全套课件-概率论与数理统计

一、样本空间1.1样本空间与随机事件二、随机事件※问题的提出定义1：E的所有可能基本结果组成的集合称为E的样本空间，记作S。定义2：样本空间中每一个可能的基本结果称为样本点(Samplingpoint)，记作e。

一、样本空间随机试验的结果怎么去表述？(1)抛掷一枚硬币,观察正反面出现的情况.(2)抛掷一枚骰子,观察出现的点数.可能结果为：“正面，反面”.可能结果为:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.例1.试写出下列试验的样本空间H→正面，T→反面(4)记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.(5)从一批灯泡中任意抽取一只,测试其使用寿命.可能结果为:“0,1,2,…”(3)4件产品，2正，2次，从中任取3件，观察正次品出现情况.将四件产品标记为:A,B,C,D,可能结果为:“ABC,ABD,ACD,BCD”其中t表示灯泡的使用寿命※2.同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.eg将一枚硬币连续抛掷两次Case1:若观察正面H、反面T出现的情况,则样本空间为Case2:若观察出现正面的总次数,

则样本空间为注1.试验不同,对应的样本空间一般不同.egS={H,T}可以作为抛掷硬币试验的样本空间也可以作为射击问题中击中与否的样本空间1、定义3：随机试验E的样本空间S的子集称为试验E的随机事件，简称事件，通常用A,B,..,Ak,…表示。试验中,骰子可能出现“1点”,…,“6点”,“点数不大于4”,“点数为偶数”等均为随机事件.

eg

抛掷一枚骰子,观察出现的点数.二、随机事件(RandomEvents)练习：同时投掷两枚骰子，试写出该试验的样本空间、随机事件A,B,C。事件A表示“出现的点数之和大于10”,事件B表示“出现的点数均为奇数”，事件C表示“出现的点数之差的绝对值小于2”。例2：将一枚硬币抛两次，事件A表示“第一次出现正面”，事件B表示“两次出现同一面”，事件C表示“至少出现一次正面”。试写出该试验的样本空间、随机事件A,B,C。2.几点说明语言描述，集合的列举法表示，Venn图，随机变量等eg在掷一枚骰子试验中事件A表示“点数不大于3”,(1)随机事件表示:事件B表示“点数为奇数”A={1,2,3},B={1,3,5}A21,35

B4S6(2)随机事件与样本空间、样本点之间的关系。定义4：事件A发生是指试验结果中A的某个样本点出现。例3：在投掷一颗骰子试验中，试验结果为出现3个点，A表示“点数不大于3”,B表示“点数为奇数”.问A,B发生？(3)事件A是否发生试验中，事件A可能发生也可能不发生。eg.掷骰子试验中“点数大于6”就是不可能事件，“点数不大于6”就是必然事件。基本事件：含一个样本点的单点集。复合事件：含两个或两个以上样本点的集合。进一步说明，试验中，随机事件可能发生也可能不发生。(4)几个特殊的事件今后为讨论问题方便，将必然事件、不可能事件视为随机事件的两个极端情况。不可能事件不含任何样本点的集合，记为必然事件含有所有样本点的集合，记为S。本节小结：样本空间：E的所有可能基本结果组成的集合,记作S。随机事件：E的某些基本结果组成的集合，记作A,B等，随机事件是样本空间S的子集。同一试验中，样本空间与随机事件的关系？同一个试验中，根据观察的内容都有唯一确定的样本空间,任何随机事件都是样本空间的子集。练习1：某商场五层共有60间餐饮店铺，编号分别为5001,5002,…,5060，从中任选一间，观察店铺号码。练习2：用大炮连续5次射击同一目标，观察击中的总次数。练习4：观察某时间段内某交通路口的机动车流量情况。练习3：手工生产一批陶瓷制品，希望能得到10件正品，记录需要生产的陶瓷总件数。试用列举法写出下列试验的样本空间综合习题：试用列举法写出下列试验的样本空间、随机事件。习题1：同时掷两枚硬币，观察正反面出现情况，事件A表示掷出同一面，事件B表示其中一枚掷出正面。习题2：将一枚骰子连续掷两次，记录骰子点数出现情况，事件A表示点数之和等于7，事件B表示两枚骰子点数之差等于1。习题3：袋中装有6个球，4白(a,b,c,d)，2红(x,y)，试用列举法写出下列试验的样本空间。E1(放回抽样)：取一个，放回后，再取一个。E2(不放回抽样)：取一个，不放回接着再取一个。E3:一次性取出两个球(同时取出2个球)。1.1节内容回顾样本空间：随机事件：事件A发生：E的所有可能基本结果组成的集合,记作S。E的某些基本结果组成的集合，记作A,B等，随机事件是样本空间S的子集。E的结果中A的某个样本点出现。练习题：袋中装有6个球，4白(1,2,3,4)，2红(5,6)，试写出下列试验的样本空间。E1(放回抽样)：取一个，放回后，再取一个。E2(不放回抽样)：取一个，不放回接着再取一个。E3:一次性取出两个球(同时取出2个球)。①社会经济现象是否只分成确定性现象和随机现象？试举出不属于这两类现象的社会经济现象。“某天的天气状况”是否属于这两类现象？②同时掷两枚骰子，观察其点数，试写出该试验的样本空间与随机事件，A表示“点数之和等于10”；B表示“点数之和大于8”；C表示“点数之差小于2”。③袋中共5个球，3个白色，2个红色，以三种不同的方式取2个球，试写出下列试验的样本空间：E1：放回抽样：取1个，看后放回，再取1个。E2：不放回抽样：取1个，看后不放回接着再取1个。E3：同时取出2个球。讨论题：1.2事件间的关系与运算

