人教版平行四边形单元 期末复习提高题检测

人教版平行四边形单元期末复习提高题检测

一、选择题

1.如图，在菱形ABC。中，点R为边A3的中点，。尸与对角线AC交于点G,过点G

作GE1A。于点E,若48=2,且N1=N2,则下列结论不正确的是（）

A.DF±ABB.CG=2GAC.CG=DF+GED.S四边形所0c=6一1

2.如图，菱形ABC。中，ZBAD=60°,AC与8。交于点。，E为CD延长线上的一点，且

CD=DE,连结BE分别交AC,A。于点F、G,连结。G,则下列结论：①。G=^AB；②与

2

△EGD全等的三角形共有5个；@S^KODGF>S^ABF;④由点A、B、。、E构成的四边形是菱

形.其中正确的是（）

3.在菱形ABC。中，NADC=60°,点E为4B边的中点，点尸与点A关于OE对称,

连接。P、BP、CP,下列结论：①DP=CD；（2）AP2+BP2=CD2：

③NOCP=75°；（4）ZCPA=150°,其中正确的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

4.如图，NM0N=90。边长为2的等边三角形ABC的顶点48分别在边0M,ON上

当6在边。N上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程

中，点C到点。的最大距离为（）

A.2.4B.75c.V3+1D.-

5.如图，菱形ABC。中，过顶点C作CE_L3C交对角线8。于E点，已知

ZA=134°,则NBE3的大小为（）

A.23°B,28°C.62°D.67°

6.如图，四边形ABC。为平行四边形，N。为锐角，乙弘。的平分线AE交CO于点

F,交BC的延长线于点E,且AF=尸E.若AB=25,ABC。面积为300,则AF

的长度为（）

A.30B.15C.40D.20

7.如图，NMON=90°,矩形ABC。在NMON的内部，顶点A,5分别在射线

OM,ON上，A3=4,BC=2,则点。到点0的最大距离是（）

A.2a-2B.20+2C.2x/5-2D.72+2

8.如图，ABCD的对角线交于点0,。七平分/AOC交BC于点

E,NBCD=60。，A£>=2A仇连接OE.下列结论：®SyABCD=AB-BD②。3平分

NAOE；@AB=DE；@SyCDE=SVBOC,其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.在菱形A8CD中，M,N,P,Q分别为边48,BC,CD,DA上的一点（不与端点重合），

对于任意的菱形ABCD,下面四个结论中：

①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无

数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形

正确的结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.如图，在oABCD中，AD=2AB,F是AD的中点，作CE_LAB,垂足E在线段AB上，连

接EF、CF,则下列结论：（1）NDCF=gNBCD；（2）EF=CF；（3）SABEC=2SACEF:（4）

二、填空题

11.如图，正方形ABC。的边长为4,点E为C。边上的一个动点，以CE为边向外作正

方形ECFG,连结BG,点〃为8G中点，连结E“，则E”的最小值为

12.如图，在矩形ABCO中，AB=4,AD=2,E为边CO的中点，点P在线段AB

上运动，尸是CP的中点，则ACEF的周长的最小值是.

13.如图，在等边ABC和等边OEF中，尸。在直线AC上，BC=3OE=3,连接

BD,BE,则BD+BE的最小值是

A

DE

B---------------------、C

14.菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点8（2石，0）,ZDOB=

60°,点P是对角线。C上一个动点，E（0,-1）,则EP十8P的最小值为

15.如图，在平行四边形A8CD,AD=2AB,F是AD的中点，作CEJLAB,垂足E在线段AB

上，连接EF、CF,则下列结论：①NBCD=2/DCF；②EF=CF；③SACDF=SACEF;®ZDFE=

3ZAEF,一定成立的是.（把所有正确结论的序号都填在横线上）

16.在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段

AB的中点.点D、E分别在X轴、y轴的负半轴上运动，且DE=AB=10.以DE为边在第

三象限内作正方形DGFE,则线段MG长度的最大值为.

17.如图，矩形ABC。的面积为36,BE平分NABD,交AD于E,沿8E将A48E折

叠，点A的对应点刚好落在矩形两条对角线的交点F处.则AABE的面积为.

18.如图，菱形0ABe的两个顶点坐标为0（0,0）,8（4,4）,若将菱形绕点。以每秒

45。的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点。的坐标为.

