2025版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布10.8概率与统计的综合问题教学案苏教版

PAGE1-第八节概率与统计的综合问题[最新考纲]能从探讨对象中获得数据，会用数学方法对数据进行整理、分析和推断，构建模型等．考点1离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先推断随机变量的分布是特别类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特别类型；二是定性，对于特别类型的均值和方差可以干脆代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，留意离散型随机变量的取值与概率的对应．(2024·广州一模)某商场以分期付款方式销售某商品，依据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数ξ的分布列为ξ234P0.4ab其中0＜a＜1,0＜b＜1.(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；(2)商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X(单位：元)．①求X的分布列；②若P(X≤500)≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．[解](1)设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B(3,0.4)，则P(η＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(0.4)2×(1－0.4)＝0.288，∴购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288.(2)①依题意X的取值分别为400,450,500,550,600，P(X＝400)＝0.4×0.4＝0.16，P(X＝450)＝2×0.4a＝0.8a，P(X＝500)＝2×0.4b＋a2＝0.8b＋a2，P(X＝550)＝2ab，P(X＝600)＝b2.∴X的分布列为：X400450500550600P0.160.8a0.8b＋a22abb2②P(X≤500)＝P(X＋400)＋P(X＝450)＋P(X＝500)＝0.16＋0.8(a＋b)＋a2，依据0.4＋a＋b＝1，得a＋b＝0.6，∴b＝0.6－a，∵P(X≤500)≥0.8，∴0.16＋0.48＋a2≥0.8，解得a≥0.4或a≤－0.4，∵a＞0，∴a≥0.4，∵b＞0，∴0.6－a＞0，解得a＜0.6，∴a∈[0.4,0.6)，E(X)＝400×0.16＋450×0.8a＋500(0.8b＋a2)＋1100ab＋600b2＝520－100a，当a＝0.4时，E(X)的最大值为480，∴X的数学期望E(X)的最大值为480.本例融概率、分布列、函数于一体，体现了高考命题的最新动向，求解时可先借助分布列的性质及题设条件“P(X≤500)≥0.8”探求得到参数a的范围，然后借助数学期望公式建立关于参数a的函数关系式，并通过二次函数求得数学期望EX的最大值．(2024·九江二模)某企业准备处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱．现处理价格为每箱8400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据．(1)在不开箱检验的状况下，推断是否可以购买；(2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．①若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X，求X的分布列和数学期望；②若已发觉在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，推断是否可以购买．[解](1)在不开箱检验的状况下，一箱产品中正品的价格期望值为：Eξ＝100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8500＞8400，∴在不开箱检验的状况下，可以购买．(2)①X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,2)×0·20×0·82＝0.64，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×0·21×0·81＝0.32，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,2)×0·82×0·20＝0.04，∴X的分布列为：X012P0.640.320.04E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.②设事务A：发觉在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，则P(A)＝Ceq\o\al(1,2)×0.2×0.8×0.5＋Ceq\o\al(1,2)×0.1×0.9×0.5＝0.25，一箱产品中，设正品的价格的期望值为η，则η＝8000,9000，事务B1：抽取的废品率为20%的一箱，则，P(η＝8000)＝P(B1|A)＝eq\f(PAB1,PA)＝eq\f(C\o\al(1,2)×0.2×0.8×0.5,0.25)＝0.64，事务B2：抽取的废品率为10%的一箱，则P(η＝9000)＝P(B2|A)＝eq\f(PAB2,PA)＝eq\f(C\o\al(1,2)×0.1×0.9×0.5,0.25)＝0.36，∴E(η)＝8000×0.64＋9000×0.36＝8360＜8400，∴已发觉在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，不行以购买．考点2概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他学问融合、渗透，情境新奇，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要留意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z)，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z<95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；(2)由频率分布直方图可以认为，Z听从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数eq\x\to(x)，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．