Relationandoperationofevents

一、事件间的关系与运算※二、事件间的运算规律知识点与基本要求：理解事件间的包含、互不相容、对立关系，事件之和、事件之积、事件之差运算；理解事件间的运算规律，特别是对偶律的意义；掌握事件间关系及运算，会将一些较复杂的事件用简单事件的运算来表示。教学重点：事件间的关系与运算；教学难点：复杂的事件用简单事件的运算表示。设试验E的样本空间为S，A,B,..,Ak,为E中的事件问题1：幼稚园根据小朋友个人爱好开设了钢琴、美术、演讲、武术课程，事件A表示“虫虫喜欢弹钢琴”，B表示“虫虫喜欢画画”,

A∪B,A∩B由哪些样本点组成，表示意义？问题2：从一批产品中抽取2件零件，A1表示第一个零件是正品，A2表示第二个零件是正品，是否可以用A1,A2表示下列事件呢？(1)均为正品；(2)恰有1个零件是次品；(3)只有第二个零件是次品；(4)至少2个零件是次品。一、事件间的关系与运算

1.包含关系若事件A发生,则B必然发生,则称事件B包含事件A,记作SBA2.相等关系A的样本点都是B的样本点A与B含有相同的样本点若事件A包含事件B,且事件B包含事件A,则称事件A与事件B相等,记作A=B.对于任何事件A，都有事件间的关系例1：判别下列事件间的关系3、公共汽车站某日某时间段内等车人数，A表示“至少有10人候车”，B表示“至少有5人候车”1、观察天气状况，A表示“明天晴天”，B表示“明天无雨”2、将一枚硬币抛两次，A表示“第一次是正面”，B表示“至少有一次正面”。1.事件的和(并)SAA∪B表示“A,B至少有一个发生”事件A与事件B中至少有一个发生的事件,称为事件A与B的和，记作A∪B或A+BB事件间的运算A∪B表示“A发生或B发生”A∪B由A或B中的样本点组成

eg事件A表示“虫虫喜欢弹钢琴”，B表示“虫虫喜欢画画”，A∪B表示意义？2.

事件的积

(交)事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与B的积，记作A∩B或ABSABABA∩B由A且B中的样本点组成

A∩B表示“A,B同时发生”。A∩B表示“A发生且B发生”。事件间的运算eg事件A表示“虫虫喜欢弹钢琴”，B表示“虫虫喜欢画画”，A∩B表示意义？3.事件的差事件A发生但事件B不发生，称该事件为A与B的差.记作A-B.A-B由属于A的样本点但不属于B的样本点组成。SABSAB事件间的运算A-B表示“A发生但B不发生”。eg事件A表示“虫虫喜欢弹钢琴”，B表示“虫虫喜欢画画”，A-B，B-A表示意义？互不相容(互斥)事件(Incompatibleevents)

若则称事件A与B互不相容(互斥)

。即若事件A与B互不相容(互斥)

。基本事件是两两互不相容的“骰子出现1点”“骰子出现2点”A与B没有相同的样本点SAB互不相容eg抛掷一枚骰子,观察出现的点数.

事件间的关系A,B互不相容表示A,B不能同时发生eg.1掷一枚骰子，“出现1点”SBA4.逆事件(Oppositeevents)对立“不出现1点”eg.2在某客运站等车试验中,“至少5人”“至多于4人”对立事件间的运算若A∪B=S，A∩B=

则称事件A与B互为对立事件，称事件B为A的对立事件或逆事件,记作

由所有不属于A的样本点组成

表示A不发生逆事件的有关性质设S为E的样本空间，A为任意事件，则4.逆事件(Oppositeevents)事件间的运算SA思考题：事件间互斥与事件间对立是一回事吗？SSABABA、B

对立A、B

互斥互斥对

立A∪B，AB，A-B为E中的复杂事件，如何用简单事件表示复杂事件，通过一些实例来解释。例2：将一枚硬币抛掷二次，观察正面H,反面T出现的情况，A=“第一次出现正面”,B=“两次出现同一面“，求：(1)包含哪些样本点；(2)上述事件表示的意义。二、事件间的运算规律AUB=BUA,A∩B=B∩A(1)交换律设A,B,C为随机事件，则有(AUB)UC=AU(BUC)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(2)结合律(3)分配律(4)对偶律※(AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C)(A∩B)UC=(AUC)∩(BUC)表示A，B都不发生。表示A，B不都发生或A,B不同时发生例3：从一批产品中抽取2件零件，A1表示第一个零件是正品，A2表示第二个零件是正品，试用A1，A2表示下列事件：(1)均为正品；(2)恰有一个零件是次品；(3)只有第2个零件是次品；(4)至少一个零件是次品。练习：向指定目标射三枪，观察射中目标的情况，事件Ai表示某射手第i次击中目标(i=1,2,3)试用Ai表示以下各事件：(1)只击中第一枪;(2)只击中一枪;(3)三枪都没击中;(4)至少击中一枪。本节小结事件间的关系：包含、相等、互不相容事件间的运算：和、积、差、逆教学重点：事件间的关系与运算教学难点：复杂的事件用简单事件的运算表示作业P9：1，4。①事件A表示3个人对某问题的回答中至少有1人说“否”，B表示3个人对某问题的回答都说“是”。试问：事件A∪B、A∩B各表示什么涵义？②事件与集合的对应关系是怎样的？③对立事件和不相容事件有何区别？练习P10：2，3。讨论题习题1：设A,B,C表示三个随机事件,

试用A,B,C的运算表示下列事件(1)A出现,B,C不出现;(2)A,B都出现,C不出现;(3)三个事件都出现;(4)三个事件至少有一个出现;(7)不多于两个事件出现;(5)三个事件都不出现;(6)不多于一个事件出现;(8)三个事件至少有两个出现;(9)A,B至少有一个出现,C不出现;(10)A,B,C中恰有两个出现.习题2：以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则A的对立事件表示()(A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；(B)“甲、乙两种产品均畅销”；(C)“甲种产品滞销”；(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。

