离是千米。

6、一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，则这两条线段之比是

7、已知a、b、c、d是成比线段469,则

84、假如2x=5y,则2

y

9、把加7=pq写成比例式，写错的是（）

10、已知2:3:4,且15,则

11,如图，在△中，D、E分别是和上的点，且〃,

（1）假如=3.2,=1.2,2.4,则的长是多少?

（2）假如=5,3,=4,则的长是多少？

五、课后作业

1、假如则，2、若则"的值为

h5h

b42b

3、已知二=3,贝=.4、已知巴3=2,则q=

??4ya-b3b

5、则Mb

6、（1）、假如@则.（2）、假如37b,则，

24bb

（3）、假如215b,则2=.（4）、假如「则2=.

cc

7、如图，在△中，〃交,于〃，交于其下列不能成立的比例式肯定是（）

、ADAEnABACrACEC「、A。DE

DBECADAEABDBDBBC

8、如，图，少是。的边上一点，CE=、CD,=12,,则，的长为（）

3

A.4B.6C.3D.12

9、如图£在延长线上，=10.,=5,=6,则的长为（）

A.3.B.6C.12D.16

7题8题9题10题

10、如图：P是四边形对角线的随意一点，且〃，〃,

求证：OA・MB=OB・NA

其次讲相像多边形与三角形相像的条件

一、学问点荟萃

1、相像多边形：形态相同，大小不肯定相同的多边形叫相像多边形.相像符号

为“S”.相像多边形对应角相等对应边的比相笔。相像多边形对应边的比叫做

相像比.

2、相像三角形的相关概念

(1)三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形叫做相像三角形

(2)相像三角形的对应角相等，各对应边成比例.

(3)相像比等于1的两个三角形全等.

3、三角形相像的条件：

(1)假如一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相像。

(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相像。两边对应成比例且其中一边所

对的角对应相等的两个二角形不相像。

二、典例精讲

例1、把一个矩形对折后所得矩形与原矩形相像，则此矩形的长边与，短边的比是

()

A.2：1B.4：1C.V2：1D.1：V2

例2、如图，把矩形对折，折痕为，矩形与矩形相像，已知4(1)求的长：(2)

求矩形与矩形的相像比。

例3：如图：D、E分别是△的边、上的点，，7,5,

10,求的长。

例4、如图，儿夕两点被池塘隔开，为测量力，B

两点间的距离，在池塘边任选一点C,连接，，并

延长到〃，使1,延长到其使=1,连接，假如

22

测量20m,则2X20=40m。你知道这是为什么吗?

例5、假如△与AA'B'C'两边成比例，且其中一边所对的角相等，则这两个

三角形肯定相像吗？由此你能得到什么结论？

A

D

例6：如图，D、E分别是△的边、

406

3.2

50

BC

a

上的点。1.5,2,3,且A把D=士，求的长。

AB4

三、课堂练习

1.假如两个多边形形相像，则对应边,对应角，对应边

的比就是它们的rO

2、两个相像多边形的对应边的比是工，则这两个多边形的相像比是.

3

3.假如六边形s六边形A'B'C'D'E'F',Z62°,则NB'等于（）

A.28°B.118°,C.62°D.54°

4.等边三角形和三角形A'B'C'相像，相像比为5：2,若10,C'等于

5、推断下列每组中的两个图形是相像多边形吗？并说明理由.

（1）两个大小不等的矩形屋）（2）两个大小不等的正五边形；（）

（3）一个正方形与一个平行四边形；（）（4）两个大小不等的菱形（）

6.如图，Z52°2.55.5,△中，N52°73,•△•与△是否相像为什么

7.如图，在△中，Z90°,±,垂足为D。

（1）请指出图中全部的相像三角形；

（2）你能得出2•吗？

四、课后作业

1、如图，Ds。，贝!/力的对应角是，

N8的对应角是，~I

（）

2、A^AABC,若对应边与A8的长分别

为50厘米和40厘米，则4ABC与.△的相像比是（）

A.5：4B.4：5C.5：275D.2石：5

3、如图，已知四边形相像于四边形A'BzC'D/,求出NA'与x的值

图形中肯定相像的是

7V（）

AL________JB

8

B

1

A.有一个角相等的两个平行四边形B.有一一个角相等的两个等腰梯形

C.有一个角相等的两个菱形D.有一组邻边对应成比例的两平行四边形

5.在△与△中，ZZ7O0,Z60°,Z50°,这两个三角形相像吗？

6.如图：在四边形中，〃，对角线与相交于点0。找出图中的相像三角形，并说

明理由。

第三讲相像三角形的判定与性质

一、学问点荟萃

1、相像三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形

相像。

2、相像三角形的判定:

