高中数学高考前必刷题易错题

数数学高中用d(A)表示集合A用d(A)表示集合A中的元素个数，若集合A={0,1}，B={x|(x2−ax)(x2−ax+1)=0}，且7811|d(A)−d(B)|=1．设实数a的所有可能取值构成集合M，则d(M)=()2设x∈R，则“x2>9”是“3x>81”的()条件．2ABC．充分必要D．既不充分也不必要33A．R4蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是⼀个正六边形，如图为⼀组蜂巢的截面图．其中第⼀个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第6幅图的蜂巢总数为()45函数f(x)=ax−3+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点P，则定点P的坐标为()56幕函数y=xa−2a−32是偶函数，且在(0,+∞)是减函数，则整数a的值是()6设函数f(x)=log2x+2x−3，则函数f(x)的零点所在的区间为()若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为()AB或5D保证此区域完整若函数f(x)=若函数f(x)=为奇函数，则a=()已知函数f(x)={−l1(,1,1，且f(a)=−3，则f(6−a)=()．75CD99110保证此区域完整 11函数f(x)=log2|2x−1|的图象大致是()A．B． 12过点M(−1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线，则切线方程为()保证此区域完整1212 13若直线y=ax是曲线y=2lnx+1的⼀条切线，则实数a=()1114已知f(x)=x2+2xf′(1)，则f′(0)=(141515等于()A．6B．16某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的⼀块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮的价格为16a元/m2，则购买这种草皮需要() 17三棱锥P−ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=1，PA⊥PB，三棱锥P−ABC的外接球的表面积为()ABπ lAAClCBβ，BD⊥l，D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于()保证此区域完整 19下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内⼀定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内⼀定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β20以下说法中正确的个数是()20①||与||是否相等与，的方向无关②两个具有公共终点的向量，⼀定是共线向量③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小④单位向量都是共线向量⑤零向量的长度为0，没有方向21−→−→21在ΔABC中，已知D是BC延长线上⼀点，若BC=2CD，点E为AD线段的中点，−→−→3−→AE=λAB+4AC，则λ=()22−→1−→−→5−→−22在△ABC中，AN=3AC，P是BN上的⼀点，若AP=11AB+λAC，则实数λ的值为()CD23设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意⼀点，则23−→−→−→−→OA+OB+OC+OD等于()−→−→−→−→保证此区域完整()2424AB√325(x+2)(x−1)6的展开项中x4的系数是(25ABCD264位同学各自在周六、周日两天中任选⼀天参加公益活动26()27如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取⼀点，则此点取自黑色部分的概率是()27 28将9个相同的球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有⼀个球，且每个盒子中小球的个数都不同，则不同的放法有()种． 29在等比数列{an}中，如果a5和a9是⼀元二次方程x2+7x+9=0的两个根，则a4⋅a7⋅a10的值为()330331Sn2nann等差数列{an}，{bSn2nannABAB33n+12n−1n3n+4在数列{an}中，已知an+1=an+，a1=2，则a99的值是())保证此区域完整保证此区域完整373232333334若两个正实数北,y满足+=1，且不等式北+<m2−3m有解，则实数m的取值范围为()343535B．(0,]D．(0,]363638复数z(i为虚数单位)满足z(2+i)=i−1，则|z|的值是()38保证此区域完整过抛物线y2=8x过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45∘的直线，则被抛物线截得的弦长为() 39i为虚数单位，则()2011等于() 40x2y2已知双曲线a2−b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()41设椭圆E:+41设椭圆E:+=1(a>b>0)的⼀个焦点F(2,0)，点A(−2,1)为椭圆E内⼀点，若椭圆E上存在⼀点P，使得|PA|+|PF|=8，则椭圆E的离心率的取值范围是()42已知椭圆+=1，直线l与椭圆相交于A，B两点，点P(1,1)是线段AB的中点，则直线l的斜率为42()B43如图，双曲线x2−=1的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线右支上⼀点，PF1与圆x2+y2=1相切43于点T，M是PF1的中点，则|MO|−|MT|=()444保证此区域完整保证此区域完整50 45⼀条直线l经过点P(1,2)，且与两点A(2,3)，B(4,−5)的距离相等，则直线l的方程是()46在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有(46ABCD．