（思维导图＋考点精讲）第二单元百分数（二）-六年级下册数学解决问题专项之利润问题人教版

——人教版六年级数学下册同步精讲第二单元百分数（二）内容导航TOC\o"11"\h\u思维导图 1考点精讲 2TOC\o"11"\h\u基础问题 3提升问题 6拓展问题 16思维导图考点精讲1.有关的概念：①成本价：进价，商品进货时的价格；②标价：原价，商品出售时所标明的价格；③售价：成交价格，商品出售时的实际价格；④利润：商品的纯收入，即实际售价高出成本价的钱数；⑤利润率：商品的利润与成本价的比率；2.有关的计算公式：①利润=售价成本价(进价)=标价×折扣成本价=成本价×利润率；②利润率=利润÷成本×100%③售价=成本价+利润=成本价×(1+利润率);④成本价＝售价÷（1＋利润率）⑤亏损=进货价售价⑥亏损率=(进货价售价)÷进货价×100%⑦不打折时，售价=标价；打折时，售价=标价×(打折数÷10).（注意：公式中的现价、售价、标价等名称根据具体题目理解区分）利润基础问题，考点一到考点三考点一：简单的利润和利润率之间利润=售价成本价(进价)=标价×折扣成本价=成本价×利润率利润率=利润÷成本×100%【典例】一件商品的成本是80元，售价是100元，利润是（）元，利润率是（）%。答案：利润是20元，利润率是25%。解析：利润=售价成本，即10080=20（元）。利润率=利润÷成本×100%，20÷80×100%=25%。【方法总结】利润=售价成本，利润率=利润÷成本×100%即时练习1一种商品的进价是120元，若要获得80元的利润，则售价应为（）元，利润率是（）%。答案：售价应为200元，利润率是约66.7%。解析：售价=进价+利润，120+80=200（元）。利润率=利润÷进价×100%，80÷120×100%≈66.7%。即时练习2售价为360元的书包，利润率为50%,则利润是多少元?【答案】120元【分析】把成本看作单位“1”,因为利润率为50%,利润率=利润+成本×100%可得，售价就是1+50%,单位“1”未知用除法求出成本，再用售价减去成本得利润。【解答】由分析得，成本：360÷(1+50%)=360÷1.5=240(元)利润：360240=120(元)答：利润是120元。【点评】此题考查的是百分率的应用，解答此题关键是根据利润率求出成本。即时练习3一件商品，商店的进价为50元，按80%的利润率出售，后来进行促销酬宾活动，这件商品打八折出售，售出这件商品实际获利多少钱?【分析】要想求出实际利润就要先求出实际售价，要通过原价打八折求出，而原价则要通过利润率的变形公式得出。【解答】50×(1+80%)×0.850=22(元)答：售出这件商品实际获利22元。考点二：已知利润，求进价进价＝现价－利润＝现价÷（1＋利润率）【典例1】1.商家把一个标价450元的空气炸锅打八折出售，仍可获利45元，这个空气炸锅的进价是()元。A.360B.315C.300D.270【答案】B【分析】根据标价×折扣=现价，用现价减去45即可求出空气炸锅的进价。【解答】450×80%45=36045=315(元)则这个空气炸锅的进价是315元。故答案为：B【方法总结】进价＝现价－利润，首先找现价和利润，本题先求现价＝标价×折扣。即时练习1互联网“微商”经营已成为大众创业的新途径。某平台上，一件商品的标价为200元，按标价的5折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为()。A.120元B.100元C.80元D.60元【答案】C【分析】把标价看作单位“1”,按标价的5折销售，即按标价的50%销售，标价×折扣=售价，售价获利=进价，据此列式计算。【解答】200×50%=200×0.5=100(元)10020=80(元)这件商品的进价为80元故答案为：C即时练习2一种商品按20%的利润定价，然后再打九折出售，售价是54元，这种商品的成本是多少?【答案】50元【分析】根据题意，商品的定价打九折出售是54元，即售价是定价的90%,把定价看作单位“1”,根据已知一个数的百分之几是多少，用除法计算，求出商品的定价；又已知这种商品按20%的利润定价，即定价比成本高20%,把商品的成本看作单位“1",则定价是成本的(1+20%),单位“1”未知，用除法计算，求出这种商品的成本。【解答】54÷90%=54÷0.9=60(元)60÷(1+20%)=60÷1.2=50(元)答：这种商品的成本是50元。