19.如图，有一张长方形纸片ABC。，AB=4,AD=3.先将长方形纸片ABC。折

叠，使边AO落在边上，点。落在点E处，折痕为AF；再将A4E尸沿EF翻折，

AF与BC相交于点G,则FG的长为.

20.如图，在平行四边形ABC。中，AB=5,AD=3,4班。的平分线AE交CD于点

E,连接BE,若NB4D=NB£r,则平行四边形A6CO的面积为.

三、解答题

21.在等边三角形ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不与B,C重合），以AD为边

在AD的上方作菱形ADEF,且NDAF=60°,连接CF.

（1）（观察猜想）如图（1）,当点D在线段CB上时，

®ZBCF="；

②BC,CD,CF之间数量关系为.

（2）（数学思考）：如图（2）,当点D在线段CB的延长线上时，（1）中两个结论是否

仍然成立？请说明理由.

（3）（拓展应用）：如图（3）,当点D在线段BC的延长线上时，若AB=6,

CD=；BC,请直接写出CF的长及菱形ADEF的面积.

图(2)图(3)

图(1)

22.如图1,在正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM、AN分别交BD于点

P、Q,连接CQ、MQ.且CQ=MQ.

(1)求证：/QAB=NQMC

(2)求证：/AQM=90°

(3)如图2,连接MN,当8M=2,CN=3,求AMN的面积

图1图2

23.在矩形ABC。中，连结AC,点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着BfA

的路径运动，运动时间为f(秒).以8E为边在矩形ABC。的内部作正方形BE/7G.

(1)如图，当ABC。为正方形且点”在A4BC的内部，连结AH,C”，求证:

AH=CH：

(2)经过点E且把矩形ABC。面积平分的直线有条；

(3)当AB=9,8C=12时，若直线A”将矩形ABCO的面积分成1：3两部分，求f的

值.

24.已知正方形ABC。,点尸是射线。。上一动点(不与C,。重合).连接A尸并延长交直

线BC于点E,交于",连接C".在EF上取一点G,使NECG=ND4H.

①求证：CHLCG.

②求证：GFC是等腰三角形.

(2)取。尸中点M,连接MG.若MG=3,正方形边长为4,则BE=.

25.感知：如图①，在正方形ABC。中，E是A3一点，F是A。延长线上一点，且

DF=BE,求证：CE=CF；

拓展：在图①中，若G在AO,且NGCE=45°,则GE=BE+G。成立吗？为什么？

运用：如图②在四边形ABC。中，AD//BC(BOAD),ZA=ZB=90°,

AB=BC=\6,E是A8上一点，且/。CE=45。，BE=4,求OE的长.

图①图②

26.如图，在四边形A8CD中，AD=BC,AD//BC,连接AC,点P、E分别在A8、CD

上，连接PE,PE与AC交于点、F,连接PC,ND=NBAC,ADAE=ZAEP.

(1)判断四边形P8CE的形状，并说明理由；

(2)求证：CP=AE；

(3)当P为AB的中点时，四边形APCE是什么特殊四边形？请说明理由.

27.如图，在矩形ABCD中，AB=16,BC=18,点E在边AB上，点F是边BC上不与点

B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在点W处.

(I)若AE=O时，且点&恰好落在AD边上，请直接写出DB，的长；

(II)若AE=3时，且△CDB，是以DB,为腰的等腰三角形，试求DB'的长：

(川)若AE=8时，且点B，落在矩形内部(不含边长)，试直接写出DB，的取值范围.

28.已知：如图，在A3C中，直线PQ垂直平分AC,与边AB交于点E,连接CE,

过点C作交P。于点尸，连接AF.

⑴求证：四边形AEC尸是菱形；

(2)若AC=8,AE=5,则求菱形AECb的面积.

29.如图，在平行四边形ABCD中，AD=30,CD=10,F是BC的中点，P以每秒1个单位长

度的速度从A向D运动，到D点后停止运动；Q沿着Af路径以每秒3个

单位长度的速度运动，到D点后停止运动.已知动点P,Q同时出发，当其中一点停止

后，另一点也停止运动.设运动时间为t秒，问：

(1)经过几秒，以A,Q,F,P为顶点的四边形是平行四边形

(2)经过几秒，以A,Q,F,P为顶点的四边形的面积是平行四边形ABCD面积的一

半？

B13C

D

30.在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE,以BE为边，在

BE的下方作正方形BEFG,并连接AG.

