专题36 椭圆的综合问题（文 ）（解析版）-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练

专题w3.6e椭圆e的综e合问题

1.与直线与桶圆有关的解答题的求解策略：

（1）求解此类问题，时常把两个曲线的方程联立，消去工（或，）建立一元二次方程，然

后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；

（2）涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情

形.有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.

2.求定点、定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点或定值.

2211

【预测题1】已知椭圆C：，+点长轴的顶点与双曲线。：----二1实

4b2

轴的顶点相同，且。的右焦点F到D的渐近线的距离为上.

7

（1）求C与。的方程；

（2）若直线/的倾斜角是直线>=（近-2卜的倾斜角的2倍,且/经过点/，/与C交于A,

3两点，与。交于M，N两点，求木疝.

【答案】（1）椭圆的方程为三+片=1,双曲线的方程为二一f二］：（2）叵.

43436

【解析】（1）因为椭圆C长轴的顶点与双曲线。实轴的顶点相同，

所以。=2,①

双曲线。的渐近线为y=±gx,即陵±2y=0,

所以右焦点F（c,O）到渐近线bx±2y=0的距离为喘鼻=耳，②

又1=从+/,③

由①®③解得〃=3，c2=b

所以椭圆的方程为占+?=1,双曲线的方程为£=i.

4343

（2）设直线y=便-2卜倾斜角为"则tan"右一2,

2tan6_2(石一2)1

所以tan29=

l-tan26>-l-(^/5-2)22

所以直线/的方程为y=g（x—l）,

设A（x，yJ,8（七,%）,加（不，必）,N（%,y4），

y=*T)

联立得4/一24-11=0,

x2y2.

—+—=1

43

111

所以玉+/=5，x}x2=--

所以MM=+-x2|=Jl+/-d(X]+w)2-4$々

y=g(xT)

22得2—+2工-13二0,

三-上=1

143

13

所以了3+匕=-1，工3工4=一万

22

所以|MN|=\!\+k\x3-x4\=Jl+M-^(x3+x4)-4X3X4

15

\AB\TV15

所以网际二

2

【预测题2】在圆f+y2=4上任取一点。过点下作工轴的垂线段a,D为垂足，点P

为线段7Q的中点.

（1）求动点尸的轨迹C的方程；

（2）斜率为k*>0）且不过原点O的直线/交曲线。于A,B两点，线段A8的中点为E,

2

射线0E交曲线。于点M,交直线尤=6于点M且|OM「=|ONH。同，求点”（0,1）到直

线/的距离d的最大值.

【答案】（1）三+y2=]；口）巫

43

【解析】（1）设点P的坐标为（x,y）,点了的坐标为（/，为），则x=/，y=—»

2

22

•••4+y：=4且垢=工，%=2y，x+4y=4,

2

•••动点P的轨迹C的方程为—+y2=]

4-

(2)设直线/:>=&+相(4>0,mv0),AG，%),B(x2,y2),

W+4v?=4

联立《得,(1+4k2)x2+8kmx+4w2-4=0,

y=kx+m

Shn4kmm

Xj+Xj=-中点E（-

1+4公1+4-'1+4公

113

由斜率公式可知々OF=—二~,,.JoF：y=__77X，，'N(6,--)»

4k4k2k

x2+4/=4

216k2Hn216k2

联立《1得,X=-----,即X；=-------------

y=---x1+4/1W1+以

4k

•••NF二阿烟’.・黑=一黑’…一'’

・••直线/过定点4,0）,易知当定点与点”（0,1）的连线与直线/垂宜时，d取得最大值姮.

33

22

【预测题3]已知椭圆。:[+马=1（。>6>0）的左，右焦点分别为丹，鸟，过耳的直

a~b-

线/与椭圆C交于M，N两点，圆尸是氏必般的内切圆.当直线/的倾斜角为45。时,

（41

直线/与椭圆C交于点（一一§

（1）求椭圆。的方程：

（2）求圆尸周长的最大值.

3

【答案】（1）y+/=l:（2）71.

【解析】⑴设椭圆C的半焦距为C（C>0）,则爪-GO）,

当直线/的倾斜角为45。时，直线/的方程为》二》+仁

又直线/与椭圆C交于点（一^,一；），/.c=l,.•./=//+］,

（41、161.