考点三：已知利润率，求进价（基础）进价＝现价÷（1＋利润率）【典例】一台笔记本电脑的售价为5000元，现在按八八折出售，还可以获利10%,这台笔记本电脑的进价是()元。【答案】4000【分析】八八折就是按照售价的88%出售，则出售的价格为(5000×88%)元；设进价为“1”,获利10%,则实际出售的价格是进价的(1+10%),用出售的价格除以(1+10%)即可求出进价是多少元。【解答】5000×88%÷(1+10%)=5000×0.88÷1.1=4400÷1.1=4000(元)这台笔记本的进价是4000元。【方法总结】进价＝现价÷（1＋利润率），首先找现价，本题先求现价＝原来售价×折扣。即时练习1一个篮球的标价为120元，若以八折优惠出售后仍可获利20%,这个篮球的进价是()元。【答案】80【分析】商品的实际售价是标价×80%=进货价+所得利润。设该商品的进货价为x元，根据题意列方程得x+20%xx=120×80%,解这个方程即可求出进货价。【解答】解：设该商品的进货价为x元。x+20%xx=120×80%x+0.2x=961.2x=961.2x÷1.2=96÷1.2x=80该商品的进货价为80元。【点评】解决本题的关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，亦可根据利润=售价进价列方程求解。利润提升问题，考点四到考点七考点四：已知利润，求进价（提升）进价＝现价－利润【典例2】一件商品的进价加上40元是定价，一位顾客买这种商品打八折，商场还赚12元。求这种商品的进价是多少元?【分析】商品进价加上12元等于售价，定价的八折也等于售价。据此可以得到等量关系式：商品进价+12=定价×80%。【解答】设这件商品的进价是x元，即有：x+12=(x+40)×80%x=100答：这件商品的进价为100元。【总结】解答有关求定价和进价等折扣问题时，要看所给的折扣是定价的百分之几还是进价的百分之几，要先确定好单位“1”。即时练习1某商场购进一批电视，按照盈利定价，然后再打九折出售，这样每台电视机还可以获得120元的利润，这批电视机每台的进价是多少元？【答案】1500元【分析】把每台电视机的进价看作单位“1”，则定价是，再根据现价原价折扣，即可计算出现价是原价的百分之几，最后根据单位“1”对应量对应分率，用120元除以它所对应的百分率，即可计算出这批电视机每台的进价是多少元。【解答】（元）答：这批电视机每台的进价是1500元。即时练习2某商品的原价是120元，先降价15%，再打九折出售后，仍可赚50元。这件商品的进价是多少元？【答案】41.8元【分析】把原价看作单位“1”，由于先降价15%，即此时的价格是原价的：1－15%＝85%，单位“1”已知，用乘法，求出降价后的价格，打九折相当于原价的90%，用降价后的价格×90%即可求出打九折后的价格，根据“现价－进价＝利润，进价＝现价－利润。”依此计算即可。【解答】120×（1－15%）×90%－50＝120×85%×90%－50＝102×90%－50＝91.8－50＝41.8（元）答：这件商品的进价是41.8元。【点评】本题主要考查折扣问题。根据商品降价、打折情况计算出现价，再根据现价、进价、利润三者之间的关系进行列式计算，解决问题。即时练习3一套衣服按的利润定价，五一活动打八折出售，这套衣服仍能获利60元，这套衣服进价是多少元？【答案】300元【分析】先把进价看作单位“1”，按的利润定价，则定价是它的；八折销售，那么售价就是定价的，根据百分数乘法的意义：售价就是进价的；用求出的售价再减去1，就是赚的钱数是成本价的百分之几（即利润率），它对应的数量是60元，已知具体数值，以及其对应的百分率，根据百分数除法的意义，再用除法求出进价即可。【解答】由分析可得：（元）答：这套衣服进价是300元。考点五：已知利润率，求定价售价=成本价+利润=成本价×(1+利润率)【典例】某书出售时比定价降低了10%,第二次出版增加了篇幅，比上次售价增加10%出售，售价为9.9元。原版书每本的定价是多少元?【分析】使用倒推法：从“比上次售价增加10%出售，售价为9.9元”可以求出第一次的售价，求出的这个售价相当于定价的(110%),那么我们就能求出原版书的定价了。【解答】9.9÷(1+10%)÷(110%)=10(元)答：原版书每本的定价是10元。即时练习1个体户小张，把某种商品按标价的九折出售，仍可获利20%，若按货物的进价为每件24元，求每件的标价是多少元？