控制工程基础 第5章学习课件

一、稳定性的概念1．定义若作用在控制系统上的扰动消失后，经过足够长的时间，系统能恢复到原来的平衡状态，则系统稳定。否则，系统不稳定。如果系统在扰动作用下的初始偏差不论多大都能稳定，则称该系统为大范围内稳定系统。P155图5-1a3．小范围内稳定只有在初始偏差小于一定值时才能稳定的系统称为小范围内稳定系统。P156图5-2大范围内稳定的系统，小范围内也一定稳定;2．大范围内稳定5.1

稳定性的基本概念G1(s)Xi(s)X0(s)G2(s)N(s)+++-设有图示控制系统，N(s)为干扰信号输出信号受干扰信号的影响为：如干扰信号消失后：H(s)其解为：由稳定性定义知：则必须有:

i<0，

j<0

5.2

系统稳定的充要条件即：1．响应表述稳定的充要条件为：由此可知，要判断系统的稳定性，可以通过求出响应并取极限而进行。但这种方式太麻烦，是否有更简单的方法呢?2．特征根表述稳定性的充要条件是：特征方程的根是负实数或具有负实部。A(t)其实就是微分方程的通解，如果当t

，

x0(

)=B(t),实际上必须有A(t)=0，此时系统稳定。也就是说稳定与特征方程的根有很大的关系，可分四种情况讨论：从微分方程的学习中已知，线性定常系统的响应由两部分组成5.2

系统稳定的充要条件

1）有互不相等的实根:2）有k个实数重根：3）有共轭复根，此时复根项为：从以上情况可以看出，除了第四种情况外，要使t

时，A(t)=0，则根必须是具有负实部。

5.2

系统稳定的充要条件4）有零根：

稳定性的充要条件是：传递函数的极点必须在复平面的左半部分。证问题：系统的闭环特征方程：解高阶微分方程求根和高阶特征方程的极点困难，能否不解高阶方程可以知道根的分布情况？3．传递函数的极点表述5.2

系统稳定的充要条件劳斯稳定性判据

Routh

稳定判据不求根，只用闭环特征多项式的系数，通过简单运算就可判断极点的位置，从而判断系统稳定性。要求：1、了解Routh稳定判据的解题方法的思路；2、掌握并熟练应用劳斯稳定判据判断系统稳定；3、掌握各种特殊情况下劳斯稳定判据的使用。5.3代数稳定性判据1．稳定性的必要条件设系统特征方程为：（1）5.3代数稳定性判据

由（1）式可得：（2）5.3代数稳定性判据由（2）知,要使特征根s1，s2，

，sn均具有负实根必须满足以下两个条件：必要条件：1）特征方程的各项系数都不为零（无缺项）2）特征方程的各项系数ai的符号都相同，一般ai

取正号注：稳定的系统一定满足必要条件，但仅满足必要条件的系统不一定稳定。5.3代数稳定性判据2．稳定性的充要条件设系统特征方程为：（3）假设已满足必要条件，又满足（充分条件）：劳斯阵列中第一列全为正，无正实部根，系统稳定。（劳斯阵列中第一列若有负，有正实部根，系统不稳定，且正负是改变的，次数即为方程的正实部根的个数。）则满足了稳定性的充分必要条件5.3代数稳定性判据劳斯阵列的总行数为n+1分母都是第一列的元素，如第三行第二列3.闭环特征方程：1）闭环特征方程如果ai不是全部同号或系数有等于零的项（缺项），则系统不稳定；否则，继续进入第二步；劳斯阵列表:2）建立劳斯阵列表3）判别劳斯阵列表第一列系数第一列元素全部同号且不为零时系统稳定；否则，系统不稳定。5.3代数稳定性判据例1：已知特征方程为：1）闭环系数全部大于零，系统稳定与否继续第二步；2）建立劳斯阵列表因为第一列中，各元素不同号，故系统不稳定。又：由于第一列的元素变号两次，应有两个极点在s平面的右半面。用劳斯判据判别系统的稳定性。s5124s4133s3-110s243s17/40s03