将点［一］，—］）代入椭圆方程得近旬十斤=1，

解得力2=1或6=一:（舍），「."二？，

2

•••椭圆。的方程为5+9=1;

（2）设圆产的半径为广（〃>0）,

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为％=—1,|MN|=J5,

SuMNFi=SgfpN+S&wpE+S.pF］

=；（|MN|+|M/|+|N闾）r=2应/*=；x2x应,

/.r=-,当直线，的斜率存在时，设为上，直线/的方程为丁二丘+上，

2

设刈牛必），

y=kx+k

由・x2,得（2%2+1）冗2+442]+2攵2一2=0,

»+）'=

4-2k2-2

/.X.+X=----;——，X,X=­Z----

92k2+\1292炉+1

,・S.NF1=^忻图'一切|=10恸一切

=1M&（+三）2-4中2=lk।/仅工）8俨-1）

2k2+\

4

==

又^AMNF2S&WPN+S&w"+Sap。2。2r,

2V2r=V21----------7

Nw+广

.•，r=lCZTZ<l

2]/（25+1）22、

综上，0<厂工工，.,.当时，圆尸的周长取得最大值乃.

22

【名师点睛】三角形内切圆半径与三角形面积的等量关系：Sv=gr（a+b+c）.

【预测题412022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度

结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留

下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带''乂象征北京2022年冬奥会.其

中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体

现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数

包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过

辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积

公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家

祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖咂原理：“嘉势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的

体积推导出球的体积公式原理的意思是两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面

积相等，则这两个几何体的体积相等.

（1）利用祖咂原理推导半径为R的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体M，

儿何体M的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面。内.设与平面a平行

且距离为d的平面6截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截

5

面面积相等的图形并给出证明;

个不同的椭球A,B（如图），类比（1）中的方法，探究椭球A的体积公式，并写出椭球A,

8的体积之比.

2

【答案】（1）答案见解析；（2）VA=—ab,体积之比为2.

3a

【解析】（1）由图可知，图①几何体的为半径为R的半球，图②几何体为底面半径和高都

为R的圆柱中挖掉了一个圆锥，与图①截面面积相等的图形是圆环（如阴影部分）

证明如下:

在图①中，设截面圆的圆心为。「易得截面圆。।的面积为4（十一12）,

在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d,所以，圆环的面积为万（心-〃2）,所以，

截得的截面的面积相等

（2）类比（1）可知，椭圆的长半轴为。，短半轴为b,构造一个底面半径为人，高为。的

圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上（如图），在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为

6

顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为人，高为

在半椭球截面圆的面积乃与一/卜

在圆柱内圆环的面积为苗一乃与储="与（/_筋卜

所以距离平面a为d的平面截取两个几何体的平面面积相等,

根据祖随原理得出椭球A的体积为

匕=2（%柱-%锥）=2口力2・"（万方•〃）二当时2,

4元

同理：椭球8的体积为%=彳〃%,

所以，两个椭球A，6的体积之比为2.

a

【名师点睛】本题考查新定义问题，解题的关键是读懂题意，构建圆柱，通过计算得到高相

等时截面面积相等，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于较难题.

【预测题5】已知椭圆。：鸟+斗=1（。>6>0）的右焦点厂恰为抛物线£:丁=4%的焦点,

P/，半J是椭圆。与抛物线七的一个公共点.

（1）求椭圆。的方程；

（2）过点尸且不与x轴平行的直线，交椭圆。于A、B两点，线段AB的中垂线分别交X、

\AB\

y轴于M、N两点，求情后的取值范围.

7

v-2v2

【答案】（1）—+^=1；（2）[12,-Ko）.

43

2Ss

【解析】（1）由点P在抛物线E上知，%=一，则P到抛物线准线的距离为一，所以I尸尸1=

333

设椭圆左焦点为耳，则尸耳

所以24=^+：=4,。=2,又c=l,所以b=JJ，椭圆。的方程为上+工=1：

3343

（2）设直线/的方程为工=冲+1,

与椭圆C的方程联立得（3病+4）丁+6阳一9=0,

-6m

设A（X],y）,5（七,％）,则,♦%=3机‘十4''防一3加十4

一|AB|M一%

由知丽

-分跖二,设AB中点坐标为（王，％），

1^-y2\=J（y+；；：；

X+必-3m4

则%==~7%=吵+1=

23m~+43m2+4

故48中垂线方程为y+

3疗+4（3m2+4j

令k°得/=高'所以^=I2WW[12,+8）.

