2024-2025学年福建省莆田市高二上册10月月考数学学情检测试题（含解析）

2024-2025学年福建省莆田市高二上学期10月月考数学学情检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知某数列为，按照这个规律，则该数列的第10项是（）A. B. C. D.2.已知等比数列则（）A.8 B.±8 C.10 D.±103.已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.4.若数列的前项和为，且满足，，，则的值为（）A.0 B.3 C.4 D.55.已知数列满足，则（）A.2 B. C. D.6.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，《洛书》上的图案由个黑白圆点分别组合，摆成方形，南西东北分别有个点，四角各有个点，中间有个点，简化成如图的方格，填好数字后各行、各列以及对角线上的3个数字之和都等于15．推广到一般情况，将连续的正整数填入的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，这样一个阶幻方就填好了，记阶幻方对角线上的数字之和为，则的值为（）A. B. C. D.7.在数列中，，则（）A.25 B.32 C.62 D.728.已知数列的前n项和为，且满足，则（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）9.已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（）A.是数列最小项 B.是数列的最大项C.是数列的最大项 D.当时，数列递减10.已知等差数列公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（）A.B.若，则C.当时，取得最小值D.当时，满足最大整数的值为2511.已知是正项数列的前项积，且，将数列的第1项，第3项，第7项，…，第项抽出来，按原顺序组成一个新数列，令，数列的前项和为，且不等式对恒成立，则（）A.数列是等比数列B.C.D.实数的取值范围是(−4,16)三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知数列的前n项和，则数列的通项公式为________13.等比数列an中，，，令，则数列bn前项和为______.14.已知函数，数列满足，，，则__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）15.已知公差不为0的等差数列满足．若，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和16.已知直线过定点，且直线在，轴上的截距依次为和.（1）若直线在，轴上的截距相等，求直线的方程；（2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于，两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形面积最小时直线的方程.17.已知数列满足，，．数列满足，，其中为数列是前n项和．（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前n项和，并证明：．18.记是公差不为的等差数列an的前项和，已知，，数列bn满足，且.（1）求an（2）证明数列是等比数列，并求数列bn通项公式；（3）求证：对于任意正整数，19已知数列满足：，，.（1）求数列的通项公式；（2）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中.如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”.判断数列是否为“绝对差异数列”并给出证明.（3）设，，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.2024-2025学年福建省莆田市高二上学期10月月考数学学情检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知某数列为，按照这个规律，则该数列的第10项是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据题意，得到数列的一个通项公式，代入即可求解.【详解】由题意，数列，可化为，所以数列的一个通项公式为，所以该数列的第10项是.故选：D.2.已知等比数列则（）A.8 B.±8 C.10 D.±10【正确答案】A【分析】运用等比中项，结合等比数列通项公式即可解决.【详解】根据等比中项知道，求得，则.又，则.故选：A.3.已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】先利用斜率公式求出，再由倾斜角斜率的取值图象数形结合求得即可.【详解】由图象结合题意可知：，观察到直线过点与线段有公共点时倾斜角为钝角时逐渐增大，斜率大于或等于直线的斜率；为锐角时倾斜角逐渐减小，斜率小于或等于直线的斜率；所以直线的斜率的取值范围是．4.若数列的前项和为，且满足，，，则的值为（）A.0 B.3 C.4 D.5【正确答案】D【分析】根据题意，求得的值，得到数列an是周期为6的数列，结合，即可求解.【详解】数列an的前项和为，且满足，且，可得，，所以数列an是周期为6的数列，其中，所以.故选：D.5.已知数列满足，则（）A.2 B. C. D.【正确答案】B【分析】利用时，得到，代入，求出答案.【详解】由题意可得①，所以时，②，①-②得，所以，所以.故选：B.6.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，《洛书》上的图案由个黑白圆点分别组合，摆成方形，南西东北分别有个点，四角各有个点，中间有个点，简化成如图的方格，填好数字后各行、各列以及对角线上的3个数字之和都等于15．推广到一般情况，将连续的正整数填入的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，这样一个阶幻方就填好了，记阶幻方对角线上的数字之和为，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】先求出阶幻方中所有数字之和，再除以得对角线上的数字之和，再令可得结果.【详解】阶幻方由填入得到，填入的数字之和为，又因为阶幻方每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，所以对角线上的数字之和为，当时，代入可得，故选：C．7.在数列中，，则（）A.25 B.32 C.62 D.72【正确答案】B【分析】令，故函数在上单调递减，在上单调递增，进而得当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列，再根据函数单调性去绝对值求和即可.