①两角对应相等，两个三角形相像

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像

③三边对应成比例，两三角形相像

④假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一

条直角边对应成比例，则这两个直角形相像

⑤平行于三角形一边的直线和其他两边(或诙边的延长线)相交，所构成的

三角形与原三角形相像

⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相像

3、相像三角形的性质

①相像三角形的对应角相等

②相像三角形的对应边成比例

③相像三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相像比

④相像三角形周长的比等于相像比

4、三角形相像的基本图形:

(1)平行型：①如图“A型”即公共角所对应的边平行，则Asa

②“X型”，即对顶角对的边平行，则

(2)相交型：①“共角型”，即其公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则

②“共角共线型”，即公共角的对动不平行，日.有另一对角相等，两个三角

形有一条公共边，则As4

③“蝴蝶型”，即对顶角的对边不平行，且有另一对角相等，则

“共角型”“共角型”“共角共线型”“蝴蝶型”

(3)母子型：直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相像,

即△S△S△

二、典例精讲

例1.依据下列条件，推断小。与。是否相像，

并说明理由:

(1)ZX-12O0,AB・7cm,4C・14cm；”・12%W・3cm,4cM・dcm.

(2)X5-4cm,BC-6cm,AC-8cm；A'B'^12cm,B'C'・18an,4c',21cm

例2.要做两个形态相同的二角形框架，具中一个二角形框架的二边的长分别为

4、5、6,另一个三角形的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相像？

例3.已知：MBCsmEF,回、加分别是两人三角形的角平分线.

AM_AB

求证：而・丽.

乙良■乙

例4.如图，在机。和3E尸中，AB-2DE,AC~2DFfD,A4EC的周

长是24,面积是48,求AZ加月的周长和面积.

例5.如图，在△中，D为边上的中点，〃，交于

G,交延长线于F.若：3：1,10,求的长.A

例6、如图，D是△的边上一点，连接，若2,4,

ZZB,求的长.

例7、如图，点P是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于E,交的延长线于

F.

(1)求证：ZZ；

(2)若2,：1：2,且_1,求对角线的长.

例8、在△中，NC=90°,=8cm,：=3：5,点P从点B动身，沿向点C以2

cm的速度移动，点Q从点C动身沿向点A以1cm的速度移动,假如P、Q分

别从B、C同时动身:

（1）过多少秒△/△?

A

（2）经过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△相像

三、中考链接

1、（2014•乌鲁木齐）如图，等边三角形的边长为3,点P

为边上一点，且1,点D为边上一点,若N60°,则的长C

为（）D

C.J

D.1BP

A.I4

2、（2015•威海）在口中,点E为的中点,连接，交于点F,

则：（）

A.1：2B.1：3C.2：3D.2：5

A

四、课堂练习

1、在/中，是N的外角平分线,〃，求证

2、如图，是/的斜边上的高,=16,=9,是/的平分线，求的长;

3、如图（1）,在中，对角线、相交于点0,=18,E为的中点，连结并延长

交于点3求的长。

4、如图，在△中，D是边上的中点，且=,±,与相交于点E,与相交于点F。

（1）说明：'（2）若SA=5,=10,求的长。

五、课后作业

1、如图，在四边形中，£是对角线上的一点，〃,〃，求空+空的值。

ABCD

2、如图，/是等边三角形，Z=12（r,

C

求证：(1)(2)BC2=DB^CE

3、如图，在/中，是角平分线，E是上的一点，且二，求证：A4c

4、如图，在△中，=,是中线，夕是上一点，过点。祢i)