\AB\

【名师点睛】解决本题的关键，一是定义的运用，二是对前的化简与求范围.

丫2V22

【预测题6】已知椭圆c：j+2T=1（。＞力＞0）的左、右顶点分别是点A,8,直线/:“=一

a2b23

与椭圆C相交于。，E两个不同点，直线ZM与直线的斜率之积为-!，ZXAB。的面

扣+4夜

积为----.

3

（1）求椭圆C的标准方程；

8

2

（2）若点P是直线l:x=-的一个动点（不在x轴上），直线AP与椭圆C的另一个交点为Q,

过尸作8Q的垂线，垂足为M，在x轴上是否存在定点N,使得|MN|为定值，若存在，

请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

2

【答案】（1）+（2）存在，定点为N（1,O）.

k.k.上」

K"-224

—+a—a

33

|x2ax|y0|=^,

【解析】（D设由题意得,

二+超=1

9/b23

力2_12

:，二椭圆C的方程为三+y2=i；

6=44

（2）假设存在这样的点N,设直线PM与不轴相交于点了（用,0），由题意得丁尸

（2、

由⑴得8（2,0）,设P鼻/，Q（X，yJ，由题意可设直线”的方程为x=—2,

IJ/

x=my-22

由，x2,,^(m2+4]y2-4my=0,/.y,=或’=0(舍去)，王=^-

——+y-=l"+4"+4

4-

2—」

33m

•.•TP±BQ,.-.7PBe=f|-x0)(^-2)+^,=0,

2ty.284m

-H-----=-H-----------

3%,—233mm2+4*

二直线PM过定点7（0,0），，存在定点N（l,0）,使得|MN|=1.

【名师点睛】此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，解题

的关键是设直线PM与x轴相交于点丁（%,0），由题意得7尸，8。，设直线AP的方程为

x=my-2,然后直线方程与椭圆方程联立方程组，可求出。点的坐标，再由7P_LB。，

9

可得毛=0,从而可得答案，属7中档题.

/，2

【预测题71已知椭圆G：部+5=1（。〉6>0）,其短轴长为28，离心率为，，双曲

线G：士-上=1（p>o,4>0）的渐近线为y=±JIr,离心率为02，且q・e2=l.

pq

（1）求椭圆C1的方程;

（2）设椭圆G的右焦点为产，动直线/（/不垂直于坐标轴）交椭圆G于M，N不同两

点，设直线短，和FN的斜率为占，女2,若匕=-&，试探究该动直线/是否过工轴上的

定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

22

厂4>,■

【答案】（1）------1-------1；（2）直线过定点（4,0）.

43

【解析】（1）由题意知,二+竺=I/Q">

其短轴长为26，可得b=JJ，椭圆的离心率为4,

r*vl

双曲线C,：----------=1（p>0,g>。）的渐近线为y=,

pq

即，1=即J=3,所以离心率为6=不」~~工=Ji+旦=2'

且q・e,=l.所以e=_L=£=J土［三，解得。=2,

12aa2Va2

22

所以椭圆方程工+工=1;

43

（2）假设该直线过定点。,0）,设直线）的方程y=Z（x-。,

y=k(x-t)

联立《X2/_，消去y整理得(3+4公卜2-8/枕+4析2-12=0,

.T+T~

设N（4%），则为+中小々丁

D十QKDI^TK

10

△>0=左2/一3—4k2<0,

k।幺:，।y?_।4（々一，）_//—，）（々—1）+（电—，）（2—1）

1—-

"X,—1x21X,1Xj-1（X]—1）（马一1）

=k.2、.一（，+1）（工|+%）+2,=0

2xtX2一（，+1）（苦+々）+2/=0,

xix2-[x]+x2）+\

4公/_12/c838公产-24-8公产-83+6E+8k21

即2----------―（r+l）--------2r==0,

3+4-'勺+4-?3+4公

所以一24+61=0,解得f=4,即直线过定点（4,0）.

【名师点睛】圆锥曲线中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用根

与系数关系、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即

可求出结果,运算量较大.