5.3代数稳定性判据

s41175s38160s2155s113.30s05例2：用劳斯判据判别特征方程为：的系统的稳定性。解：1）闭环系数全部大于零，系统稳定与否继续第二步；2）建立劳斯阵列表由于劳斯阵列第一列为正，说明方程无正实部根，则系统稳定。5.3代数稳定性判据3．特殊情况l)若某行的第一列为零，则用一个很小的正数

来代替零。2)若某一行全为零，则用该行的上一行元素组成一多项式，并由其导数组成劳斯阵列中的元素继续计算，再判定稳定性。例：用劳斯判据判别特征方程为的系统的稳定性。b1=0，用一个很小的正数

代替零解：构成劳斯阵列判断:因为第一列系数不全为正，系统不稳定，且第一列元素符号改变两次，有两个带正实部的根。

s4111s3330s20

1s1-(3-3

)/

0s055.3代数稳定性判据然后由此系数构成s3的元素,由于第一列全为正，则系统稳定。s5132s4132s300s5132s4132s3460s21.52s12/30s02例：设系统特征方程为：解：构成劳斯阵列由于s3一行全为零，则用该行的上一行s4的元素构成多项式：判断:5.3代数稳定性判据

s31

+

-1s2

+1

-1s1

(

+

)/(

+1)0s0

-14.分析系统参数对稳定性的影响，以选取合理的参数例1：设系统特征方程为：确定能使系统稳定的

、

取值范围。由劳斯判据。要使系统稳定，必有：解：构成劳斯阵列则当

>0、

>1时系统稳定。5.3代数稳定性判据

例2：己知某单位反馈系统的开环传递函数为：求使系统满足稳定裕量

＝1时，k的取值范围。

解；1)稳定裕量是指系统的特征根s的负实部为-的左边2)闭环传递函数：特征方程：因为稳定裕量

=1，则所有s的负实部均＜-l，而无裕量要求时（

=0），劳斯判据是s实部＜0，因此将s平移-1，再用劳斯判据即可，则有：5.3代数稳定性判据整理后有：劳斯阵列：要使系统稳定，则有：5.3代数稳定性判据赫尔维茨稳定性判据

霍尔维茨判据也是根据系统特征方程的系数来判定系统的稳定，它比劳斯判据(1884年)晚11年。其方法是用特征方程的系数构成一主行列式，然后须计算后进行判断。

要求：1、了解赫尔维茨稳定判据的解题方法的思路；2、会应用赫尔维茨稳定判据判断系统稳定性；5.3代数稳定性判据1.赫尔维茨行列式：将特征方程

排成下列行列式：5.3代数稳定性判据

2．霍尔维茨判据：系统稳定的充分必要条件：a0＞0，以及主行列式和其对角线上的各子行列式都大于零。即：a0＞0；

1=a1＞0；3．霍尔维茨判据特点：1)对角线上的元素从an-1开始依次递减；2)对于有行对角线向左的元素是依次递增；3)下标大于n或小于0的，元素取为零。4)一般用在n<65.3代数稳定性判据例：设系统特征方程为：则霍尔维茨行列式为：稳定的条件是：以上介绍的两种方法均是用特征方程的系数来判断，由于它们的判别式均为代数式，所以又称为代数判据。这两种方法的缺点是对系统中各参数对系统的影响不易分析。5.3代数稳定性判据

k1k2s(Ts+1)k3sR(s)Y(s)

结构性不稳定系统例：如图所示系统的传递函数为:特征方程：（特征方程有缺项）劳斯阵列:通过调整系统参数无法使其稳定的系统称为结构性不稳定系统。由此可知，无论如何调整参数T，k1，k2、k3都不能使系统稳定。5.3代数稳定性判据

为使系统稳定，必须改变系统结构，改变后如图所示:

k1k2s(Ts+1)k3sR(s)Y(s)

H此时特征方程为：劳斯阵列:

