2024年高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换二练习含解析新人教A版必修4

PAGE1-3.2简洁的三角恒等变换(二)1.已知a=(1,cosα),b=(sinα,1),若a⊥b,则sin2α等于(B)(A)- (B)-1 (C) (D)1解析:由题意可知,a·b=sinα+cosα=0,平方可得,sin2α+cos2α+2sinαcosα=0,所以sin2α=2sinαcosα=-1.故选B.2.(2024·全国Ⅲ卷)函数f(x)=的最小正周期为(C)(A) (B) (C)π (D)2π解析:由已知得f(x)====sinx·cosx=sin2x,所以f(x)的最小正周期为T==π.故选C.3.函数f(x)=sinx+cos(x+)的值域为(C)(A)[-2,2] (B)[-,](C)[-1,1] (D)[-,]解析:函数f(x)=sinx+cos(x+)=sinx+cosx=sin(x+),所以值域为[-1,1],故选C.4.函数f(x)=cos2x-2cos2的一个单调增区间是(A)(A)(,) (B)(,)(C)(0,) (D)(-,)解析:函数f(x)=cos2x-2cos2=cos2x-cosx-1,令t=cosx,则原函数可看作g(t)=t2-t-1,t∈[-1,1].当t∈[-1,]时,g(t)为减函数,当t∈[,1]时,g(t)为增函数,当x∈(,)时,t=cosx为减函数,且t∈(-,),而原函数是单调递增的,故选A.5.设向量a=(cosx,-sinx),b=(-cos(-x),cosx),且a=tb,t≠0,则sin2x的值等于(C)(A)1 (B)-1 (C)±1 (D)0解析:因为b=(-cos(-x),cosx)=(-sinx,cosx),a=tb,所以cosxcosx-(-sinx)(-sinx)=0,即cos2x-sin2x=0,所以tan2x=1,tanx=±1,x=+(k∈Z),2x=kπ+(k∈Z),sin2x=±1,故选C.6.若cos(α+β)·cos(α-β)=,则cos2α-sin2β的值是(B)(A)- (B) (C)- (D)解析:因cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,故cos(α+β)cos(α-β)=cos2αcos2β-sin2αsin2β=cos2α-cos2αsin2β-sin2αsin2β,即cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-(cos2α+sin2α)sin2β=cos2α-sin2β=,故选B.7.已知sin(α-)=,cos2α=,则tan等于(A)(A)3 (B)-3 (C)±3 (D)±4解析:由sin(α-)=⇒sinα-cosα=①,cos2α=⇒cos2α-sin2α=,所以(cosα-sinα)(cosα+sinα)=②,由①②可得cosα+sinα=-③,由①③得sinα=,cosα=-,所以角α为其次象限角,所以为第一、三象限角,tan===3,故选A.8.已知不等式sincos+cos2--m≥0对于x∈[-,]恒成立,则实数m的取值范围是(B)(A)(-∞,-] (B)(-∞,](C)[,] (D)[,+∞)解析:因为sincos+cos2-=sin+×-=sin(+),所以原不等式等价于m≤[sin(+)]min在x∈[-,]恒成立.因为≤+≤,所以sin(+)∈[,],所以m≤,故选B.9.设0<θ<,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),若a∥b,则tanθ=.

解析:因为a∥b,所以sin2θ=cos2θ,2sinθcosθ=cos2θ,又0<θ<,所以2tanθ=1,即tanθ=.答案:10.(2024·全国Ⅱ卷)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.

解析:因为sinα+cosβ=1,①cosα+sinβ=0,②所以①2+②2得1+2(sinαcosβ+cosαsinβ)+1=1,所以sinαcosβ+cosαsinβ=-,所以sin(α+β)=-.答案:-11.函数f(x)=sin(2x-)-2sin2x的最小正周期是.

解析:因为f(x)=sin2x-cos2x-(1-cos2x)=sin2x+cos2x-=sin(2x+)-,所以f(x)的最小正周期T==π.答案:π12.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为.

