考研数学一随机事件和概率

考研数学一随机事件和概率

1.【单项选择题】对任意两个事件A和B,若P(AB)=O,则().

A.P(A)P(B)=O

B.P(A-B)=P(A)

C.AB=0

D.AB=0

正确答案：B

参考解析：由P(AB)=O,得P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A).

2.【单项选择题】设P(A)>0,P(B)>0,P(A|B)-P(A),则下列选项不正确的是

().

A.A与B互不相容

B.A与B相容

C.P(B|A)=P(B)

D.P(N|与)=P(N)

正确答案：A

参考解析：

由P(A\B)-P(A)知,相互独占故C正确.工与百也相互独立・DiE确|

闵p(.\)>o.p(/n>.H八幅u种。.初八必小斤不相容.即相态.特HJ

3.【单项选择题】设A,B,C是三个相互独立的随机事件，且0<P(C)G,则下

列四对事件中不相互独立的是().

A.B与C

B.记与二

C..4-B与。

D.在与不

正确答案：B

参考解析：

由A・B・C相互独立•如福与C相互独立与C相互独立与「相回

他。.林林除A.C.D.

4.【单项选择题】设0<P(A)G,O〈P(B)<1且P(A|B)+P(N|万)=1,则().

A.A与B互不相容

B.A与B相互独立

C.A与B对立

D.A与B不相互独立

正确答案：B

由】一？(3豆)=P(AI田.期P(AB)=P(A|9).即

P(AB)=P(AB)=P(A)-P(AB)

参考解析：P(B)PCB)-l-P(B)-'

故可得，P(AB)=P(A)P(B),g|JA,B相互独立.

5.【单项选择题】设A,B是两个随机事件，且O〈P(A)G,P(B)>0,

P(B|A)=P(B|N),则下列选项正确的是().

A.P(A|B)-P(N|B)

B.P(A|B)WP(N|B)

C.P(AB)=P(A)P(B)

D.P(AB)WP(A)P(B)

正确答案：C

参考解析：

由P(BIA)P(HX),得/:半P(Q=在萃)故P(.AB>=

P(A)P(A)1-P(A)

此时.A,B相互独立.所以

P(.\B)P(A),P(AB)P(A).

由于0VP(A)<1.所以选项A・B不一定成。.

5.【单项选择题】设A,B是两个随机事件，且O(P(A)<1,P(B)>0,

P(B|A)=P(B|N),则下列选项正确的是().

A.P(A|B)-P(X|B)

B.P(A|B)WP(N|B)

C.P(AB)=P(A)P(B)

D.P(AB)WP(A)P(B)

正确答案：C

参考解析：

由,得谭・嚼；P(3)不；善.故

1-rv/\)

此时.A・B相互独立,所以

P(AB)P(A),P(AH)P(A).

由P(A)I.所以选项A・B不一定成立.

6.【单项选择题】设某人毫无准备地参加一项测验，其中有5道是非题，他随

机地选择“是”或“非”，则该人至少答对1题的概率为().

1

A.5

1

B.32

C.32

31

D.32

正确答案：D

参考解析：

设A,=第魂答对)•则P(A.)-1(r-1・2•….5)•由于是随机选择,故

p(uA>-1p(n1-1JP(')=】一(；)’=♦

t»l七\LI3Z

7.【单项选择题】有一根长为L的木棒，将其任意折成三段，记事件A={中间

一段为三段中的最长者)，则P(A)=().

1

A.2

1

B.3

1

C.4

2

D.3

正确答案：B

参考解析：此问题是几何概型.

设折得的三段长度依次为x,L-x-y,y,则样本空间为

Q二I0**4L.0&,4L.0&工+y&L}・

1t件八相应的子区域。•应满足oVI<L-X-V.

OVyVLl一>,即

Ci■{(1・》)|OVvVL-2x«0VyV—(L**x)}•

Ip

如图16-2所示•可知A的面根为.a的面积为JL：,故P(A)=《一=】.

n16-2

8.【单项选择题】设事件A,B,C两两独立，则A,B,C相互独立的充分必要

条件是

A.AB和BC独立.

B.AUB和BUC独立.

C.A-B和C独立.

D.A-B和B-C独立.

