考场仿真卷01-2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷（课标全国Ⅱ卷）（解析版）

绝密★启用前

2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷

第一模拟

本试卷共23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题

卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（2017•浙江湖州市•高三一模）已知集合尸="wRIx|<2},Q=集wR|-1«%«3}

则尸flQ=

A.[-1,2）B.（-2,2）C.（-2,3]D.[-1,3]

【答案】A

【详解】尸={x|-2vx<2},所以PcQ={x|-lKx<2},故选A.

2.（2018•全国高三专题练习）若sin0・cos0v0,|cosq=cos8,则点在

（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】因为sinOcosOvO,|cosW=cosO,所以cos0>0,sinO〈O,所以0在第四象限,tanOvO,

」>0,所以P（tan。,」]在第二象限.故选B.

COS0Vcos9）

3.（2021•山东泰安市•高三期末）电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路

千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”，成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，

喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指

导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检

疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见

表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的散

点图如图所示，且该图表示的函数模型=J【3）.假设该

90e-0-5t+14,x>2

人喝一瓶啤酒后至少经过wAT）小时才可以驾车，则n的值为［）（参考数据：

lnl5*2.71,In30«3.40）

酒精含里(-g/100^1)

八

60

••

20•■.

••••

........•।••一P

O246810121416

车辆驾驶人员血液酒精含量阈值

驾驶行为类别阈值(mg/100ml)

饮酒驾车[20,80)

醉酒驾车[80,+oo)

A.7B.6C.5D.4

【答案】B由散点图可知，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其血液酒精含量大于20,

\n>2n~2

则令［90•产+14<20'即j-<—f

15

解得〃>21nl5=2x2.71=5.42，

・.・〃wN"，「•〃的最小值为6,故至少经过6小时才可以驾车.故选：B.

4.（2021•山东高三专题练习）北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中

提出一个有趣的问题，大意是：酒店把酒坛层层堆积，底层摆成长方形，以后每上一层，

2

长和宽两边的坛子各少一个，堆成一个棱台的形状(如图1),那么总共堆放了多少个

酒坛.沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术，设底层长和宽两边分别摆放。，

匕个坛子，一共堆了"层，则酒坛的总数

5="+(々-1)。-1)+(々-2)9一2)+—+(〃-〃+1)(6—〃+1).现在将长方形垛

改为三角形垛，即底层摆成一个等边三角形，向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛(如

图2),若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛，顶层摆放1个酒坛，那么酒坛的总数

【分析】每一层酒坛按照正三角形排列，从上往下数，最上面一层的酒坛数为1,

第二层的酒坛数为1+2,第三层的酒坛数为1+2+3,

第四层的酒坛数为1+2+3+4.…，由此规律，

最下面一层的酒坛数为1+2+3+…+10,

所以酒坛的总数

1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+10)=1+3+6+…+55=220.故选：C.

5.(2020•天津南开区•高三一模)若圆。的圆心在第一象限，圆心到原点的距离为逐,

且与直线4x-3y=0和X轴都相切，则该圆的标准方程是()

A.(x-l)2+(y-2)2=lB.(x-2)2+(y-l)2=1

C.(x-l)2+(y-2)2=5D.(x-2)2+(y-l)2=5

【答案】B

【分析】解：根据题意，设圆。的圆心C的坐标为(利〃)(m>0,九>0),

由于圆C与X轴相切，则圆C的半径

又由圆心到原点的距离为石，则有m2+〃2=5，

圆C与4x-3)，=0相切，则有7-,即:〃2=14〃2-3〃「，解得:机=2,“=1.

V42+3225

则圆的标准方程为：(x-2)2+(y-l『=l.故选：B.

6.(2020•全国高三专题练习)已知｛%｝是等比数列，且

4+%+6+4+〃5=10，〃：+域+%2+4；+62=60,则4+04=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】设数列｛4｝的公比为,，且4工1,

则％+生+。3+。4+。5="~二10，

"q

+a2+a2+a2=(1-,)=60,两式相除得

1-于

a：。—，0)“(I—4](1+/)q(l+g5)

[_q~\-q[+g]+g

又(q+4+6+4+6)一(4_,+〃3-〃4+4)=2(〃2+«4)=10-6=4,

所以生+4=2,故选：A.