A

〃，延长交于点后交于点E说明：2=

E

BC

D

5、如图，在△中，E、F分别是、的中点，与交于点0,〃，交于点D,求：的

值。

6、如图，2=且/=/（；,试说明△s/S。

7、如图，已知四="=生，试说明：-=%

ADAEDE

8、如图，〃是△内一点，在△外取一点E,使480=

求证：匕S*

CAB

9、如图，在直角梯形中，=7,=2,=3,假如边上的点〃使得以夕为顶

点的三角形和以尸、B、。为顶点的三角形相像，则这样的月点够约?、

第四讲利用相像测高度与图形位微

一、学问点荟萃尸V

1、综合运用三角形相像的判定条件和性质解决问题时，其方法是：BXAC

（1）将实际问题转化为相像三角形问题；

（2）想方设法找出一对相像三角形

（3）依据相像三角形性质，建立比例式，求出相应的量。

2、位似多边形：假如两个相像多边形每组对应点所在的直线都经过同•个点，则这样的两

个多边形叫做位似多边形,这个点叫做位似中心。

3、位似多边.满意，两个条件1（1）是相像多边形；（2）两多边形每组对应点所在的直线都经

「过同一点。

4、位似多边形的性质

（1）位似多边形上随意一对对应点到位似中心的距离之比等于相像比

（2）位似多边形上对应点和位似中心在同始终线上。

（3）位似多边形上的对应线段平行或在同一条直线上。

（4）位似多边形是特殊的相像多边形，因此位似多边形具有相像多边形的一切性质。

5、位似多边形的画法

一般步骤为：（1）确定位似中心;

(2)确定原图形的关键点，通常是多边形H勺顶点;

,(3)确定位似比；

(4)找出新多边形的对应关键点。

二、典例精讲

例1若测得某同学的身高是L5米，影长是0・5米，旗杆的影长3米，求旗杆

的高度。

例2.若测得某同学的身高是1.6米，他到标杆的距离为3.2米，标杆长为2米,

标杆到旗杆的距离是25.6米,求旗杆的高度.R

例3：上述中若同学身高为1.5米,到镜子的距离3米,镜子一F,吵流窗工20

米，求旗杆的高度.

例4：指出下图中的图形是否是位似图形?若

是，指出位似中心。

例5：如图，

BC于点0位似，3,B'6o

(1)若5,⑴求A'((2)

C

(2)若AA8c的面积为7,求AA8C.的面积。/

例6：把图中的四边形以点0为位似中心沿方I睇便八即4似此］*Do

・

三、中考链接?\N/

我侦察，员在距敌方200米的地方发觉敌人的一座建筑物，得不知其高度又

不能靠近建筑物测量，机智的侦察员食指竖直举在右.眼前，闭上左眼，并将食

指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。若此时眼睛到食指的距离约为40.,

食指的长约为8,你能依据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思

路。

四、课堂练习

1、已知高为4米的旗开在水平地面的影长是6米，此时测得旁边一个建筑物的

影子长18米，则该建筑物的高度是米。

2、如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小芳

E

想用绳子测量A、B两点之间的距离，但绳子的长度

不够，一位同学帮她想了一个办法，先在地上取一c

个可以干脆到达A、B点的点C,找到、的中点D、E,

并且的长为5m,则A、B两点的距离是多少？

3、某同学想测旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的竹竿竖直时的影长为1.5m,

同一时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部

分落在墙上，他测得落在地面上的影长为9nb留在墙上的影长为2m,求旗杆的

局度。

4..一位同学想利用树影测出树高，他在某时刻测得直立的标杆高1米，影长是

0..9米，但他去测树影时，发觉树影的上半部分落在墙上，（如图所示）他测得

2.7米，L2米「你能帮他求出树高为多少米吗？A

将一个多边形放大为原来的倍.则放大后的图形可」

5.3一匚.....）D

作出_____个.其缘由B//////Z///C

是_______

6.两个位似图形中的对应角对应，线段.对应顶点，必需过经

过0

7.如图，△与△是位似图形，试问：

（1）与平行吗？请说明理由。

（2）假如343.5.试求△与△的相像比与的长。

五、课后作业

1、如图，渐渐将电线阡竖起，假如所用力F的方向始终竖直向上，则电线杆竖

起过程中所用力的大小将（）

A.变大Bo变小Co不变Do无法推断

2、小华做小孔成像试验（，如图所示），已知蜡烛与成像板之间的距离为15,则

蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛的地方时，蜡烛焰是像力£的一半。

3、如图，铁道口的栏杆短臂长1米，长臂长16米，当短臂的端点下降0。5米

时，长臂端点应上升.

