数学第四章 三角函数、解三角形

第四章三角函数、解三角形

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数

［备考领航］

课程标准解读关联考点核心素养

1,了解任意角的概念和弧度制，能

1.象限角及终边相同的角.1.数学抽象.

进行弧度与角度的互化.

2.扇形的弧长及面积公式的应用.2.直观想象.

2.借助单位圆理解三角函数（正弦、

3.三角函数的定义及应用3.数学运算

余弦、正切）的定义

知识逐点:夯:实重点准逐点清结论要牢记谍前门修

［重点准♦逐点清］

重点一角的概念的推广

1.定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.

1按旋转方向不同分为正电、鱼角、零角;

2分举

•按终边位置不同分为象限角和轴线角.

3.终边相同的角：所有与角”终边相同的角，连同角〃在内，可构成一个集合5=加川

=a+A・360°,k£Z）.

［提醒］终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同.

［逐点清］

1.（必修4第5页绘与3（2）题改"）一870°的角的终边所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：选C-8700=-2X360°-150°,一870°和一150°的终边相同，所以一870°的终

边在第三象限.

2.（必修4第5页练习5⑵题改G）在0至U2n范围内，与角a=一竽终边相同的角

是.

解析：与角a=一号终边相同的角是2E+（一专）（A£Z）,令k=l,可得与角〃=一号

终边相同的角是胃.

答案后

重点二弧度制的定义和公式

1.定义：把长度等于坐径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示.

2.公式

角a的弧度数公式|a|=:(/衰示弧长)

①「一山②

角度与弧度的换算180m1rad-(7r)

弧长公式z=kk

扇形面积公式S=1/r=1|a|r

［提醒］有关角度与见度的两个注意点

(1)角度与弧度的换算的关键是江=180°,在同一个式子中，采用的度量必须一致，不可

混用；

(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

［逐点清］

3.(果错用)下列与空的终边相同的角的表达式中正确的是()

9

A.2"定+45c(左WZ)B.^360A+j7t(/lGZ)

C.A・360°-315°(A£Z)D.E+¥(A£Z)

解析：选C由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为号+2々江

或上360°-3I5°(A£Z).

4.(必修4第8页例3改编)一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为()

A.TB.?

63

C.TD.T

解析：选B因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两半径构成等边三角形，

所以弦所对圆心角为60。，即为三rad.

重点三任意角的三角函数

1.定义：设夕是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（X,y）,那么sina=上，cos

a=x,tana—;(x#0).

2.推广：设点P（x,刃是角a终边上任意一点且不与原点重合，r=|OP|,贝ljsin〃=：,

Xy

cosa=ptana=j(xHO).

［逐点清］

5.（兴传4第12页例2改编）已知角a的终边过点P（-4,3）,则2sina+tana的值是（

99

A.

~2020

C.-7D-5

34

解析：选B二,角a的终边经过点P(—4,3),；・r=|OP|=5.，sina=1,cosa=­7,tan

3

a=一不

2sina4-tana=2x]+(-?=9

府.故选B.

6.（必修4第13页例3改编）若角0同时满足sin〃V0且tan〃V0,则角0的终边一定

位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：选D由sinOVO,可知。的终边可能住于第三象限或第四象限,也可能与y轴

的非正半轴重合.由tan〃V0,可知〃的终边可能位于第二象限或第四象限，故。的终边

只能位于第四象限.

［记结论•提速度］

［记结论］

1.一个口诀：三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

第二象限角）,性〃VaV2E+多,A£Z}

象

眼第一象限角］［a2AJT+号Va<2Ajr+7T,*£Z|

角

的

第三象限角）卜|2A"7TVaV2E+要"刃

集

合

第四年限角〕卜性"婪VaV2A"27T”£Z：

3.轴线角

［提速度］

1.已知角a为第二象限角，点尸（tana,sina）在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：选B因为角”为第二象限角，所以tanavO,sina>0,则点P（tana,sina）在

第二象限.故选B.

2.终边在直线y=x上的角〃的取值集合是（）

A.{a［a=〃・360°+135°,〃£Z}

B.{a|a=〃・360°-45°,/iGZ}

C.{a|a=/rl80°+45°,«ez}

D.{a|a=〃・180°-45°,«ez}

解析：选C终边在x轴上的取值集合为{夕W=〃・180°,nGZ},把x轴绕原点按逆时

针旋转45°得到a,则a的取值集合为{a|a=〃・180°+45°,〃WZ}.