7.(2019•全国高三月考(理))某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

4

D.4邛

A.4->/3B.2-石

【答案】C

【分析】该几何体的直观图如下图,

平面ACDJ_平面ABC,OE□平面ABC,

□AC。与ZXACB均是边长为2的等边三角形，BE=2,

点E在平面A3。上的射影落在ZA8C的平分线上，

所以OE_L平面ACD，

所以％3。=95.改乂6=1VE_ACD=}-xSACD*DE=gx辰小一1)

=1--，所以几何体的体积为2-也.故选：C.

33

8.(2020•甘肃省岷县第一中学(理))已知双曲线工工=1(。>0,Z?>0)的两

/b2

条渐近线与抛物线),2=2*(p>0)的准线分别交于A、8两点，。为坐标原点,

若从=3。"匚A08的面积为有，则〃=()

3

A.1B.-C.2D.3

2

【答案】C

【分析】由从=3/n4=3=2=6,即渐近线为y=±Jir,与抛物线的准线交

aa

于A―£,目。,B一4,一田△，所以A4O8的面积为，x4x石p=6,(〃>0),

I22JI22J22''

解得p=2故选C

9.(2021•全国高三其他模拟)已知某函数的部分图象如图所示，则该图象所对应的函

数可能是()

“、cos(7i-2x)

A./(x)=sin2xln|,v|B./(x)=—-L

.X

C./W=LTC7D./(x)=(x2-l)-ln|x|

ei

【答案】A

【分析】由图象知，函数〃力关于原点对称，即为奇函数；当了«0,4)时，函

数有3个零点；

在y轴右侧一点，函数值/(力<0,且在y轴右侧一点，函数/(力递减.

选项B中，函数4)=皿匕»=一2,r(x)=2xsin2x+cos2A>当

XXx

xw(0,(卜，r(x)>0,故“力在XE(0,()上单调递增，与图象不符，不正确；

jn2(、

选项C中，函数f(x)=s：：，中,当了w0,g时，2xe(O,^),则sin2x>0,而

eH-1k2J

|X|>0,^>1,即6凶一1>0,故/(x)>0,与图象不符，不正确；

选项D中，/(x)=(x2-l)ln|^,满足

/(-x)=[(-x)2-1In|-x|=(x2-1)-In|x|=/(x),即是偶函数，故与图象

不符，不正确；

故由排除法只能说选A,而选项A中，函数/(x)=sin2x」n|X，满足

/(T)=sin(-2x)ln|-x|=-sin2xlnk|=_/(%),即/(%)是奇函数;当丁£(0,4)

时，2XE(0,8)口0,3%)，故sin2尢=0有两根：2工=肛2],即尤二会乃，且1申=0

有一根：x=l,符合题意中XE(O,4)有3个零点；存在正数1,使得当x«0,l)时,

/(x)<0.故以上性质均与图象符合，可能是图象对应的函数.

故选：A.

6

10.（2019•河南高三月考（理））已知四棱锥P-ABCD的五个顶点都在球O的球面上,

AB=AD=CD,BC//AD,NA5C=6O。，是等边三角形，若四棱锥

P-ABCD休积的最大值9百.则球。的表面积为（）

A.56万B.54〃C.52乃D.50%

【答案】C

【分析】由题意知，当四棱维P—ABCO体枳最大时，平面R43上平面488,

设A7%5的边长为〃，在等腰梯形48CZ）中，

易知AB=4）=C£>=a,又NA8C=6O。，可得BC=2a,

所以等腰梯形48。的面积S=Jx（〃+2〃）x正4==亘

平面PAB平面力88时，棱锥的高即为NPAB的高为@，

2

所以四棱锥尸-A3co体积最大值为

v13026a33yr

V=—x---ax----=-a=9。3，

3428

解得a=2，

取8C的中点。「因为ABAC与MDC是直角三角形，

所以梯形ABCD的外接圆圆心是边BC的中点。|；

又是等边三角形，其外接圆圆心。2是等边△物8的中心.

分别过Oi，。2作梯形44CO、AP4A所在平面的垂线，

则两垂线的交点O即是四棱锥P-ABCO的外接球球心，

则四棱锥尸—A3CO外接球的半径为：

R二画=加&」+的「=+1=后

所以球。的表面积为4切?2=524.故选：C.