4、有点光源S在平面镜上方，若在P点初看到点光源的反射光线，并测得10,

201,且24,试求点光源S到平面镜的距离即的长度。

5、冬至时是一年中太阳相对于地球位置最低的时刻，只要此时能采到阳光，一

年四季就均能受到，阳光照耀。此时竖一根a米长的竹杆，其影长为b米，某单

位安排想建m米高的南北两憧宿舍楼（如图所示）。试问两幢楼相距多少米时，

后楼的采光一年四季不受影响（用表示）

6.如图，以点0为位似中心，将△放大得到△.若，则△与△的面积之比为

（）

A.1：2B.1：4C.1：5D.1：6

在平面直角坐标系中，△的三个顶点坐标分别为A（2,-4）,B（3,-2）,C

（6,-3）.

（1）画出△关于x轴对称的△ABC；

（2）以M点为位似中心，在网格中画出八八出。的位似图形△A#/”使△ARC?

与△ABG的相像比为2：1.

第五讲投影与视图

一、学问点荟萃

（一）中心投影有关概念

1.投影现象：物体在光线的照耀下，会在地面或其他平面上留下它的影子，

这就是投影现象，影子所在的平面称为投影面。

2.手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形

成的投影称为中心投影

3.作一物体中心投影的方法：过投影中心与物体顶端作直线，直线与投影面

的交点与物体的底端之间的线段即为物体的影子。

（二）视点、视线和盲区

观测点的位置称为视点，由视点发出的观测线称为视线，视线不能穿过障

碍物，若视线遇到障碍物，则会有观测不到的地方，就称为盲区。

（三）平行投影与应用

1.平行投影的定义

太阳光线可以看成是平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影当平

行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影2.平行投影的应用:

（1）等高的物体垂直地面放置时，太阳光下的影长相等。（2）等长的物

体平行于地面放置时，太阳下的影长相等。

3.作物体的平行投影：由于平行投影的光线是平行的，而物体的顶端与影子

的顶端确定的直线就是光线，故依据另一物体的顶端可作出其影子。

（四）视图

1.常见几何体的三视图

2.三视图的排列规则：俯视图放在主视图的下面\长度与主视图的长度一样；左

视图放在主视图的右面，高度与主视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，

可简记为“长对正；高平齐；宽相等”。

留意：在画物体的三视图时，对看得见的轮廓线用实线画出，而对看不见的

轮廓线要用虚线画出。在三种视图中，主视图反映的是物体的长和高、俯视图反

映的是物体的长和宽、左视图反映的是物体的宽和高.因此，在画二视图时,对

应部分的长耍相等。

二、典例精讲

例1：路灯下站着小赵、小明、小刚三人，小明和小刚的影长如下图，确定图中

路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子.

例2：如图所示，现有m、n两堵墙，两个同学分别站在A和B处，请问在哪个

区域内活动才不会被两个同学发觉（用阴影表示该区域）

例3：如图，小华（线段）在视察某建筑物

（1）请你依据小华在阳关下的影长（），画出此时建筑物在阳光下的影子。

（2）已知小华身高1.65m,在同一时刻，测得小华和建筑物的影长分别为1.2m

和8m,求建筑物的高，

例4：小明在公园游玩，想利用太阳光下的影子测量一颗大树的高，他发觉大树

的影子恰好落在假山坡面和地面上，如图所示，经测量4rn,10m,与地面成30

度的角，此时量得1m标杆的影长为2m,请你帮助小明求出大树的高度？

例5：如图是几个相同的小正方体组成的一个几何体，请画出它的三视图。

例6:画出下列物体的三视图

例7:用小立方体搭一个几何体，使她的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方

形中的字母表示在该位置小立方体的个数，请解答下列问题：

（1）a、b、c各表示多少？

（2）这个几何体最少由几个小立方体组成，最多又是多少个？（3）1,2时，

画出这个几何体的左视图.

三、中考链接

（2014.长沙21）.如图，小美利用所学的数学学问测量旗杆的高度.

（1）请你依据小美在阳光下的投影，画出此时旗杆在阳光下的投影；

（2）已知小美的身高为1.54机,在同一时刻测得小美和旗杆的投影长分别为0.77m

和6根，求旗杆的高.公〜

四、课堂练习7

1、如图，请画出直立在地面上的两根木杆在路灯

厂下的影

子.