考点分:类茯皴理解透规律明变化究其本课堂讲练

1考点一|象限角及终边相同的角

［基础自学过关］

［题组练透］

1.设集合M={x'=与180。+45。，&wz},"=卜’=与180。+45。，Fz},那么

）

A.M=NB.MGV

C.N7MD.2Wn/V=0

解析：选B由于M中，工=4180°+45°=幺90°+45。=（2攵+1）・45°,2A+1是奇数；而

N中，x=]180°+45°=Q45°+45°=(A+l>45°,hH是整数，因此必有MGN.

2.（多选）已知角2a的终边在x轴的上方，那么角a可能是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

解析：选AC因为角2〃的终边在x轴的上方，所以4・360°〈2〃〈4・360。+18＜）°,A£乙

帅I有&•180°＜。＜如180°+90°,kGZ.

故当A=2〃，〃£Z时，〃・360°vav〃・360°+90°,〃£Z,a为第一象限角；

当A=2〃+l,时，/I-36O04-180°＜a＜/r360°+270°,〃WZ,“为第三象限角.故选

A、C.

3.在一720。〜0。范围内所有与45。终边相同的角为.

解析：所有与45°终边相同的角可表示为：

//=45°+AX360°（AGZ）,

则令一720。＜45。+AX360。＜00（&£Z）,

得一765°WAX360°v-45°（A£Z）,

解得一从而2或A=-1,

代入得。=一675°或少=一315°.

答案：一675。或一315°

4.终边在直线），=小x上，且在［-2加，2万）内的角a的集合为.

解析：如图，在坐标系中画出直线），=小/可以发现它与x轴的夹［尸、3工

角是会在［0,2n）内，终边在直线y=，5x上的角有两个：竽；在［―2江，

0）内满足条件的角有两个：一萼，一萼，故满足条件的角以构成的集合为

JO

5n_27rn4nl

{一予一予yTj-

杳茶：13,3,3,3J

［练后悟通］

1.象限角的2种判断方法

在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几

图象法

象限角

先将已知角化为际360。+以(0。W〃<360。,A£Z)的形式，即找出与已知角终边相

转化法

同的角处再由角〃终边所在的象限判断已知角是第几象限角

2.求《或〃伙〃£N")所在象限的步骤

(1)将〃的范围用不等式(含有A,且&WZ)表示；

(2)两边同除以〃或乘以〃；

(3)对k进行讨论，得到《或WN")所在的象限.

［提醒］注意“顺转减，逆转加”的应用，如角«的终边逆时针旋转180°可得角a+180°

的终边，类推可知〃+心180。仅£2)表示终边落在角〃的终边所在直线上的角.

1扇形的弧长及面积公式的应用

［师生共研过关］

［例1］已知扇形的圆心角是小半径是r,弧长为1.

⑴若“=100°,r=2,求扇形的面积；

(2)若扇形的周长为20,求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数.

［解］(1)因为a=100°=100X念=卷，

1Ouy

、,加、,，

“cL1,21X5X4=10?r

所以SA«=2/r=2«r=2y­•

(2)由题意知，Z+2r=20,即/=20-2「，

故S*«=|/T=|(20-2r)-r=-(r-5)24-25,

当/*=5时，S的最大值为25,此时/=10,则〃=，=2.

［解题技法］

有关弧长及扇形面积问题的注意点

(1)利用扇形的瓠长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是瓠度；

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得

到解决；

(3)在解决瓠长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

［跟踪训练］

1.(多选)(2021,青岛模拟)已知扇形的周长是6cm,面积是2cm2,下列选项正确的有

A.圆的半径为2B.圆的半径为1

C.圆心角的弧度数是1D.圆心角的弧度数是2

解析：选ABC设扇形半径为r,圆心角弧度数为处

2r+ar=6,

则由题意得h,解得r=2,

或

产=2,a=4a=l,

可得圆心角的弧度数是4或L

2.若扇形的圆心角a=120°,弦长A〃=12cm,则弧长/=(

解析：设扇形的半径为/*cm,如图.

由sin60°=,得r=4\/5cm,

所以/=|“卜「=空乂4小=驾^

n(cni).

答案：明

L^i!______________.三角函数的定义及应用

［定向精析突破］

考向1三角函数的定义

［例2］(1)已知角P的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一

点P(—4,a)t且sin/?・cos/?=乎，则。的值为()

A.4小B.±4/

C.一4小或一弧D.<3

(2)已知角a的终边在直线y=-x上，且cosaV0,则tana=.