①利用该正态分布，求P(87.8<Z<112.2)；②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：eq\r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9545.[解](1)由频率估计概率，产品为正品的概率为(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67，所以随机变量ξ的分布列为ξ90－30P0.670.33所以E(ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.(2)由频率分布直方图知，抽取产品的该项质量指标值的样本平均数eq\x\to(x)和样本方差s2分别为eq\x\to(x)＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.①因为Z～N(100,150)，从而P(87.8<Z<112.2)＝P(100－12.2<Z<100＋12.2)＝0.6827.②由①知，一件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的概率为0.6827，依题意知X～B(500,0.6827)，所以E(X)＝500×0.6827＝341.35.本题以统计图表为载体，将正态分布、二项分布、频率分布直方图奇妙的融合在一起，体现了学问的整合性与交汇融合性，搞清这些统计图表的含义，驾驭好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算是解决问题的关键．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获得利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．依据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)依据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的均值．[解](1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000.所以T＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(800X－39000，100≤X＜130，,65000，130≤X≤150.))(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以E(T)＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.考点3概率与统计案例的综合应用概率与统计案例的综合应用常涉及相互独立事务同时发生的概率、频率分布直方图的识别与应用、数字特征、独立性检验等基础学问，考查学生的阅读理解实力、数据处理实力、运算求解实力及应用意识．(2024·武汉二模)某市房管局为了了解该市市民2024年1月至2024年1月期间购买二手房状况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m(单位：平方米，60≤m≤130)进行了一次调查统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2024年1月至2024年1月期间当月在售二手房均价y(单位：万元/平方米)，制成了如图2所示的散点图(图中月份代码1－13分别对应2024年1月至2024年1月)图1图2(1)试估计该市市民的平均购房面积eq\o(m,\s\up14(－))；(2)从该市2024年1月至2024年1月期间全部购买二手房的市民中任取3人，用频率估计概率，记这3人购房面积不低于100平方米的人数为X，求X的分布列与数学期望；(3)依据散点图选择eq\o(y,\s\up14(^))＝eq\o(a,\s\up14(^))＋eq\o(b,\s\up14(^))eq\r(x)和eq\o(y,\s\up14(^))＝eq\o(c,\s\up14(^))＋eq\o(d,\s\up14(^))lnx两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回来方程，分别为eq\o(y,\s\up14(^))＝0.9369＋0.0285eq\r(x)和eq\o(y,\s\up14(^))＝0.9554＋0.0306lnx，并得到一些统计量的值，如表所示：请利用相关指数R2推断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预料2024年6月份的二手房购房均价(精确到0.001)．参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln7≈2.83，ln19≈2.94，eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73，eq\r(17)≈4.12，eq\r(19)≈4.36.参考公式：R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up14(^))i2,\o(∑,\s\up14(n),\s\do10(i＝1))yi－\o(y,\s\up14(－))2).[解](1)eq\o(m,\s\up14(－))＝65×0.05＋75×0.1＋85×0.2＋95×0.25＋105×0.2＋115×0.15＋125×0.05＝96.(2)每一位市民购房面积不低于100平方米的概率为0.20＋0.15＋0.05＝0.4，∴X～B(3,0.4)，∴P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)×0·4k×0·63－k，(k＝0,1,2,3)，P(X＝0)＝0.63＝0.216，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×0.4×0·62＝0.432，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0·42×0.6＝0.288，P(X＝3)＝0.43＝0.064，∴X的分布列为：X0123P0.2160.4320.2880.064∴E(X)＝3×0.4＝1.2.(3)设模型eq\o(y,\s\up6(^))＝0.9369＋0.0285eq\r(x)和eq\o(y,\s\up6(^))＝0.9554＋0.0306lnx的相关指数分别为Req\o\al(2,1)，Req\o\al(2,2)，则Req\o\al(2,1)＝1－eq\f(0.000591,0.00605)，Req\o\al(2,2)＝1－eq\f(0.000164,0.00605)，∴Req\o\al(2,1)<Req\o\al(2,2)，∴模型eq\o(y,\s\up6(^))＝0.9554＋0.0306lnx的拟合效果更好，2024年6月份对应的x＝18，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝0.9554＋0.0306ln18＝0.9554＋0.0306(ln2＋2ln3)≈1.044万元/平方米．