【答案】32元【分析】用进价乘（1＋20%），先求出商品的实际售价，再将其除以90%，求出商品标价。【解答】24×（1＋20%）＝24×120%＝28.8（元）28.8÷90%＝32（元）答：每件的标价是32元。即时练习2．一件衣服按标价的八折出售可获利20%，如果衣服的成本价是200元，那么衣服的标价是多少元？【答案】300元【分析】把这件衣服的成本价看作单位“1”，标价的八折＝成本价×（1＋20%），则这件衣服的标价＝标价的八折÷80%，据此解答。【解答】标价的八折：200×（1＋20%）＝240（元）八折＝80%标价：240÷80%＝300（元）答：衣服的标价是300元。【点评】分析题意计算出这件衣服打完八折之后的价格是解答题目的关键。即时练习3某商品打7.5折后，商家仍然可得25%的利润。如果该商品是以每件16.8元的价格进的，该商品在货架上的标价是多少？【答案】28元【分析】用进价乘（1＋25%）先求出商品的实际售价，再将其除以75%，求出商品标价。【解答】16.8×（1＋25%）＝16.8×125%＝21（元）21÷75%＝28（元）答：该商品在货架上的标价是28元。【点评】本题考查了折扣问题，明确7.5折是按照标价的75%出售是解题的关键。考点六：盈亏问题已知售价和利润率，先求出各自进价，再判断盈亏情况。盈亏问题基本公式。(盈+亏)÷两次分配之差=份数(大盈一小盈)÷两次分配之差=份数(大亏一小亏)÷两次分配之差=份数。【典例1】判断盈亏A品牌空调定价6875元，商家以八折出售会盈利10%。某顾客在八折的基础上要求再让利550元，如果这样交易，商家会盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？【答案】亏损；50元【分析】根据题意，空调标价6875元，商家以八折出售，则售价为元，商家以八折出售会盈利10%，则进价＝售价÷（1＋10%），据此算出空调的进价；某顾客在八折的基础上要求再让利550元，则实际卖价为元，然后与进价进行比较即可解答。【解答】进价：（元）实际卖价：（元），即进价高于实际卖价，故商家会亏损；（元）答：商家会亏损；亏损50元。即时练习1某商店同时出售了两件商品，售价都是240元，一件亏损了20%，另一件盈利20%，对商家来说是赚了还是亏了？赚了（或亏了）多少？【答案】亏了；20元【分析】盈利成本＝售价÷（1＋利润率），亏损成本＝售价÷（1－利润率），已知售价与利润率可以分别算出两件商品的成本，再用成本与售价进行比较即可。【解答】240÷（1－20%）＝240÷80%＝240÷0.8＝300（元）240÷（1＋20%）＝240÷120%＝240÷1.2＝200（元）成本共：300＋200＝500（元）售价共：240×2＝480（元）500－480＝20（元）答：亏了；亏了20元。即时练习2某商店同时卖出两件商品，每件各得30元，其中一件盈利20%，另一件亏本20%．这个商店卖出这两件商品总体上盈利还是亏本？具体是多少?【答案】亏本；2.5元【解答】30÷(1+20%)=25（元）30÷(120%)=37.5（元）30×2=60（元）25+37.5=62.5（元）60元＜62.5元62.560=2.5元

答：亏本，亏本2.5元【典例2】由盈亏计算华兴商场对商品进行促销，广告写道：本店商品一律八五折优惠。一种电器按定价打完折后，发现每台可盈利300元。促销结束后，为了进一步提高这种电器市场占有率，商场决定减少定价的25%，这样仍可盈利60元。这种电器每台定价多少元？进价是多少元？【答案】2400元；1740元【分析】根据题意可得：定价×85%＝进价＋300，定价×（1－25%）＝进价＋60，因此，定价＝（300－60）÷[85%－（1－25%）]＝2400（元），然后再求出进价即可。【解答】（300－60）÷[85%－（1－25%）]＝240÷[85%－75%]＝240÷10%＝2400（元）2400×85%－300＝2040－300＝1740（元）答：这种电器每台定价2400元，进价是1740元。【点评】本题的关键是定价的85%，获利300元；定价减少25%就是定价的75%，获利60元。所以定价的10%是相差的（300－60）元，用除法计算出定价即可。即时练习1一件商品出售，如果按原价降低一成，仍可盈利200元；如果降价二成，则亏损220元。这件商品原价多少元？【答案】4200元【分析】把这件商品的原价看成单位“1”。