《高等数学(上册)》课件-第5章

第5章定积分及其应用

5.1定积分的概念与性质5.2微积分基本定理5.3定积分的计算方法

5.4广义积分

5.5定积分的几何应用

5.6定积分的物理应用

本章小结

5.1定积分的概念与性质

5.1.1实际背景问题引例5-1(校园草坪面积问题)某学校校园草坪平面图形尺寸如图5-1所示(单位：m)，其中曲线段部分是抛物线型，试计算草坪的面积.因为图5-1所示的图形不是规则图形，所以它的面积不能用学过的规则图形的面积公式直接求解.该图形的三条边是直线，其中有两条边垂直于第三条底边，而第四条边是曲线段，这样的图形我们称为曲边梯形.观察图5-2所示的图形发现：阴影部分的面积是两个曲边梯形面积之差.计算任意曲线所围成的平面图形面积的关键在于计算曲边梯形的面积.下面将研究曲边梯形的面积.图5-1图5-2

1.曲边梯形的面积

设函数f(x)在区间［a，b］上非负、连续，由直线x=a、x=b、y=0及曲线f(x)所围成的图形称为曲边梯形，如图5-3所示.联系到函数f(x)在区间［a，b］上连续，如果［a，b］长度很小时，f(x)的改变量很小，那么曲边梯形的面积可用矩形面积近似.由此启发我们把区间［a，b］划分为若干小区间，在每个小区间用小矩形的面积近似代替对应的小曲边梯形面积，如图5-3所示.显然，小矩形越多，矩形的总面积越接近曲边梯形的面积.为此我们采用以下步骤：

(1)分割.在区间［a，b］内插入若干个分点a=x0<x1<…<xn－1<xn=b把区间［a，b］分成n个小区间［xi－1，xi］，长度记作Δxi=xi－xi－1(i=1，2，…，n).图5-3

(2)近似.在每个小区间［xi－1，xi］上任取一点ξi，第i个小曲边梯形的面积近似为Ai≈f(ξi)Δxi(i=1，2，…，n)

(3)求和.将n个小矩形的面积相加，得到曲边梯形面积的近似值为

(4)取极限.当分割无限加细，即小区间的最大长度趋近于零(λ→0)时，小矩形的面积之和趋近于曲边梯形面积，即

2.变速直线运动的路程引例5-2已知物体直线运动的速度v=v(t)是时间t的连续函数，且v(t)≥0，计算物体在时间段［T1，T2］内所经过的路程s.由于速度v=v(t)连续，在解题思路上与求曲边梯形的面积类似：

(1)分割.T1=t0<t1<…<tn－1<tn=T2，［ti－1，ti］(i=1，2，…，n)，记Δti=ti－ti－1；

(2)近似.物体在时间［ti－1，ti］内所经过的路程近似为v(τi)Δti，τi∈［ti－1，ti］(i=1，2，…，n)；

(3)求和.物体在时间段［T1，T2］内所经过的路程近似为；

(4)取极限.记λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}，物体所经过的路程为5.1.2定积分的定义以上两个问题虽然研究的对象不同，但解决问题的思路和数学模型的形式相同，抓住它们的共性本质与特性等，加以概括，可抽象出如下的定义：定义5-1设函数f(x)在区间［a，b］上有定义，在区间［a，b］中任意插入分点a=x0<x1<…<xn－1<xn=b，把区间［a，b］分成一些小区间［x0，x1］、［x1，x2］、…、［xn－1，xn］，记Δxi=xi－xi－1(i=1，2，…，n)，λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}，在每个小区间上任取ξi∈［xi－1，xi］，作乘积的和式，如果存在，则称f(x)在区间［a，b］上可积，其极限值称为f(x)在区间［a，b］上的定积分，记为(5-1)其中，f(x)称为被积函数；f(x)dx称为被积表达式；x称为积分变量；a称为积分下限；b称为积分上限；［a，b］称为积分区间.如果不存在，那么称f(x)在区间［a，b］上不可积.由定积分的定义，前面讨论的两个引例可分别用定积分表示如下：曲边梯形的面积为变速直线运动的路程为根据定积分的定义，可得:

(1)定积分的结果是一个数，它只与被积函数f(x)和积分区间[a,b]有关，与区间[a,b]的分法、点的取法及积分变量的记号均无关，即

(2)定义中要求，为方便起见，允许b≤a

，并规定：

(3)可积的条件：若函数f(x)在[a,b]上连续或仅有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积.（证明略）初等函数在定义区间内都是可积的.5.1.3定积分的几何意义

(1)若f(x)在区间［a，b］上有f(x)≥0，则表示曲边梯形的面积，即图5-4中所示阴影部分的面积为图5-4

(2)若f(x)在区间［a，b］上有f(x)≤0，则表示曲边梯形的面积的相反数，即

(3)若在［a，b］上f(x)有正有负，则等于［a，b］上位于x轴上方的图形面积减去x轴下方的图形面积.例如对图5-5所示图形有其中A1、A2、A3分别是图5-5中对应的图形面积.图5-5综上所述：表示由直线x=a、x=b、y=0及曲线f(x)所围成的图形面积的代数和，这就是定积分的几何意义.5.1.4定积分的性质假设函数在所讨论的区间内可积，根据定积分的定义可得(证明略)：性质5-1被积函数的非零常量因子可提到积分号之前.即性质5-2函数的代数和可逐项积分.即这个性质可推广到有限个函数的代数和的定积分.性质5-3(积分区间的可分性)对任意的a≤c≤b，有注：时，该结论仍成立，如图5-6和图5-7所示.图5-6图5-7性质5-4如果f(x)在区间[a，b]上恒等于1，那么；性质5-5(积分值的比较)若在区间[a，b]上f(x)≤g(x)，则推论5-1.性质5-6(估值定理)若f(x)在［a，b］上连续，其最小值、最大值分别记为m和M，则估值定理的几何意义：由连续曲线f(x)和直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积，介于以b－a为底、以最小值m及最大值M为高的两个矩形面积之间，如图5-8所示.图5-8性质5-7(积分中值定理)如果f(x)在［a，b］上连续，则至少存在一点ξ∈(a，b)，使得积分中值定理的几何意义：由连续曲线f(x)和直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积，等于以b－a为底、以某一点ξ∈(a，b)处的函数值f(ξ)为高的矩形的面积，如图5-9所示.通常我们把称为f(x)在［a，b］上的平均值.例5-1比较定积分与的大小.解因为|sinx|≤1，所以sin10x≤sin2x，故例5-2估计定积分的取值范围.解令f(x)=ex－arctanx，则.在区间［0，1］上，f′(x)≥0，即f(x)在［0，1］上单调增加，故根据定积分的性质5-6，得即5.2微积分基本定理

5.2.1变上限的定积分定义5-2设函数f(x)在区间［a，b］上连续，设x∈［a，b］，则定积分是一个与x有关的量，称为变上限的定积分[HT]或称变上限(积分)函数.从几何上看，函数Φ(x)表示区间［a，x］上的曲边梯形的面积，如图5-10中所示的阴影部分.图5-10定理5-1如果函数f(x)在区间［a，b］上连续，则变上限积分函数在［a，b］上可导，且Φ′(x)=f(x)

(a≤x≤b)

证明对x∈(a，b)，当x→x+Δx时

由积分中值定理得:ΔΦ=f(ξ)Δx(ξ在x与Δx之间)，当Δx→0时，ξ→x，而f(x)在［a，b］上连续，得即Φ′(x)=f(x)由定理5-1可知函数Φ(x)是f(x)的一个原函数.从而有以下推论.推论5-2连续函数的原函数一定存在.例5-3

求下列函数的导数.(1)(2)解

(1)根据定理5-1得:.可以看作是和u=sinx,形成的复合函数,根据复合函数求导法则,得一般地，有例5-4计算.解这是一个“”型的未定式，利用洛必达法则，得5.2.2牛顿-莱布尼兹公式

定理5-2如果函数F(x)是连续函数f(x)在［a，b］上的一个原函数，那么式(5-2)称为牛顿-莱布尼兹公式，也称为微积分基本公式.