记号概率论集合论必然事件全集不可能事件空集基本事件元素e随机事件A集合A事件A包含于事件BA是B的子集A与B相等A与B相等概率论与集合论之间的对应关系事件A与事件B的差事件A与事件B的和事件A与事件B的积事件A的逆事件A与B的差集A与B的并集A与B的交集A的补集问题:如何求解随机事件的概率呢?是否有什么规律呢？下面几节就来回答这个问题.研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率。1.2节内容回顾事件间的关系：事件间的运算：包含、相等、互不相容和、积、差、逆一、事件间的关系与运算二、事件间的运算规律交换律、结合律、分配律对偶律※表示A,B都不发生表示A,B不都发生或A,B不同时发生或A,B至少一个不发生

作业：P9：1，4。①事件A表示3个人对某问题的回答中至少有1人说“否”，B表示3个人对某问题的回答都说“是”。试问：事件A∪B、A∩B各表示什么涵义？②事件与集合的对应关系是怎样的？③对立事件和不相容事件有何区别？练习：P10：2，3。讨论题：记号概率论集合论必然事件全集不可能事件空集基本事件元素e随机事件A集合A事件A包含于事件BA是B的子集A与B相等A与B相等概率论与集合论之间的对应关系事件A与事件B的差事件A与事件B的和事件A与事件B的积事件A的逆事件A与B的差集A与B的并集A与B的交集A的补集习题1：设A,B,C表示三个随机事件,

试用A,B,C的运算表示下列事件(1)A出现,B,C不出现;(2)A,B都出现,C不出现;(3)三个事件都出现;(4)三个事件至少有一个出现;(5)三个事件都不出现;(8)三个事件至少有两个出现;(9)A,B至少有一个出现,C不出现;(10)A,B,C中恰好有两个出现.(7)不多于两个事件出现;(6)不多于一个事件出现;练习1：以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,B,C的运算表示以下事件：(1)只订阅日报；(2)只订日报和晚报；(3)只订一种报；(4)正好订两种报；(5)至少订阅一种报；(6)不订阅任何报；(7)至多订阅一种报；(8)三种报纸都订阅；(9)三种报纸不全订阅。习题2：以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则A的对立事件表示()(A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；(B)“甲、乙两种产品均畅销”；(C)“甲种产品滞销”；(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。

(1)没有一个是次品;(2)至少有一个是次品;从一批产品中抽出4件产品进行抽样调查，Ai表示取出的第i件产品为正品，i=1,2,3,4，试用Ai的运算表示下列事件(3)只有一个是次品;习题3：(4)至少有三个不是次品;(5)恰好有三个是次品;(6)至多有一个是次品.练习3：一个宿舍中住有5位同学，Ai表示“第i个人生日在10月”i=1,2,3,4,5，试用Ai的运算表示下列事件：(1)5人中至少有1人生日在10月份；(2)5人中恰有4人生日在10月份；(3)5人中至多有2人生日在10月份。1.3频率与概率一、频率的定义与性质二、统计概率的定义与性质三、小结知识点与基本要求：了解频率的概念，理解统计概率的概念及其应用。教学重点：统计概率的概念及其应用；教学难点：统计概率的概念及其应用。

医生在检查完病人的时候摇摇头说：“你的病很重，在10个得这种病的人中只有1个能救活。”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说：“但你是幸运的。因为你找到了我，我已经看过9个病人了，他们都死于此病。”

思考：医生的说法可信吗！？eg.2某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，事件A表示“听课迟到”，则A发生的频繁程度为eg.1中国国家足球队,“冲击亚洲”共进行了n次,其中成功了1次,则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件成功的频率程度为

eg.3广告语“中国每卖10罐凉茶7罐加多宝”,事件A表示“加多宝凉茶销售”，则事件A发生的频率为7/1015/171.定义一、频率(Frequency)的定义与性质频率反映了事件A发生的频繁程度。值越接近于1表示事件发生越频繁,反之亦然.若事件A在n次试验中发生了nA次，则称为事件A在这n次试验中出现的频率。记作).(Afn2.性质设A是试验E的任一事件,则试验序号12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例1

将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做

7遍,观察正面出现的次数及频率.波动最小随n的增大,频率

f呈现出稳定性实验者德摩根蒲丰204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005重要结论：

当n较小时，频率波动幅度比较大；当n逐渐增大时，频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了在试验中事件出现可能性的大小，它就是事件的概率。事件A出现的频率fn(A)随着试验次数n的增大而在一个常数P附近摆动，则称P为事件A的概率，即P(A)=P二、统计概率的定义与性质1.定义2.性质设A是试验E的任一事件,则(3)若A1,A2,…,Ak是两两互不相容的事件，则P(A1∪A2∪…∪Ak)=P(A1)+P(A2)+…+P(Ak)应用举例:了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.了解商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.

频率(波动)概率(稳定).三、本节小结事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标.它介于0与1之间.1、频率及其性质教学重点：统计概率的概念及其应用；教学难点：统计概率的概念及其应用。2、统计概率及其性质

统计概率的定义非常直观，具有应用价值，但在理论上是不严密的。而古典概型和几何概型的计算公式解决了这两种概型的事件概率的确定问题，但是并不是普遍适用，因此需要建立概率的公理化法则，并由此导出概率的一般定义。

频率稳定值概率

事件发生的频繁程度事件发生的可能性的大小频率的性质概率的公理化定义1.4古典概型1.4-1准备知识

1.4-2古典概型1.4-1准备知识※二、排列、组合概念及其应用一、计数原理一、计数原理虫虫计划从哈尔滨去大连度假，可以通过坐火车10次、乘长途客车5次、乘飞机8班三类方式，问虫虫共有多少种方法？乘法原理：设完成一件事需分m个步骤,第一步有N1种方法,第二步有N2种方法,…,完成这件事必须通过每一步骤才算完成,则完成这件事的方法总数为N1×N2×…×Nm.加法原理：设完成一件事可有m类方式,第一类方式径有N1种方法,第二类方式有N2种方法,…,无论通过哪类方式都可以完成这件事,则完成这件事的方法总数为N1+N2+…+Nm。虫虫计划从哈尔滨途径长春、沈阳去大连度假，哈尔滨--长春6种方法，长春—沈阳9种方法，沈阳—大连11种方法，问虫虫共有多少种方法？排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号表示.排列数公式：(n，m∈N*，m≤n)二、排列、组合概念及其应用组合：一般地说,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.组合数公式：组合数性质:从n个不同元素中,取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m