11.（2021•河北石家庄市•高三一模）若/（X）图象上存在两点A,B关于原点对称，则

点对［4,可称为函数/（x）的“友情点对”（点对［A回与［B,A］视为同一个“友情点对”）

《x>0

若f（x）=J/'~恰有两个“友情点对”，则实数。的取值范围是（）

ax2,x<0

A.1—,0)B.0,—C.(0,1)D.(—1,0)

【答案】A

【分析】根据题意，若要求“友”青点对“，可把x<0时的函数图像关于原点对称,

研究对称过去的图像和xNO时的图像有两交点即可，

y=ax2(x<0)关于原点对称的解析式为y=-ax2(x>0),

考查y=上的图像和y=-ax2(x>0)的交点，

ex

可得工=一办2,。=一二_,令g")=一三

exee

所以x£(0,l),g\x)<0,g(x)为减函数,

12.(2020•江西高三期中(理))若数列｛《,｝满足：对任意只有有限个正整数

阳，使得4〈〃成立，记这样的根的个数为(4)’,则得到一悠闲的数列｛(〃”)“｝,例

如，若数列｛q｝是1,2,3,…，〃，…，则得数列(%)*是0,1,2,〃—1,…，

已知对任意的〃eN"，勺=〃2,则((goi5)*j=()

A.20142B.2014C.20152D.2015

【答案】C

【分析】因为4〃=/，故满足/(〃的正整数小的个数为不等式〈〃的整数解的个

8

当M£（（Z-1）2«2],关于用的不等式初2〈〃的整数解的个数即为&一1,

故4：="1,其中〃€（（"1）2,日，

故｛"｝中项的大小为2-1共有公一亿一1）2=2"1项.

将｛。：｝列举如下：°，1」[22,2,2,2,・・・,4-1次-1,・・・,无-1,♦・・口

I।352*-1

而（（％）J）*即为。<2015中。：的个数.

由□可得a；<2015中a：的个数为1+3+5+…+（2x2015-1）=20152.

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（2019•安徽淮北市•淮北一中高三月考（理））已知夹角为1•的跑位向量5,则

悭一3万|=.

【答案】币

【分析】由〃石=忖卡卜05^=3,

则12a—3^|=J（2a_3B）=^4p|—12a-5+9|^|=J4-6+9=>/7

故答案为：币.

14.（2021•黑龙江齐齐哈尔市•高三一模（理））安排5个党员（含小吴）去3个不同小

区（含M小区）做宣传活动，每个党员只能去1个小区，且每个小区都有党员去宣传，

其中至少安排2个党员去“小区，但是小吴不去M小区，则不同的安排方法数为

【答案】44

【分析】首先人数分配可以是“3+1+1”和“2+2+1”两种情况，至少安排2个党员去M小

区，故M小区安排3人或2人，小吴不去M小区，故：

若M小区安排3人，除小吴外还有4人，按照“3+1+1”分配，则有C：用=8种；

若M小区安排2人，除小吴外还有4人，按照“2+2+1”分配，则有C：C；$=36种.

故不同的方法数为8+36=44种.

故答案为：44.

15.（2020•黑龙江高三月考（理））设ZwC,若z2+z+l=。，则

z+z+z+z=•

【答案】-2

【分析】(z-l)(z2+z+l)=z3-l=O

3

Z=b故Z20JZ3X672.Z=Z

又z2(z2+Z+l)=0

故Z，+Z?+Z?=0

故Z44-Z3=-Z2=Z+1

z2017+z2018+z2020+z2021=z2017(l+z+z3+z4)=Z刈7(1+z+1+z)

=z(2+2z)=2(z+z?)=-2

故答案为：・2

16.(2021•新疆高三其他模拟)设有下列四个命题：

Pi：空间中两两相交的三个平面，若它们的交线有三条，则这三条交线必相交于一点.

〃2：过空间中任意一点作已知平面的垂线，则所作的垂线有且仅有一条.

〃3：若空间两条直线不相交，则这两条直线互为异面直线.

p4：若直线/u平面直线加〃平面。，则直线加与直线/一定不相交.

则下述命题中所有真命题的序号是.

□PlV〃4；□(nPi)Ap2；□p2A(np3)；).

【答案】□□口

【分析】对于命题Pl,两两相交的三个平面，若它们的交线有三条，则这三条交线可

能互相平行，如三棱柱的三个侧面就是两两相交的三个平面，它们的三条交线互相平行,

P\为假命题；

对于命题P2,若过空间中任意一点可作已知平面的两条垂线，则两条垂线平行，与两

直线过同一点相矛盾，则知这样的垂线有且仅有一条，P2为真命题；

对于命题〃3,空间中两条直线的位置关系只有相交、平行或异面，空间两条直线不相

交，这两条直线可能是平行的，也可能是异面直线，生为假命题：

对于命题若直线加〃平面a,则直线机与平面。不相交，

10

又直线/u平面。，所以直线阳与直线/一定不相交，P4为真命题.