正确答案：C

参考解析：A,B,C两两独立,只要满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)就有A,B,C相

互独

立.现A-B和C独立，即有P(败)=P(疝)P(C),又因为A,B独立泊，月也独立P(而)=

P(A)P国).所以「(,而(')=/)(八)口由亦(()儿&(,两两独立,即有九瓦('两两独立,所以

A.B.C相互独立,也就有A,B(相互独立.答案应选(C).

8.【单项选择题】设事件A,B,C两两独立，则A,B,C相互独立的充分必要

条件是

A.AB和BC独立.

B.AUB和BUC独立.

C.A-B和C独立.

D.A-B和B-C独立.

正确答案：C

参考解析：A,B,C两两独立，只要满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)就有A,B,C相

互独

立.现A-B和C独立，即有P(疝C)=P(疝)P(C).又因为A,B独立,也独立P(厢)=

P(A)P(B).所以P(A5C)=P(A)P(B)P(C),A,B,('两两独立,即有4瓦(,两两独立,所以

A.B,C相互独立,也就有A,B,C相互独立.答案应选(C).

9.【单项选择题】对任意两个事件A和B,若P(AB)=O,则().

A.AB=0

B.HB=0

C.P(A)P(B)=O

D.P(A-B)=P(A)

正确答案：D

参考解析：选(D),因为P(A-B)=P(A)-P(AB).

10.【单项选择题】在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机

的.在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t。，电炉就

断电，以E表示事件“电炉断电”，而T⑴WT⑵WT⑶WT⑷为4个温控器显示的

按递增顺序排列的温度值，则事件E等于().

A.{T⑴》如}

B.{T⑵Nt。}

C.{T⑶，to)

D.{T⑷》to}

正确答案：C

参考解析：{T⑴2t。)表示四个温控器温度都不低于临界温度tO,而E发生只要

两个温控器温度不低于临界温度to,所以E={T⑶Nto},选(C).

10.【单项选择题】在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机

的.在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t。，电炉就

断电，以E表示事件“电炉断电”，而T⑴WT⑵WT⑶WT⑷为4个温控器显示的

按递增顺序排列的温度值，则事件E等于().

A.{T⑴》如}

B.{T⑵Nt。}

C.{T⑶，to)

D.{T⑷

正确答案：C

参考解析：{T⑴2t。)表示四个温控器温度都不低于临界温度tO,而E发生只要

两个温控器温度不低于临界温度t。,所以E={T⑶2t。},选个).

11.【单项选择题】设A,B为任意两个不相容的事件且P(A)>0,P(B)>0,则下

列结论正确的是().

A..46

B.AB=0

C.P(AB)=P(A)P(B)

D.P(A-B)=P(A)

正确答案：D

参考解析：因为A,B不相容，所以P(AB)=0,又P(A—B)=P(A)-P(AB),所以

P(A-B)=P(A),选⑻.

11.【单项选择题】设A,B为任意两个不相容的事件且P(A)>0,P(B)>0,则下

列结论正确的是().

A.AB

B.A6=0

C.P(AB)=P(A)P(B)

D.P(A-B)=P(A)

正确答案：D

参考解析：因为A,B不相容,所以P(AB)=O,又P(A-B)=P(A)-P(AB),所以

P(A-B)=P(A),选(D).

12.【单项选择题】设(KP(A)G,O<P(B)<1,且P(A|B)+P(A|B)-1,则下列结

论正确的是().

A.事件A,B互斥

B.事件A,B独立

C.事件A,B不独立

D.事件A,B对立

正确答案：B

参考解析：_________

由P(AIB)+P(彳IB)=1J|P(AIB)=1-P(A1B)=P(AIB),则事件A.

B是独七的,正确答案为(B).

13.【单项选择题】设A,B,C是相互独立的随机事件，且P(A)rO,

O<P(C)<1,则下列给出的四对事件中不相互独立的是().

A.4+3与C

B.「与厂

c.A£与1

D.AB与(

正确答案：B

参考解析：_____

因为/.B.C相互独立,所以它们的对立事件也相互独立，故不百与('相互独立,

A-B与C也相互独立，由

P(ABC)=P(AB+C)=1-P(AB+C)

=1-P(AB)-P(C)+P(ABC)=1-P(A)P(B)-P(C)^P(A)P(B)P(C),

P(而)P(1)=[1-P(AB)][1-P(C)]=1-P(AB)-P(C)+P(ABC),11

P(而&=P(嘉)P(P),即而与-相互独立，选(B).

14.【单项选择题】以下命题正确的是().