［解析］(1)因为点P(—4,0)在角力的终边上且sin/cos夕=半，所以(工?工2=坐

L4L

解得〃=—或a=一川3.故选C.

(2)如图，由已知，角a的终边在第二象限，在其终边上任取一点P(x,7

j),则y=-x,由三角函数的定义得tana=3=—=一1.\L

O\x

［答案］(DC(2)-1

［解题技法］

利用三角函数定义解决问题的策略

(1)已知角a终边上一点尸的坐标，可求角。的三角函数值.先求。到原点的距离，再

用三角函数的定义求解；

(2)已知角a的某三角函数值，可求角a终边上一点尸的坐标中的参数值，可根据定义

中的两个量列方程求参数值；

(3)已知角«的终边所在的直线方程或角a的大小，根据三角函数的定义可求角a终边

上某特定点的坐标.

考向2三角函数值符号的判定

［例3］(2020•全国卷II)若〃为第四象限角，贝人)

A.cos2a>0B.cos2〃VO

C.sin20t>0D.sin2a<0

［解析］法一：因为a为第四象限角，所以2E—3VaV2E,kQZ,所以4E—7iV2a

<4knfAWZ,所以2a的终边在第三象限、第四象限或y轴的负半轴上，所以sin2«<0.

故选D.

法二：因为a为第四象限角，所以sinaVO,cosa>0,所以sin2a=2sinacosaV0.

故选D.

［答案］D

［解题技法］

三角函数值符号的判断方法

要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、

余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.如果角不能确定所在象限，那就要进行分

类讨论求解.

［跟踪训练］

1.下列各选项中正确的是(

A.sin300°>0B.cos(—305°)<0

C.tan「一马”>0

D.sin10<0

解析：选D300°=360°—60°,则300°是第四象限角，故sin300°<0;—3050=—360°

+55°,则一305°是第一象限角，故cos(—305°)>0;一^^=一8江+竽，则一警^是第二象限

角，故tan(一室)vo；3n<10<y,则10是第三象限角，故sin10<0,故选D.

3

2.已知角〃的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，且cos〃=-］,若点M(x,8)

是角〃终边上一点，则X等于()

A.-12B.-10

C.一8D.-6

解析：选D由任意角的三角函数的定义可得，

八

"=；x=/本x3

解得x=-6.

3.设〃是第三象限角，且卜。s与=-cos*贝岑是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

解析：选B由〃是第三象限角知，号为第二或第四象限角,

V|cos=—cosj,Acos^<0,

综上可知，§为第二象限角.

［课时过关检测］4

A级---基础达标

1.下列命题错误的是()

A.一个是第二象限角B.专是第三象限角

C.一400°是第四象限角D.一315°是第一象限角

解析：选A一普是第三象限角，故A错误.华=加+作,从而手是第三象限角，B正确.一

•。0

4000=—360°-40°,从而C正确.一315°=—360°+45',从而D正确.

2.已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为

()

A啦B正

A・4»•2

C.^2D.2^2

解析：选C设圆的半径为r,则该圆内接正方形的边长为啦r,即这段圆弧长为也,，

则该圆弧所对的圆心角的弧度数为与=啦.故选C.

3.已知点（ina，cos：。落在角〃的终边上，且〃£[0,2兀），则。的值为（）

A"D3"

A.T4B.-4r

C包D-

J4“4

解析：选D点《i亭，co*）,

即^厄），点尸落在角夕的终边上，且呵0,2江），所以。=竽

4.若角。与夕的终边关于x轴对称，则有（）

A.〃+片90°

B.a+/?=90°+A・360°,k®Z

C.“+4=2距180°,kRZ

D.”+4=180。+心360。，&GZ

解析：选C因为々与夕的终边关于x轴对称，所以/?=2〃・180°—%kGZ,所以〃+/?

=2A・180°,kQZ.

5.（多选）（2021•济宁模拟）关于角度，下列说法正确的是（）

A.时钟经过两个小时，时针转过的角度是60。

B.钝角大于锐角

C.三角形的内角必是第一或第二象限角

D.若a是第三象限角，贝吟是第二或第四象限角

解析：选BD对于A,时钟经过两个小时，时针转过的角是一60。，故错误；

对于B,钝角一定大于锐角，显然正确；

对于C,若三角形的内角为90°,则是终边在），轴正半轴上的角，故错误；

对于D,•・•角a的终边在第三象限，

••2kn^-n<.a<2kn-^^tAWZ,

/.Ar7r+?<T<^+^,k£Z.

