2025版高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第8讲离散型随机变量的均值与方差正态分布分层演练理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第8讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．(2024·高考全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员运用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中运用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝()A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3解析：选B.由题意知，该群体的10位成员运用移动支付的概率分布符合二项分布，所以DX＝10p·(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4)＜P(X＝6)，得Ceq\o\al(4,10)p4(1－p)6＜Ceq\o\al(6,10)p6(1－p)4，即(1－p)2＜p2，所以p＞0.5，所以p＝0.6.2．某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参与考试，其数学考试成果近似听从正态分布，即X～N(100，a2)(a＞0)，试卷满分为150分，统计结果显示数学考试成果不及格(低于90分)的人数占总人数的eq\f(1,10)，则此次数学考试成果在100分到110分(包含100分和110分)之间的人数约为()A．400 B．500C．600 D．800解析：选A.P(X＜90)＝P(X＞110)＝eq\f(1,10)，P(90≤X≤110)＝1－eq\f(1,10)×2＝eq\f(4,5)，P(100≤X≤110)＝eq\f(2,5)，1000×eq\f(2,5)＝400.故选A.3．(2024·高考浙江卷)已知随机变量ξi满意P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜eq\f(1,2)，则()A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)解析：选A.依据题意得，E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1，2，因为0<p1<p2<eq\f(1,2)，所以E(ξ1)<E(ξ2)．令f(x)＝x(1－x)，则f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上单调递增，所以f(p1)<f(p2)，即D(ξ1)<D(ξ2)，故选A.4．已知随机变量ξ的分布列为ξ－101Peq\f(1,2)eq\f(1,6)eq\f(1,3)那么ξ的数学期望E(ξ)＝________，设η＝2ξ＋1，则η的数学期望E(η)＝________．解析：由离散型随机变量的期望公式及性质可得，E(ξ)＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＝－eq\f(1,6)，E(η)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))＋1＝eq\f(2,3).答案：－eq\f(1,6)eq\f(2,3)5．有10张火车票，其中3张是卧铺，其他是硬座，从这10张火车票中任取两张，用ξ表示取到卧铺的张数，则E(ξ)等于________．解析：ξ听从超几何分布P(ξ＝x)＝eq\f(Ceq\o\al(x,3)Ceq\o\al(2－x,7),Ceq\o\al(2,10))(x＝0，1，2)．所以P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,7),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(21,45)＝eq\f(7,15)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(21,45)＝eq\f(7,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15).所以E(ξ)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)6．袋中有20个大小相同的球，其中标上0号的有10个，标上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．解：(1)X的分布列为X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75.(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4.))7．(2024·合肥市第一次教学质量检测)某公司在迎新年晚会上实行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为eq\f(4,5).第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地匀称的硬币，确定是否接着进行其次次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行其次次抽奖；若正面朝上，员工则须进行其次次抽奖，且在其次次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为eq\f(2,5)，每次中奖均可获得奖金400元．(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？解：(1)X的可能取值为0，500，1000.P(X＝0)＝eq\f(1,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＝eq\f(7,25)，P(X＝500)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,5)，P(X＝1000)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,25)，所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为X05001000Peq\f(7,25)eq\f(2,5)eq\f(8,25)(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)＝500×eq\f(2,5)＋1000×eq\f(8,25)＝520，若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B(3，eq\f(2,5))，则E(ξ)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5)，抽奖所获奖金X的期望E(X)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，故选择方案甲较划算．1．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行嘉奖，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的嘉奖额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的嘉奖额为60元的概率；②顾客所获的嘉奖额的分布列及数学期望．(2)商场对嘉奖总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的嘉奖总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的嘉奖额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：(1)设顾客所获的嘉奖额为X.①依题意，得P(X＝60)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，即顾客所获的嘉奖额为60元的概率为eq\f(1,2).②依题意，得X的全部可能取值为20，60.P(X＝20)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，P(X＝60)＝eq\f(1,2)，即X的分布列为X2060Peq\f(1,2)eq\f(1,2)所以顾客所获的嘉奖额的数学期望为E(X)＝20×eq\f(1,2)＋60×eq\f(1,2)＝40(元)．(2)依据商场的预算，每个顾客的平均嘉奖额为60元．所以，先找寻期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的状况，假如选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不行能为60元；假如选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不行能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的状况，同理，可解除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的嘉奖额为X1，则X1的分布列为X12060100Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)X1的期望为E(X1)＝20×eq\f(1,6)＋60×eq\f(2,3)＋100×eq\f(1,6)＝60，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×eq\f(1,6)＋(60－60)2×eq\f(2,3)＋(100－60)2×eq\f(1,6)＝eq\f(1600,3).对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的嘉奖额为X2，则X2的分布列为X2406080Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)X2的期望为E(X2)＝40×eq\f(1,6)＋60×eq\f(2,3)＋80×eq\f(1,6)＝60，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×eq\f(1,6)＋(60－60)2×eq\f(2,3)＋(80－60)2×eq\f(1,6)＝eq\f(400,3).由于两种方案的嘉奖额的期望都符合要求，但方案2嘉奖额的方差比方案1的小，所以应当选择方案2.2．(2024·高考全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．依据长期生产阅历，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸听从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，假如出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异样状况，需对当天的生产过程进行检查．(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9．9510.129.969.9610.019.929.9810.0410．269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,16)eq\i\su(i＝1,16,x)i＝9.97，s＝eq\r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16,)（xi－eq\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\r(\f(1,16)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,16,x)eq\o\al(2,i)－16eq\o(x,\s\up6(－))2)))≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.用样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))作为μ的估计值eq\o(μ,\s\up6(^))，用样本标准差s作为σ的估计值eq\o(σ,\s\up6(^))，利用估计值推断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(eq\o(μ,\s\up6(^))－3eq\o(σ,\s\up6(^))，eq\o(μ,\s\up6(^))＋3eq\o(σ,\s\up6(^)))之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z听从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.9974.0.997416≈0.9592，eq\r(0.008)≈0.09.解：(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X～B(16，0.0026)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X的数学期望为EX＝16×0.0026＝0.0416.(2)(i)假如生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异样状