(1)如图1,当点E与点D重合时，AG=

(2)如图2,当点E在线段CD上时，DE=2,求AG的长；

(3)若AG=8叵，请直接写出此时DE的长.

2

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.D

解析：D

【分析】

A、由四边形ABCD是菱形，得出对角线平分对角，求得NGAD=N2,得出AG=GD,

AE=ED,由SAS证得aAFG丝AAEG,得出/AFG=/AEG=90°,即可得出A正确；

B、由DF_LAB,F为边AB的中点，证得AD=BD,证出4ABD为等边三角形，得出

ZBAC=Z1=Z2=3O°,由AC=2AB-cosN5AC,AG=----------，求出AC,

cosABAC

AG,即可得出B正确；

C、由勾股定理求出£)/7=—Al?，由GE=tan/2•ED求出GE,即可得出C正确;

D、四边形BFGC的面积=Z\ABC的面积-Z\AGF的面积，可以发现D不对.

【详解】

解：•.•四边形A8CO是菱形，

/.ZFAG=ZEAG,Zl=ZGAD,AB=AD^

Z1=Z2,

/.ZGAD=Z2,

AG=GD.

GE1AD,

.•.GE垂直平分AD.

AE-ED.

点F为AB的中点，

：.AF^AE.

易证AAFG三AAEG(SAS).

：.ZAFG=ZAFG=90°.

DFJLAB故A正确.

。尸_LAB,点F为A3的中点,

AF=-AB=\,AD=BD.

2

AD=BD=AB,

：.AB。为等边三角形.

NBAD=/BCD=60°.

/.ABAC=N1=N2=30°.

：.AC=2ABcosZBAC=2x2x—=2y(3'

2

AF12百

cosABACV33-

T

.rrACAC146

33

:.CG=2GA,故B正确.

GE垂直平分AD,

：.ED=-AD=],

2

DF=VAD2-AF2=5/3>

h

GE=tanZ2-£D=lxtan30°=—.

3

.•.O尸+GE=G+@=迪=CG.故C正确.

33

ZBAC=Nl=30°,.•.AABC的边AC上的高等于AB的一半，即为1,

“1”后

FG=—AG=—,

23

=SMBC~SACF=X273X1-X1X,故D不正确.

Z230

【点睛】

本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、线段垂直平分

线的性质、含30。角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度.

2.A

解析：A

【分析】

由AAS证明4ABG丝ZXDEG,得出AG=DG,证出0G是4ACD的中位线，得出

OG=-CD=-AB,①正确；先证明四边形ABDE是平行四边形，证出aABD、4BCD是等边

22

三角形，得出AB=BD=AD,因此OD=AG,得出四边形ABDE是菱形，④正确；由菱形的性

质得得出4ABG咨Z\BDG咨Z\DEG,由SAS证明4ABG丝△口□,得出

△ABO^ABCO^ACDO^AAOD^AABG^ABDG^ADEG,得出②不正确；证出OG是

△ABD的中位线，得出OG〃AB,OG=-AB,得出△GODS/\ABD,AABF^AOGF,由相

2

似三角形的性质和面积关系得出SpWKODG尸SgBF；③不正确；即可得出结果.

【详解】

•.•四边形A8CD是菱形，

."8=BC=CD=CW,AB//CD,0A=OC,。8=。。，AC1BD,

：./BAG=NEDG,^ABO^/\BCO^/\CDO^/\AOD,

'：CD=DE,

：.AB=DE,

在AA8G和ADEG中，

"/BAG=ZEDG

<ZAGB=ZDGE,

AB=DE

.♦.△ABG丝△DEG(AAS),

：.AG=DG,

：.OG^^ACD的中位线，

11

..0G=-CD=-AB

22f

•••①正确；

'：AB//CE,A8=DE,

四边形ABDE是平行四边形，

：/8CD=/BAD=60",

.,.△AB。、△BCD是等边三角形，

：.AB=BD=AD,ZODC=60°,

：.OD=AG,四边形ABDE是菱形，

④正确；

：.AD±BE,

由菱形的性质得：AA8G丝△BOG也△DEG,

在^ABG和△DC。中，

OD=AG

<ZODC=ZBAG=60°,

AB=DC

.♦.△ABG注△DC。CSAS),

/\ABO^/\BCO^/\CDO^^AOD^/\ABG^/\BDG^/\DEG,

②不正确；

'：OB=OD,AG=DG,

，OG是08。的中位线，

1

AOG//AB,OG=—AB,

2

:.△GODS^ABD,AABFS^OGF,

...△GOD的面积=,M8D的面积，△A8F的面积=4OGF的面积的4倍，AF-.

