《计算方法》课件第5章

第5章曲线拟合5.1引言5.2内积及函数线性无关5.3最小二乘法曲线拟合 5.1引言

科学研究和工程实践中，经常需要根据观察或测量得到的一组离散数据序列(xi，yi)(i=0，1，…，n)，寻找自变量x与因变量y的函数关系y=P(x)。上一章所述的插值方法是一种解决该问题的途径，插值方法基于插值多项式在节点处的函数值等于给定的函数值而给出了自变量x与因变量y之间的关系式P(x)。然而，实际中得到的函数值yi是测量值，带有误差，不准确，而插值函数保留了这些误差，必然会影响函数逼近的精度，从而不能很好地反映所测数据集的总体趋势。为此，采用另外一种方法来构造函数关系式y=P(x)，即基于所得到的数据序列，不要求有P(xi)=yi(i=0,1,…,n)，而是要使得误差δi=P(xi)－yi(i=0，1，…，n)在某一准则下尽可能地小，δi也称为残差。这在几何上表现为构造一条曲线，使得所得到的数据集分布在这条曲线的最近处，这种构造近似函数的方法称为曲线拟合，P(x)称为拟合函数。

曲线拟合常用的准则有三个：(2)(3) 5.2内积及函数线性无关

1.内积的概念及性质

内积具有如下性质：

(1)满足交换律，即(f，g)=(g，f);

(2)对任意的实数a，有(af，g)=(f，ag)=a(f，g);

(3)(f+h，g)=(f，g)+(h，g);

(4)若f(x)≠0，则(f，f)>0。则称是线性相关的，否则称为线性无关。 5.3最小二乘法曲线拟合设(xi，yi)(i=0，1，…，n)为给定的一组数据，并设曲线拟合函数为y=S(x)，而S(x)来自函数类Φ={φ0(x)，φ1(x)，…，φm(x)}，即(5.1)其中φ0(x)，φ1(x)，…，φm(x)是线性无关的，称为Φ的基函数。最小二乘法曲线拟合要求所有点的误差平方和最小，即使得(5.2)此时必有这样求解的问题等价于求a0，a1，…，am,使得即最小。若令则最小二乘法曲线拟合问题转变成求解函数ψ(a0，a1，…，am)最小极值点的问题。由多元函数求极值的条件：可得(5.4)式(5.4)可整理为(5.5)进一步可得即(5.6)其中k=0，1，…，m。(5.7)引入记号f=(y0，y1，…，ym)，则根据内积的定义，结合式(5.6)有…所以方程组(5.7)可用内积方便地表示为(5.8)式(5.8)被称为法方程组，其写成矩阵的形式为(5.9)式(5.9)为线性方程组，且其系数矩阵为对称阵。由于φ

0(x)，φ1(x)，…，φm(x)是线性无关的，所以法方程组的系数矩阵非奇异，方程组有唯一解,设该解为a*0，a1*，…，a*m,将其代入式(5.1)后得到拟合函数为综上所述，最小二乘法曲线拟合的步骤如下：

(1)列出已知的数据对(xi，yi)(i=0，1，…，n)；

(2)给出基函数；

(3)列法方程组；

(4)计算内积，解法方程组；

(5)得到曲线拟合函数。

式(5.1)中的φ0(x)，φ1(x)，…，φm(x)是函数类Φ的基函数，而基函数的获取通常是根据实践经验或实验获得的。对于简单的情况，常使用多项式作为拟合函数，即S(x)=Pn(x)，Pn(x)为n次多项式，此时函数类Φ的基函数为而基函数之间的内积为

例5－1考察某种纤维的强度(记为y)与其拉伸倍数(记为x)的关系，实际测定的24个纤维样品的强度与相应拉伸倍数见表5.1，应用最小二乘法求取y与x的关系式y=f(x)。表5.1某种纤维样品的强度与其拉伸倍数

解以拉伸倍数为x轴，强度为y轴，将所测量的24组数据(24个点)画在坐标系中，如图5.1所示。图5.1纤维强度与拉伸倍数数据示意图

由图5.1可知,纤维强度随拉伸倍数的增加而增加，且24个点大致分布在一条直线附近，因此可以认为强度y与拉伸倍数x的关系为线性关系，故设拟合函数为

y=f(x)=a0+a1x

即基函数为建立法方程组：根据内积的定义可算得则法方程组为解此法方程组可得所以拟合函数为

例5－2已知一组实验数据如表5.2所示，设基函数分别为φ0(x)=lnx，φ1(x)=cosx，φ