欲使第一列全为正,可通过选择合适的参数达到，这样可实现系统稳定。5.3代数稳定性判据对于上述结构不稳定的系统也可通过在前向通道中串联一比例加微分(P+D)来解决结构不稳定的问题。因此,要使不稳定结构变稳定，则必须修改系统结构。

k1

k2k3s2(Ts+1)R(s)Y(s)

此时特征方程为（特征方程不缺项）5.4

乃奎斯特稳定性判据一、米哈伊洛夫定理（幅角原理）（证明）1.定理：设n

次多项式D(s)有p

个根位于复平面的右半平面，q

个根在原点上，其余n-

p-

q个根位于左半平面，则当以s

=jω

代入D(s)并令ω

从

0

∞时，D(jω)的角增量为：2．推论：n

次多项式D(s)的所有根均在s左半平面时，以s

=jω代入，令ω从0

∞时，D(jω)的角增量为：（此时，p=0，q=0）5.4乃奎斯特稳定性判据二、Nyquist稳定性判据5.4乃奎斯特稳定性判据

G(s)R(s)Y(s)

1.辅助函数F(s)的作用设系统如图所示

H(s)其中开环传递函数设为：则：（2）（1）5.4乃奎斯特稳定性判据（3）

以其特征方程构成一函数F(s)已知（1）、（2）中：从上面三式我们可以看出:1）F(s)分母与Gk(s)分母相同，则F(s)的极点即为Gk(s)的极点。2）F(s)的分子与闭环传递函数GB(s)的分母相同，则F(s)的零点即为GB(s)的极点。因此F(s)的分母为开环特征方程，分子为闭环特征方程。这样我们可有下面的关系图：零点GB(s)F(s)Gk(s)零点极点零点极点极点5.4乃奎斯特稳定性判据F(jω)=1+Gk(jω)=1+

G(jω)

H(jω)与Gk(jω)=G(jω)

H(jω)图形的比较-1,j0G(jω)ImRe1+G(jω)ImRe5.4乃奎斯特稳定性判据-1,j0F(jω)=1+Gk(jω)角增量分析ImRe5.4乃奎斯特稳定性判据ω1ω2同理F(jω)=1+Gk(jω)角增量分析5.4乃奎斯特稳定性判据ImRe-1,j0

而闭环稳定的条件：二、Nyquist稳定性判据2．幅角增量判断法：根据米哈伊洛夫定理，有：则：（1）1）若系统开环稳定(即Gk(jω)无根在s右半平面)5.4乃奎斯特稳定性判据二、Nyquist稳定性判据2．幅角增量判断法：2）若开环不稳定，有p

个根在s

右半平面，q

个根在原点上。根据米哈伊洛夫定理，有：而闭环系统稳定的条件还是：则：（2）5.4乃奎斯特稳定性判据3.乃氏图形判断法：1)若系统开环稳定，则闭环系统稳定的充要条件是：Gk(jω)的Nyquist图当ω从0变到+∞时不包围(-1，j0)点。2）若开环不稳定，特征方程有p个正根，则闭环系统稳定的充要条件是：Gk(jω)的Nyquist图当ω从0变到+∞必须包围(-1，j0)点，并且绕该点朝逆时针方向转p/2圈。5.4乃奎斯特稳定性判据k-1,j0ImReNyquist判据应用举例例1T1、T2、K>0解：1．用乃氏图形判断法判断：已知开环稳定，由图可知，Gk(jω)不包围（-1,j

0）点，又Gk(jω)的极点在右平面为零，即P=0，所以系统无论T1、T2、K为何值，该闭环系统均稳定且绝对稳定。5.4乃奎斯特稳定性判据k-1,j0ImReNyquist判据应用举例2．用幅角增量判断法判断：又：满足闭环稳定的条件，系统稳定。即：5.4乃奎斯特稳定性判据例1解：已知开环稳定，则有：

k-1,j0ImRe例2：

它的图形取决于K和T1、T2、T3的大小，它有可能包含（-1,j0）点(曲线b，不稳定），也可能不包含（-1,j0）点(曲线a，稳定)，如图所示。由此可知，对于0型系统，只有开环传递函数分母的阶次在三阶以上时，才有可能使闭环系统不稳定。ω=0Ak(ω)=K