OF=2：1,

4

...△AFG的面积=AOGF的面积的2倍，

XVAGOD的面积=AAOG的面积=ABOG的面积，

；.SniMiODGF-S^ABFi

③不正确；

正确的是①④.

故选A.

【点睛】

本题考查菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质,熟练掌握性

质，能通过性质推理出图中线段、角之间的关系是解题关键.

3.C

解析：C

【分析】

如图，设DE交AP于0,根据菱形的性质、翻折不变性-判断即可解决问题；

【详解】

解：如图，设DE交AP于O.

•.•四边形ABCD是菱形

；.DA=DC=AB

：A.P关于DE对称，

ADE1AP,OA=OP

，DA=DP

，DP=CD,故①正确

VAE=EB,AO=OP

AOEZ/PB,

APBIPA

ZAPB=90°

2222

.1.PA+PB=AB=CD，故②正确

若NDCP=75°,则NCDP=30。

VLADC=60°

；.DP平分/ADC,显然不符合题意，故③错误；

VZADC=60°,DA=DP=DC

.,.ZDAP=ZDPA,ZDCP=ZDPC,ZCPA=(360°-60°)=150°,故④正确.

故选：C

【点睛】

本题考查菱形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，

属于中考常考题型.

4.C

解析：C

【解析】

【分析】

如图，取AB的中点D.连接CD.根据三角形的边角关系得到OC小于等于OD+DC,只

有当0、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD,由等边三角形的边长为2,

根据D为AB中点，得到BD为1,根据三线合一得到CD垂直于AB,在直角三角形BCD

中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的

长，进而求出DC+OD,即为OC的最大值.

【详解】

「△ABC是等边三角形，且边长是2,；.BC=AB=2,

:点D是AB边中点，

1

.•.BD=-AB=1,

2

CD=JBC?-BU=百―1=6,即CD=6；

连接OD,OC,有OCWOD+DC,

当0、D、C共线时，0C有最大值，最大值是OD+CD,

由(1)得，CD=5

又•.•△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，

1

.•.OD=-AB=1,

2

.\OD+CD=1+V3.即0C的最大值为1+73.

故选：C.

【点睛】

此题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定

理，其中找出0C最大时的长为CD+OD是解本题的关键.

5.D

解析：D

【分析】

先说明ABD=NADC=/CBD,然后再利用三角形内角和180°求出即可/CBD度数，最后再

用直角三角形的内角和定理解答即可.

【详解】

解：•.•菱形ABCD

；.AB=AD

，NABD=NADC

AZABD=ZCBD

1:NA=134。

ZCBD=ZBDC=ZABD=ZADB=；(180o-134o)=23°

ZBEC=90°-23°=67°

故答案为D.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内

角和定理.

6.B

解析：B

【分析】

由题意先根据ASA证明4ADF会4ECF,推出S.=Si=300,再证明BE=AB=25,根

据等腰三角形三线合一的性质得出BFLAE.设AF=x,BF=y,由NABF<NBAF可得x<y,

进而根据勾股定理以及4ABE的面积为300列出方程组并解出即可.

【详解】

解：•••四边形ABCD为平行四边形，

.*.AD//BCB|JAD//BE,AB//CD,

.\ZDAF=ZE.

在4ADF与4ECF中,

NDAF=NE

<AF=EF

NAFD=NEFC

.".△ADF^AECF(ASA),

S&ADF~SgCF，

S.E=SABCD-300.

VAE平分NBAD,

AZBAE=ZDAF,

VZDAF=ZE,

.".ZBAE=ZE,

；.BE=AB=25,

VAF=FE,

ABFXAE.