A,若事件A,B,C两两独立，则三个事件一定相互独立

B,设P(A)>0,P(B)>0,若A,B独立，贝IJA,B一定互斥

C.设(A)>0,P(B)>0,若A,B互斥，贝!JA,B一定独立

D.A,B既互斥又相互独立，则P(A)=O或P(B)=O

正确答案：D

参考解析：当P(A)>0,P(B)》O时，事件A,B独立与互斥是不相容的，即若A,

B独立,则P(AB)=P(A)P(B)>0,则A,B不互斥，若A,B互斥,则P(AB)=OW

P(A)P(B),即A,B不独立，又三个事件两两独立不一定互相独立，D正确。

15.【单项选择题】若事件A”A2,A：,两两独立，则下列结论成立的是().

A.A”A2,A：?相互独立

B.A1,A2,」3两两独立

C.P(A1A2A:i)=P(A1)P(A2)P(A3)

D.工,A2,33相互独立

正确答案：B

参考解析：___

由于4"2,4两两独立,所以无，A..1也两两独立,但不一定相互独立，选(B).

16.【单项选择题】设A,B为两个事件，且P(A)=2/3,P(B)=l/2,

P(AB)=1/3,则A与B之间的关系是()

A.A包含B

B.A与B相互独立

C.A与B相互对立

D.A与B互不相容

正确答案：B

参考解析：除独立性以外，由概率计算的结果不能推断事件之间的其他关系，

而题目中4个选项中就有3个是由概率式对事件包含关系、对立关系、互不相

容(互斥)关系的推断，均应排除，因此，唯一可选择的是选项(B),由

P(A)(B)=(2/3)*(1/2)=1/3,P(AB)=1/3,P(A)P(B)=P(AB),容易验证选项(B)正

确,故选(B).

17.【单项选择题】设A,B是任意两个事件，且AuB,P(B)>0,则必有()

A.P(A)WP(A|B)

B.P(A)<P(AIB)

C.P(A)2P(A|B)

D.P(A)>P(AIB)

正确答案：A

参考解析:由于AuB,因此AB=A,而0<P(B)Wl,所以P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)

WP(A|B),所以选A

18.【单项选择题】设事件A,B满足AB=。，则下列结论中一定正确的是

(_)二

A.4迫互不相容

B.豆相容

C.P(AB)=P(A)P(B)

D.P(A-B)-P(A)

正确答案：D_________

参考解析•用文氏图‘如果满足叵⑥1'则耳鼻相容,所以(八)错误•

如果A.B满足⑨7^),则3B.B=A.AB=0,所以(B)错误.

由于AB=0=>P(AB)=0.而P(A)P(B)不一定为0.所以(C)错误.

但是,P(A—B)P(.A)0(A).故选择(D).

19.【单项选择题】

设A・B是随机事件且满足P(A|B)=P(B|A)=4P(由=9,则().

134

A,B不独立且P(AUB)=4

CA・.)

2

BA,8不独立且P(AUB)-y

rA.B独立且尸(AUB)=1

l/・

nA,B独立且P(AUB)=4

U.1

正确答案：A

参考解析：

根据概率的乘法公式及P(A|B)=P(B|A)=，得P(A)=P(B).

又P(A)=4■,所以P(A)=P(B)=；,且P(AB)=P(8|A)P(A)=:.

446

由于P(AB)/P(A)P(8),所以AJ3不独立，且

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=《+4•一!=

4463

应选(A).

20.【单项选择题】

2R一

设P(A)=三，P(B)=上.则P(B|A)的最小值为().

_1_°b

A.T

B.3-

]_

c.7

D.1

正确答案：B

参考解析：

由于ABCA,所以P(AB)(P(A),同理P(AB)(P(B),故P(AB)《

9

min{P(A),P(B)}=告，则

3__2_

P(AB)P(B)-P(.AB)T'T1

P(BIA)>

P(A)—I-P(A)―—下T'

5

选(B).

21.1单项选择题】

设A,3,C为三个萼件,A与3独立,P(C)=0,则不•瓦C().