k(ω)=0ω=时，Ak(ω)=0，

k(ω)=-2701．用乃氏图形判断法判断：ab5.4乃奎斯特稳定性判据

k-1,j0ImRe2．用幅角增量判断法判断：已知开环稳定，则有：a稳定b不稳定ab5.4乃奎斯特稳定性判据例2：ω=0Ak(ω)=K

k(ω)=0ω=时，Ak(ω)=0，

k(ω)=-270K>1K<1

Re例3：解：该例与惯性环节有相似的地方，其Nyquist图为位于左下平面的半圆-1,j0Im属开环不稳定当K>1时，ω从0

曲线包围（-1,j0）点1/2圈，则系统稳定；当K<1时，ω从0

曲线包围（-1,j0）点0圈，则系统不稳定。1．用乃氏图形判断法判断：-K5.4乃奎斯特稳定性判据K>1K<1Re例3：-1,j0Im2．用幅角增量判断法判断：已知开环不稳定，p=1，则有：当K>1时，当K<1时，-K5.4乃奎斯特稳定性判据三、虚轴上有开环极点时的乃奎斯特稳定性判据虚轴上有开环极点时，s平面上做封闭曲线时通过了极点，映射到F(s)平面后曲线不会封闭，因此，应作修正：虚轴上有开环极点时，s平面上做一个小半圆绕过原点这个小半圆影射为无穷大的半圆因为s=1/jω，从0-00+变化，它的模|G(jω)|=

sa从0

-00+变化，对应G(jω)|从+90的处转到0再转到-905.4乃奎斯特稳定性判据R

+

ω=0ω=0+ω

Re-1,j0Im例1：ω=0+时，Ak(ω)=

，

k(ω)=-90ω

时，Ak(ω)=0，

k(ω)=-270

I型系统，有零根，作辅助线，ω由0变到0+部分用虚线表示。把零根看作具有负实部的根，因为该系统开环在s右半平面无极点P=0，开环稳定，起点k=-90，是否稳定由各参数确定。

5.4乃奎斯特稳定性判据例2：开环传递函数为：试确定保证系统稳定的K的取值范围。解：当开环频率特性的乃氏图通过复平面的（-1,j

0）点时，则闭环系统将处于临界稳定状态。设通过（-1,j

0）点时频率为ω0，则系统稳定的临界条件为：

5.4乃奎斯特稳定性判据R

+

ω=0ω=0+ω

Re-1,j0Im由（2）得：代入（1）式得：故保证系统稳定的k的取值范围为：以为例解：临界点k的取值为：故保证系统稳定的k的取值范围为：5.4乃奎斯特稳定性判据（1）（2）T<τT=τω=0+时，Ak(ω)=

，

k(ω)=-180ω

时，Ak(ω)=0，

k(ω)=-180

k(ω)=-180-arctgT1ω+arctgT2ωR

+

ω=0ω=0+ω

Re-1,j0ImT>τ例3：T<

时，

k(ω)<-180，闭环稳定T=

时，

k(ω)=-180，经过（-1,j0）点，临界稳定T>

时，

k(ω)>-180，闭环不稳定，(ω)起点从-180

开始。通过以上对I型II型的例子可以看出，对系统串入一阶微分环节（导前环节）可改善系统的稳定性，只要选择足够大的时间常数T，便可使系统稳定。增益K小可改善系统的稳定性。5.4乃奎斯特稳定性判据

ks(s+1)Xi(s)

X0(s)τ4=1.5τ3=1τ2=0.5τ1=0稳定条件：当k=1时,τ<1.15Re-1,j0Im1．前向通道串联延时环节其Nyquist曲线如图所示，从图中可以看出：当

=

1=0，无延时系统总是稳定的，当=

2较小时，系统稳定，当=

4较大时，系统不稳定。由此可知，串联延时环节后，对系统的稳定性不利，因此在设计系统时，应尽量避免串联延时，若非要串联延时也应使

尽可能小，否则为了使系统稳定就必须减小增益k。5.5应用乃氏判据分析延时系统的稳定性

G1(s)Xi(s)