2.如图aB

777〃〃〃〃〃〃〉〃〃〃〃〃〃，〃

/口||/4-3是王芳同学某一天

视察.到的一棵树在不同

时刻的影子，请你把它们按时间先后依次进行排列，并说明理由.

3、已知，和是直立在地面上的两根立柱5m,某一时刻在阳光下的投影3m.

（1）请你在图中画出此时在阳光下的投影；

（2）在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6nb请你计算的长.

4、画出下列各物体的主视图、左视图和俯视，图：°

5、一位同学想利用有关学问测旗杆的高度，他隼某一时刻测得高为J5ml勺小

木棒的影长为0.3m,但当他立刻测量旗杆的影电，因旗杆靠近一卜建筑物，

影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他也雁瞄墙上的鬃卜1.0m,

又测地面部分的影长3.Orn,你能依据上述数据帮他测出旗杆的高度吗？

五、课后作业

1.将一包卷筒卫生纸按如图所示的方式摆放在桌面上，它的俯视图是（）

2.如图是由4个相同的正方体组成的儿何体，则这个几何体的俯视图是（）

3.如图是一个几何体的实物图，则其主视图是（）

4.小刚和小明在太阳光下行走，小刚身高1.5m，他的影长为2.0小，小刚比小

明矮9，此刻小明的影长是

5、一个几何体的三视图如图所示，请你画出这个几何体，并求出它的表面积和

体积.（乃取3.14）.

6雨过天晴，小.李连忙跑到室外呼吸簇新空气，广场有一处积水，若小李距积水

2次，他正好从水面上看到距他约1（）m的前方一棵树顶端的影子（如图，积水水

面大小忽视不计）.已知小李身高1.6加，请你估计一下树高应是多少米？（积水

与树和人都在同始终线上）

第六讲反比例函数

一、学问点荟萃

1.定义：一般地，形如（k为常数，ANO）的函数称为反比例函数。还可

x

以写成旷二履7,xy=k（k为常数，k手。

2.反比例函数的图像是双曲线，y=-（k为常数，々工0）中自变量x/0,函

数值所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延长部分渐渐靠近坐

标轴，但是恒久不与坐标轴相交。

3.反比例函数的图像即是中心对称图形（对称中心是原点），也是轴对称图形（对

称轴是或）o

4、反比例函数的性质

反比例

函数

①x的取值范围是X。0,①x的取值范围是xw0,

性质

v的取值范围是ywo；y的取值范围是ywO；

②当k>0时，函数图像的两个分②当k<0时，函数图像的两个分支

支分别分别

在第一、三象限。在每个象限内，在其次、四象限。在每个象限内，

y随x的增大而减小。y随x的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定

确定与谎是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y=&中，只有一个待定

x

系数，因此只须要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而

确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

如下图，过反比例函数），=&伙工0）图像上任一点P作x轴、y轴的垂线，，则所

x

得的矩形的面积•例.,=|町|O

二、典例精讲

例1在函数），=—!—中，自变量x的取值范围是（）o

x-2

A、xWOB、x22C、xW2D、xW2

例2.反比例函数），=-9图象上一个点的坐标是。

x

例3.依据物理学家波义耳年的探讨结果：在温度不变的状况下，气球内

气体的压强0（）与它的体积M箱的乘积是一个常数h即=«（4为常数，4>0）,

下列图象能正确反映「与。之间函数关系的是（）。

例4、己知反比例函警，」（ZV'的图像上卡两点A（XJP弘），B（£，为），且

?

M<£，贝1J>i-%\o~~v0v

ADC

A、正数B、负数C、非正数D、不能确定

例5、反比例函数），=&（A>0）在第一象限内的图象如图1所示，〃为该图象上

x

任一点，，X轴，设△的面积为S,则S与4之间的关系是（

A.S=-B.S=-C.D.S>k

42

例6.设P是函数〃在第一象限的图像上随意一点，点P关于原点的对称点

x

为P',过P作平行于y轴，过P'作P'A平行于x轴，与P'A交于A点，则APAP

的面积（）

A.等于2B,等于4c.等于8D.随P点的变更而变更

例7.已知三点《（"乂），2区，％）,4（1，-2）都在反比例函）,J数的图

x

象上，若不%>0,则下列式子正确的是（）

A.yv)’2<°B<2c.x>%>°D.)I>°>为

7

例8.如图，A、B是反比例函数y=上的图象上的两点。、都垂直于x轴，垂足

x

分别为C、Do的延长线交x轴于点E。若C、D的坐标分别为（1,0）、（4,0）,

则△的面积与△的面积的比值是（）

_L_L1J_

A.2B.4C.8D.16

相交于点G且N的余弦值为士，求这个二次函数的解析式.