21

【预测题8】已知椭圆E:=+N=l（〃＞力＞0）的左、右焦点分别为耳，5，P是椭圆E上

a2b‘

3

的一动点，且|尸制的最小值是1,当叼垂直长轴时，|尸照=:.

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在斜率为-1的直线[与以线段耳巴为直径的圆相交于两点，与椭圆E相

交于C、。两点，且|。。|・|4例=马普若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.

22

【答案】（1）三+21=1：（2）存在；y=-x+l或y=-x-l.

43

【解析】⑴由题意，点P在椭圆上的一个动点，且|尸制的最小值为1,得a-c=l,

因为当Pg垂直长轴时，|P£|二L所以2=3,即26=3°，

112a2

又由标二层+^，解得a=2,方=6，

所以椭圆C的标准方程为片+工=1.

43

（2）假设存在斜率为-1的直线/,设为丁=一工+机，

11

由（1）知，耳（一1,0）,玛（1,0）,

所以以线段耳工为直径的圆为f+y2=],

由题意，圆心（0,。）到直线/的距离〃=^^<1,得|相|〈立,

所以|A3b2>/1一/=2,1-^_=@也一>

工+2=1

联立，43，得7f—8g+4根2—12=0，

y=-x+m

由题意，△=（一8加）2-4X7X（4〃?2—12）=336—48加2=48（7—〃,

解得川2<7，又|机|〈3，所以帆2<2，设。（%,%）,。（X2，%），

8m4,n2-12

则%+毛=彳，大超二--一

所以|CD\=Jl+>|x2-x,|=V2x+々）2-4西工2

卜81口丫心40?-12_4^

Nl万）~7=7~

若皿阴=嘤则&x耳7x孚莘,

所以M-9m2+8=0,解得*=1,或帆2=8,

又相2<2，所以相2=1，即机=±1,

故存在符合条件的直线）,其方程为y=—x+1或y=-x-L

【名师点睛】通过“垂径定理”求出直线与圆相交所截得的弦长，直线与椭圆相交通过弦长公

式ICOI=2k2-h得到.

[预测题9】已知点P到"（右,0）的距离与它到直线l:x=—的距离之比为—.

53

（1）求点尸的轨迹E的方程；

（2）若A是轨迹E与x轴负半轴的交点，过点D（-3,8）的直线/与轨迹E交于8,C两点,

12

求证：直线A民AC的斜率之和为定值.

22

【答案】（1）—+^-=1;（2）证明见解析.

94

j（X-⑹2+（y―0）2=石

【解析】（1）设点P（x,y）,由题意可得9^5=T.

2222

化简整理可得上+汇=1,所以点P的轨迹E的方程为三十二=1.

9494

（2）由（1）可得，A（-3,0）,过点。的直线/斜率存在且不为0,

故可设/的方程为y=履+加（后工0）,,y）,C（w，%），

y=kx+m

由，x2y2得（4+9攵2）“2+18k我+9m2-36=（）,

A=（l8如"-4（4+*2）（9>一36）=i皿（然2一病+勺>0,

\Skrn

中2=而一干,而

M+W=一4+9公1-4+9-

乂（W+3）+%（芯+3）（取]+〃。（9+3）+（乜+根）（王+3）

“AB+怎C%।%

X）+3X2+3（X14-3）（XJ+3）（X]+3）（x2+3）

9m2-36/.）

2kx--------%+（3oL+〃2）----------+6m

2kxix2+（32+加）（内+电）+6加4+9&2'4+97/J

MW+3（x）+x2）+9而二苧+3/」8肌］+9

4+9/I4+9切

8/、

二3（〃「3k），由于直线/过点。（—3,8）,所以一3女+加=8，

所以原8十37=；（即为定值）.

【名师点睛】解决本题的关键一是直线与椭圆联立，二是准确的运算.

【预测题10】已知椭圆E：1+£=l（a>b>0）的长轴长为4,离心率为

（1）求椭圆E的方程;

（2）点6，工分别为椭圆E的左、右焦点，若过点K的直线交椭圆E于A,B两点，过

13

点耳的直线交椭圆E于C,O两点，且A8_LC。，求的最小值.

【答案】（1）—+^-=1；（2）最小值为3.