4条47设m，n∈R，若直线(m+1)x+(n+1)y−2=0与圆(x−1)2+(y−1)2=1相切，则m+n的取值范围是()4748已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)．若点M到该抛物线焦点的距48离为3，则|OM|=()49在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=49()已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()ABCD．45151(1)求函数y=f(x)的值域；(2)若f(x)在区间[−,]上为增函数，求ω的最大值．52b52(1)求c；(2)设D为BC边上⼀点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．5353(1)证明：a+b=2c．(2)求cosC的最小值．保证此区域完整已知函数f(x)=sin已知函数f(x)=sin2x−sin2(x−)，x∈R．如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3+√3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45∘，B点北偏西60∘的D点有⼀艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60∘且与B点相距20√3海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援到达D点需要多长时间？554(1)求f(x)的最小正周期．(2)求f(x)在区间[−,]中的最大值和最小值．55556设函数f(x)=sin(ωx−)+sin(ωx−)，其中0<ω<3．已知f()=0．56(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[−4 57如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=√7，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．(1)求sin∠CED的值；(2)求BE的长．58设正项等比数列{an}的首项a1=，前n项和为Sn，且210S30−(210+1)S20+S10=0．58(1)求{an}的通项；(2)求{nSn}的前n项和Tn．59记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=−7，S3=−15．59(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．保证此区域完整 60设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=4，a4=S3．数列{bn}满足：对每个n∈N∗，Sn+bn，bn(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；61已知等差数列{an}的公差不为零，a1=25，且a1,a11,a1361(1)求{an}的通项公式；(2)求a1+a4+a7+⋯+a3n−2．62已知数列{an}和{bn}满足a1a2…an=(√2)bn(n∈N∗)．若{an}为等比数列，且a1=2，62(1)求an与bn；(2)设cn=−(n∈N∗)．记数列{cn}的前n项和为Sn．①求Sn；63已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an=S2+Sn对⼀切正整数n都成立．63a(2)设a1>0，数列{lg}的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值．6464(1)求{an}和{bn}的通项公式；(3)对任意的正整数n，设cn=,求数列{cn}的前2n项和．(bn+165现有甲、⼄两个靶．某射手向甲靶射击⼀次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向⼄靶射击两次，每次命中的概率为，每命中⼀次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射65手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中⼀次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX． 66甲、⼄、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两⼈，另⼀⼈轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下⼀场比赛，负者下⼀场轮空，直至有⼀⼈被淘汰；当⼀⼈被淘汰后，剩余的两⼈继续比赛，直至其中⼀⼈被淘，比赛结束．经抽签，甲、⼄首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率．保证此区域完整保证此区域完整 67某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第⼀季度相对于前⼀年第⼀季度产值增长率n的频数分布表．