证明由定理5-1得，是f(x)的一个原函数；又知F(x)也是f(x)的一个原函数，而两个原函数之间仅相差一个常数，所以(a≤x≤b)在上式中，令x=a，解得C=－F(a)，再代入上式得再令x=b，并把积分变量t换成x，便得到为方便表示，通常记或.于是式(5-2)可写成F(b)－F(a)该式表明了定积分与不定积分的密切关系.定理5-1和定理5-2揭示了微分与积分以及定积分与不定积分之间的内在联系，因此统称为微积分基本定理.例5-5

计算.解

因为是x2的一个原函数，所以例5-6计算.解因为，所以例5-7设，求.解由例5-7可知：分段函数可逐段积分.例5-8(引例5-1校园草坪面积问题)某学校校园草坪平面图形尺寸如图5-1所示(单位：m)，其中曲线段部分是抛物线型，试计算草坪的面积.解建立平面直角坐标系如图5-11所示，则草坪由直线x=－10、x=10、x轴及抛物线围成.依题意得:抛物线顶点为(0，4)，且过点(±10，10)，可确定抛物线的解析式为y=0.06x2+4则由定积分的几何意义草坪的面积为图5-11

例5-9汽车以36km/h的速度行驶，到达某处时需要减速停车，设汽车以等加速度a=－5m/s2刹车.问汽车从开始刹车到停车走了多少距离？解求汽车从开始刹车到停车所需的时间.当t=0时，汽车速度为v0=36km/h=10m/s.刹车后，t时刻汽车的速度为v(t)=v0+at=10－5t当汽车停止时，速度v(t)=0，得t=2(s).于是汽车从开始刹车到停车所走过的距离为

即在刹车后，汽车需走过10m才能停住.5.3定积分的计算方法

5.3.1定积分的换元法

定理5-3设函数f(x)在［a，b］上连续，函数x=φ(t)在［α，β］上单调可导，且φ(α)=a，φ(β)=b，则(5-3)式(5-3)称为定积分的换元积分公式，应用公式(5-3)求定积分的方法称为定积分的换元法.证明假设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx=F(x)+C，即于是定积分的换元须注意：换元必换限，原上(下)限对新上(下)限.例5-10计算.解设x=asint，则dx=acostdt.当x=0时，t=0；当x=a时，，于是例5-11计算.解法一:令x=cost，则dx=－sintdt.当x=0时，；当时，t=0，则解法二:因为在解法二中应用了凑微分法，未引入新变量，所以不用更换积分限，过程较简便.实际中，对于能用凑微分法求原函数的积分，尽可能地用凑微分法.例5-12计算.

解

例5-13设函数f(x)在区间［－a，a］上连续(a>0)，证明：

(1)若f(x)为偶函数，则；

(2)若f(x)为奇函数，则.证明

(1)因为而又因为f(x)为偶函数，所以f(x)=f(－x)，故

(2)该问的证明与(1)类似，留给读者自行完成.利用以上结果，可简化对称区间［－a，a］上奇、偶函数的定积分计算.例5-14计算.解设，则f(－x)=－f(x)，该函数为奇函数，利用例5-13的结果得5.3.2定积分的分部积分法定理5-4如果u=u(x)，v=v(x)，在［a，b］上具有连续导数，则(5-4)式(5-4)称为定积分的分部积分公式.其特点为：边代值边积分.证明因为上式移项，得例5-15求.解设u=x，dv=cosxdx，则du=dx，v=sinx，于是例5-16计算.解例5-17计算.解