综上可知，P?,P4为真命题，Pl，〃3为假命题，

，PlV〃4为真命题，(―W])八〃2为真命题，P2A(~^3)为真命题，(一。3)人(~^4)为

假命题.故答案为：□□□.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必

考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(2021•全国高三专题练习)如图，在四边形ABCO中，CD=36BC=百，

(1)求N3OC；

(2)若NA=q，求△A3。周长的最大值.

【答案】(1)y；(2)12

6

【分析】(1)在△8CO中，Qcos/CBD=-：，

万3包

.//BC-sinNCBD1

..sinZBDC=--------------=-----卢—=—

CD3G2

71

又・・・NC8D为钝角，为锐角，・..NBDC="

6

(2)在△8CO中，由余弦定理得

8c一_7+附-27_不

2BCBD25x3g

解得：87）=4或6。=一5（舍去）

在△ABD中，ZA=。，设AB=x,AD=y

G+AO-BO?，+/]61

由余弦定理得cos4即/+产-16=孙

2ABAD

整理得：（x+y）2-16=3D，又/>0,y>0

利用基本不等式得：@+耳2_]6=3孙.3（7）,即G；y）〈16,

即（x+y）2«64,当且仅当x=y=4H寸，等号成立，即（工+城侬=8,

所以（AB+AO+3。）=8+4=12

V/max

所以AA3D周长的最大值为12

18.（2021•全国高三专题练习（理））为了调查某地区全体高中生的身高信息（单位：cm）,

从该地区随机抽取高中学生100人，其中男生60人，女生40人.调查得到样本数据

60

2,…60）和必=1,2,…40）,刘和”分别表示第i个男生和第7个女生的身高.经计算得

=10500,24；=1838400,2%=6600,=1090200.

/=1j=ij=\

（1）请根据以上信息，估算出该地区高中学生身高的平均数）和方差$2；

（2）根据以往经验，可以认为该地区高中学生身高X服从正态分布N3,标），用[作

为"的估计值，用$2作为标的估计值.若从该地区高中学生中随机抽取4人，记4表示

抽取的4人中身高在（171,184.4）的人数，求4的数学期望.

附：□数据。，d.」〃的方差s2=—（r；-？■）2=一（Zd一〃尸），u若随机变量x服从

nni=i

正态分布N3,层），则P@-KXv〃+o）=0.6827；。〃-2（7<六"+2。）=0.9545：

P（/i-3a<X</i+3（r）=0.9973；y/45-6.7.

【答案】（1）z=171,?=45；（2）1.909.

【分析】（1）由题意，根据平均数的计算公式，

12

6040

可得该地区高中学生身高的平均数_10500+6600、

z=-----------:-------=--------------------=171(cm)

100100

]「6040_/

由方差的计算公式，可得1=赤=45444.

1001/=]j=i

(2)由(1)知5=171,/=45，即〃=171,5=45,

可得该地区高中学生身高X〜JV(171,45),

09545

又由尸(171<X<184.4)=P("<X<〃+2cr)='=0.47725,

根据题意，可得随机变量J〜8(4,0.47725),

根据二项分布的期望计算公式，可得数学期望为石(J)=4x0.47725=1.909.

19.(2020•沙坪坝区•重庆南开中学)已知椭圆C：，+£=1(。>6>0)的右焦点尸

与抛物线G的焦点重合，&的中心与。2的顶点重合.过户且与工轴垂直的直线交G

于A，B两点，交4于。，D两点，且|8|=1|4回.

(□)求G离心率；

(□)若G的四个顶点到02的准线距离之和为12,求G与。2的标准方程.

1r2v2

【答案】(n)(L)C,:—+^-=l,C：y2=8x

2116122

【分析】(口)设歹(c,0)「.。2：/=4。九

令％=。,则鼻+'yy=I,.*,y2=乂,\y\=—.'JA8|=^―

ab~a~aa

令x=c,贝ijJ=4c.2,.।)|=2c.1CO|=4c

因为|cq=gMM，所以

4c=—x^—:.2(a2-c2)=3ac2e2+3e-2=0v0<e<I?.e=—；

3a2

1lX2V2

（口）根据（□）e=—:.a=2c,Z?=V3cC,:—7+—7=1

214c23c2

g的准线方程为

因为G的四个顶点到的准线距离之和为12,

所以c+c+（c+a）+（—c+a）=12c=2,々=4,b=2G

r21,2

C.:一+—=hG:y2=8x

,16122

20.（2019•四川成都市•成都经开区实验中学高三开学考试（理））在三棱柱ABC-AiB.Ci

中，侧面ABBIAI为矩形，AB=2,巧，D是AAi的中点，BD与ABi交于点O,

（1）证明：BCHAB）；

（2）若OC=OA,求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）半.