企业数27(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同⼀组中的数据用该组区间的中点值为代表)． (精确到0.01) 68从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的⼀项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同⼀组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(d,D2)，其中d近似为样本平均数，D2近似为样本方差s2．①利用该正态分布，求d(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求H(X)． 69某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每⼀箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为d(0<d<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为$(d)，求$(d)的最大值点d0；(2)现对⼀箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的d0作为d的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这⼀箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求HX；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 70设甲、⼄、丙三个乒乓球协会的运动员⼈数分别为27，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员⼈数；V1,V2,V3,V4,V5,V6，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛． (i)用所给编号列出所有可能的结果； (ii)设V为事件“编号为V5，V6的两名运动员至少有⼀⼈被抽到”，求事件V发生的概率．保证此区域完整 71如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上⼀点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．(1)证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO//平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值． 72如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60∘，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN//平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．保证此区域完整 73如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ(0<λ<2)．(1)当λ=1时，证明：直线BC1//平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存 74如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=√5．(1)求证：PD⊥平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 75如图，在长方体中ABCD−A1B1C1D1，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是棱AB、BC的中点．(1)证明A1、C1、F、E四点共面；(2)求直线CD1与平面A1C1FE所成角的大小．保证此区域完整 76在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=√5，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；(2)若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 77如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45∘，PA=AD=2，AC=1．(1)证明：PC⊥AD；(2)求二面角A−PC−D的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30∘，求AE的长． 78如图，在三棱锥A−BCD中，△ABD与△BCD都为等边三角形，平面ABD⊥平面BCD，M，O分别为AB，BD的中点，AO∩DM=G，N在棱CD上且满足2CN=ND，连接MC，GN．(1)证明：GN//平面ABC；(2)求直线AC和平面GND所成角的正弦值．保证此区域完整 79如图，四棱锥中P−ABCD，PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠BAD=120∘，AB=AD=2，点M在线段PD上，且DM=2MP，PB//平面MAC．(1)求证：MAC⊥平面平面PAD；(2)若PA=3，求平面PAB和平面MAC所成锐⼆面角的余弦值． 80如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，BA=BP=BD=AP=2，DA=DP=√2．(1)求证：PA⊥BD；(2)求点C到平面PBD的距离．81已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2−6x+5=0相交于不同的两点A，B．