个元素的组合数,用符号表示例1：袋中装有白球5个，黑球4个，问：

(1)从中任取2个，有多少种取法？

(2)从中任取2个，一个白球一个黑球，有多少种取法？解：(1)共有种取法(2)共有种取法例2：将5个相同小球放到4个不同杯子，共有几种放法解：分四类方式(3)放入3个杯子里，有种放法(2)放入2个杯子里，有种放法(1)放入1个杯子里，有种放法(4)放入4个杯子里，有种放法所以，共有4＋24＋24＋4＝56种放法4(1)7位同学站成一排；分析：问题可以看作7个元素的全排列.(2)7位同学站成两排(前3后4)；分析:根据分步计数乘法原理例3排队问题(4)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端；解:问题分两步完成第一步:甲乙站两端有种第二步:其余5名同学全排列有种(3)7位同学站成一排,甲站在中间的位置；分析:优先考虑甲位置,其余全排列(5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾。第一步:从其余5位同学中找2人站排头和排尾,有种;第二步:剩下的全排列,有种;优限法:对于“在”与“不在”等类似有限制条件的排列问题,常常使用“直接法”(主要为“特殊元素法”和“特殊位置法”)或者“排除法”,即优先考虑限制条件,这种方法就是优限法.练习：10本书随机放在书架上，其中4本《毛泽东选集》(1-4卷)，问以下放法有多少种？(1)《毛泽东选集》(1-4卷)放在一起；(2)《毛泽东选集》(1-4卷)按由右至左，由左至右排成1,2,3,4卷顺序。例4-1七个家庭，四个男孩，三个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念，有多少种不同的排法？(1)若三个女孩要站在一起；解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有种排法，而三个女孩之间有种排法，所以不同的排法共有：（种）。←捆绑法(2)若三个女孩要站在一起，四个男孩要站在一起不同的排法有：（种）捆绑法:对于相邻问题,常常先将要相邻的元素捆绑在一起,视为一个元素,与其余元素全排列,再松绑后将它们进行全排列.这种方法就是捆绑法.←捆绑法(3)若三个女孩互不相邻；解：先把四个男孩排成一排有种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有种方法，所以共有：（种）排法。←插空法例4-2七个家庭，四个男孩，三个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念，有多少种不同的排法？(4)男生、女生相间排列；解：先把四个男孩排成一排有种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有种方法，所以共有：（种）排法。←插空法(5)甲、乙两人的两边必须有其他人。解：先把其余五人排成一排有种排法，在每一排列中有四个空档（不包括两端），再把甲、乙插入空档中有种方法，所以共有：（种）插空法:对于不相邻问题,先将其余元素全排列,再将不相邻的元素插入空挡中,这种方法就是插空法.←插空法练习：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②

3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。例5分组分配问题

将四个不同颜色的球作如下分配，问有几种分法？(1)分成两组，每组两个；(2)分给两人，每人两个；(3)分成两组，一组三个，一组一个；(4)分给两人，一人三个，一人一个。(1)均分、无序(2)均分、有序(3)不均分、无序(4)不均分、有序(1)分成两组,每组2个,有几种分法？3种(2)分给甲乙两人,每人2个,有多少分法？甲甲乙乙6种(3)分成两组,一组3个,一组1个,有多少分法？4种(4)分给两人,一人3个,一人1个,有多少分法？甲乙甲乙8种练习：9件不同的玩具，按下列方案分配，问共有几种分法？①甲得2件，乙得3件，丙得4件；②一人得2件，一人得3件，一人得4件；③每人3件；④平均分成三堆；⑤分为2、2、5三堆。①②③④⑤本节小结：⑴有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为“优限法”；⑵某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；⑶某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；※二、排列、组合概念及其应用一、计数原理加法原理：乘法原理：分类问题分步问题(缺一不可)排列：有序组合：无序讨论题：1.5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？2.袋子装中有3白球，2黑球，若先后取2球，取后放回，取到2白球有多少种可能取法？3.将6本不同的书，如下情况有几种分法？(1)分成3堆，每堆2本；(2)分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本；(3)分成4堆，一堆3本，其余每堆1本；(4)分成4堆，每堆至多2本，至少1本。练习2：将6本不同的书，如下情况有几种分法(1)分成3堆，每堆2本；(2)分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本；(3)分成4堆，一堆3本，其余每堆1本；(4)分成4堆，每堆至多2本，至少1本。

小结：分组分配问题主要有分组后有分配对象(即组本身有序)的均分、不均分问题及分组后无分配对象(即组本身无序)的均分、不均分问题四种类型，常见的情形有以下几种:(2)均分、有序:把n个不同的元素分成有序的m组，每组r个元素，则共有种分法.(其中mr=n)(1)均分、无序:把n个不同的元素分成无序的m组，每组r个元素，则共有种分法.(其中mr=n)(3)不均分、无序:把n个不同的元素分成m组，第1组r1个元素，第2组r2个元素，第3组r3个元素，……第m组rm个元素，则共有种分法.(其中r1+r2+r3+…+rm=n)(4)不均分、有序:把n个不同的元素分成m组，第1组r1个元素，第2组r2个元素，第3组r3个元素，……第m组rm个元素，再分给m个人，则共有种分法.(其中r1+r2+r3+…+rm=n)(5)局部均匀:把n个不同的元素分成m组，其中m1个组有r1个元素，m2个组有r2个元素，……mk个组有rk个元素，则共有种分法.(其中m1r1+m2r2+m3r3+…+mkrk=n)1.4-2古典概型