423

【解析】（1）因为椭圆C的长轴长为4,所以勿=4,即。=2.

因为椭圆C的离心率为巫，所以£=也，即c=&,

2a2

所以Z?=>Ja2-c2=yji1—V2=V2，

22

所以椭圆C的方程为—+^=1.

42

（2）当A8斜率为。时，

围=加=4,皿=空=2,|阴+卬=6,

同理，当AB斜率不存在时，也有|蜴+|8|=6.

当A3斜率存在且不为。时，

设斜率为左，则A8方程为y=2[一应）,

设4（%，乂）,3（孙必），

[r22

x।3v_।

联立《42-得（1+2公卜2-4>/羽工+4公一4=0,

y=k（X-五）

04同4^-4

易知A=16公+16>0,且为+电=]+2.2，XIX2=

1+2公

由弦长公式得，

心行.河亍^:=中陛了二5三位4

112/12虱1+2叩1+2/1+2公

设。（七,%）,。（%，/），

因为A8_LCD，所以直线CQ的斜率为一,，

K

14

所以同川8|-4(心\4。+0_4(1+用(3公+3)12①+2人］)

*।।।।1+2左2/+20+2/)(公+2)2/+5/+2

12（k4+-k2+\\--k22=6--7―J—

=72_）_2_J=6__^L_2公+75'

2A4+5&2+22/+5r+2Ik）

因为F+122,当且仅当二=1即左=±i时取"=”，

k~

所以|/4即+|。。|=6-§=3~,显然？~＜6,

所以MM+|cq的最小值为华，此时攵=±i.

【名师点睛】通过弦长公式以及根与系数关系得|AB|的长，对运算能力的要求较高，川-;

k

代替上求得|c4的长是解题的关键.

【预测题11］已知椭圆C：与+强■=1（〃＞人＞0）,长轴为4,不过坐标原点0且不平行

于坐标轴的直线/与椭圆。有两个交点A,B,线段A8的中点为M，直线0M的斜率与

直线/的斜率的乘积为定值-1.

4

（1）求椭圆。的方程；

（2）若直线/过右焦点招，问y轴上是否存在点。，使得三角形题为正三角形，若存

在，求出点O坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）王+y2=］；⑵存在，点.

【解析】（1）由题意可知，为=4,a=2.

设点A（X，yJ,8玉,%），A,8在椭圆上，所以三十4=1,4+4=^

a~b-ab

所以(x+%)(%-/)।(%+%)(乂一%)

b2“唔鬻MH，

15

L所以0•山二一"

因为kAli-kOM

4x2-x(%]+x24

所以一与=-_1丫2

所以从=3,所以椭圆。方程为二+91.

a244.

（2）马（后,0）,设直线/：y=

联立方程得(1+4公b2-8辰+1222-4=0,

'4下如

rrhl8辰12公一4匚「zA/

所以％+5二二一7，%莅=----3-，所以〃

,~1+4公~1+4公J+4公'

3人।4辰2、3&)

假设存在点。’则M。的直线方程为y+,X-----,---所-----以-----。-0,

1+4小1+4左

1十QK"

若△ABD为等边三角形,则|MD|二正MM'

即去我R舞"，解得叫■此时澳遇

（9}

所以存在点O[0,±,J,使得△A3。为等边三角形.

【预测题12]如图，分别过椭圆£：「+，=1（。>6>0）左、右焦点6、居的动直线4、

，2相交于P点，与椭圆E分别交于A、8与C、。不同四点，直线OA、OB、。。、OD

的斜率占、&、&、&4满足K+&=&+%.已知当4与x轴重合时，a叫=26，

卬|=孚

（1）求椭圆E的方程;

16

(2)是否存在定点M、N,使得归M+为定值？若存在，求出M、N点坐标并

求出此定值；若不存在，说明理由.

【答案Xl)1+］=1；(2)存在点和点N(0,l),且1PM+|PN|的定值为2应.