81(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；82已知F1，F2是椭圆C：+=1(a>b>0)的两个焦点82(1)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围；(2)若△POF2为等边三角形，求C的离心率．83设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．点P(a,b)满足|PF283(1)求椭圆的离心率e．(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x+1)2+(y−√3)2=16相交于M，N两点，且|MN|=|AB|，求椭圆的方程．保证此区域完整设F1，F2分别是椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，ab2884|AF1|=3|(1)若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率．85已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2−6x+5=0相交于不同的两个点A、B85(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线l：y=k(x−4)与曲线C只有⼀个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存86在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的⼀个焦点为圆C:x2+y2−4x+2=0的86圆心．(1)求椭圆E的方程．(2)设P是椭圆E上⼀点，过P作两条斜率之积为的直线当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．87如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．87(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．88设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．88(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．89已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为89(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．保证此区域完整 90在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=2px(p>0)经过点Q(1,−1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点Q分别作互相垂直的两直线QM，QN，分别与抛物线C相交于异于点Q的两点M、N．求直线MN过定点．91已知函数f(x)=ex−a(x+2)91(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．92已知函数f(x)=2sinx−xcosx−x，f′(x)为f(x)的导数．92(1)证明：f′(x)在区间(0,π)存在唯⼀零点；(2)若x∈[0,π]时，f(x)⩾ax，求a的取值范围．93已知函数f(x)=2x3−ax2+293(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0<a<3时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M，最小值为m，求M−m的取值范围．94已知函数f(x)=12−x294(1)求曲线y=f(x)的斜率等于−2的切线方程；(2)设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．9595设函数f(x)=aexlnx+(2)证明：f(x)>1．x，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x−1)+2． 96设函数f(x)=[ax2−(4a+1)x+4a+3]ex．(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围． 97设函数f(x)=−k(+lnx)(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k⩽0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围．保证此区域完整 98已知函数f(x)=sinx−ln(1+x)，f′(x)为f(x)的导数．证明：(1)f′(x)在区间(−1,)存在唯⼀极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点．99已知函数f(x)=alnx+xb(a≠0)．99(1)当b=2时，讨论函数f(x)的单调性；10021.已知函数f(x)=(2−x)ex,g(x)=(x−1)3100 (1)若曲线y=g(x)的切线l经过点P(,0)，求l的方程； (2)若方程3af(x)=g′(x)有两个不相等实数根，求a的取值范围．保证此区域完整数数学高中 1用d(A)表示集合A中的元素个数，若集合A={0,1}，B={x|(x2−ax)(x2−ax+1)=0}，且|d(A)−d(B)|=1．设实数a的所有可能取值构成集合M，则d(M)=()A①若d(B)，则x2−ax=0仅有⼀根，必为0，此时a=0，则x2−ax+1=x2+1=0无根，符合题意dBxaxaxaxx=0无根，不合题意故x2−ax=0有两根，⼀根是0，另⼀根是a≠0，所以x2−ax+1=0必仅有⼀根，所以△=a2−4=0，解得a=±2此时x2−ax+1=0的根为1或−1，符合题意综上实数a的所有可能取值构成集合M={0,−2,2}， A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要Bxxxxx，故选B320183A．