当A=2〃，〃WZ时，2〃江+5V3V2〃兀+乎，〃WZ,得，是第二象限角；

当A=2〃+l,时，（2〃+1加+5〈3〈（2〃+1加+斗，〃WZ,得3是第四象限角，

故正确.

6.（多选）（2021・泰安模拟）已知“4人与，kGZ｝，则函数尸箫$+•一黑点

的值可能为（）

A.3B.-3

C.1D.—1

解析：选BCx,H与，AGZ,

sinx.pCOSXtanx_

当X在第一象限时：1411-li

L|sin]|cosx\Itanxn

_sinx.1COSX_tan±I4』.

当X在第二象限时：「，

>-|sinxr|cosx\Itanx1""I

sinx」1COSXtanx...一.

当X在第三象限时：।一1"11—3

?-|sinxr|cosx\u|tanx\

sinx.COSX

当X在第四象限时：-故选、

L|sinx|T|cosx\|tanx|1+1+1—1,BC.

7.若“=1560°,角。与a终边相同，且一360°V〃V360°,则。=.

解析：因为”=1560°=4X360°+120°,

所以与a终边相同的角为360°X斤+120°,kGZ,

令A=-l或A=0,可得〃=一240°或0=120°.

笞案：120°或一240。

8.已知扇形的圆心角为本面积为岸则扇形的弧长等于.

解析：设扇形半径为r,弧长为/,则£=*1^=3»解得"=去/=2・

答案送

9.已知扇形的圆心角为仇其弧长是半径的2倍，则篇j+黑鬻+黑?

pillU\CUoUIdllV

解析：由题意，得。=2,而4V2V明・•・〃是第二象限角，，sin〃>0,cos^<0,tan0

v。，•・•si闲n0+,J母cos^|+|看|tan0\=—

答案：一1

10.（2021•天津模拟）在平面直角坐标系xQy中，角a的顶点为坐标原点，始边与x轴

的非负半轴重合，终边交单位圆0于点P（a,b）f且a+T，则ab=,cos（2a+?

解析：由题知sina=b,cosa=a.Va+^=z,.,.sina+cos两边平方可得sii>2a+

n，

49492412

cos2a+2sinacosa=运，l+2sinacos〃=云，2sinacosa=^.sinacosa=ab=运,

.,.cos(2a+^j=—sin2a=-2sinacosa=_24

25,

答案：H-S

U.已知孤=一消最且电(cos。)有意义•

⑴试判断角a所在的象限；

(2)若角a的终边上一点，脸，且OM=1(0为坐标原点)，求加及sin〃的值.

解：⑴由点］=一/，得sin"。，

由lg(cosa)有意义，可知cos«>0,所以a是第四象限角.

(2)因为OM=1,所以解得m=±T.

又“为第四象限角，故加<0,

-4x,n4

从而机=_g,sma=,=5方=一亨

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，角〃的始边与x轴的非负半轴

重合且与单位圆相交于点A,它的终边与单位圆相交于r轴上方一点3,

始边不动，终边在运动.

(1)若点4的横坐标为一:，求tana的值；

(2)若△40B为等边三角形，写出与角a终边相同的角力的集合.

解：(1)设点8的纵坐标为％则由题意加+(一号』1,

且心0,所以m=1,故

根据三角函数的定义得tana

(2)若△AOA为等边三角形，则NHOB=Q,故与角«终边相同的角fi的集合为

“。=京+2mkWZ

B级——综合应用

13.（多选）（2021•淞坊质检）在平面直角坐标系X。），中，角G以Ox为始边，终边经过点

P（—1,〃[）（加>0）,则下列各式的值一定为负的是（

A.sina+cosaB.sina-cosa

sina

C.sinacosaD.tana

m

解析:选CD由已知得r=|0。|=/序+],则sina=>0,cosa

7，，/+i

的符号不确定，

tana=—m<0,Asina+cosasina-cosa>0,sinacosa<0,on**（L=cosa<0.

故选C、D.