降低一成，仍可盈利200元，即现价比原价降低10%，则现价是原价的90%，可得出：原价×90%－成本＝200元；如果降价二成，则亏损220元，即现价比原价降低20%，则现价是原价的80%，可得出：成本－原价×80%＝220元；那么盈利200元与亏损220元相差的（200＋220）元占原价的（90%－80%），单位“1”未知，根据百分数除法的意义解答，求出这件商品的原价。【解答】一成＝10%，二成＝20%（1－10%）－（1－20%）＝10%（200＋220）÷10%＝4200（元）答：这件商品原价4200元。【点评】掌握原价、现价、成本、盈利、亏损之间的关系，分析出盈利与亏损相差的金额占原价的百分之几是解题的关键。即时练习2“五一”劳动节当天，电器商场将某品牌电视机降价出售。如果按定价降低一成出售，可以盈利120元；如果按定价降价一成五出售，则亏损120元，该品牌电视机定价多少元？【答案】4800元【分析】将定价看作单位“1”，几成就是百分之几十，降低一成出售是定价的（1－10%），降低一成五是定价的（1－15%），因为进价一定，根据定价×（1－10%）－盈利钱数＝定价×（1－15%）＋亏损钱数，列出方程解答即可。【解答】解：设该品牌电视机定价x元。（1－10%）x－120＝（1－15%）x＋1200.9x－120＝0.85x＋1200.9x－120－0.85x＋120＝0.85x＋120－0.85x＋1200.05x＝2400.05x÷0.05＝240÷0.05x＝4800答：该品牌电视机定价4800元。【点评】关键是理解成数的意义，用方程解决问题的关键是找到等量关系，根据进价一定，确定等量关系，列方程解答。即时练习3某商场在迎奥运展销期间，将一批电视机降价出售。如果打9折出售，可盈利215元；如果打8折出售，亏损120元。问此电视机的购入价是多少元？【答案】2800元【分析】打9折与打8折相差原价的10%，是120＋215＝335元，则用335÷10%即可求出原价；现价＝原价×折扣，用原价乘90%求出打9折的售价，再减去盈利的215元，就是电视机的购入价。【解答】电视机原价：（120＋215）÷（90%－80%）＝335÷10%＝3350（元）购入价：3350×90%－215＝3350×0.9－215＝3015－215＝2800（元）答：电视机的购入价是2800元。考点六：设数型利润问题设数法是一种常见的数学解题技巧，尤其适用于利润问题。它的核心思想是通过设定某些变量的具体数值，简化计算过程，使问题更容易解决。在利润问题中，如果题目涉及的比例、百分比或折扣较多，而具体的数值较少，这时就可以考虑使用设数法。通常情况下，我们会将成本、售价或利润等关键变量设为100或其他便于计算的数值，以此为基础进行计算。【典例】足球赛门票15元一张，降价后观众人数增加一半，收入增加了20%，则一张门票降价了多少元？【解析】①由于观众人数不知道，所以收入也就无法确定；②设原来观众为1，收入就是15元；③现在观众人数为1×（1+50%）=1.5，收入为15×（1+20%）=18（元）④原来门票单价15元，现在门票单价18÷1.5=12（元）；⑤门票价降低1512=3（元）⑥答：门票降价了3元。即时练习1某品牌西服原价800元一套，为了促销，降低了价格，销量增加了1倍，收入增加了40%。问每套西服降价多少元？【解析】①设原来西服销量为1件；②现在西服销量为1×（1+1）=2件；③现在收入为800×（1+40%）=1120（元）④现在西服单价1120÷2=560（元）⑤每套西服降价800560=240（元）⑥答：每套西服降价240元。即时练习2一种服装，甲店比乙店的进货便宜10%，甲店按照20%的利润定价，乙店按照15%的利润定价，甲店比乙店的出厂价便宜11.2元，问甲店的进货价是多少元?解法一：【解析】①乙店的进货价为单位1，则甲店的进货价是乙店的110%=0.9；②甲店的定价相当于乙店进货价的0.9×（1+20%）=108%；③乙店现在的定价是进价的1×（1+15%）=115%;④因为甲店比乙店的出厂价便宜11.2元，也就是便宜115%108%=7%；⑤乙店进货价为11.2÷7%=160（元）⑥甲店进货价为160×(110%)=144(元)⑦列式：11.2÷[（1+15%）（110%）×（1+20%）]=160（元）160×(110%)=144(元)解法二：解:设乙店的成本价为11×(1+15%)是乙店的定价1×(110%)×(1+20%)是甲店的定价1×(1+15%)1×(110%)×(1+20%)=7%11.2÷7%=160(元)160×(110%)=144(元)答:甲店的进货价为144元。考点七：订购型利润问题订购型利润问题通常涉及商品的订购数量、售价、成本以及利润之间的关系。【典例】赵先生向商店订购某种商品，每件定价100元，共订购60件，赵先生对商店经理说:“如果你肯减价，每件每减1元，我就多订购3件。”商店经理算了一下，如果减价4%,由于赵先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润,这种商品每件的成本是多少元？方法一：【解析】①如果你肯减价，每件每减1元，我就多订购3件；②减价4%，就得多订购的件数为:100×4%=4（元），4×3=12(件)；③原来60件商品利润下降4×60=240（元）④这240元要从这12件商品进行弥补才能和原来获得一样多的利润。⑤所以现在这12件商品的利润为240，每件商品获利240÷12=20（元）⑥原来每件商品获利20+4=24（元）⑦成本为10024=76（元）方法二：【解析】:多订购的件数为:100×4%×3=12(件)设不降价时每一件商品的利润为x元。则60x=(x4)×(60+12)12x=288x=2410024=76(元)答：每件商品的成本是76元。即时练习1某人订购某种商品60件，每件定价100元，该人对商店提出条件:每减价1元多订购3件，商店经理计算了一下，如果减价5%，由于对方多订购，仍能获得原来一样多的利润，则这种商品的成本是多少元?【解析】①如果你肯减价，每件每减1元，我就多订购3件；②减价5%，就得多订购的件数为:100×5%=5（元），5×3=15(件)；③原来60件商品利润下降5×60=300（元）④这300元要从这15件商品进行弥补才能和原来获得一样多的利润。⑤所以现在这15件商品的利润为300元，每件商品获利300÷15=20（元）⑥原来每件商品获利20+5=25（元）⑦成本为10025=75（元）利润拓展问题，考点八到考点十考点八：假设型利润问题假设型利润问题通常涉及设定特定的成本、售价或利润率，然后通过这些假设来解决相关的利润问题解题方法：方程法，通常用于已知某些变量之间的关系，通过设立方程来解决问题。【典例】有甲、乙两种商品，成本价共1500元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按35%的利润定价，两种商品都按定价的80%出售，结果共获得利润92元，那么甲、乙商品的成本价各是多少元?方法一：【解析】①两种商品都按定价的80%出售，结果共获得利润92元；②总售价1500+92=1592元，售价是定价的80%；③总定价1592÷80%=1990元；④甲、乙两种商品如果都按成本的30%来定价，则总定价应为1500×（1+30%）=1950元⑤比实际总定价少19901950=40元，少了乙商品成本的35%30%=5%；⑥乙商品成本为40÷5%=800元，甲商品成本为1500800=700元⑦列式：乙商品成本为[（1500+92）÷80%1500×（1+30%）]÷（35%30%）=700（元），甲商品成本为1500800=700元。方法二：解:设甲种商品成本价为x元，则乙种商品成本价为(1500x)元.[(1+30%)x+(1500x)×(1+35%)]×80%=1500+92解得：x=7001500700=800(元)答:甲种商品成本价是700元，乙种商品成本价是800元。即时练习1甲、乙两种商品的成本共2200元。甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来两种商品都按定价的90%出售，结果仍获利润131元。甲商品的成本是多少元？【解析】解:设甲种商品成本价为x元，则乙种商品成本价为(2200x)元.[(1+20%)x+(2200x)×(1+15%)]×90%=2200+131解得：x=1200答:甲种商品成本价是1200元.即时练习2甲、乙两件商品成本共200元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价，后来两件商品都按定价的90%出售，结果仍获利27.7元，求甲商品的成本。【解析】200×(1+20%)÷90%200=16（元）(27.716)÷(30%20%)÷90%=130（元）考点九：损耗型利润问题商店老板到苹果产地收购了2吨苹果，收购价为每