R保证此区域完整A若命题p为真则∴{因此若命题p为假，则a的取值范围为R故选A先求命题p为真时a的取值范围，再求补集得结果求¬p为真时参数取值范围，往往先求p为真时参数取值范围，再求补集得结果 4蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是⼀个正六边形，如图为⼀组蜂巢的截面图．其中第⼀个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第6幅图的蜂巢总数为()C保证此区域完整所以f(n)=[f(n)﹣f(n﹣1)]+[f(n﹣1)﹣f(n﹣2)]+…+[f(2)﹣f(1)]+f(1)． 5函数f(x)=ax−3+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点P，则定点P的坐标为()CDB数f(x)=ax−3+1的图象恒过定点的(3,2)，故选B． 6幕函数y=xa−2a−32是偶函数，且在(0,+∞)是减函数，则整数a的值是()C保证此区域完整55yaa−3是偶函数，且在(0,+∞)是减函数，(a2−2a−3是偶数解得a=1．故选C． 72018B增，所以f(北)也在(0,+∞)递增，所以若f(北)存在零点，则零点有且仅有⼀个所在区间为(1,2)．故本题正确答案为B． 82014AB或5DD保证此区域完整当a<2当a<2时，−>−1，f(x)=−x−a+1,a时，−<−1，f(x)=(⎪(其图象如图所示：xa−1,xa−1,x>−1−⩽x⩽−1x<−由图象知：f(x)的最小值为f(−)=−+a−1=−1，依题意得−1=3，解得a=8，符合题意．当a=2时，f(x)=3|x+1|，其最小值为0，不符合题意．⎪(−3x−a−1,得f(x)的最小值为f(−)，a，符合题意．故选Dx>−−1⩽x⩽−x<−1【法二】根据绝对值的几何定义，最小值⼀定在x=−时取得，则f(x)的最小值为f(−)=|−+1|+|−a+a|=3解得a=−4或8 92011若函数f(x)=为奇函数，则a=()BD保证此区域完整A法⼀：由已知得f(x)=的定义域关于原点对称，由于该函数定义域为{x|x≠−且x≠a}，知a=．法二：∵f(x)是奇函数，∴f(−x)=−f(x)，又f(x)=，则=在函数的定义域内恒成立，可得a=．故选A 102015I已知函数f(x)={−l1(,1,1，且f(a)=−3，则f(6−a)=()．5CDA又因为f(a)=−3，∴−log2(a+1)=−3解得a=7，∴f(6−a)=f(−1)=−． 112018函数f(x)=log2|2x−1|的图象大致是()保证此区域完整A．B．A故选A 12过点M(−1,0)作抛物线y=北2+北+1的切线，则切线方程为()保证此区域完整 1A设切点为N(a,b)，则切线斜率k=2a+1=kMN==，a+1a+1所以a=0或a=−2，故切线斜率为k=1或k=−3，1320181311B(则有y′|北=北0=0，于是有⎨a=( e本题不知道切点横坐标，所以⼀定要优先选择求解切点横坐标，只要知道切点处的横坐标，我们就可以联立 14已知f(北)=北2+2北f′(1)，则f′(0)=()B保证此区域完整f′(x)=2x+2f′(1)．令x=1，则可求出f′(1)=−2．令x=0，则f′(0)=2f′(1)=−4． 等于()A．6B．D2ac26 16某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的⼀块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮的价格为a元/m2，则购买这种草皮需要()C面积为×20×30×sin150∘=150m2，所以购买这种草皮需要150a元 17三棱锥P−ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=1，PA⊥PB，三棱锥P−ABC的外接球的表面积为()B保证此区域完整∵三棱锥P−ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=1，∴△PAB≌△PAC≌△PBC．∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PB⊥PC．以PA、PB、PC为过同⼀顶点的三条棱，作长方体如图：则长方体的外接球同时也是三棱锥P−ABC外接球．∵长方体的对角线长为√3，∴球直径为√3，半径R=，因此，三棱锥P−ABC外接球的表面积是4πR2=4π×()2=3π．故选：B．证明PA⊥PC，PB⊥PC，以PA、PB、PC为过同⼀顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P−ABC外接球.算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P−ABC外接球的表面积．本题考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题． 182011AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于()C保证此区域完整解法1：alACl，∴AC⊥β，∴平面ABC⊥平面BCD．过D作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面ABC，即DE为D到平面ABC的距离．∵AC⊥β，BC⊂β，∴AC⊥BC．在Rt△ABC中，∵AC=1，AB=2，∠ACB=90∘，∴BC=√AB2−AC2=√22−12=√3．在Rt△ABC中，∵BC=√3，BD=1，∴CD=√BC2−BD2=√3−1=√2．