A,必相互独立

B.两两独立但不一定相互独立

C.不一定两两独立

D.必不两两独立

正确答案：A

参考解析：因为A,3独立,所以X,豆也独立：

因为04P(AC)<P(C)=。，故P(AC)=0,于是P(AC)=P(A)P(O,故A,C独立，即A,

。独立；

因为04P(*)《P(C)=0,故P(*)=0,于是P(*)=P(8)P(C),故B,C独立，即和C

独立；

因为04P(ABC)CP(C)=0,故P(ABC)=0,又P(C)=1,于是

P(ABC)=P(ABC)+P(ABC)

=P(AB(C(JO)=P(AB)

=P(A)P(B)=P(A)P(B)P(C).

综上所述,尤友r必相互独立,选(A).

ii

22.【填空题】设P(A|B)=P(B|A)=2,P(A)=3,则P(AUB)=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

1

参考解析：「

【解析】

111

由已知,用P(AB)=P(A)P(B八)=!)4—L

3zfi

又P(AB)-P(B)P(A|B).如P(B)=•.故

P(AUB)=P(A)-hP(B)-P(AB)=!+!-!=!.

XSfi2

1

23.【填空题】设事件A,B,C满足P(A)=P(B)=P(C)=4,P(AB)=P(BC)=0,

1

P(AC)=8,贝IJA,B,C三个事件中至少出现一个的概率为.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案■：

参考解析：「

【解析】

由ABCUAB.知P(AHC)<P(AB)=0.所以P(ABC)=0・故所求概率为

P(AU8UC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC')-4-P(ABC)

.lll_-l-04-0-A

A+l+l0RR

1

23.【填空题】设事件A,B,C满足P(A)=P(B)=P(C)=4,P(AB)=P(BC)=0,

1

P(AC)=8,则A,B,C三个事件中至少出现一个的概率为.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答罢：

5

参考解析：『

【解析】

由ABCUAB,知P(ABO<P(/\B)=0.所以一0.故所求微率为

P(AU8U(')=P<A)+P(H)+P(C)--P(AC)-/"HO-

•工总

TTTR-R*

24.【填空题】设P(A)=0.LP(B|A)=0.9,P(B|X)=0.2,则P(A|B)=

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：L

【解析】

由条件概率公式•有P(AIB)"彳黑=""黑」.乂

P(n>P(ni

P(B)-P(ABU油)P(.AB)-P(AB).A)♦P(A)P(tiA)

=0.]X0.9+(1-•0.])X0.2=0*27.

故P(AIB)-p

25.【填空题】设A,B为随机事件,且P(N)=0.3,P(B)=0.4,P(A-B)=0.5,

则P(B|AU豆)=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

I

参考解析：「

【解析】

由条件概率公式，有

P(AUB)P(AU_B)

=P(AB,=P(A)二P(A百)_

"P(AU瓦-P(A)+P(B)-P(AB)

=P(A)二P(A-B)_0.2_1

-P(A)+P(A)-P(A-B)-d78-T*

26.【填空题】设在三次独立重复试验中，事件A发生的概率相等，若已知A

19

至少出现一次的概率为石，则A在一次试验中发生的概率p.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

I

参考解析：T-

【解析】

依题设，本题为伯努利概型.

设每次试验中事件A发生的概率为P,事件A发生的次数为k(k=0,1,—,

n),则A至少发生一次的概率P{k21}=「(l-p)n,解得

p=1--PkII.

由已制.P•«.3.故p-1—.1—

LtvLlS

27.【填空题】在区间(0,1)内任取两个数x,y,则xyW9的概率为

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答誉

参考解析：~山G)1

【解析】

设事件

<7=Ii«

则事件A的样本位于区收“中•如图16-1阴影部分所示•由几何糕

型公式P(A)■甘-《X1+「袅Lr-|(1+In

Sn9JI9x9\Z/

H16-1

28.【填空题】设P(A)=0.5,P(B)=0.7,则P(AUB)的最大值与最小值分别是

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：b0.7

【解析】

由P(A)-hP(B)=0.5+0.7>1,此时ABW0,所以P(AB)的最小值为0.2,

故P(AU对的最大值为1.乂当AU8或A二)B,会使AUB最小,本题应取AU乩故

P(AUB)P(B)=0.7为最小值.

29.【填空题】设A,B是两个随机事件，O〈P(B)<1,AB=N月，则P(N

|B)+P(A|£)=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：2

【解析】

由AB-Kg.知(,竺独心-A油百=0.而(ABM不即=ABX瓦所以

AB=0,又由对偈律不H=0•故AUBNan表示全集1,从而A与8为对立

B件(因AB-0)•于是A瓦3=8.故P(3B)-P(.AR)-2.