设AF=x,BF=y,

「ND为锐角，

AZDAB=180°-ND是钝角,

ZD<ZDAB,

—ZABC<—ZDAB,

22

NABFC/BAF,

.♦.AFVBF,x<y.

x2+y2=252

A=15A=20

则有'1，解得:或（舍去），

2xy=300y=2(Ty=15

.2

即AF=15.

故选：B.

【点睛】

本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质和勾股定理

等知识.由题意证明出S.=S加8=300以及BF1AE是解题的关键.

7.B

解析：B

【分析】

取DC的中点E,连接OE、DE、OD,根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当0、

E、D三点共线时，点D到点0的距离最大，再根据勾股定理求出DE的长，根据直角三角

形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解.

【详解】

取A8中点E,连接。E、DE、OD,

NMON=90°,

OE^-AB=2.

2

在RtADAE中，利用勾股定理可得。E=2夜.

在AOOE中，根据三角形三边关系可知。E+0E>0。，

，当。、E、。三点共线时，0D最大为OE+DE=20+2.

故选8.

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形

的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点0、E、D三点共线时，点D到点。

的距离最大是解题的关键.

8.D

解析：D

【分析】

求得NADB=90°,即AD_LBD,即可得至IjSoABCD=AD・BD；依据NCDE=60°,NBDE=

30°,可得NCDB=ZBDE,进而得出DB平分NCDE；依据RtABCD中，斜边上的中线DE=

斜边BC的一半，即可得至l」AD=BC=2DE,进而得到AB=DE；依据OE是中位线，即可得

到OEMCD,因为两平行线间的距离相等，进而得到SACDE-SAOCD,再根据0C是4BCD的

中线，BJWSABOC=SACOD,即可得到SACDE=SABOC.

【详解】

ZBCD=60°,四边形ABCD是平行四边形，

ZADC=1800-ZBCD=120\BC//AD,BC=AD,

•••DE平分NADC,

ZCDE=NCED=60°=NBCD,

…CDE是等边三角形，

/.CE=CD=AD=BC,

E是BC的中点，

DE=BE,

ZBDE=ZCED=30°,

ZCDB=90°,即CDJLBD,

二S°ABCD=CD・BD=AB・BD,故①正确；

ZCDE=60",ZBDE=30",

ZADB=30°=NBDE,

DB平分NCDE,故②正确；

•ACDE是等边三角形，

.DE=CD=AB,故③正确；

,。是BD的中点，E是BC的中点,

.0E是^CBD的中位线，

-OEIICD,SAOCD=SACDE,

-0C是4BCD的中线，

■SABOC=SACOD,

SACDE=SABOC,故④正确，

故选D.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线、平行线间的距

离相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用

相关性质与定理是解题的关键.

9.D

解析：D

【分析】

根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结

论.

【详解】

①如图，连接AC,BD交于0,

四边形ABCD是菱形，过点。直线MP和QN,分别交AB,BC,CD,AD于M,N,P,Q,

则四边形MNPQ是平行四边形，

故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确;

②如图，

当PM=QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确;

③如图，

当PMJ_QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确;

④如图，

当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故至少存在一个四边形MNPQ是正

方形；故④正确；

综上，①②③④4个均正确，

故选：D.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定，熟记各

定理是解题的关键.

10.B

解析：B

【分析】

利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出

△AEF^ADMF（ASA）,利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案.

【详解】

（1）「F是AD的中点，

；.AF=FD,

•.•在。ABCD中，AD=2AB,

.".AF=FD=CD,

AZDFC=ZDCF,

：AD〃BC,

AZDFC=ZFCB,

/DCF=/BCF,

ZDCF=—ZBCD,故正确；

2

（2）延长EF,交CD延长线于M,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

，AB〃CD,

NA=/MDF,

；F为AD中点，

.\AF=FD,

在AAEF和△DFM中，

ZA=ZFDM

<AF=DF,

ZAFE=ZDFM

.♦.△AEF丝△DMF(ASA),

；.FE=MF,ZAEF=ZM,

VCE1AB,

ZAEC=90°,

AZAEC=ZECD=90°,

VFM=EF,

；.EF=CF,故正确；

(3)VEF=FM,

•"•SAEFC=SACFM,

VMC>BE,

•'•SABEC<2SAEFC

故SABEC=2SACEF错误；

(4)设NFEC=X,则NFCE=x,

AZDCF=ZDFC=90°-x,

AZEFC=180°-2x,

.,.ZEFD=90°-x+180°-2x=270°-3x,

VZAEF=90°-x,

，/DFE=3/AEF,故正确，

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键

是得出4AEF名aDME.