ClassicalProbability

一、古典概型的概念※二、古典概型典型问题研究教学重点：古典概率问题的计算；教学难点：古典概率的典型实例。理解古典概率的概念；会求解一些简单的古典概率问题（如抽球，正次品抽样，分球入杯，配对问题等）。知识点与基本要求：若随机试验E满足：(1)有限性：样本空间只包含有限个样本点；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相同；则称E为古典概型。设事件A中所含样本点个数为N(A),样本空间S中样本点总数为N(S),则即S={w1,w2,…,wn},P(w1)=P(w2)=…=P(wn)=1/n练习：①抛两枚硬币,求事件“恰有一次出现反面”的概率；事件“至少有一次出现正面”的概率？一、古典概型的概念②掷一枚骰子,求出现6点的概率,出现奇数点的概率?A中包含样本点的个数为1、基本模型之一:抽球模型(1)不放回抽球袋中装有4只白球,2只黑球，现从袋中(不放回地)抽出两只球，求抽出两只球都是白球的概率。解：设事件A表示抽出的两只球都是白球样本空间中样本点总数为事件A发生的概率为问题1：两只黑球的概率,一黑一白的概率呢？问题2：与哪些问题属于同类型问题？二、古典概型典型问题研究同类型的问题：正次品抽样问题；彩票中奖问题；抽签问题；扑克牌花色问题；英文单词、书、报等排列问题；分组问题；鞋子配对问题。问题3：解决此类问题的常用方法？一般地,袋中装有M个白球N个黑球,现从中任抽n个球,则这n个球中恰有k个白球的概率是解：假设事件A表示“取到两只红球”事件A包含样本点个数为：练习1：袋内装有5只红球,3只蓝球，从中任取两只球,求取出两只红球，两只蓝球,一红一蓝的概率？事件A发生的概率为：样本空间中样本点总数为：正次品抽样问题：一批产品共200个，次品6个，求(1)这批产品的次品率;(2)任取3个恰有一个是次品的概率;(3)任取5个全非次品的概率。抽奖问题：某超市有奖销售,投放了100张奖券,但只有1张有奖,每位顾客可抽取1张,求第20位顾客中奖概率某彩民购买双色球一注,问中500万大奖的概率？双色球玩法说明:双色球投注区分为红球号码区和蓝球号码区,红球号码范围为01～33,蓝球号码范围为01～16。双色球每期从33个红球中开出6个号码,从16个蓝球中开出1个号码作为中奖号码.双色球玩法即是竞猜开奖号码的6个红球号码和1个蓝球号码，顺序不限。彩票中奖问题：中500万大奖的可能性有几何？(2)有放回抽球袋中装有4只红球6只黑球,现从袋中每次取1只,有放回地抽3次,求前2次抽到黑球第3次抽到红球的概率.解：设A表示前2次抽到黑球第3次抽到红球第1次摸球10种第2次摸球10种第3次抽球6种第1次摸到黑球第2次抽到黑球4种第3次抽到红球1、基本模型之一:抽球模型二、古典概型典型问题研究基本事件总数为A所包含基本事件的个数为同类型的问题：电话号码问题；掷多枚骰子问题；大批产品检验问题；疾病抽查问题；农作物选种问题。例1

某批同型号晶体管中有a只合格正品，b只不合格品，采用不放回抽样和有放回抽样两种方式从中取2只，求：（1）取到的2只都是合格品的概率；（2）取到的2只中至少有1只不合格品的概率。(1)每个杯子只能放一个球把4个球放入10个杯子，每个杯子只能放1个球，求第1至第4个杯子各放1个球的概率.解：设A表示第1至第4个杯子各放1个球2、基本模型之二：分球入杯模型二、古典概型典型问题研究2、基本模型之二：分球入杯模型(2)杯子容量无限把4个球放入3个杯子，假设每个杯子可放任意多个球，求第1、2个杯子中各有两球的概率。4个球放入3个杯子的所有放法二、古典概型典型问题研究因此第1、2个杯子中各有两球的概率为同类型的问题：分人入房问题：人←球，房间←杯；生日问题：人←球，月份←杯；旅客下车问题：人←球，车站←杯；

印刷错误问题：错误←球，页码←杯。练习：有r个球，随机地放在n个盒子中(r≤n)，试求下列各事件的概率：(1)事件A1表示“某指定的r个盒子中各有一球”；(2)事件A2表示“恰有r个盒子，其中各有一球”；(3)事件A3表示“某指定的一个盒子，恰有k个球”。解:设A表示每个房间恰有1人,B表示空一房间,C表示空两房间分人入房问题

将张三、李四、王五3人等可能地分配到3个房间中去,每个房间可住任意多个人,试求(1)每个房间恰有1人的概率；(2)空一个房间的概率；(3)空两个房间的概率。或生日问题假设每人的生日在一年365天中的哪一天是等可能的,即都等于1/365,求50个人中至少有2人生日相同的概率.