由BD⋅CD=BC⋅DE得×1×√2=×√3⋅DE，∴DE=；解法2：如图，连接AD，AB=2，AC=1，同解法1可得BC=√3，CD=√2，∴SRt△ABC=AC⋅BC=×1×√3=，SRt△ABC=CD⋅BD=×√2×1=．设D到平面ABC的距离为h，则由=得S△ABC⋅h=S△BCD⋅AC，即×h=××1，∴h=．故答案为C 192017 下列命题中错误的是() 保证此区域完整A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内⼀定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内⼀定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βDD：设α∩β=l，则β内与直线l平行的直线均不垂直于平面β，故D错． 202018以下说法中正确的个数是()①||与||是否相等与，的方向无关②两个具有公共终点的向量，⼀定是共线向量③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小④单位向量都是共线向量⑤零向量的长度为0，没有方向C②错误，共终点不代表共线，向量的方向是由起点和终点共同决定的；③正确；④错误，单位向量的定义只是模长定义的，方向有无数种情况；⑤错误，零向量也有方向，只是方向任意． 212017−→−→在ΔABC中，已知D是BC延长线上⼀点，若BC=2CD，点E为AD线段的中点，−→−→3−→AE=λAB+4AC，则λ=()保证此区域完整B==(−)=(+)=(+)+=−+．故选B 222018−→1−→−→5−→−→在△ABC中，AN=3AC，P是BN上的⼀点，若AP=11AB+λAC，则实数λ的值为()CDD−→1−→∵AN=3AC，P是BN上的⼀点∴=μ=μ(−)=μ−=−−→−→−→−→μ−→−→−→μ−→∴AP=AB+BP=AB+3AC−μAB=(1−μ)AB+3AC−→5−→−→又已知AP=11AB+λAC∴=1−μ且λ=由此求得λ=该类含参问题将参数看做已知代入计算，将待求向量从头加到尾，过程中小线段用其所在的大线段表示，然后用已知向量表示待求向量，最后对应相等即可就参数值保证此区域完整201420142323设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意⼀点，则−→−→−→−→OA+OB+OC+OD等于()−→−→−→−→D不防令平行四边形ABCD为矩形，如图所示，令O为线段AD的中点−→−→−→−→−→−→−→−→→−→−→OA+OB+OC+OD=(OA+OD)+(OB+OC)=0+4OM=4OM，故答案为D． 242011()AB√3A保证此区域完整【分析】：利用向量的数量积求出，的夹角，利用向量的运算法则作出图，结合图，判断出四点共圆，利用正弦定理求出外接圆的直径，求出||最大值．∵||=||=1，∴OA=OB=1．cosAOBAOB=120∘．又∵⟨−,−⟩=60∘，而120∘+60∘=180∘，∴O、A、C、B四点共圆，∴当OC为圆的直径时，||最大，此时∠OAC=∠OBC=90∘，∴Rt△AOC≅Rt△BOC，∴∠AOC=∠BCO=30∘，∴|OA|=|OC|，∴|OC|=2|OA|=2．故选A25201825(x+2)(x−1)6的展开项中x4的系数是()ABCDB∵(x−1)6=x6−6x5+15x4−20x3+15x2−6x+1∴(x+2)(x−1)6的展开式中x4的系数是−20+2×15=10.262020264位同学各自在周六、周日两天中任选⼀天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()保证此区域完整D4位同学各自在周六、周日两天中任选⼀天参加公益活动共有16种选择方法，其中全部选择周六或全部选择周日参加活动的共有2种选择方法168本题考查古典概型的相关知识．计算出算有可能情况的种数，再计算出满足题意的时间的情况数． 27201910如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取⼀点，则此点取自黑色部分的概率是()B设正方形边长为a，则圆的半径为，正方形的面积为a2，圆的面积为由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的⼀半，由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是=．故选B保证此区域完整对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、面积、体积或时间)，其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算P(A)． 2820213将9个相同的球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有⼀个球，且每个盒子中小球的个数都不同，则不同的放法有()种．D【分析】：根据题意，先用挡板法分析每个盒子中至少有1个小球的情况数目，再分类讨论有盒子中的小球个数相同的放法，利用间接法可得结论．先考虑每个盒子中至少有1个小球，用挡板法，9个球中间8个空，插入两个板，共有C=28种，其中每个盒子中的小球个数都相同时，有1种放法；；所以不同的放法共有28−1−9=18种放法．故选D本题考查排列、组合的应用，利用间接法分析可以避免大量的分类讨论与复杂的计算．29201929在等比数列{an}中，如果a5和a9是⼀元⼆次方程x2+7x+9=0的两个根，则a4⋅a7⋅a10的值为()A由题意，得所以从而a7<0．aaaa7．保证此区域完整20184201843303313232Sn2nann等差数列{an}，{bSn2nannCbn a1+a2n−12S2n−12 nnnn在数列{an}中，已知an+1=an+，a1=2，则a99的值是()C∵an+1−an=，当n⩾2时．