例5-18

设，证明：(1)当n为正偶数时，(2)当n为大于1的正奇数时，证明因为所以得递推公式而，因此，当n为正偶数时，；当n为大于1的奇数时，.5.4广义积分

5.4.1无穷区间上的广义积分

定义5-3设函数f(x)在［a，+∞)上连续，且对任意的b>a，我们称极限为函数f(x)在［a，+∞)上的广义积分，记作，即

若存在，则称该广义积分收敛；否则称该广义积分发散.类似地，可定义在(－∞，b］上连续的函数f(x)的广义积分在(－∞，+∞)上连续的函数f(x)的广义积分为

其中，c为任意实常数.若上式右端两个广义积分及均收敛，称广义积分收敛；若二者至少有一个发散，则称广义积分发散.上述三种无穷区间上的广义积分亦称为无穷积分.例5-19计算广义积分.解例5-20计算广义积分.解

为了书写方便，在计算中可省去极限符号，记作其中，F′(x)=f(x)；F(±∞)应理解为极限运算.如例5-20的计算可写为例5-21计算广义积分.解

注：其中应用了罗比达法则.例5-22证明:广义积分，当p>1时收敛；当p≤1时发散.证明当p=1时，有当p≠1时，有因此，当p>1时，广义积分收敛，其值等于；当p≤1时，广义积分发散.5.4.2无界函数的广义积分

定义5-4设函数f(x)在［a，b)上连续，且，对于a<u<b，我们称极限为函数f(x)在［a，b)上的广义积分，记作，即如果存在，则称广义积分收敛；反之称广义积分发散.点x=b称为f(x)的瑕点.类似地，可定义f(x)在(a，b］上连续、x=a为f(x)的瑕点时的广义积分为若函数f(x)在［a，b］上除一点c(a<c<b)外连续，且x=c为f(x)的瑕点时，则定义广义积分为如果上式右端两个极限都存在，则称广义积分收敛；反之，则称广义积分发散.以上无界函数的广义积分也称为瑕积分.例5-23计算广义积分(a>0)解因为x=a为瑕点，所以

例5-24讨论广义积分的收敛性.解因为x=0为瑕点，所以而故广义积分发散.

例5-25证明广义积分，当0<q<1时收敛；当q≥1时发散.证明当q>0时，x=a为瑕点；当q=1时，则发散；当q>0且q≠1时，则故广义积分，当0<q<1时收敛；当q≥1时发散.5.5定积分的几何应用

5.5.1微元法

设所求总量F与区间［a，b］有关，由定积分定义的步骤为：分割、近似、求和、取极限，经简化和概括可分两步完成：

(1)写出所求量F在任一微小区间［x，x+dx］上对应的部分量ΔF的近似值，记作dF=f(x)dx(称为F的微元)；

(2)在［a，b］上将微元dF积分(无限累加)，即得

上述解决所求总量的方法称为微元法或元素法.下面我们用微元法讨论定积分在实际中的一些应用.5.5.2用定积分求平面图形的面积

1.在直角坐标系下求平面图形的面积

(1)求由区间［a，b］上的连续曲线y=f(x)、y=g(x)(f(x)≤g(x))以及直线x=a、x=b围成的平面图形的面积，如图5-12所示.用微元法分析如下：图5-12任意一个微小区间，对应的窄条面积可以用底宽为dx、高度为|f(x)－g(x)|的矩形的面积来近似.即面积微元为dA=|f(x)－g(x)|dx在区间［a，b］上积分，得该平面图形的面积公式(5-5)

(2)由区间［c，d］上的连续曲线x=x1(y)、x=x2(y)(x1(y)≤x2(y))以及直线y=c、y=d围成的平面图形，如图5-13所示.用与(1)同样的分析方法可得面积公式：(5-6)图5-13