解：50个人生日各不相同的概率为故50个人中至少有2人生日相同的概率为思考题将n个人随机地分配到N个房间里(n≤N)，求（1）每个房间至少有一个人住的概率；（2）指定的n个房间各有一个人住的概率；斯坦福大学数学课乘客下电梯问题：一楼房共15层，假设电梯在一楼启动时有10名乘客，且乘客在各层下电梯是等可能的,试求事件A1,A2,A3,A4的概率。事件A1表示“10个人在同一层下”；事件A2表示“10人都在第15层下”；事件A3表示“10人在不同的楼层下”；事件A4表示“10人恰有4人在第8层下”。解：总的基本事件数：各事件含有的基本事件数分别为：成双配对问题：从5双大小型号不同的鞋子中任意抽取4只，问能凑成两双鞋的概率？样本空间中样本点总数：事件A中样本点个数为：解：设事件A表示“能凑成两双鞋”事件A发生的概率为：思考：仅能凑成一双，无法凑成一双的鞋的概率呢？则样本空间中含有的样本点总数为：推广：从n双不同的鞋子中任取2r(2r<n)只,问:

(1)没有成双鞋子的概率;

(2)只有1双鞋子的概率;

(3)恰有r双鞋子的概率。解：设A,B,C分别表示上述事件：则事件A,B,C中含有样本点个数分别为：作业：P10：6,8,11练习：P10：5,7,9,10,12有限等可能一、古典概型的概念本节小结抽球模型(无放回抽球，放回抽球)→正次品抽样问题；彩票中奖问题；抽签问题等分球入杯模型(每个杯子只能放一个球,杯子容量无限)→分人入房问题，生日问题等。二、古典概型典型问题研究教学重点：古典概率问题的计算；教学难点：古典概率的典型实例。思考：古典概率是否满足统计概率的三条性质呢？解：设A表示没有一封信装对地址练习：某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，问没有一封信装对地址的概率？表示至少有一封信装对地址Ai表示第i封信装入第i个信封，i=1,2,3直接计算P(A)不易，我们先来计算于是代入计算的公式中直接计算P(A)不易，我们先来计算一、概率的公理化定义※二、概率的性质1.5概率的公理化定义教学重点：概率性质中加法公式,减法公式的灵活应用.教学难点：概率的公理化定义,概率的有限可加性的应用.理解随机事件概率的公理化定义和基本性质;掌握概率的加法公式,减法公式;会利用概率性质计算有关概率问题.知识点与基本要求：

1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使概率论有了迅速的发展。AndreyNikolaevichKolmogorov互不相容事件之和的概率等于概率之和一、概率的公理化定义n个两两互斥事件的和的概率等于概率之和二、概率的性质由概率的公理化定义可以推得概率的下列性质。(2)有限可加性：若是两两互斥的事件,则表示不可能事件的概率为0。注：其逆命题不成立。即概率为0的事件未必是不可能事件。同理，必然事件的概率为1，但概率为1的事件未必是必然事件。互补性:设是A的对立事件,则P()=1-P(A)AA单调不减性：若A

B，则

P(A)≥P(B)

(3)减法公式：对任意两个事件A,B,有P(A-B)=P(A)-P(AB)特别地，若A

B,则

P(A-B)=P(A)-P(B)SABAB练习：设P(A)=0.5,P(AB)=0.2,P(B)=0.4,

求P(A-B),P(B-A),P(A∪B).P(A)=P(AB)+P(A-B)可分性：A=AB∪(A-B)(4)加法公式：对任意两个事件A,B,有SABAB练习：掷3次硬币,求至少一次正面朝上的概率.答：1-1/8=7/8=3/8+3/8+1/8解例1：设事件A,B的概率分别为和,求下列三种情况下P(B-A)的值。(1)A,B互不相容；(2)AB；(3)P(AB)=SABAB例2：从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率(2)求取到的数能被8整除的概率(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率(4)求取到的数至少能被6，8其中之一整除的概率(3)求取到的数既不能被6整除也不能被8整除的概率答：33/200，25/200，8/200，50/200，150/200概率的公理化定义及其性质特别地，若AB＝Φ,则

P(A∪B)=P(A)＋P(B)(5)减法公式:P(A-B)=P(A)-P(AB)(6)单调不减性:若A

B,则

P(A)≥P(B)(7)加法公式:P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)(4)可分性:P(A)=P(AB)+P(A-B)(2)有限可加性：若是两两互斥的事件,则本节小结(3)互补性:P(A)＝1-P(A)练习2：某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.解设A,B,C分别表示订了甲报,乙报,丙报练习1：设A,B,C为三事件,且，求2.1-1条件概率与乘法公式

2.2-2全概率公式与贝叶斯公式2.1条件概率2.1-1条件概率与乘法公式教学重难点：条件概率、乘法公式的关系及计算。理解条件概率的概念及其应用；掌握条件概率的计算方法，会应用条件概率进行概率计算；理解概率的乘法公式的概念及其应用；会两个及多个事件之积的概率计算知识点与基本要求：引例掷一枚骰子，求(1)出现3个点的概率；(2)在已出现奇数点的条件下，出现3个点的概率。即事件B已发生,求事件A的条件概率P(A|B)A,B都发生,但样本空间缩小到只包含A的样本点思考：通过这个例子你有什么发现吗？S解：设事件A表示出现3个点，事件B表示出现奇数点例如P(A)=P(A|B)吗？P(A|B)如何求解？→条件概率引例

将一枚硬币抛掷两次,设事件A为“至少有一次正面”,事件B为“两次掷出同一面”.求事件A已发生的条件下,事件B发生的概率.分析：样本空间为易知},,{},,,{TTHHBTHHTHHA==在Ａ发生的条件下，考虑Ｂ发生的概率，样本空间缩减为条件概率的定义.)()()(,0)(,,条件概率发生的发生的条件下事件为在事件称且是两个事件设BAAPABPABPAPBA=>SReducedsamplespaceA方法2：B|A缩减的样本空间为ASamplespace

S方法1:样本空间S例1袋中装有6只球，4只红球，2只白球，先后两次从袋子中各取1球，取后不放回。求在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率。解设Ａi表示“第i次取得红球”,i=1,2或P(Ａ2|A1)=12/20=3/5P(Ａ2|A1)=P(Ａ1A2)/P(A1)=(12/30)/(20/30)=3/5思考：在第二次取到红球的条件下,第一次取到红球的概率第二次取到红球的概率。P(Ａ2)=20/30=2/3=P(Ａ1)P(Ａ1|A2)=P(Ａ1A2)/P(A2)=(12/30)/(20/30)=3/5练习1:盒子中装有4只产品,其中3只一等品、1只二等品.作不放回抽样,从中每次取1只,共取两次,设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,求(1)P(B|A)；(2)若抽样改为放回抽样结果如何？由条件概率的定义得解法一（条件概率的定义法）由于解法二（缩减样本空间法）当已知Ａ发生时，样本空间减缩为于是练习2:考虑恰有两个小孩的家庭(假设生男生女为等可能).求(1)已知家里有男孩,求这家有两个男孩的概率;(2)已知家里第一个是男孩,求这家有两个男孩的概率.解S={(b,b),(b,g),(g,b),(g,g)}B1={(b,b),(b,g)}