5

三、中考链接

如图，一次函数），=依+力的图象与反比例函数）='的图象相交于A、B两点

x

（1）依据图象，分别写出A、B的坐标；

（2）求出两函数解析式；

（3）依据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数

值

四、课堂练习

1、若反比例函数），=（2〃z-l）廿七的图像在其次、四象限，则〃7的值是（)

A、一1或1B、小于，的随意实数C、-1D、不能确定

2

L

2、正比例函数y=kr和反比例函数），=*在同一坐标系内的图象为（）

x

BCD

3、在函数&（k<0）的屋像上有A（1J、B（-1,）、C（—23）三个点，则下列各式中

x

正确的是（）

（A）y）<y2<y3（B）y,<y3<y2（0y3<y2<y1（D）y2<y/y,

4、在同始终角坐标平面内，假如直线），=匕龙与双曲线），=&没有交点，则匕和

x

心的关系肯定是（）

A、kx<0,k2>0B、々>0,k2<0C^勺、A?同号D、k、、女?异号

5、若点（X）,y,）>（x2,y2）是反比例函数），=-'的图象上的点，并且修〈制<，

x

则下列各式中正确的是（）

A、y><y2B、y（>y2C、y1=y2D、不能确定

2

6^对于函数），二一,当x〉2时，y的取值范围是<y<；当xW2时且工工0时，y

x

的取值范围是y1,或y0（提示：利用图像解答）

7、如图，△的顶点A是双曲线），=K与直线y=—x—（z+i）在其次象限的交点，

x

2

J_x轴于B且

为1,则攵的值是;

2、已知>-2与x成反比例，当天=3时，y=l,则y与x间的函数关系式

为;

3、在体积为20的圆柱体中，底面积S关于高h的函数关系式是；

4、如图，已知点A(4,m),B(-1,n)在反比例函数)，=§的图象上，直线

x

与X轴交于点C,iy

(1)求n值//

(2)假如点D在x轴上，且=,求点D的坐标._]VX/

5、如图正方形的面积为4,点。为坐标原点，点B在函匹命亦J

图象上，点PO是函数)=§(k<0<0)的图象上异于B的随晚点，过点P分

别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、Ho

(1)设长方形的面积为S”推断$与点P的位置是否有关(不必说理由)

(2)从长方形的面积中减去其与正方形重合的面积，剩余的面积为S2,写出，

与m的函数关系，并标明m的取值范围。

7、如图，已知反比例函数y二%的图象经过点A(1,-3),一次函数y=+b

x

的图象经过点A与点C(0,-4),且与反比例函数的图象相交于另一点B.

试确定这两个函数的表达式；

第七讲锐角三角函数

一、学问点荟萃

1、勾股定理：直角三角形两直角边。、〃的平方和等于斜边。的平方。

0<cosA<122

AZA的邻边bsin/4+cosA=1

余弦cosA=---c-os-A-=-—

斜边（ZA为锐角）

tan71>0

xNA的对边

正切tanA=----人一tanA=—

NA的邻边b（NA为锐角）

3、随意锐力的正弦值等于它的余角的余弦值；随意锐角的余弦值等于它的余角的

正弦值。

4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值（重要）

三角函数0°30°45。60°90°

_1_V2V3

sina01

222

V2\_

cosa1正0

222

0

tana01V3小存在

3

5、正弦、余弦的增减性:

当0°WaW900时，a随a的增大而增大，a随a的增大而减小。

7、正切的增减性：当0。<a<90°时，a随a的增大而增大

二、典例精讲

例1在△中N=90°,=1,=2,则下列结论正确的是（）

A.A=2B.A=-C.=且D.B=6

222

例2在△中，ZC=90°,=g，则力等于；

例3（15•哈尔滨）在△中，Z9O0,4,5,则的值是；

例4（2014内江）如图4所示，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为

例5（2014宁波），△,Z90°6,则的长为；

例6（2015贵州铜仁）如图，定义：在直角三角形中，锐角。的邻边与对边的比

叫做角。的余切，记作a,即。造噤粤=型，依据上述角的余切定义，解

角a的对边BC

下列问题：（1）30三；

（2）如图，已知：，其中NA为锐角，试求的值.

