2024-2025学年江苏省常州市高二上册第一次月考数学教学检测试题（含解析）

2024-2025学年江苏省常州市高二上学期第一次月考数学教学检测试题注意事项：答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分。选出符合题目的一项。1.双曲线x2a2−y2b2(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2A.x28−y24=1 B.2.“对偶椭圆”是指将一个椭圆绕中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点的椭圆。下列椭圆中是“对偶椭圆”的是A． B． C． D．3.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为A.15 B.55 C.24.已知椭圆x29+y26=1，F1，F2为两个焦点，A.25 B.302 C.35.已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q使得|MP|⋅|MQ|=1，则称曲线Γ是“自相关曲线”.现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则A.①成立，②成立B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立6.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中错误的是A．点P的轨迹方程是B．直线是“最远距离直线”C．平面上有一点，则的最小值为5D．点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（即没有交点）7.已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是A．曲线的图象不关于原点对称B．曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）C．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为D．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过38.在平面上，定点、之间的距离.曲线是到定点、距离之积等于的点的轨迹.以点、所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系.已知点是曲线上一点，下列说法正确的是A.曲线是轴对称图形B.曲线上有两个点到点、距离相等；C.曲线上的点的纵坐标的取值范围是()D.曲线上的点到原点距离的最大值为二、选择题：本题共3小题，共18分。有多项符合题目要求。9.到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知两定点，动点满足，设的轨迹为曲线，则下列命题错误的是A．曲线过原点 B．的横坐标最大值是2C．的纵坐标最大值是 D．10.某学习小组用函数图象：，和抛物线部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于，两点，是或上的动点，下列说法正确的是

A．抛物线的方程为B．的最小值为4C．的最大值为D．若在上，则的最小值为11.曲线被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）．给出下列四个结论，正确的有曲线C关于直线交于不同于原点的两点，则B.存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）；C.存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）；D.曲线C上存在一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积大于.三、填空题：本题共3小题，共15分。12.已知圆x2+y2−4x−m=0的面积为π，则13.已知直线x−my+1=0与⊙C：(x−1)2+y2=4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为8514.在空间直角坐标系下，由方程所表示的曲面叫做椭球面（或称椭圆面）.如果用坐标平面分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如图所示），这三个截面的方程分别为，，上述三个椭圆叫做椭球面的主截线（或主椭圆）.已知椭球面的轴与坐标轴重合，且过椭圆与点，则这个椭球面的方程为.三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（13分） 设抛物线C：y2=2px(p>0)，直线x−2y+1=0与C交于A，B两点，且（1）求p；（2）F为y2=2px的焦点，M，N为抛物线上的两点，且MF⋅16.（15分）设椭圆x2a2+y2b（1）求椭圆方程及其离心率；（2）已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形17.（15分） 已知抛物线Γ：y2=4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为（1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值；（2）当a=4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离；（3）直线l：x=−3，抛物线上有一异于点A的动点P，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q.若在P的位置变化过程中，|HQ|>4恒成立，求a的取值范围．（17分） 在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0,12)的距离，记动点P（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33（17分）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线.（1）求的方程;（2）若是四边形的等线，求四边形的面积;（3）设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线高二数学答案和解析一、选择题：本题共8小题，共40分。选出符合题目的一项。1.D

2.A2.A

3.D

4.B

5.B

6.D7.C8.D二、选择题：本题共3小题，共18分。有多项符合题目要求。9.BC10.ACD11.AC三、填空题：本题共3小题，共15分。12.−3

13..12（答案不唯一）

14. 三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（13分）解：设A(x1,y1)，B(x∴y1+y2=4p，y1|AB|=1+4|y1∴(2p+3)(p−2)=0，∴p=2；(2)由(1)知y2=4x，所以F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x=my+n，M(x由y2=4xx=my+n，可得y2−4my−4n=0，所以y因为MF⋅NF=0，所以(即(m2+1)y1y2∴4(m2+n)=(n−1)2>0，所以n≠1，且设点F到直线MN的距离为d，所以d=|n−1||MN|==所以△MNF的面积S=1又n≥3+22或n≤3−22，所以当n=3−2216.（15分）解：(法一)如图，设F1(−c,0)，F2(c,0)设A(x,y)，则F2又F2A=−23又F1A⊥则F1A⋅F1B=83c2代n2=4c2，可得25c2a2−16c(法二)由FA=−23FB，得|F2A设∠F1AF2=θ，则sinθ=3t在△AF1F2中，由余弦定理可得cosθ=16a217.（15分）解：(1)抛物线Γ：y2=4x的准线为x=−1，由于A到抛物线Γ准线的距离为3，则点A的横坐标为2，则a2(2)当a=4时，点A的横坐标为424=4，则A(4,4)，设B(b,0)，则AB的中点为(b+42,2)，由题意可得22=4×b+42，解得b=−2，所以所以原点O到直线AB的距离为4(3)如图，设P(t24故直线AP的方程为y−a=4t+a(x−a24)则|HQ|=|t−a+(a24又t+a+(a24+3)⋅4t+a−2a≥4a24又当a=2时，t+2+16t+2−4≥2而a≠t，即当a=2时，也符合题意．故实数a的取值范围为(0,2]．

18.（17分）解：(1)设点P点坐标为(x,y)，由题意得|y|=x2化简得：y=x2+14（2）法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则,令，同理令，且，则，设矩形周长为,由对称性不妨设，，则.，易知则令,令，解得，当时，，此时单调递减，当，，此时单调递增，则,故,即.当时,,且，即时等号成立，矛盾，故,得证.法二：不妨设在上，且，依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0，则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，直线的方程为，则联立得，，则，则，同理，令，则，设，则，令，解得，当时，，此时单调递减，当，，此时单调递增，则，，但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线,矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于.设,根据对称性不妨设.则,由于,则.由于,且介于之间,则.令,,则,从而故①当时,②当时,由于,从而,从而又,故,由此，当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于.拓展思路：解法四：不妨设A，B，C三点在W上，且AB⊥BC．设A(a,a2+14则AB=(b−a,b2−a2)显然(b−a)(c−b)≠0，于是1+(b+a)(c+b)=0．此时，|b+a|.|c+b|=1.于是min{|b+a|,|c+b|}≤1．不妨设|c+b|≤1，则a=−b−1则|AB|+|BC|=|b−a|1+(a+b)≥|b−a|1+(c+b)2+|c−b|设x=|b+c|，则f(x)=(x+1x)又f'(x)=(1+x2)1故矩形ABCD的周长为2(|AB|+|BC|)≥2f(x)≥33．注意这里有两个取等条件，一个是|b+c|=1，另一个是解法五：不妨设A，B，D在抛物线W上，C不在抛物线W上，欲证命题为|AB|+|AD|>3由图象的平移可知，将抛物线W看作y=x设A(a,a2)(a≥0)，平移坐标系使A即ρsinθ=ρ2cos2θ+2aρcosθ即|2a不妨设|2cosθ|≥|其最小值当2cosθ⋅a−sinθcos2θ=0根据均值不等式，有|cosθsin2θ|=12．由题意，等号不成立，故原命题得证．

19.（17分）（1）由题意知，显然点在直线的上方，因为直线为的等线，所以，解得，所以的方程