30.【填空题】设进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为P,则在试验

成功2次之前已经失败3次的概率为.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：4p2(『p”

解令A=(试验成功2次之前已经失败3次｝,A5=｛第5次试验成功)，B3=｛试验

4次失败3次).

依题设，As与B3独立，且A=ASB3,而

P(Bt)..4p(l-P(A-)-p,

故P(A)=PCA.BJ=P(AS)•P(B.)=-A.

31.【填空题】已知10部手机中有7个合格品和3个次品，每次任取一个作测

试，测试后不放回，直到将3个次品都找到为止，则需要测试7次的概率为.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

2

参考解析：1.」

【解析】

用古典概型计算.测试7次，就是从10件手机中不放回地抽取7件，故基本

7

事件总数为Aio.

设人=｛7次测试后3个次品都已找到｝,故存在两种情况：第一种情况是在前6

次测试中有2次找到次品，而在第7次测试时找到最后一个次品；第二种情况

是前7次测试均为合格品，最后剩下的3件就是次品.所以A所包含的基本事

件数为

放(八)=JJ〜:

32.【填空题】在n重伯努利试验中，事件A发生的概率为p,则事件A发生奇

数次的概率为.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：°s’•

【解析】

设AN次试验中A出现奇数次,八”次内验中A出现偶数次,则

P(A1)=C：pqb'+q*'+Cpq"十•

P(A：)=do"+Oa"1+dcf'+…，

线中q-l—/>・故P(A])+P(A：)—(0+q)・-1.

P(A：)-P()■《q-.(1-2p)*J

两式相漉•褥所求假率为P(At)-j[]-<1-2^),].

33.【填空题】一射手对同一目标独立地进行4次射击.若至少命中一次的概

率为15/16,则该射手对同一目标独立地进行4次射击中至少没命中一次的概率

为•

请着看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

15

参考解析：16

【解析】

可以把射击看成独立重复试验，设每次射击命中率为P,则不中率为1-P.记A=

“四次中至少命中一次"，B="四次中至少没中一次”.

则A="四次中一次都没中”,显然P(A)=1-P(A)=1-^=4

1616

独立射击四次都没中,P(1=(1—户儿即(1一=J，解得〃=1-。=

现求P(B),P(B)=1-P(B),P(B)为四次都中的概率.

P(B)=p=•，故P(B)=1——z—

1nIn10

34.【填空题】设P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则P(A+B)=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：因为p(A-B)=P(A)-P(AB)，所以P(A+B)=P(A-B)+P(B)=0.8

35.【填空题】设A,B为两个随机事件，且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则

P(Ali)=.

请查看答豪羸福对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：

由P(1B)=P(A)-P(AB)=0.3及P(A)=0.7.得P(AB)=0.4,

则产(AB)=1-P(AB)=0.6.

35.【填空题】设A,B为两个随机事件，且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则

P(AB)=.

请查看答案解析宿对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：

由P(A_Z1B)=P(A)-P(AB)=O.3及P(A)=0.7,得P(AB)=0.4,

则P(AB)=1-P(AB)=0.6.

36.【填空题】设P(A)=0.4,且P(AB)=P(二百)，则P(B)=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：___

参考解析：因为P(AB)=P(.A+3)=1一P(A

所以P(AB)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB),

从而P(B)=1-P(A)=O.6.

37.【填空题】设事件A,B,C两两独立,满足=ABC=0,P(A)=P(B)=P(C),且

9

P(A+B+C)=：6,则P(A)=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：

iP(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(4B)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

且ABC=0,P(A)=。(3)=P(C),得

Q12

3尸(A)—3PYA).解得p(A)=丁或者p(A)=一.

91

因为AUA+B+C,所以P(A)4P(A+B+C)=%.故P(A)=：.

1n4

8

38.【填空题】从n阶行列式的展开式中任取一项，此项不含a”的概率为9,

贝！Jn=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：n阶行列式有n!项，不含a”的项有(nT)(nT)!个，

则=匚1=[•，则n=9.

n!

39.【填空题】

一工人同时独立制造三个零件,第％个零件不合格的概率为二二金=123),以随机变址

X表示三个零件中不合格的零件个数,则P(X=2)=

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：令考=｛第k个零件不合格)(k=l,2,3),

则PCX=2)=P(AlA2A3)+P(A,A2A3)+P(A,A2A3)

11111131

==XXbxx4,-xx：==

7TT'7TT7TT4

40.【填空题】设P(A)=0.6,P(A6)=0.2,P(HB)=0.3,则P(A+3

IA)=.