二、填空题

11.72

【分析】

过B点作HE的平行线交AC于。点，延长EG交AB于I点，得到B0=2HE,其中0点在线

段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出B0的长即可求解.

【详解】

解：过B点作HE的平行线交AC于。点，延长EG交AB于I点，如下图所示：

VH是BG的中点，且BO与HE平行，

；.HE为△BOG的中位线，且BO=2HE,

故要使得HE最短，只需要B。最短即可，

当E点位于C点时，则。点与C点重合，

当E点位于D点时，则。点与A点重合，

故E点在CD上运动时，。点在AC上运动，

由点到直线的距离垂线段最短可知，当BOLAC时，此时B。最短，

:四边形ABCD是正方形，

△BOC为等腰直角三角形，且BC=4,、

•BO==—=2->/2

&V2,

：.HE==B0=6,

2

故答案为：^2•

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识

点，本题的关键是要学会将要求的HE线段长转移到线段B0上.

12.272+2

【分析】

由题意根据三角形的中位线的性质得到EF=^PD,得至ljCACEF=CE+CF+EF=CE+g(CP+PD)

22

—(CD+PC+PD)=—CACDP,当aCDP的周长最小时，Z\CEF的周长最小；即PC+PD的值

22

最小时，4CEF的周长最小；并作D关于AB的对称点D',连接CD，交AB于P,进而分

析即可得到结论.

【详解】

解：为CD中点，F为CP中点，

1

，EF=—PD,

2

/.CACEF=CE+CF+EF=CE+(CP+PD)=y(CD+PC+PD)=CACDP

二当4CDP的周长最小时，^CEF的周长最小；

即PC+PD的值最小时，ACEF的周长最小；

如图，作D关于AB的对称点T,连接CT,则PD=PT,

VAD=AT=BC=2,CD=4,ZCDT=90°,

•••CT=ylcif+DT2="+42=4V2，

VACDP的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC,

VPT+POCT,

/.PT+PC240,

APT+PC的最小值为4及，

/.△PDC的最小值为4+40,

•'«CACEF=—CACDP=2-72+2•

故答案为：20+2.

【点睛】

本题考查轴对称-最短距离问题以及三角形的周长的计算等知识，解题的关键是学会利用轴

对称解决最值问题.

13.后

【分析】

如图，延长CB到T,使得BT=DE,连接DT,作点B关于直线AC的对称点W,连接TW,

DW,过点W作WK1BC交BC的延长线于K.证明BE=DT,BD=DW,把问题转化为求

DT+DW的最小值.

【详解】

解：如图，延长CB到T,使得BT=DE,连接DT,作点B关于直线AC的对称点W,连接

TW,DW,过点W作WK_LBC交BC的延长线于K.

VAABC,ZXDEF都是等边三角形，BC=3DE=3,

；.BC=AB=3,DE=1,ZACB=ZEDF=60",

；.DE〃TC,

VDE=BT=1,

四边形DEBT是平行四边形,

.,.BE=DT,

；.BD+BE=BD+AD,

VB,W关于直线AC对称，

；.CB=CW=3,ZACW=ZACB=60°,DB=DW,

AZWCK=60°,

VWK1CK,

."•ZK=90°,ZCWK=30",

13

；.CK=—CW=-,

222

311

，TK=l+3+—=——

22

：A\N=yjTK2+WK2=

/.DB+BE=DB+DT=DW+DT>TW,

.,.BD+BE>737，

ABD+BE的最小值为而,

故答案为历.

【点睛】

本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质

等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

14.V19

【分析】

先根据菱形的性质可得0C垂直平分BD,从而可得再根据两点之间线段最短

可得EP+3P的最小值为DE,然后利用等边三角形的判定与性质求出点D的坐标，最后

利用两点之间的距离公式即可得.