Ｂ={(b,b),(b,g),(g,b)}A={(b,b)}是B的子集设Ｂ表示“有男孩”B1表示“第一个是男孩”Ａ表示“有两个男孩”P(Ａ|B)=1/3,P(Ａ|B1)=1/2练习3：某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7,活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率.解设A表示“活到20岁”,B表示“活到25岁”则所求概率为思考：条件概率是否满足概率的公理化定义？非负性、规范性、可列可加性思考：条件概率是否满足概率的公理化定义呢？(3)可列可加性：设是两两互不相容事件,则;0)(:

)1(≥BAP非负性;1)(:

)2(=BSP规范性二、乘法公式

推广练习5：袋子中装有a个红球,b个白球,任取1球,取后放回，并加入c个同色的球,问连续3次都取到红球的概率。练习4:100件零件中有10件次品，每次取1件，取后不放回，求第三次才取到合格品的概率。解：设Ai表示第i次取到合格品，i=1,2,3解：设Bi表示第i次取到红球，i=1,2,3例2现有10把钥匙，其中有2把能打开门，从中任取2把，求(1)第二次才打开门的概率；(2)能打开门的概率。9*8*90/100*99*988/10*2/9=8/45;(8*2+2*9)/10*9=(2*8+1)/45=17/45例3

设,求解：由于练习6:某人忘记了电话号码的最后一位数字,因而他随意拨号.求他拨号不超过三次才接通所需电话的概率.练习7：设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次均未打破的概率.练习8：10个考签中有4个难签,3人参加抽签(不放回),甲先,乙次,丙最后,求①甲抽到难签;②甲,乙都抽到难签;③甲没抽到难签而乙抽到难签;④甲,乙,丙都抽到难签的概率.(1)条件概率本节小结(2)乘法公式综合练习

一个盒子中有６只白球、４只黑球,从中不放回地每次任取１只,连取２次,求(1)第一次取得白球的概率;(2)第一、第二次都取得白球的概率

(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率;(4)第二次取得白球的概率.解设Ａ表示第一次取得白球,Ｂ表示第二次取得白球（1）（2）（3）（4）610P(B)=练习6:某人忘记了电话号码的最后一位数字,因而他随意拨号.求他拨号不超过三次才接通所需电话的概率.解：设Ai表示“第i次拨通电话”,i=1,2,3;A表示“不超过三次拨通电话”练习7：设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次均未打破的概率.解以B

表示事件“透镜落下三次而未打破”.还有其他方法吗？练习8：10个考签中有4个难签,3人参加抽签(不放回),甲先,乙次,丙最后,求①甲抽到难签;②甲,乙都抽到难签;③甲没抽到难签而乙抽到难签;④甲,乙,丙都抽到难签的概率.解:设事件A,B,C分别表示甲乙丙各抽到难签2.1-2全概率公式

与贝叶斯公式教学重难点：全概率公式、贝叶斯公式的关系及其应用

。理解全概率公式的意义和方法，会应用全概率公式求解事件概率；理解贝叶斯公式的意义和方法，会应用贝叶斯公式求解事件概率。知识点与基本要求：引例：10张彩票中有2张能中奖，甲、乙两人各抽1次奖。若甲先抽，而乙并不知道甲抽得的结果，求乙抽到奖的概率？解：设A表示“甲抽到奖”，B表示“乙抽到奖”分类讨论。乙抽到奖可以分为两种情况，即甲抽到奖乙也抽到奖或甲没有抽到奖乙抽到奖，并且这两种情况是互不相容的（即甲要么抽到奖，要么抽不到）。

SABABSA将复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,应用概率的可加性求出结果.化整为零各个击破全概率公式

例1:用3台机床加工同种零件,零件用各机床加工的概率分别为0.5,0.3,0.2,各机床加工的零件的次品率分别为0.06,0.1,0.05,现从中抽取1零件，是合格品的概率.解:设A表示“零件为合格品”；

Bi表示“零件是由第i个机床加工的”，i=1,2,3某一事件A的发生有各种可能的原因Bi(i=1,2,…,n),如果A是由原因Bi所引起,则A发生的概率是每一原因Bi都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.从另一个角度去理解全概率公式练习1：一批产品，由甲厂生产的占45%

，其次品率为5%，由乙厂生产的占55%，其次品率为10%，现从这批产品中随机取1件，恰好取到次品的概率。练习2：现有A，B两个容器，容器A中装有7个红球3个白球，容器B中装有1个红球9个白球，现从两个容器中随意抽出1个球，问是红球的概率？这个红球是来自容器A的概率?