14.《九章算术》是我国古代数学的代表作，其中《方田》章给出计

算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=；（弦X矢+矢2）,弧田由圆《/»

弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长3

与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为空，半径长为4的弧田，如图，按照上述公式计算

出弧田的面积为（）

A.4巾+2B.4^3

C.6D.6v5+2

解析：选由题意可得。.在中，易得

AJ4=J4RthAODZDAO

=T,OO=；OA=；X4=2,可得矢=4-2=2.由4D=40sin三=4X萼=2小，可得弦=2AD

=4小.所以弧田面积=；(弦X矢+矢2)=；x(45X2+2?)=45+2.

15.若角0的终边过点P(—4a,3a)(ar0).

⑴求sin9+cos0的值；

(2)试判断cos(sin〃)・sin(cos夕)的符号.

解：⑴因为角〃的终边过点P(-4a,3a)(aW0),

所以x=—4%j=3a,r=5|a|,

341

当a>0时，r=5afsinZ^+cos~=--

341

当时，〃〃=一三+三=三.

aVOr=-5a,sin+cosD33

(2)当a>0时，sin〃=走(0,5

cos?=—%(甘，0),

则cos(sin^)'sin(cos0)=cos/sin(一§V0；

3,0),cos〃=鼠

当aVO时，sin0=—=^

贝Ucos(sin〃)・sin(cosC)=cos7>0.

综上，当a>0时，cos（sin夕）・sin（cos夕）的符号为负；

当aVO时，cos（sin^）*sin（cos夕）的符号为正.

C级——迁移创新

16.在一块顶角为120。、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料中用电焊切割成扇形,

现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，试说明哪种方案最优.

ADBAB

方案一方案二

2

解：因为△/105是顶角为120°即为不、腰长为2的等腰三角形,

所以A=AM=RN=lrAD=2f

所以方案一中扇形的弧长=2X?=W；方案二中扇形的弧长=1X勺=勺；

o3J3

方案一中扇形的面积=；X2X2X%=g,方案二中扇形的面积=；X1XlX§=g.

由此可见：两种方案中利用废料割成的扇形面积相等.方案一中切割时间短.因此方

案一最优.

第二节同角三角函数基本关系式与诱导公式

［备考领航］

课程标准解读关联考点核心素养

1.理解同角三角函数的基本关系式：siMx+1.同角三角函数基本关系式

,.sinx的应用.

c°sx-Lcos「tanX.

1,数学运算.

2.诱导公式的应用.

2.借助单位圆及三角函数的定义推导出诱导2.逻辑推理

3.诱导公式与同角关系的

公式住±〃，7T±«的正弦、余弦、正切）

综合应用

【逐:点:夯:实

知识重点准逐点清结论要牢记课前自修

［重点准•逐点清］

重点一同角三角函数的基本关系

1.平方关系：sin2a-cos2a=1；

2.商数关系：tan吃.

LU。CA

［提醒］平方关系对任意角都成立，而商数关系中永〃eZ).

1.(必修4笫20页练习1题改编)已知sin”=W，9<〃4江，贝ljtana=()

3X

Icos0

2.(必修4第20天练习4题改编)若疝11〃(：05〃=5，贝八@11〃+而/=.

cos0sin0cos8______1______

解析：tan。+

sincos0+sincos伙iin0~

答案：2

重点二诱导公式

―*二三匹五

n

2An+a(AeZ)冗+a—ait-a2~a2+a

sina—sina一sinasinacosaCOS(L

cosa一cocacosa一cosasina-sina

tanatana-tana一tana

［提醒］诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“椁+a(A

£Z)”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，

则正、余弦互变；若A为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在，V+a(A£Z)”

中，将〃看成锐角时，“kg+a(A£Z)”的终边所在的象限.

［逐点清］

ms(号)=

3.(必修4第24页例1BJU*)sin24900=

解析：sin2490°=sin(7X360°—30°)=—sin30°=—g.cos(一=cos^j^=

8§（16兀+江+三

fg11

答案：一］~2

4.（易错题）已知,则tana=

解析：因为cose+a)=2sin(〃一习，所以一sina=-2cos%则tana=2.

答案：2

［记结论•提速度］

［记结论］

同角三角函数基本关系式的常用变形

(l)(sina±cosa)2=l±2sinacosa；

(sina4-cosa)24-(sina-cosa)2=2；

(sina+cosa)2-(sina-cos«)2=4sinacosa.