例5-26求椭圆的面积.解作简图如图5-14所示，有

选取x为积分变量，根据图形的对称性，得所求面积为令x=asint，则dx=acostdt.当x=0时，t=0；当x=a时，(x∈［－a，a］)得因此，椭圆的面积公式为A=πab.当a=b=R时，可得圆的面积公式为A=πR2.图5-14例5-27计算抛物线y2=2x与直线x－y=4所围成的平面图形的面积.解解法一:作简图如图5-15所示，由联立方程组求出两条曲线的交点(2，－2)和(8，4).图5-15选取y为积分变量，则y∈［－2，4］，所求面积为解法二:选取x为积分变量，则x∈［0，8］，由于下边界是分段曲线，因此用直线x=2将图形分成两部分，其中左侧图形的面积为右侧图形的面积为所求图形的面积为由例5-27可知，对同一面积问题，有时可选取不同的积分变量进行计算，计算的难易程度往往不同，因此在实际计算时，应选取合适的积分变量，尽量使计算过程简化.当曲边梯形的曲边由参数方程确定时，则曲边梯形的面积公式(5-7)其中，y(t)≥0；α和β分别是曲边的左、右端点所对应的参数值.*2.在极坐标系下求平面图形的面积有些曲线，在直角坐标系下其方程比较复杂，而在极坐标系下其方程比较简单，这时，用极坐标计算平面图形的面积比较方便.求由射线θ=α、θ=β(α<β)与连续曲线r=r(θ)围成的曲边三角形的面积(见图5-16).用微元法分析如下：任取一个微小区间［θ，θ+dθ］［α，β］，其对应面积(如图5-16所示的阴影部分)近似于扇形面积，面积微元为在［α，β］上积分，得曲边三角形的面积公式为(5-8)式(5-8)称为极坐标系下曲边三角形的面积公式.例5-28求心脏线r=a(1+cosθ)围成图形的面积，如图5-17所示.解依题意得θ∈［－π，π］，根据图形的对称性，得5.5.3用定积分求曲线的弧长

设y=f(x)在区间［a，b］上可导，求对应的曲线的弧长(见图5-18).任取一个小区间，弧长微元为在区间［a，b］上积分，得曲线的弧长为(5-9)式(5-9)称为曲线的弧长公式.图5-18例5-29计算悬链线的弧长(如图5-19所示).解因为所以一般地，若曲线由参数方程所确定，则曲线的弧长公式为例5-30设圆周曲线的参数方程为，且t∈[0，α]，α∈[0，2π]，试利用定积分求曲线的弧长.解将已知条件代入弧长公式(5-10)，得当α=2π时，可得圆的周长公式，即s=2πR.5.5.4用定积分求旋转体的体积

1.平行截面已知的立体体积

设有一立体(如图5-20所示)，在点x处，其垂直于x轴的截面面积A(x)连续，x∈［a，b］.求立体在x=a、x=b之间的体积.图5-20

任取一个微小区间［x，x+dx］［a，b］，A(x)变化微小，对应的薄片立体的体积近似于底面积为A(x)、高为dx的柱体体积，则体积微元为dV=A(x)dx在区间［a，b］上积分，得立体的体积公式为(5-11)例5-31底半径为R的圆柱，被过底圆半径且与底圆成α角的平面所截，求截下的楔形立体的体积(如图5-21所示).图5-21解建立直角坐标系如图5-21所示，则底圆方程为x2+y2=R2，在点x处垂直于x轴的截面为一直角三角形，该截面面积为代入公式(5-11)，得立体体积为

2.求旋转体的体积

设有一曲边梯形，由连续曲线y=f(x)和x轴及直线x=a、x=b所围成，求此曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体(如图5-22所示)的体积.在区间［a，b］上任取一个微小区间［x，x+dx］，如图5-22所示.在点x处垂直于x轴的截面是半径等于y=f(x)的圆，因此截面面积A(x)=π·y2=π［f(x)］2.体积微元为dV=πy2dx=π［f(x)］2dx