【详解】

如图，连接BP、DP、EP、DE、BD,过点D作D4J.08于点A,

3(260),

.•.08=2百，

四边形ABCD是菱形，

，。。垂直平分8口，OB=OD=26

点P是对角线0C上的点，

:.DP=BP，

:.EP+BP=EP+DP,

由两点之间线段最短可知，EP+DP的最小值为DE,即EP+B尸的最小值为DE,

OB=OD,ZDOB=60°,

：.80。是等边三角形，

DALOB,

==GAD=\IOD2-OA2=7(2A/3)2-(V3)2=3>

7X6,3)，

又£(0,-1),

DE=J(万-0)2+(3+1)2=M，

即EP+BP的最小值为晒,

故答案为：V19•

【点睛】

本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据

两点之间线段最短得出EP+BP的最小值为DE是解题关键.

15.①②④

【分析】

①根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断；

②延长EF,交CD延长线于点M,首先根据平行四边形的性质证明，得

出FE=MF,ZAEF=ZM,进而得出NECD=ZAEC=90°,从而利用直角三角形斜

边中线的性质即可判断；

③由=得出SVEFC=SVCFM，从而可判断正误；

④设NFEC=X,利用三角形内角和定理分别表示出NDFE和/AEF,从而判断正误.

【详解】

①••,点F是AD的中点，

AF=FD.

:在平行四边形ABCD中,AD=2AB,

AD//BC,AF=FD=CD,

ZDFC=ZFCB,ZDFC=ZDCF,

NFCB=ZDCF,

.\ZBCD=2ZDCF,故①正确；

②延长EF,交CD延长线于点M,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

ABHCD,

:.ZA=ZMDF,

•点F是AD的中点，

AF=FD.

ZA=NFDM

在AEF和DFM中，<AF=。尸

ZAFE=ZDFM

:.^AEF=/\DFM(ASA)

:.FE=MF,ZAEF=ZM.

CELAB,

ZAEC=90°,

Z£C£>=ZAEC=90°,

;.CF=LEM=EF,故②正确；

2

③•：FE=MF,

S'EFC=S'CFM•

S/\CFM=S&CDF+S/^MDF

"1'S4CDF<^/\FFC，故③错误；

④设ZFEC=尤，则ZFCE=x,

:.ZDCF=ZDFC=90P-x,

:.ZEFC=\W-2x,

:.ZEFD=90P-x+\?CP-2x=210°-3x.

QZ4EF=90°-x,

:.ZDFE=3ZAEF,故④正确；

综上所述，正确的有①②④，

故答案为：①②④.

【点睛】

本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这

些性质和定理是解题的关键.

16.10+575

【分析】

取DE的中点N,连结。N、NG、OM.根据勾股定理可得NG=56.在点M与G之间总

有MGWMO+ON+NG（如图1）,M、。、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）.可得

线段MG的最大值.

【详解】

如图1,取DE的中点N,连结ON、NG,OM.

1

.\OM=-AB=5.

2

同理0N=5.

•.,正方形DGFE,N为DE中点,DE=10,

；•NCr=ylDN2+DG2=^llO2+52=5^5•

在点M与G之间总有MGWMO+ON+NG（如图1）,

如图2,由于NDNG的大小为定值，只要ND0N=’NDNG,且MN关于点0中心对称时,

2

M、0、N、G四点共线，此时等号成立,

线段MG取最大值10+575.

故答案为：10+56.

【点睛】

此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、。、N、G四点

共线，则线段MG长度的最大是解题关键.

17.6

【分析】

先证明△AEB"AFEB=△DEF,从而可知SAABE=HSADAB,即可求得△ABE的面积.

【详解】

解：由折叠的性质可知：4AEBM△FEB

ZEFB=ZEAB=90"

ABCD为矩形

DF=FB

EF垂直平分DB

ED=EB

在小DEF和ABEF中

DF=BFEF=EFED=EB

△DEFm△BEF

/.△AEB2△FEB合ADEF

^&AEB=S^FEB=S^OEF=S矩形A8co=0X36=6.

故答案为6.

【点睛】

本题主要考查的是折叠的性质、矩形的性质、线段垂直平分线的性质和判定、全等三角形

的判定和性质，证得4AEB之Z^FEB丝Z\DEF是解题的关键.

18.(-272-0)

【分析】

先计算得到点D的坐标，根据旋转的性质依次求出点D旋转后的点坐标，得到变化的规律

即可得到答案.