在两个变量的回来分析中要留意以下2点(1)求回来直线方程要充分利用已知数据，合理利用公式削减运算．(2)借助散点图，视察两个变量之间的关系．若不是线性关系，则须要依据相关学问转化为线性关系．(2024·铁东区校级三模)一家大型超市托付某机构调查该超市的顾客运用移动支付的状况．调查人员从年龄在20至60的顾客中，随机抽取了200人，调查结果如图：(1)为推广移动支付，超市准备对运用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预料有10000人购物，试依据上述数据估计，该超市当天应准备多少个环保购物袋？(2)填写下面列联表，并依据列联表推断是否有99.9%的把握认为运用移动支付与年龄有关？年龄＜40年龄≥40小计运用移动支付不运用移动支付小计200(3)现从该超市这200位顾客年龄在[55,60]的人中，随机抽取2人，记这两人中运用移动支付的顾客为X人，求X的分布列．附：k2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(K2≥k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828[解](1)依据图中数据，由频率估计概率，依据已知可预料该超市顾客运用移动支付的概率为：eq\f(20＋25＋25＋15＋15＋10＋8＋7,200)＝eq\f(5,8)，所以超市当天应准备的环保购物袋个数为：10000×eq\f(5,8)＝6250.(2)由(1)知列联表为：年龄＜40年龄≥40小计运用移动支付8540125不运用移动支付106575小计95105200假设移动支付与年龄无关，则K2＝eq\f(20085×65－40×102,125×75×95×105)≈56.17，∵56.17＞10.828，所以有99.9%的把握认为运用移动支付与年龄有关．(3)X可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,22),C\o\al(2,29))＝eq\f(33,58)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,22)C\o\al(1,7),C\o\al(2,29))＝eq\f(11,29)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,7),C\o\al(2,29))＝eq\f(3,58)，所以X的分布列为：X012Peq\f(33,58)eq\f(11,29)eq\f(3,58)课外素养提升⑨数据分析——数据统计与建模求解数据分析是指针对探讨对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成学问的过程．主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论．在数据分析核心素养的形成过程中，学生能够提升数据处理的实力，增加基于数据表达现实问题的意识，养成通过数据思索问题的习惯，主动依托数据探究事物本质、关联和规律的活动阅历．概率与频率分布的综合应用【例1】(2024·济宁一模)某学校为了了解全校学生的体重状况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45,50)，其次组[50,55)，…，第六组[70,75)，得到如图所示的频率分布直方图，并发觉这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重在(40,50)公斤的有2人，[50,55)公斤的有13人，以样本的频率作为总体的概率．(1)求频率分布直方图中a，b，c的值；(2)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55,65)的人数，求X的概率分布列和数学期望；(3)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重ξ近似听从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝60，σ2＝25.若P(μ－2σ≤ξ＜μ＋2σ)＞0.9545，则认为该校学生的体重是正常的．试推断该校学生的体重是否正常？并说明理由．[解](1)由题知，100名样本中体重低于50公斤的有2人，用样本的频率估计总体的概率，可得体重低于50公斤的概率为eq\f(2,100)＝0.02，则a＝eq\f(0.02,5)＝0.004，在[50,55)上有13人，该组的频率为0.13，则b＝eq\f(0.13,5)＝0.026，所以2c＝eq\f(1－2×0.02－2×0.13,5)＝0.14，即c＝0.07.(2)用样本的频率估计总体的概率，可知从全体学生中随机抽取一人，体重在[55,65)的概率为0.07×10＝0.7，随机抽取3人，相当于三次独立重复试验，随机变量X听从二项分布B(3,0.7)，则P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)0.700.33＝0.027，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)0.710.32＝0.189，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)0.720.31＝0.441，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)0.730.30＝0.343，所以，X的概率分布列为：X0123P0.0270.1890.4410.343E(X)＝3×0.7＝2.1.(3)由N(60,25)得σ＝5由图(1)知P(μ－2σ≤ξ＜μ＋2σ)＝P(50≤ξ＜70)＝0.96＞0.9545.所以可以认为该校学生的体重是正常的．[评析]本题以学生体重状况为背景，设计概率与统计、正态分布的综合应用．体现了数学建模(用频率估计概率、正态分布)、数学运算(求平均数、方差、求概率)、数据分析、逻辑推理(以直方图中求平均数方差，由正态分布求概率及期望)的学科素养；培育了统计意识，经验“收集数据—整理数据—分析数据—作出推断”的全过程．概率与统计案例的综合【例2】为了解当代中学生喜爱文科、理科的状况，某中学一课外活动小组在学校高一年级文、理分科时进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成果(单位：分)进行统计，将数据依据[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科意向”学生，低于60分的称为“理科意向”学生．(1)依据已知条件完成下面2×2列联表，并据此推断是否有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关？理科意向文科意向总计男110女50总计(2)将频率视为概率，现在从