a2−a1=a3−a2=…an−an−1=将以上各式相加得：an−a1=[1+2+…+(n−1)]=(n−1)n已知x>，那么函数y=2x+2+的最小值是())保证此区域完整D133201533B二次项系数为负，所以我们先将二次项系数化为正，34201834若两个正实数北,y满足+=1，且不等式北+<m2−3m有解，则实数m的取值范围为()B因为+=1，所以(北+)(+)=1+1++⩾2+2√.=4所以要满足题中不等式有解，则只需满足m2−3m>4，解得m>4或m<−1．35201535保证此区域完整B．(0,]D．(0,]B所以ab⩽，并且大于零．不等式． 362014Daba+b=(a+b)(+)=7++⩾7+2√⋅=7+4√3，当且仅当=时即 372016不等式x2−2x+5⩾a2−3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()保证此区域完整B则只需ymin=4⩾a2−3a，即−1⩽a⩽4 382018复数z(i为虚数单位)满足z(2+i)=i−1，则|z|的值是()Az，|z|=z，|z|=2+i5539201739i为虚数单位，则()2011等于()C因为===i，所以i2011=−i．故选C40201840已知双曲线−=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()保证此区域完整C 412020设椭圆E:+=设椭圆E:+=1(a>b>0)的⼀个焦点F(2,0)，点A(−2,1)为椭圆E内⼀点，若椭圆E上存在⼀点P，使得|PA|+|PF|=8，则椭圆E的离心率的取值范围是()A设椭圆的左焦点为F1(−2,0)．AF|=1．∵|PF1|≤|PA|+|AF1|．∴2a=|PF1|+|PF|≤|PA|+|AF1|+|PF|≤1+8=9．即a≤．∵|PF1|≥|PA|−|AF1|．∴2a=|PF1|+|PF|≥|PA|−|AF1|+|PF|≥8−1=7．即a≥．故选A保证此区域完整22本题考查椭圆的简单性质，利用三角形的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，通过记椭圆的左焦点为F1(−2,0)，则|AF1|=1，利用|PF1|≤|PA|+|AF1|和|PF1|≥|PA|−|AF1|求出a的取值范围，即可求出离心率的范围． 422018已知椭圆+=已知椭圆+=1，直线l与椭圆相交于A，B两点，点P(1,1)是线段AB的中点，则直线l的斜率为43()√3()√3C设A(x1,y1)、B(x2,y2)，∵点AB在椭圆+=1上，所以+=1、+=1，两式相减可得(x12−x22)+(y12−y22)=0，化简得kAB==−，又∵点P(1,1)是线段AB的中点，∴x1+x2=2,y1+y2=2，因此可得直线l的斜率为kAB==−=−．故本题正确答案为C． 432018如图，双曲线x2−=1的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线右支上⼀点，PF1与圆x2+y2=1相切于点T，M是PF1的中点，则|MO|−|MT|=()112A保证此区域完整x=1焦点在x轴上，a=1，b=2，c=√5，设双曲线的左焦点F1(−√5，0)，右焦点F(√5，0)，由M是PF1的中点，则OM为△PF1F2中位线，则|OM|=|PF2|，由PF1与圆x2+y2=1相切于点T，则ΔOTF1为直角三角形，∴|TF1|2=|OF1|2−|OT|2=5−1=4，则|TF1|=2，∴|MT|=|MF1|−|TF1|=|MF1|−2=|PF1|−2，由|OM|=|PF2|，∴|MO|−|MT|=|PF2|−|PF1|+2=(|PF2|−|PF2|)+2=−1+2=1故选：A． 44过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45∘的直线，则被抛物线截得的弦长为()BCDB过焦点且斜率为45∘的直线方程为y=x−2，设直线与抛物线的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)．将抛物线方程与直线方程联立，消y得x2−12x+4=0，由⻙达定理可得x1+x2=12，x1x2=4．|AB|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=16． 452018⼀条直线l经过点P(1,2)，且与两点A(2,3)，B(4,−5)的距离相等，则直线l的方程是()A保证此区域完整所求直线有两条，其中是经过点P(1,2)且与AB平行的直线，另⼀条是经过P(1,2)与AB中点C的直线，∴AB的斜率k=−4，可得经过点P且与AB平行的直线方程为y−2=−4(x−1)，化简得4x+y−6=0，又∵AB中点为C(3,−1)，∴经过PC的直线方程为3x+2y−7=0．本题给出点A，B，求经过点P且与A，B距离相等的直线方程，着重考查了直线的斜率与直线方程等知识． 462004II在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有()ABCD．4条B以A点距离为1的所有直线是以A(1,2)为圆心，半径为1的圆的切线同理，到点B(3,1)距离为2的直线是以B(3,1)为圆心半径为2的圆的切线同时满足即为两圆的公切线的条数2−1<|AB|=√5<2+1所以两圆相交故有两条公切线．故选B 472012设m，n∈R，若直线(m+1)x+(n+1)y−2=0与圆(x−1)2+(y−1)2=1相切，则m+n的取值范围是()．D保证此区域完整直线(m+1)x+(n+1)y−2=0与圆(x−1)2+(y−1)2=1相切，则圆心(1,1)到直线的距离为d==1，整理得mn=m+整理得mn=m+n+1⩽(2)， 482012已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=()B设抛物线方程为y2=2px(p>0)，则焦点坐标为(,0)，准线方程为x=−，∵M在抛物线上，∴M到焦点的距离等于到准线的距离，∴√(2−)2+y02=3，且√(2+)2=3，M(2,2√2)，∴|OM|=√22+(2√2)2=2√3．