【详解】

•••菱形OABC的两个顶点坐标为0(0,0),8(4,4),

.••对角线的交点D的坐标是(2,2),

•••OD=正”=20，

将菱形绕点。以每秒45。的速度逆时针旋转,

旋转1次后坐标是(0,272),

旋转2次后坐标是(-2,2)，

旋转3次后坐标是(-272-0),

旋转4次后坐标是(-2,-2),

旋转5次后坐标是(0,-272)，

旋转6次后坐标是(2,-2),

旋转7次后坐标是(2万。)，

旋转8次后坐标是(2,2)

旋转9次后坐标是(0，26,

由此得到点D旋转后的坐标是8次一个循环，

•.•2019+8=2523,

.♦.第2019秒时，菱形两对角线交点。的坐标为(-272.0)

故答案为：(-272-0).

【点睛】

此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据

点D的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键.

19.72

【解析】

【分析】

根据折叠的性质可得/DAF=/BAF=45。，再由矩形性质可得FC=ED=1,然后由勾股定理求出

FG即可.

【详解】

由折叠的性质可知，ZDAF=ZBAF=45",

，AE=AD=3,EB=AB-AD=1,

•.•四边形EFCB为矩形，

；.FC=BE=1,

VAB/7FC,

AZGFC=ZDAF=45°,

.,.GC=FC=1,

FG=>]GC2+FC2

故答案为：近.

【点睛】

本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置

变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键.

20.i(x/2

【分析】

根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3,再根据N84O=N6£T证明

BC=BE,由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF,即可求出平行四边形的面积.

【详解】

过点8作8b_LCD于点尸，如图所示.

：AE是NfiM)的平分线，

，NDAE=ZBAE.

•.•四边形ABCD是平行四边形，

/.CD=AB=5,BC=AD=3,NBAD=/BCE,AB//CD,

：.ZBAE=ZDEA,

ZDAE=ZDEA,

DE=AD=3,

/.CE=CD-DE=2.

/BAD=/BEC,

ZBCE=ZBEC,

,BC=BE,

CF=EF=-CE=l,

2

•*-BF=VJ5C2-CF2=A/32-12=2V2•

平行四边形ABCD的面积为BFCD=272x5=10\/2.

故答案为：100.

【点睛】

此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性

质、三线合一的性质，勾股定理.

三、解答题

21.(1)①120。；②BC=CD+CF；(2)不成立，见解析；(3)8,26A/3

【分析】

(1)①根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出△ACFZ^ABD,根据全等三角形的

性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到CF=BD,再根据BD+CD=BC,即可得出

CF+CD=BC；

(2)依据4ABD丝Z\ACF,即可得到NACF+/BAC=180°,进而得到AB〃CF；依据

△ABDgZXACF可得BD=CF,依据CD-BD=BC,即可得出CD-CF=BC：

(3)依据△AOBMAAFC,即可得到CF=B3=BC+C£)=8,利用A4BC是等边三角

形，AHLBC,可得BH=HC=gBC=3,即可得出HD的长度，利用勾股定理即可

求出AD的长度，即可得出结论.

【详解】

解：(1)①在等边AABC中，AB=AC,/BAC=NACB=/ABC=60°

，/BAD+NDAC=60°

在菱形ADEF中

AD=AF

VZDAF=ZDAC+ZFAC=60°

AZCAF=ZDAB

又；AC=AB,AF=AD

AAACF^AABD

/ACF=/ABD=60°,CF=BD

，ZBCF=ZACB+ZACF=120°

故答案为：120°

②：BC=BD+CD,BD=CF

BD=CF+CD

故答案为：BC=CD+CF

(2)不成立

理由：•••AA8C是等边三角形

ABAC=NABC=ZACB=60.AB=AC

又•:ZDAF=60

：.ABAC-NBAF=NDAF-4BAF

：.NFAC=乙DAB

•・•四边形ADEF是菱形

，AD=AF

：./\ADB=ZXAFC

:.DB=FC,ZACF=ZABD=\80-60=120

ZBCF=ZACF-ZACB=nO_60=60

BC=CD-BD

BC=CD-CF

(3)CF=8,菱形ADEF的面积是26g

ZBAC=ZDAF=60

：.NBAD=ZCAF

又：AB=AC,AD=AF

：./XADB=/\AFC