【解析】：（1）要证明可证明力当垂直于BC所在平面BCD,已知CO垂直于侧

面ABB14，所以CO垂直于A4,只要在矩形4881&垂直与A当即可，可利用角的关系

加以证明：（2）分布以OD,OBi，OC所在的直线为％y,z轴，以。为原点，建立空间直角

坐标系，求出而，平面力BC一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论.

试题解析：证明：由题意，因为ABBiAi是矩形，

D为AAi中点，AB=2,AAi=2>/2,AD=V2,

所以在直角三角形ABB1中，tanDABiB=^■萼，

在直角三角形ABD中，tan1ABD=%W，

所以DABiBRABD,

又nBABi+口ABiB=90。，□BABi+nABD=90°,

所以在直角三角形ABO中，故BOA=90°,URBDOABi，又因为CO侧面ABBiAi,

14

ABi侧面ABBIAI,所以COABi所以，ABi□面BCD,因为BCZ2面BCD,

所以BCABi.

(□)解：如图，分别以OD,OBi，OC所在的

直线为x,y,z轴，以O为原点，建立空间直角

坐标系，则A(0>--0)»B(~,0>0),

33

C(0,0,争,Bi(0,乎,0),D(%0,0),

又因为西=2而，所以Ci(日，苧，争

所以近=(普孚0),科(0,专学,西=唔攀马，

CD=吟,0,-争，

设平面ABC的法向量为正(x,y,z),

'VSV5骨

—+~y=o

则根据1/1可得元=(1,VL■e)是平面ABC的一个法向量,

马+当=0

V3z3

设直线CD与平面ABC所成角为a,则sina=半，

所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为雷.

21.(2021•河北石家庄市•高三一模)已知函数/(x)="XSmX,且方程=0在

COSAk

27r3产

T7上有解.

(U)求实数a的取值范围；

(□)设函数g(力=(〃+l)sinx-xcosx卜wg兀卜」最大值为G(a),求函数

G(a)的最小值；

…z3万2百一、42342

【答案】(口)—•>.；(□)-----F-----71-

4324

,,,_/、、几\rsinx2434

【分+析r】：(口)设/(力=»x£

cosx

一(sinx+xcosx)cosx-(-xsinx)(-sinx)__sinxcosx+x__sin2x+2x

ra)=cos2xcos2x2cos2x

sm2x+2x>-l+2x>0,□/,(x)<0,即/(x)单调递减

(_3乃

3g2G

。的取值范围为济T--

r

(1：］)由已知(g(x)=(tz4-l)cosx-(cosx-xsinx)=t/cosx+xsinx,

设/z(x)=g'(x)=acosx+xsinx,则

//'(%)=-^sinx+sinx+xcosx=xcosx-(tz-l)sinx,

当xw时，〃(耳<0即8’(同单调递减；

>0,g'(乃)=一。<0,由零点存在性定理必存在唯一。《愕，乃满

I/)

足g'5)=0,

当“£质引时，g'(x)>0即g(x)单调递增；当工£(飞,灯)时，g'(x)<0即g(x)

单调递减;

八一厮sinx(兀、

由acos^o+XoSin题=0=a=--------0,xw—,乃

cosx012)

得

々sin/..x0

G(〃)=g(x)max=8(%)=(。+1)•%-%85%=1------sinx0-xQcosxQ=sinx0------

cosx0Jcos^

由第()问可知函数/(x)='si'”,xw(二"，4］单调递减，即当〃£——,--—71

cosx\2)43

2乃34

时，XG

oT'l"

、几口/\"x—乙冗371

设〃(x)=sinA：------,xe—,—

cosx34

cosx-x(-sinx)cosx(cos-x-l)-xsinxcosx(-sin2x)-xsinx

"(x)=cosx---------\------=-------------------=-------------------

cos~xcos~xcos~x

16

-sinx(sinxcosx+x)-sinx(sin2x+2x)

<0

cos2X2cos2x

34

所以〃（可单调递减，H（x）.=H区泻,

mn24

综上，函数g（x）的最大值G⑷的最小值为孝+乎乃