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正确答案：

参考解哲：

由P(A^=P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.2及P(A)=0.6得P(AB)=0.4,

再由P(M)=P(B-A)=P(B)—P(AB)=0.3得P(B)=0.7.

所以P(A+HI彳)=0R廿即］=P踵)1-P(A+3)

P(A)P(A)l-P(A)

1-P(A)-P(B)+P(A8)1-0.6-0.7+0.41

l-P(A)0.4

41.【填空题】设A,B相互独立，只有A发生和只有B发生的概率都是।,则

P(A)=.

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正确答案：

只少到蚱根据题意得P(AB)=P(AB)=；，

参考解析j_4

因为P(A包=P(A)—P(AB),P(彳B)=P(B)—P(AB),所以P(A)=P(B),

再由独立得P(A)—P"A)=9,解得P(A)=J.

42

42.【填空题】已知甲、乙两袋中装有同种球，其中甲袋中装有10个红球和10

个白球，乙袋中装有10个红球.从甲袋中一次性取10个球放入乙袋，则从乙

袋中任取一球是白球的概率为—.

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正确答案：

参考解析：T

【解析】

由事件的背景可知，记乂=｛乙袋中自球个数｝=｛从甲袋中一次性取10个球中白球

个数)，故x的概率分布为

P(X=6=5^M=0.12…,1°

设A表示事件"从乙袋中任取一球是白球"，由于。=0},。=1),“・,。=10)构成完备事件

组,因此根据全概率公式,有

iomi

P(A)=£P1X=RPA|X=6=£P[X=R

MV

匐P(X=)=[EX=]X5=?

20204

43.【解答题】设A”A?,…，4为行个相互独立的事件，且P(Aj=Pk(k=l,

2,…，n),求下列事件的概率：

(I)A={n个事件全不发生)；

(H)B={n个事件不全发生)；

(III)C={n个事件中至少有一个发生}.

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参考解析：(I)n个事件全不发生，即n个事件的对立事件同时发生，故

9■

P(A)=P(A：A：•••工)=|[P(A.)=yj(1—).

(II)n个事件不全发生，即n个事件中至多有nT个发生，故

■■

P(B)=1—PA.A：,,•A.'=1-][P(A・)=1—fj/)*.

(Ill)■

P(C)=P(A]uU•••UAJ=1-P(nA*)=1-JJ(1-P*).

44.【解答题】对某一目标依次进行了三次独立的射击，设第一、第二、第三

次射击命中的概率分别为0.4,0.5和0.7,求：

(I)三次射击中恰好有一次命中的概率；

(II)三次射击中至少有一次命中的概率.

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参考解析：

设人也H命中=1：2,3)，叱恰行一次命中(为至少有•次命中，

则B=A>X瓦UA.A,瓦UT瓦A,.C=A,UA,UAJ

(I)

由已知・.X.A：.A相互独”互不相容,故

P(B)=P(A,A2A,)+P(A,A,A,)+P(A,AM,)

-P(4)P(A：)P(吊)+P(4+P(X)P6：)P(A,>

n0.4X0.5X0.30.6X0.5X0.34-0.6X0.5X0.7=0.36.

(ID

P(C)=P(A|uA2U_A3)=1-P(A)uAzuAj)=1-P(At瓦A3)

=1-P(A.)P(A,)P(A1)=1-0.6X0.5X0.3=0.91.

45.【解答题】设A,B是两个随机事件，证明：1-P(N)-P(万)WP(AB)W

P(AUB)WP(A)+P(B).

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由P(AU8)=P(A)+P(B)-而P(AB)•故

参考解析：,

而ABUAU以所以P<AB)<P(AUB).又由

1-P(A)-P(B)-1-[1-P(A)]-[1-P(B>]

=P(A)+P(B)-1=P(AB)+P(A|J-1

=P(.AB)-[1-P(AUB)]&P(.4B>.

媒上所述,命物网证.

46.【解答题】设甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和4个白

球，掷一枚均匀的硬币，若正面出现，则从甲盒中任取一球，若反面出现，则

从乙盒中任取一球，设每次取出的球观看颜色后放回原盒中.