例2三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球，第二个箱子中有3个黑球，3个白球，第三个箱子有3个黑球，5个白球，现随机取一个箱子，再从这个箱子取出1个球，问这个球是白球的概率。解：设A表示“取到白球”，

Bi表示“从第i个箱子中取球”。例3袋中有5个球(3个白球),两人先后从袋中各取一球,求第二人取得白球的概率？解：设A表示第一人取得白球;B表示第二人取得白球注：（1）A与就是S的一个划分,上式是全概率公式的最简形式.（2）在此类情况下,无论两人的取球次序如何,两人取得白球的概率相同,这就是所谓的“公平抽签法”.练习：袋中有3个球,2白1红,三人排队抽球(不放回),每人取1个,每个人取到红球的概率.练习3：七人轮流抓阄，抓一张参观票，问第二人抓到的概率。

解：设Ai表示第i个人抓到参观票，i=1,2事实上，此类问题中每个人抓到的概率都一样，这就是“抓阄不分先后原理”。解:

四、贝叶斯公式该公式给出在事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率.贝叶斯公式由英国数学家托马斯·贝叶斯发展的。例4有一台用来检验产品质量的仪器,已知一只次品经检验被认为是次品的概率为0.99,一只正品经检验被认为是次品的概率为0.005,已知产品的次品率为4％,若一产品经检验被认为是次品,求它确为次品的概率.解:A表示“产品检验为次品”,B表示“产品确为次品”由题设知由贝叶斯公式知，所求概率为注：全概率公式与贝叶斯公式是计算复杂事件概率的重要工具.而贝叶斯公式反映的是“知果溯因”的概率问题.练习：8支步枪中5支已校准过,3支未校准.一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概率为0.8;用未校准过的枪射击时,中靶的概率为0.3.现从8支枪中任取一支用于射击,结果中靶,求所用的枪是校准过的概率.解：设A表示“射击中靶”,B表示“使用的枪校准过”由题设知小结：全概公式给了我们一个实际计算某些事件概率的公式假设B1，B2，Bn是S的一个划分，且事件Bi的概率P(Bi)(它们是试验前的假设概率称为先验概率)在Bi发生的条件下事件A的条件概率P(A|Bi)(i=1,2,…,n)，则由全概公式就可算出P(A)。现在我们进行了一次试验，若事件A确已发生了，则对于事件Bi的概率应给予重新估计，也就要计算在事件A已发生的条件下的Bi条件概率P(Bi|A)(它们是试验后的假设概率称为后验概率)，贝叶斯公式就给出了计算P(Bi|A)

例5

针对某种疾病进行一种化验,患该病的人中有90%呈阳性反应,而未患该病的人中有5%呈阳性反应.设人群中有1%的人患这种病,若某人做这种化验呈阳性反应,求他患这种病的概率。解：设A表示患这种病的人；B表示化验呈阳性反应；条件概率全概率公式贝叶斯公式本节小结乘法公式阅读文献：“狼来了”,试用概率论知识解释。全概率公式的应用:赌金分配问题假定他们俩再赌一局，或者梅勒赢，或者他的朋友赢。若梅勒赢满了5局，钱应该全归他；梅勒如果输了,即梅勒和他的朋友各赢4局，这个钱应该对半分。现在,梅勒赢、输的可能性都是1／2，所以，他应得赌金的1／2×1＋1／2×1／2＝3／4，他的朋友应得赌金的1／4。梅勒和他的朋友每人出30个金币，各自选取骰子的一个点数，谁选择的点数首先被掷出5次，谁就赢得全部的赌金。赌了半天，梅勒赢了4局，他的朋友赢了3局.时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个赌金应该怎么分？在参赛者面前有三扇关闭的门，其中只有一扇后面有汽车，而其余的后面是山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其后面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接着主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中后面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的机率更大一些吗？全概率公式的应用:三门问题.在打开山羊门的那一刹那，本来的选择结果已从1/3几率变到了1/2几率，你觉得这种说法是真的吗？事实上，如果参赛者改变初衷，他的中奖概率将变成2/3。有三种可能的情况，并且每种可能发生的概率都是1/3。①参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号，转换将赢得汽车。②参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号，转换将赢得汽车。③参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头，转换将失败。在前两种情况中，参赛者可以通过转换选择而赢得汽车，第三种情况是唯一一种参赛者通过保持原来选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是通过转换选择而赢的，所以通过转换选择而赢的概率是1/3×1+1/3×1+1/3×0=2/3。一个小孩每天到山上牧羊，山里经常群狼出没，十分危险。有一日，他突然在山上大喊“狼来了！狼来了!”，山下的村民闻听风声，纷纷举起锄头上山打狼，可是来到山上，发现狼没有来，一切只是小孩子的一个玩笑；第二天仍是如此；第三天，狼真的来了，可是无论小孩子怎么喊叫，也没有人来救他，他只好葬身狼腹。原来因为他前两次说了谎，人们便不再相信他了。贝叶斯公式的应用:狼来了假设事件A为“小孩说谎”，事件B为“小孩可信”。不妨设村民起初对这个小孩的可信度印象为

可信的孩子说谎的可能性，不可信的孩子说谎的可能性。P(B︱A)是指孩子说了一次谎之后，村民对他的可信度第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩子说了谎。于是村民根据这个信息对小孩子的可信度P(B)进行调整P(B︱A)。村民上了一次当之后，对这个小孩子保有的可信程度由原来的0.8调整为0.444，也就是此时，村民对这个小孩子的可信度印象为在此基础上，再一次应用贝叶斯公式计算P(B︱A)，也就是这个小孩子第二次说谎后，村民对他的可信程度的调整，于是，

表明村民经过两次上当后，对这个小孩子的可信程度已经从0.8调整到了0.138。全概率公式的引入注意到由概率的可加性

2.2

事件独立性事件的独立性讨论P(B),P(B|A),的关系引例：盒中装有5个球(3绿2红)，每次取出1个，有放回地取两次。事件A表示第一次取到绿球；事件B表示第二次取到绿球。（1）两事件相互独立※例如同时掷甲乙两枚骰子，A表示“甲出现3点”，B表示“乙出现6点”，则事件A、B相互独立吗？注：1、A、B相互独立，表示事件B的发生不受A的影响或A的发生不受B的影响。例如从一副无大小王的52张扑克牌中任取1张，A表示“取到黑桃”，B表示“取到A”，则事件A、B相互独立吗？求取到黑桃A的概率是多少？2、A、B相互独立等价于定理1设A、B是两个事件,若A、B相互独立,

则.反之亦然.（1）两事件相互独立重要定理定理2注：事件独立性典型实例有：有放回抽取；重复试验(如掷骰子,