解析:由于f(x)=sinωx+cosωx=sin(ωx+),因为函数f(x)的图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)=sin(ω2+)=±,所以ω2+=+kπ,k∈Z,即ω2=+kπ,k∈Z,又函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,所以ω2+≤,即ω2≤,取k=0,所以ω2=,所以ω=.答案:13.已知函数f(x)=2cos(ωx+)(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值;(2)设α,β∈[0,],f(5α+π)=-,f(5β-π)=,求cos(α+β)的值.解:(1)由=10π,得ω=.(2)因为-=f(5α+π)=2cos[(5α+π)+]=2cos(α+)=-2sinα,=f(5β-)=2cos[(5β-π)+]=2cosβ,所以sinα=,cosβ=.因为α,β∈[0,],所以cosα===,sinβ===.所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=-.14.(2024·北京卷)已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间[-,m]上的最大值为,求m的最小值.解:(1)f(x)=sin2x+sinxcosx=-cos2x+sin2x=sin(2x-)+,所以f(x)的最小正周期为T==π.(2)由(1)知f(x)=sin(2x-)+.由题意知-≤x≤m,所以-≤2x-≤2m-.要使得f(x)在区间[-,m]上的最大值为,即sin(2x-)在区间[-,m]上的最大值为1.所以2m-≥,即m≥.所以m的最小值为.15.已知函数f(x)=2cos2-sinx.(1)求函数f(x)的最大值,并写出取得最大值时相应的x的取值集合;(2)若tan=,求f(α)的值.解:(1)f(x)=2cos2-sinx=1+cosx-sinx=1+2cos(x+),所以当cos(x+)=1时f(x)取得最大值3,此时x+=2kπ,k∈Z,即x=2kπ-(k∈Z),所以x的取值集合为(x|x=2kπ-,k∈Z).(2)因为tan=,所以sinα=2sincos====,cosα=cos2-sin2===,所以f(α)=1+2cos(α+)=1+cosα-sinα=1+-=.16.已知函数f(x)=sin(ωx+2)-2sincos(ωx+)(ω>0,∈R)在(π,)上单调递减,则ω的取值范围是(C)(A)(0,2] (B)(0,](C)[,1] (D)[,]解析:f(x)=sin(ωx+2)-2sincos(ωx+)=cossin(ωx+)-sincos(ωx+)=sinωx,所以f(x)=sinωx在(π,)上单调递减.令+2kπ≤ωx≤+2kπ,k∈Z,得+≤x≤+,k∈Z,所以函数f(x)=sinωx的一个单减区间为[,],可得即≤ω≤1,ω的取值范围是[,1],故选C.17.已知函数f(x)=sin4x+cos4x,x∈[-,],若f(x1)<f(x2),则肯定有(D)(A)x1<x2 (B)x1>x2 (C)< (D)>解析:因为f(-x)=sin4x+cos4x=f(x),所以f(x)为偶函数,所以f(x)=f(|x|),因为f(x1)<f(x2),所以f(|x1|)<f(|x2|).又f(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2x·cos2x=1-sin22x=1-·=+,在[0,]单调递减,所以|x1|>|x2|,所以>,故选D.18.如图,l1,l2,l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2之间的距离是1,l2与l3之间的距离是2,正三角形ABC的三顶点分别在l1,l2,l3上,则△ABC的边长等于.

解析:设其边长为a,AB与l2的夹角为θ,易知1=asinθ,2=asin(-θ),所以2sinθ=sin(-θ),即cosθ-sinθ=0,可得tanθ=,所以sinθ=,所以a==.答案:19.关于函数f(x)=sinxcosx-cos2x,给出下列命题:①f(x)的最小正周期为2π;②f(x)在区间(0,)上为增函数;③直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴;④函数f(x)的图象可由函数f(x)=sin2x的图象向右平移个单位得到;⑤对随意x∈R,恒有f(+x)+f(-x)=-1.其中正确命题的序号是.

解析:f(x)=sin2x-=sin(2x-)-,明显①错;x∈(0,)时,2x-∈(-,0),函数f(x)为增函数,故②正确;令2x-=+kπ,k∈Z,得x=π+,k∈Z,明显直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴,故③正确;f(x)=sin2x的图象向右平移个单位得到y=sin2(x-)=sin(2x-),故④错;f(+x)+f(-x)=sin(2x+)-+sin(-2x-)-=sin(2x+)-sin(2x+)-1=-1,故⑤正确.答案:②③⑤20.如图所示,某园林单位打算绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余地方种花,BC=a(a为定值),