【详解】解：令函数，由对勾函数的性质得函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列，所以所以故选：B8.已知数列的前n项和为，且满足，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】分奇数项和偶数项求递推关系，然后记，利用构造法求得，然后分组求和可得.【详解】因为，所以，，且，所以，记，则，所以，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，，记bn的前n项和为，则.故选：A关键点点睛：本题解题关键在于先分奇数项和偶数项求递推公式，然后再并项得bn的递推公式，利用构造法求通项，将问题转化为求bn的前二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）9.已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（）A.是数列的最小项 B.是数列的最大项C.是数列的最大项 D.当时，数列递减【正确答案】BCD【分析】设第项为an的最大项，根据列出不等式组，求解即可判断BCD，利用数列的单调性及范围判断A．【详解】设第项为an最大项，则，即，所以，又，所以或，故数列an中与均为最大项，且，当时，数列an递减，故BCD正确，当趋向正无穷大时，无限趋向于0且大于0，且，所以不是数列an的最小项，且数列an无最小值，故A故选：BCD10.已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（）A.B.若，则C.当时，取得最小值D.当时，满足的最大整数的值为25【正确答案】ABD【分析】由得到，进而求得即可判断A；，，成等差数列，即可判断B；因为，分类讨论当，，即可判断C；因为，所以，，所以，，即可判断D.【详解】因为，所以，即，所以，故A正确．因为，，成等差数列，所以，而，则，故B正确．因为，由得，即，所以，所以对称轴为：，所以当时，开口向上，当，取得最小值，当时，开口向下，当，取得最大值，故C错误．因为，数列an单调递增，所以，，则，，又因为，所以当时，满足的最大整数的值为25，D正确．故选：ABD11.已知是正项数列的前项积，且，将数列的第1项，第3项，第7项，…，第项抽出来，按原顺序组成一个新数列，令，数列的前项和为，且不等式对恒成立，则（）A.数列是等比数列B.C.D.实数取值范围是(−4,16)【正确答案】BCD【分析】利用数列前项积和通项公式的关系判断A，B，利用错位相减法判断C，分类讨论结合数列的性质判断D即可.【详解】因为，所以，当时，由是正项数列的前项积，得，即，所以，所以，所以数列是公差为1的等差数列，不是等比数列，故A错误;当时，，即，又，解得(其它根舍去)，所以，当时，，又，满足上式，所以，故B正确，由题意知，所以，则，，两式相减得，，所以，故C正确;由，易知单调递增，故，当为奇数时，由，对恒成立，得恒成立，即，而，故，当为偶数时，由恒成立，得，此时，故，所以实数的取值范围是(−4,16)，故D正确.故选：BCD.关键点点睛：本题考查数列，解题关键是合理分类讨论，然后进行分离参数，得到所要求的取值范围即可．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知数列的前n项和，则数列的通项公式为________【正确答案】【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式.【详解】数列an的前n项和，当时，，而，不满足上式，所以数列an的通项公式为.故13.等比数列an中，，，令，则数列bn前项和为______.【正确答案】【分析】根据等比数列an中，求出，求出an的通项公式，再根据，求出bn通项公式，进而求出bn的前项和.【详解】根据等比数列an中，则，解得，所以，由，则，所以故答案为.14.已知函数，数列满足，，，则__________．【正确答案】2【分析】根据函数性质分析可知：在上单调递增，且为奇函数，进而可得，结合数列周期性分析求解.【详解】由题意可知：的定义域为，且，即，可知为定义在上的奇函数；且，因为在上单调递增，可知在上单调递增；综上所述：在上单调递增，且为奇函数.因为，则，可得，即，由可知：3为数列的周期，则，且，所以.故2.易错点睛：本题分析的奇偶性的同时，必须分析的单调性，若没有单调性，由无法得出.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）15.已知公差不为0的等差数列满足．若，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）根据等比中项的性质可得出，再代入等差数列的通项公式即可求出公差；（2）根据（1）的结果，利用分组求和即可解决【小问1详解】假设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，所以，即，因为，所以，所以通项公式为；【小问2详解】因为，所以16.已知直线过定点，且直线在，轴上的截距依次为和.（1）若直线在，轴上的截距相等，求直线的方程；（2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于，两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形面积最小时直线的方程.【正确答案】（1）或（2）【分析】（1）分为截距都为和不为，进行求解直线方程；（2）根据题意设直线方程，求出坐标，进而计算最小值时求解直线方程.【小问1详解】当直线过定点，若截距都为时，设，则，所以直线方程为，当直线过定点，若截距都不为时，设，则，所以直线方程为，综上所述，直线的方程为或；【小问2详解】根据题意设直线方程，当时，，当时，，则所以，当且仅当，即时，等号成立，此时直线方程为，即.17.已知数列满足，，．数列满足，，其中为数列是前n项和．（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前n项和，并证明：．【正确答案】（1）；（2）；证明见解析【分析】（1）根据递推公式，结合等比数列的定义可以求出数列的通项公式，再利用累和法可以求出数列的通项公式；（2）利用错位相减法，结合的单调性证明即可.【小问1详解】由，可得，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，所以数列的通项公式为．因为，所以，所以，所以数列的通项公式为．【小问2详解】由（1）可得，所以①，②，②－①得，所以．，，所以递增，所以，又当时，，所以．因此，．18.记是公差不为的等差数列an的前项和，已知，，数列bn满足，且.（1）求an（2）证明数列是等比数列，并求数列bn的通项公式；（3）求证：对于任意正整数，【正确答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析【分析】（1）设公差为，结合等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，进而得到；（2）由已知递推关系式可得，由此可得证得数列为等比数列，结合等比数列通项公式推导