X0(s)2．前向通道并联延时环节

两种情况的特征方程式分别为：1+G1(s)=0和

前者判断系统是否稳定是看G1(s)的Nyquist图是否包围（-1，j0），后者判断系统是否稳定是看G1(s)是否包围[-1/（1-e-

s），j0]。具体应用可参照P175例5-15。闭环传递函数：特性方程为：则：5.5应用乃氏判据分析延时系统的稳定性-180

不稳定ReImReImr1/kg1/kgL(ω)

(ω)ω-r-20lgkgL(ω)

(ω)ωωω+20lgkg+rrωgωgωcωcωgωgωcωc几个基本概念a．对数幅频横坐标为Nyquist图上的单位图；b．对数相频横坐标相当于极坐标的负实轴c．幅值穿越频率ωc极坐标中与单位圆的交点，对数幅频中与横轴的交点的频率d．相位穿越频率ωg极坐标图中与负实轴的交点，对数相频图中与横轴的交点时的频率ωge．相频图中由上向下为负穿越，由下向上穿越为正穿越。f．半次负穿越，半次为正穿越。

P181稳定5.6由伯德图判断系统的稳定性Bode稳定性判据5.6由伯德图判断系统的稳定性1）若开环稳定，则闭环系统稳定的充要条件是：在所有L(ω)

0的频率范围内（0～ωc），相频对数图上

(ω)在-180°轴线正穿越和负穿越之差为0。2）若开环不稳定（开环特征方程有p个正根），则闭环系统稳定的充要条件是：a.对于0型或I型系统，在所有L(ω)0的频率范围内(0～ωc），相频对数图上

(ω)在-180°轴线正穿越和负穿越之差为p/2次。b.对于II型系统，在所有L(ω)0的频率范围内（0～ωc）,相频对数图上

(ω)在-180°轴线正穿越和负穿越之差为（p+1）/2次。5.6由伯德图判断系统的稳定性L(ω)

(ω)ωL(ω)

(ω)ωωωp=0p=1+--

-/2ωC-

-/2-3/45.6由伯德图判断系统的稳定性L(ω)

(ω)ωL(ω)

(ω)ωωp=2p=2+--0-0-+-+对数判据的优点：1.Bode图易作，且可通过渐近线粗略估计稳定性。2.很容易判别各环节对系统稳定性的影响，有利于对参数进行合理选择或校正。3.调整增益K时，只需将对数幅频特性曲线上、下平移即可，因此，很容易得到满足系统稳定要求的增益值K。5.7由伯德图判断系统的稳定性系统的相对稳定性系统的相对稳定性是考虑系统稳定性的储备高低程度，在此用两个定量指标来表示，相位裕量和幅值裕量。1．相位裕量

在ω=ωc

(频率等于幅值穿越频率)时，开环相频特性与-180

线的相位差值

称为相位裕量。稳定系统

必在-180°以上，称为正相位裕量；不稳定系统

必在-180°以下，称为负相位裕量即：

=180+

(ωc)5.7控制系统的相对稳定性2.幅值裕量Kg在ω=ωg（频率等于相位穿越频率）时，开环幅频率特性的倒数称为幅值裕量，即：

Kg=1/|G(jωg)|=1/A(ωg)在伯德图上以分贝表示：5.7由伯德图判断系统的稳定性注意：1.对于0分贝以下记为正，0分贝线以上记为负。2.对于闭环系统来说，若稳定，则

和Kg(db)均为正，从工程实践中得出，为使这样的系统具有满意的稳定性储备，一般取希望值：

=30～60°；20lgKg>6db即Kg>2。3.对于相对稳定系统来说，必须同时考虑相位裕量

和幅值裕量Kg，即在实际中两者都要有一定的储备，如P184例5-20，相位裕量很大，而幅值裕量很小，也不行。5.7由伯德图判断系统的稳定性5.7由伯德图判断系统的稳定性例：求当k=10和k=100时的幅值裕量和相位裕量(db)解: