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文档简介

弦切角的性质复习切线的性质定理切线的判定定理两个条件不可缺少CEABDEABD(C)猜想△ABC是⊙O的内接三角形,CE是⊙O的切线,则∠BCE=∠A几何画板分三种情况考虑证明:(1)如图,圆心O在△ABC的边BC上,即△ABC是直角三角形.∵CE为切线∴∠BCE=90

又∵∠A是半圆上的圆周角∴∠A=90

∴∠BCE=∠AEBOCAPEOCAB(2)如图,圆心O在△ABC的内部,即△ABC为锐角三角形.作⊙O的直径CP,连接AP,则∠PCE=∠CAP=90

∵∠BCE=∠PCE-∠PCB=90-∠PCB∠BAC=∠CAP-∠PAB=90-∠PAB而∠PAB=∠PCB∴∠BCE=∠BAC证明:PEOCAB(3)如图,圆心O在△ABC的外部,即△ABC为钝角三角形.作⊙O的直径CP,连接AP,则∠PCE=∠CAP=90

∵∠BCE=∠PCE+∠PCB=90+∠PCB∠BAC=∠CAP+∠PAB=90+∠PAB而∠PAB=∠PCB∴∠BCE=∠BAC综合1,2,3猜想成立证明:如图,∠BAC的顶点在圆上,一边和圆相切,另一边和圆相交,像这样的角称为弦切角.弦切角问：1.三个图中各有几个弦切角？它们所夹的弧各是什么？所夹的弧是半圆的弦切角为_________角；所夹的弧是劣弧的弦切角为_________角；当弦切角为钝角时，其所夹的弧是_________弧.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是通过它们夹的（或对的）同一条弧（或等弧）联系起来，因此，当已知有切线时常添线构建弦切角或添切点处的半径应用切线的性质证明:

连接BC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90

∴∠B+∠CAB=90

∵AD⊥CE∴∠ADC=90

∴∠ACD+∠DAC=90

∵AC是弦,且直线CE和⊙O切于点C∴∠ACD=∠B∴∠DAC=∠CAB,即AC平分∠BADEDAOBC例

如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足为D.求证:AC平分∠BAD堂上练习已知:

如图,∠1=∠2,EF切圆于点D.求证:

BC∥EFDCBAEG12分析:

直线BC和直线EF被直线AD所截,因此可以通过同位角相等、内错角相等或同旁内角互补来证明BC∥EF堂上练习已知:

如图,∠1=∠2,EF切圆于点D.求证:

BC∥EFDCBAEG12证明:

由弦切角定理,得∠ADF=ABC+∠2.又因为∠AGC=∠ABC+∠1∠1=∠2,所以∠ADF=∠AGC因此BC∥EF已知:

如图,PA,PB分别与⊙O相切于点A和B,AC是⊙O的直径.求证:∠APB=2∠BAC堂上练习PCOAB证明:

连接BC在△PAB中,

∠APB=180-∠PAB-∠ABP由弦切角定理,得

∠PAB=∠ACB=∠ABP,∴∠APB=180-2∠ACB在Rt△ABC中,∠BAC=90-∠ACB∴∠APB=2∠BAC1、弦切角定义：

(1)顶点在圆上；

(2)一边和圆相交；

(3)一边和圆相切。课堂小结ABC2.定理的证明

(化归思想

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