(2)sina=tanacos«^«¥冷+£江，A^z)；

.2_____sin2a_______tan2a

Smasin2a+cos2atan2«+r

2_____cos.a_________］

cos"sjn2£e_|_cos2atan2“+r

［提速度］

1.已知tana=-3,则cos?"—sin2"=()

44

-B--

5・5

j.xx>5M.，6,ecoCa-sin2以1-tan2a1-9

解析：选B由同角三角函数关系得cos2"-sin2”=嬴工=忑=中京=市

4

2.若。是△4BC的一个内角，且sinecosG=-：,则sin。一cos〃的值为（）

O

A.一手B.申

C.-当D.半

解析：选D•・•。是△/［〃。的一个内角，且sinOco$0=-：,

O

.'.sin〃>0,cos〃V0,

yi=坐，故选D

sin”—cos0=7(sin〃一cos2sin“cos1=.

考点理解透规律明变化究其本课堂讲练

!型_1___________________.同角三角函数基本关系式的应用

［定向精析突破］

考向1“知一求二”问题

［例1］已知a是第二象限角，且tana=—则sina+cosa的值为.

［解析］由tan“=一得sin〃=—geosa,将其代入siMa+cos2a=1,得学：0$2〃=1,

所以cos2a=4，由a为第二象限角，易知cosavO,所以cosa=一今俱，sin夕

®MCsin«-rcos«=-国5.

［答案1一手

考向2sin”，cosa的齐次式问题

［例©已知i,d〉n：ot3i=一1，求下列各式的值:

sina-3cosa

⑴sina+cosa;

(2)sin2a+sinacosa4-2.

［解］由已知得tana=1.

sina-3cosatana-35

⑴------------=-------=——.

sina4-cosatana+13，

sin2a+sinacosataira+tana

(2)sin2a+sinacosa+2=2

sin%+cos2a2-tana+l

考向3"sina土cosa,sinacosa”之间的关系的应用

［例3］已知x£(—7i,0),sinx+cosx=1.

⑴求sinx—cosx的值;

sinZx+Zsin2*

⑵求的值.

1-tanx

［解］⑴由sinx+cosx=w，

平方得sin2x+2sinxcosx+cos、=圭,

24

整理得2sinxcosx=一元.

,49

/.(sinx-cosx)2=1-2sin.rcos

由x£(—TT,0),知sinxvO,

又sinx+cosx>0,

:.cosx>0,I'Jsinx—cosx<0,

7

故sinx-cosx=­g.

sin2x+2sin2；r2sinx(cosx+sinx)

⑵1-tanx——sinx

cosx

2sinxcosx(cosx+sinx)

cosx-sinx

24J

25A5_24

一—7-=-175,

5

［规律探求］

考向1是公式的直接应用，即巳知sina,cosa,tana中的一个求另外两个的

值.解决此类问题时，直接套用公式sin2“+cos2a=l及tana=^即可，但

看(A

个要注意”的范围，即三角函数值的符号.

性考向2的分式中分子与分母是关于sina,cosa的齐次式，往往转化为关于tan

〃的式子求解.

考向3是考查sina±cosa与sinacosa的关系.

对于sina+cosa,sina-cosa,sinacosa这三个式子，利用(sina土cosa"=

l±2sinacosa,可以知一求二

(1)利用sin2a+cos2«=l可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角a所在象限

找

确定符号；利用鬻=tana可以实现角”的弦切互化；利用(sina土cos〃产=

共vOo(A

性l±2sinacosa的关系可实现和积转化；

(2)注意方程思想与转化思想的应用

［跟踪训练］

1.已知$in（7r+a）=-g,贝!Jtang—a）值为（）

A.2^2B.-2\2

C・乎

D.+2V2

解析：选D因为sin（7t+a）=-g,所以sina=1,cosa=±^^,

故选D.

2.已知sinacosa=g,且:VaV去则cosa—sina的值为（）

A.31

B.

c・-;D-4

3

解析：选D因为sinacosa=«,所以（cosa-sina）2=cos2a—2sinacosa+sin2a=1

—2sinacosa=1_2X^=^,因为gvav],所以cosaVsina,即cosa—sinaVO,即cosa

-sina=­

3.若3sina+cosa=°,则口讦而荔蕊的值为.

解析：V3sina4-cosa=0=>cosa^O^tana=—y

________1____________cos2“+sii12a_____1+lai12tz1+1罚1。

cos2a+2sinacosacos2a+2sinacosa14-2tana.23

1-3

答M案gr10

IMl诱导公式的应用

［师生共研过关］

2sin(7r+a)cos(7r-a)-cos(7t+a)(1+2sina#0),则右铛

［例4］(1)设/(a)