在区间［a，b］上积分，得旋转体的体积公式为

(5-12)类似地，由连续曲线x=g(y)≥0及直线y=c、y=d(c<d)所围成的图形绕y轴旋转一周而形成的旋转体(如图5-23)的体积公式为(5-13)图5-22图5-23例5-32将抛物线y=x2和x轴及直线x=0、x=2所围成的平面图形绕x轴和y轴旋转一周，求所形成的旋转体的体积.解依题意可知，y=x2，x∈［0，2］，y∈［0，4］，根据公式(5-12)得平面图形绕x轴所形成的旋转体的体积为平面图形绕y轴所形成的旋转体的体积为例5-33过点P(1，0)作抛物线的切线，求该切线与抛物线及x轴所围平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积.解作简图如图5-24所示，设切为，切线斜率为则过点P(1，0)的切线方程为有解得所以，切线方程为，切点为(3，1)，所求旋转体的体积为x0=35.6定积分的物理应用

5.6.1利用定积分计算功

1.用定积分求变力作功

如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且该力的方向与物体的运动方向一致，那么在物体移动了距离s时，力F对物体所作的功为W=F·s；如果物体在变力F(x)的作用下，沿x轴由x=a移动至x=b处，那么变力F(x)所作的功是多少？

由于该物体在运动的过程中所受的力是连续变化的，因此不能直接使用上述计算功的公式，而要采用微元法分析.图5-25在区间［a，b］上任取一个微小区间［x，x+dx］，如图5-25所示，由于dx足够小，变力F(x)近似于恒力，F(x)在［x，x+dx］上所作功的微元为dW=F(x)dx，其就是力在整个路径上的定积分，即例5-34已知将弹簧压缩0.01m需用5N的力，求把弹簧拉长0.1m需作功多少？解由物理学知识可知，弹簧形变x所需力为F=kx，其中k为弹性系数.依题意，当x=0.01m时，F=5N，得k=500N/m.于是F=500x

弹簧拉长0.1m需作功例5-35(电场力作功)在原点处有一个带电量为+q单位的点电荷A，产生的电场力把一个带电量为+1单位的点电荷B沿x轴由x=a处移动至x=b处，求电场力所作的功.

解

在区间［a，b］上任取一个微小区间［x，x+dx］，电场力可近似看做恒力，则功的微元为电场力所作的功为

若电场力把点电荷B沿x轴由x=a移动至无穷远处，则电场力所作的功

称为电场在x=a处的电位(势).

2.用定积分求变距离作功

例5-36(抽水作功)在半径为R的半球形容器内，盛满密度为ρ的水，如图5-26所示.为了将水全部吸出，求外力所作的功.图5-26分析：水位下降，水层被提升的高度增加，水可看做是被一层一层抽出容器，这是一个变距离作功的问题.解建立坐标系：以过球心向下为x轴的正方向，以过水面向右为y轴方向的.如图5-26所示.则容器纵截面曲线的方程为x2+y2=R2(x∈［0，R］)任取一小区间［x，x+dx］［0，R］，在［x，x+dx］内对应的薄层水的体积微元为dV=π(R2－x2)dx将该薄层水吸出，需要作功的微元为dW=xπρgdV=πρg(R2x－x3)dx

其中，g为重力加速度.5.6.2用定积分求液体对平面薄板的压力由物理学知道，在水深为h处的压强处处为p=gρh，其中ρ是水的比重.如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一侧所受的水压力为F=p·A.如果平板垂直放置在水中，由于水深不同处压强不相等，因此平板一侧所受的水压力就不能直接使用上述公式，那么可采用微元法分析.举例如下:例5-37一个横放着的圆柱形油桶，桶内盛有半桶油，设桶的底半径为R，油的比重为ρ，计算油桶的一端面上所受的压力.解在端面建立直角坐标系如图5-27所示.端面圆方程为x2+y2=R2；取x为积分变量，x∈［0，R］；任取一小区间［x，x+dx］［0，R］，对应各处的压强近似相等，即p=gxρ；小矩形片的面积为；压