例7把△三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A

a

的正弦函数值（）A.不变B.缩小为原来的二C.扩大为原来的3倍D.不

3

能确定

例8（2012湖南）视察下列等式

①30。=160°二/45。二支45°二返@60。二在30°二亚

222222

依据上述规律，计算22（90°-a）=—.

例9为了测量被池塘隔开的4月两点之间的距离，依据实际状况，作出如下

图形，其中EF工BE,交于〃，。在上.有四位同学分别测量出以下

四组数据：①，Z；②，N,N；③,，；④，一能依据所测数据，求出出B

间距离的有哪组

例10（2012江苏泰州18）如图,在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、

C、D都在这些小正方形的顶点上，、相交于点P,则N的值是.

例11.（2011江苏苏州）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，若2,5,

3,则等于.

例12（2011山东日照）在△中，Z90°,把NA的邻边与对边的比叫做NA1勺余

切，记作则下列关系式中不成立的是（）

a

A.•1B.・

C.・D.221

例13如图所示，在数轴上点力所表示的数x的范围是（)

A

----11-1-------

0-----1-----92------1

A、-s/7?30o<x<sin60°B、cos300<x<-cos45°

22

C、-tan30°<x<tan45°D、-cot45°<x<cot30°

22

三、中考链接

（2014•贵港）如图所示，在△中，Z9O0,是边上

的中线，4,2石，则/的值是,

四、课堂练习

1.245°的值等于（）

D.2

2.在△中，若NC=90°,=6,=8,则的值为［)

3.如图，在塔前的平地上选择一点C,测出看塔顶的仰角为

30°,从C点向塔底B走100米到达D点，测出看塔顶的仰

角为45°,则塔的高为（）

A.50米B.100米米米

4.把一块含45°角的直角三角板放在如图所示的直角坐标系中，己知动点P在

斜边上运动，点A的坐标为（0,）,当线段最短时,点P的坐标为（)

A.(0,0)B.(,)C.(,)D.(,)

5.已知/B是锐角，若=,则的值为.

6.如图，一块四边形土地，其中，Z=120°,1,_L,

=50m,则这块土地的面积为L

7.计算：a%。。-260°-45°.

8.如图，在△中，ZA=30°,ZB=45°,=,求的长.

9.甲、乙两条轮船同时从港口A动身，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏

东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向航行，1小时

后，甲船接到吩咐要与乙船会合，于是甲船变更了航行的速度，沿着东南方向航

行，结果在小岛C处与乙船相遇.假设乙船的速度和航向保持不变，求:

（1）港口A与小岛C之间的距离;

⑵甲轮船后来的速度.

五、课后作业

1.如图，△中，/=90°,_1_于D,设N=Q,

下列结论错误的是（）

B

D

A.=B.=Q

C.=aD.=a

2.在△中，若一|+（一）2=0,则NC的度数为（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

3.如图，已知正方形的边长为2,假如将线段围着点B旋转后，点D落在的延

长线上的D'处，则N'等于（）

人।/口

4.已知，在△中，ZC=90°,3a=b,则=,/B=.------长----cl

5.（莆田中考）已知，在△中，ZC=90°,=,则的值为.

6.如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，pFT'

地毯的长度至少需米（精确到0.1米）.IX2m

7.（彼j州中考）2016年2月1F1,我国在西昌中.星放射7总，

中心，用长征三号丙运载火箭胜利将第5颗新一弋北斗星送入预定轨道，如图,

火箭从地面L处放射;当火箭达到A点时，从位于地面R（

处雷达站测得的距离是6,仰角为42.4°；1秒后火箭到彳\

达B点，此时测得仰角为45.5°.

⑴求放射台与雷达站之间的距离：J

⑵求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到产"

0.01）.

（参考数据：42.4。-0.67,42.4°^0.74,42.4°g0.905,45.5°凫0.71,45.5°

^0.70,45.5°^1.02）

8.通过学习三角函数.我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长

的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在

等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做

顶角的正对（）.如图1,在△中，=，顶角A的正对记作，这时==.简单知道

一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.依据上述角的正对定义，

解下列问题：

（1）60°=；

（2）