【沪科版数学九年级上册导学案】22.1　比例线段（第2课时）

第2课时比例线段（2）【学习目标】1．理解比例的基本性质，知道黄金分割的定义，并会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．2．经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单的问题．【学习重点】比例基本性质．【学习难点】比例的基本性质及运用．旧知回顾：什么叫两个数的比？2与－3的比，－4与6的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成什么？可写成什么形式？两个数相除的商也叫两个数的比.eq\f(2,－3)＝－eq\f(2,3)，eq\f(－4,6)＝－eq\f(2,3)，eq\f(2,－3)＝eq\f(－4,6)，比值相等，可以说2，－3，－4，6成比例，写成2∶－3＝－4∶6.基础知识梳理eq\a\vs4\al(知识模块一比例线段的基本概念)阅读教材P65～66页的内容，回答以下问题：什么叫两条线段的比？什么叫成比例线段？什么是比例中项？两条线段长度的比叫两条线段的比，记作eq\f(a,b)或a∶b，在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段a、b的比等于另外两条线段c、d的比，即eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段叫做成比例线段．简称比例线段．其中a，d叫做比例外项，b，c叫做比例内项．如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段a、b、c之间有a∶b＝b∶c，那么线段b叫做线段a、c的比例中项．例1：已知四条线段a、b、c、d满足ad＝bc，那么下列比例式不成立的是(C)A.eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)B.eq\f(a,c)＝eq\f(b,d)C.eq\f(a,d)＝eq\f(c,b)D.eq\f(d,b)＝eq\f(c,a)例2：如果线段a＝32cm，b＝8cm，那么a和b的比例中项是(C)A．20cmB．18cmC．16cmD．14cm解：设比例中项为c，由比例中项定义得：a∶c＝c∶d，c2＝ab＝32×8，c＝16，选C.eq\a\vs4\al(知识模块二比例的基本性质及合比、等比性质)阅读教材P66～67页的内容，回答以下问题：1.比例的基本性质是什么？解：如果eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么ad＝bc(b、d≠0)，反之也成立，即如果ad＝bc，那么eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)(b、d≠0)．2．什么是合比性质？什么是等比性质，如何证明？解：(1)合比性质，如果eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么eq\f(a＋b,b)＝eq\f(c＋d,d)(b、d≠0)，证明方法是在eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)两边加上1，得eq\f(a＋b,b)＝eq\f(c＋d,d)；(2)等比性质：如果eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝……＝eq\f(an,bn)，且b1＋b2＋…＋bn≠0，那么eq\f(a1＋a2＋……an,b1＋b2＋……＋bn)＝eq\f(a1,b1).证明：设eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝…＝eq\f(an,bn)＝k，得a1＝b1k，a2＝b2k，…，an＝bnk，代入待证明的等式左边，提取公因式并约分即得等比性质．例1：若eq\f(a,b)＝eq\f(1,2)，则eq\f(a＋b,b)＝eq\f(3,2)；若x∶y∶z＝4∶5∶7，则eq\f(3x－2y＋z,2x＋3y－2z)＝1．解：eq\f(a,b)＝eq\f(1,2)，由合比性质得eq\f(a＋b,b)＝eq\f(1＋2,2)＝eq\f(3,2)；由x∶y∶z＝4∶5∶7，设eq\f(x,4)＝eq\f(y,5)＝eq\f(z,7)＝k.可得eq\f(x,4)＝k，eq\f(y,5)＝k，eq\f(z,7)＝k，∴x＝4k，y＝5k，z＝7k，代入求得eq\f(3x－2y＋z,2x＋3y－2x)＝1.例2：已知k＝eq\f(a＋b,c)＝eq\f(b＋c,a)＝eq\f(a＋c,b)，则一次函数y＝kx＋k一定经过第三象限．解：当a＋b＋c≠0时，因为k＝eq\f(a＋b,c)＝eq\f(b＋c,a)＝eq\f(a＋c,b)，由等比性质得eq\f(2a＋2b＋2c,c＋a＋b)＝k，∴k＝2.当a＋b＋c＝0，此处不可用等比性质，但a＋b＝－c，代入可得k＝eq\f(－c,c)＝－1，∴k＝2或－1，直线y＝2x＋2或y＝－x－1都经过第三象限．eq\a\vs4\al(知识模块三黄金分割)阅读教材P68～69页的内容，回答以下问题：例3中比例中项是哪一条线段？什么是黄金分割？如何得到黄金分割比值eq\f(\r(5)－1,2)，它的近似值是多少？解：比例中项为线段AP.把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割为黄金分割．设AP＝x，则PB＝a－x，由题意得：a∶x＝x∶(a－x)，即x2＋ax－a2＝0，解得：x＝eq\f(－1±\r(5),2)a，∵x＞0，AP＝x＝eq\f(－1＋\r(5),2)a，即eq\f(AP,AB)＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618.例：已知线段AB＝6，C为AB的黄金分割点，则AC－BC＝6eq\r(5)－12或12－6eq\r(5)．解：分AC＞BC或AC＜BC两种情况：AC－BC＝6×eq\f(\r(5)－1,2)－6×(1－eq\f(\r(5)－1,2))＝6eq\r(5)－12或AC－BC＝6×(1－eq\f(\r(5)－1,2))－6×eq\f(\r(5)－1,2)＝12－6eq\r(5).基础知识训练1．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为(A)A．12.36cmB．13.6cmC．32.9cmD．7.54cm2．(1)若eq\f(x,5)＝eq\f(y,3)，则eq\f(x,y)＝eq\f(5,3)；(2)已知eq\f(2a－b,a＋b)＝eq\f(1,3)，则eq\f(a,b)＝eq\f(4,5)．3．已知eq\f(a,5)＝eq\f(b,7)＝eq\f(c,8)，且3a－2b＋c＝9，则2a＋4b－3c＝14．本课内容反思1．收获：_________