第五节函数的极值与最值讲义-高二下学期数学人教A版选择性（原卷版）

0第五节函数的极值与最值【知识导学】1.极小值与极小值点若函数y=fx在点x=a的函数值fa比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'a=0,而且在点2.极大值与极大值点若函数y=fx在点x=b的函数值fb比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'b=0,而且在点x=注意:极小值点、极大值点统称为极值点,极小值、极大值统称为极值.图(1)图(2)3.极值概念辨析(1)按定义,极值点x0是区间a,b(2)极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.(3)如果fx在(a,b)内有极值,那么f(4)若函数fx在a,b上有极值且连续,则它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数fx在a,(5)可导函数的极值点必须是导数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点.例如函数fx=x3定义域4.求极值的方法一般地,求函数y=fx的极值的方法是:解方程f(1)如果在x0附近的左侧f'x0>(2)如果在x0附近的左侧f'x0<注意:若fx在x=a处取得极值b,则f5.函数的最大值与最小值一般地,如果在区间a,b上函数注意:①当fx的图象连续不断且在a②给定区间必须是闭区间,y=fx在开区间上虽然连续不断,但不能保证有最大值或最小值.例如fx=1x,x∈0,26.求y=fx在a,b上的最大值与最小值的步骤:①求函数y=fx②计算函数y=fx注意:某区间端点处的函数值可能是最值,但一定不是极值.7.函数的极值与最值的区别①极值是对某一点附近(即局部)而言的,最值是对函数的整个定义区间而言的.②在函数的定义区间内,极大(小)值可能有多个(或者没有),但最大(小)值最多有一个.③函数fx【核心基础达标】>基础点1:极值的相关概念【1】判断正误,正确的写“正确”,错误的写“错误”.（1）函数的极大值一定大于其极小值.()(2)导数为0的点一定是极值点.()(3)函数y=fx(4)函数的极值点是自变量的值,极值是函数值.()(5)函数的最大值不一定是函数的极大值.()(6)函数fx在区间a(7)函数fx在区间a,b上连续,则f(8)“fx在R上单调递增”是“f'x(9)函数fx在给定的区间a(10)若fx在R上存在极值,则它在R(11)有极值的函数一定有最值,有最值的函数不一定有极值.()>基础点2:导函数图像与极值的关系【2】函数fx的定义域为(a,b),导函数fA.函数fxB.函数fxC.函数fxD.函数fx【3】设函数fx在R上可导,其导函数为f'xA.fx有两个极值点B.f−2C.fx有两个极小值D.f−1【4】函数fx的导函数是f'xA.x=−1是B.x=2是C.fx在区间(2,D.fx在区间−【5】如图是函数y=fx①x=−2是函数②x=1是函数③y=fx④函数y=f则正确命题的序号是()A.①②B.②④C.②③D.①④【6】定义在R上的函数fx,其导函数为f且函数y=A.fx有极大值f−B.fx有极大值f−C.fx有极大值f−D.fx有极大值f−【7】(多选)函数fx的定义域为R,它的导函数yA.fB.x=1是C.函数fx在(D.x=−3是【重点题型专练】题型1:求已知函数的极值1.解答本题型时应注意f'x=0只是函数fx在x2.对于可导函数而言,它的单调递减区间和单调递增区间的分界点应是其导数符号正负交替的分界点:解题时,按照求函数极值的步骤,要注意表格的使用,利用表格,可使极值点两边的增减性一目了然,便于求极值.【8】求下列函数的极值:(1)fx=2xx2(3)fx=x3−(5)fx=x2efx题型2:讨论含参数的函数的极值【9】已知函数fx=x【10】已知函数fx=ax3【11】已知函数fx=x2+【12】(2023·四川)已知函数fx=x2−题型3:已知函数极值求参数【13】已知fx=x3+【14】已知函数fx=alnx【15】已知函数fx=1A.c<−1C.c≥−1【16】已知fx=1A.(0,1)B.−∞,C.0,2【17】设函数fx=x【18】已知函数fx=xA.m≥3或m≤0C.m>3【19】已知函数fx=x−ax−A.1B.2C.3D.4【20】(2425高三上·江西·阶段练习)若x=0是函数fxA.56B.23C.−【21】(2425高三·湖北武汉·阶段练习)已知函数fx=xA.−8,−C.[−7,−4【22】(2425高三上·贵州贵阳·阶段练习)已知函数fx=xA.−∞,3eC.1,3【23】(2425高三・四川)fx=13A.0,9C.−∞,−3D.【24】(2324高二下·福建龙岩·期中)已知函数fx=1题型4:求已知函数的最值求一个函数在闭区间上的最值时一般是找出该区间上导数为零的点,无需判断出是极大值点还是极小值点,只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较,其中最大的就是函数的最大值,最小的就是函数的最小值.【25】求下列函数的最值:fxfxfxfx【26】函数fx=e【27】函数fx【28】(2425高二・全国)函数fx0B.1C.2−2题型5:讨论含参数的函数的最值【29】(2425高三·安徽合肥·阶段练习)已知函数fx=xlnx【30】(2223高三上·陕西西安·期中)已知函数gx=ex−【31】(2025·浙江·高三模拟预测)已知a>0,函数fx【32】(2324高二下·上海·期末)已知函数fx=lnx−axa∈题型6:求已知函数的最值求参数【33】已知函数fx=ax3−6ax2+【34】(2024高二下・全国・专题练习)已知函数fx=13x【35】(2223高三·广西桂林·阶段练习)已知函数fx=ax+lnA.1B.1C.2D.2【36】设函数fx=x【37】若函数fx=x3−A.2B.1C.2D.10【38】若函数fx=x3−A.−2,C.−1,【39】已知函数fx=eA.(e,1)B.(1e,1)C.−e,+∞D.(0,e)【40】若函数fx=lnxA.(1,0)B.−∞,−C.(0,1)D.(1,1)【41】若函数fx=x3−【42】(2024・浙江)已知fx=ex,A.[−1,+∞)C.(−∞,−1]【43】(2223高二下·河南南阳·阶段练习)已知函数fx=ax−a【44】(2024高三·全国·专题练习)(提升)已知函数fx=x【45】(2425高二上・全国・课后作业)(提升)若函数fxA.a<eC.b<ea题型7:利用最值证明不等式利用最值证明不等式型如fx(1)构造函数法:即直接构造Fx=f(2)比较最值法:即证明fx(3)等价转化法:即将待证不等式左右两边进行等价变形,使得左右函数的最值可比较.(4)适当放缩构造法:根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论,从而判定不等关系.本章节只对前3种基础方法进行练习,放缩方法我们在后续专题中有专项练习.>方法1:构造函数法【46】(2324高二·福建宁德·阶段练习)我们知道fx(1)ex(2)xe【47】证明不等式lnx【48】证明:ex【49】当