(I)若前两次都取得红球，求第三次也取得红球的概率；

(II)若前两次都取得红球，求红球都来自甲盒的概率.

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参考解析：(I)设A尸｛第i次取得红球｝(i=l,2,3),Bj=｛第j次掷硬币出

现正面)(j=l,2,3).

依题设，易知氏为第j次从甲盒中取球.将“掷一次硬币，再由硬币出现的结

果从相应的盒中取出”看作一次试验，则每次试验是重复的，且相互独立，所

以它们的结果A”鼠,A3是相互独立的,且P(Ai)=P(A),i=l,2,3,

故所求概率为P(A3|AQ=P(A3)=P(A,).

乂也全概率公式•和

P(A1)-P(B,)P(A|I+P(B7)P(AiIB)

1xz4,Iu21

-7xJ7x6*-7*

故P(AIA,A：)=

tz

(II)

由上两次试验是拽立簟复的.所以ABM.4；B是相互独立的,且

P(A出)-PCBJPCA,IB,)==l

由条件概率公式，得

(]_\1

pz»RAA)—P(A】AH2)_P(A,B,)P(A3B:)_\1)_4

IAA2)----p(A1A：)--------P(A,)P(A2)py-T

47.【解答题】设一批产品中有15%的次品，进行独立重复抽样检验，若抽取

20个样品，则抽出的20个样品中，可能性最大的次品数是多少？并求其概率.

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参考解析：设乂=｛抽取20个样品中的次品数)，则X〜B(20,0.15).所求问题

是，当k

为多少时.PX*-CtX0.15'15)''(£=0.1•….20)最大.

设当A=M时,P-=A)■大，则有

P'X-kIPX-4-b.PX-1PX-44-1.

考虑任意两项的比值，

P1X-A)_GnXO.15,X0.85"'_(20-14-1)X0.15

P：X=**-1)=8X0.151X0.85j3s0.85Xi，

则PX-i)>PX=八一】・当且仅当A4(20+DX0.15=3.15.

同理,PX・H》P;XNA+1)•当且仅当A2(20+1)X0.15-I=2.15•故3

PX=A■大财J=3,且PX=3)=C；XO.15XO.85r=0.2428.

48.【解答题】有三个盒子，第一个盒子中有3个黑球、1个白球，第二个盒子

中有2个黑球、3个白球，第三个盒子中有3个黑球、2个白球.

(I)任取一个盒子，再从该盒子中取出一个球，求这个球是白球的概率；

(II)已知取出的是白球，求此球属于第三个盒子的概率.

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参考解析：(I)

设A=(取出的是月球)，B,=｛取到第i只盒子)，i=l,2,3.

依也设・P(8,)-孑,由全H率公式•博

P(A)-VP(B.)P(AI丛)■鼻()+£+马)=蒋.

(II)由(I)及贝叶斯公式，得

49.【解答题】从1,2,…，n这n个数中任意相继不放回地取出两个数，求

取出的第二个数比第一个数大的概率.

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参考解析：令Ai=｛第一次取出的数为i),i=l,2,…，n,B=｛取出的第二个数

比第一个数大)，则A“Az,…，4构成一个完备事件组.

由于在A发生的条件下，第二个数只能取到余下的nT个数之一，且只有它取

到后n-i个数时,B才发生，故

P(B.A,)="一-：,i=1・2

n—1

又P(A.)=-.1=】・2由全概奉公式，石

n

....

P(B)-VP(A,)P(B|A,)=y1•-J

4*1•

=H/(n-■l»)、[u(”一】)+(”-2)+…+1+01

=].-D=j_

n(n-1)22

50.【解答题】袋中有12只球，其中红球4个，白球8个，从中一次抽取两个

球，求下列事件发生的概率：

⑴两个球中一个是红球一个是白球；

⑵两个球颜色相同.

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参考解析：(1)

令A=｛抽取的两个球中一个是红球一个是白球｝,则P(A)=3=段.

CH33

(2)

C?C217

令B=1抽取的两个球颜色相同).则p(zn=—+—=工.

C；2C；233

51.【解答题】现有三个箱子，第一个箱子有4个红球，3个白球；第二个箱子

有3个红球，3个白球；第三个箱子有3个红球，5个白球；先取一只箱子，再

从中取一只球.

⑴求取到白球的概率；

(2)若取到红球，求红球