【解析】(1)当4与x轴重合时，K+&=&+&=0,即&=一治，所以4垂直于工轴，

22»2

将％=C代入椭圆E的方程可得二十马二1,可得y=±"，

a2b2丁a

\AB\=2a=243

所以，当4与4轴重合时，则(2b246，解得a=J5，b=五,

\CD\=-r=­r

a3

椭I员IE的方程为二十5=1；

32

(2)焦点耳、鸟坐标分别为(-1,0)、(1,0),

当直线4或/2斜率不存在时，p点坐标为(-1,o)或(1,o)；

当直线/］、，2的斜率存在时，设斜率分别为町、加2，设A(x，yJ、85,为)，

由~2~,得(2+3/犷+6*%+3町2-6=0,

y=/w1(x+l)

6〃彳_3"-6

所以：％+/=2十3/'X/广

一2十3鬲'

则：&/士」上］=芯+心］=*

%h1%^2）1%々；町-2

..-4机2

同理：与+%2C，

因为4+e—七+e，所以2；=欣-2,即（引色+2）（吗一吗）一0,

"21—2

由题意知町工相2，所以町生+2二=0,

17

设P（x,y）,则忘.^+2=0,即］+d=i（"±i）,

当直线4或4斜率不存在时，P点坐标为（一1,0）或（1,0）也满足此方程，

所以在椭圆?+炉=1上存在点历（0,一。和点N（O/），使得1PMi+归陷为定值，定

值为2&-

22

【预测题13］己知椭圆"：£+方=1（。>6>0）的左、右顶点分别为A8,上、下顶点

分别为C,。，右焦点为尸，离心率为其中4|E4|二|尸8||COf.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设Q是椭圆M上异于AB的任意一点，过点。且与椭圆M相切的直线与％=-。，

x=〃分别交于S,T两点，以ST为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；如果

不存在，请说明理由.

r2v2

【答案】（1）—+2_=1；（2）ST为直径的圆过定点（±1,0）.

43

【解析】（1）由条件可得4（4+c）=（a—c）（»）2

所以心空£二史二3,

a-c\-e

又£=4，所以"一2〃2=3,解得。2=4，

a24

22

所以椭圆的方程为工+匕=1.

43

（2）设（毛。±2），所以今+近=1,①

对椭圆《+亡=1求导得，手+?了=0,所以％=一尹

43434%

所以切线方程为丁一%=一卢（%一%），

18

将①代入上式，得切线方程3止+*=1,

43

分别联立x=-2,x=2,得S-2,

I2%)

所以以ST为直径的圆，圆心为。,且，半径「二isri

y^j2

2

6-3x6+3xY9x

所以|S7T=4/=(2+2)2+00=16+"

(2yo2yo)

2221

因为至+%=1,所以片=41-4

43I3J

/2

36"工

所以4，“6十3J/36,

3

所以圆的方程为V+y—

y。）%

2

39

令f=l，得y-A得X=±1时，y=0,

Iyo)

所以sr为直径的圆是过定点（士i,o）.

1

【预测题14]已知椭圆E：二十y=1（曲£>0）的右焦点为尸（C,0）,圆O：/+y2=42,过点

a

（

产与x轴垂直的直线在第一象限交圆与椭圆分别于点A,B,且|"]=、5|外1，点P1,手

在椭圆上.

（1）求椭圆E的方程;

（2）过点尸且斜率为k的直线/与E交于C,。两点，CO的中点为M,直线OM与椭圆

有一个交点为M若砸=L说,求AMN厂的面积.

3

22

【答案】(1)—2_i.

+=⑵好

42

,2

【解析】（1）由题意知A（c,b),B(c,—),

a

19

,2

因为正因Q，所以b=y/i.也,所以用孤儿

a

又点尸（1,直）在椭圆上，所以二十3=1,解得听2,b二母,

2a~4b-

v22

所以椭圆E的方程为土+二v二1

42

（2）依题意可得直线/：产网”及）,

y=k(X-五)

2

联xy2,得(1+2尸3-4y/2Rx+4R-4=0,

—+—=1

142

则-(-4)(1+2)2=36攵2+4>0,

设C(xi,yi),D(X2t”)，M(xo,>D),所以箝+内二生厄£■,xo二汉丝"

1+2k21+2公

所以和二二^与，所以M’2亚2―瓜

1+2公1+2&2'1+2/

——1一(-6辰3叵k1

因为MO=-ON,所以N

3、1+2/,\+2k2)

72A18&2

因为点N在椭圆上，所以际中

解得好二（舍去）或&2=所以4±且，

277