【考点】：本题旨在考查抛物线的定义：|MF|=d(M为抛物线上任意⼀点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离)． 492012在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=()D保证此区域完整【分析】：考查向量基本定理、向量的线性运算、向量的数量积及其应用，考查化归转化能力．解题的突破口是建立平面直角坐标系转化为平面向量坐标运算问题求解，或利用平面向量基本定理，将问题转化为只含基底的两个向量的运算问题求解．如图，以C为原点，CB，AC所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系．设A(0,a)，B(b,0)，则D(,)，P(,)，由两点间的距离公式可得|PA|2=+，|PB|2=+，|PC|2=+，所以|PA|2+|PB|2=(a2+b2)=10．5020201050已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()ABCD．4B圆x2+y2−6x=0化为(x−3)2+y2=9，所以圆心C坐标为C(3,0)，半径为3，设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时|CP|=√(3−1)2+(−2)2=2√2，根据弦长公式得最小值为2√9−|CP|2=2√9−8=2．故选B当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论．本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题．51202051(1)求函数y=f(x)的值域；保证此区域完整(2)若f(x)在区间[−,]上为增函数，求ω的最大值．(1)因−1⩽sin2ωx⩽1，所以函数y=f(x)的值域为[1−√3,1+√3]．(2)16因y=sinx在每个闭区间[2kπ−,2kπ+](k∈Z)上为增函数，故f(x)=√3sin2ωx+1(ω>0)在每个闭区间[−,+](k∈Z)上为增函数．依题意知[−,]⊆[−,+]对某个k∈Z成立，此时必有k=0，−π于是⎨π2π4ω⩽，故ω的最大值为．的图象与性质． 522017IIIb(1)求c；(2)设D为BC边上⼀点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．(1)4保证此区域完整由sinA+√3cosA=0得2sin(A+)=0，即A+=kπ(k∈Z)，得A=．(2)√3ACBC，AB=4，ab7∵AC⊥AD，即△ACD为直角三角形，则AC=CD⋅cosC，得CD=√7，又A=，则∠DAB=−=，S△ABD=|AD|⋅|AB|⋅sin=√3． 532016(1)证明：a+b=2c．(2)求cosC的最小值．(1)证明见解析．由题意可知2(+)=+，化简得B由A+B+C=π，解得sin(A+B)=sinC，(2)保证此区域完整2 a2+b2 a2+b2−()2所以cosC==2ab=(+)−⩾，ab等号成立．故cosC的最小值为． 542015已知函数f(x)=sin2x−sin2(x−)，x∈R．(1)求f(x)的最小正周期．(2)求f(x)在区间[−,]中的最大值和最小值．(1)T．∵f(x)=sin2x−sin2(x−)1−cos(2x−)2=sin2x+cos(2x−)−=−cos2x+(cos2xcos+sin2xsin)−x=sin2x−cos2x=sin(2x−)．∴f(x)的最小正周期T==T．(2)保证此区域完整sin]． 552015如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3+√3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45∘，B点北偏西60∘的D点有⼀艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60∘且与B点相距20√3海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援到达D点需要多长时间？【分析】：先根据内角和求得∠DAB和∠DBA及进而求得∠ADB，在△ADB中利用正弦定理求得DB的长，进而利用里程除以速度即可求得时间．如图所示，在△ABD中，∠ADB=105∘⇒sin105∘=，由正弦定理可得：=⇒DB=10√3，在△DBC中，根据余弦定理可得：DC2=DB2+BC2−2DB⋅BC⋅cos60∘⇒DC=30，则t==1(h)，故需要1小时时间到达救援点． 562017保证此区域完整(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[−,]上的最小值．(1)f(x)=sin(ωx−)+sin(ωx−)=sinωx−2sinωx−=√3(sinωx由题意可知f()=√3sin(ω×−)=0，kTkZ，(2)由(1)得f(x)=√3sin(2x−)，所以g(x)=√3sin(x+−)=√3sin(x−)．所以x−∈[−,]，当x−=−，即x=−时，g(x)取得最小值−． 572014保证此区域完整如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=√7，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．(1)求sin∠CED的值；(2)求BE的长．(1)sin∠CED=．在△CDE中，由余弦定理得：EC2=CD2+DE2−2CD⋅DE⋅cos∠EDC，于是由题设知：7=CD2+1+CD.即CD2+CD−6=0，解得CD=2，(CD=−3舍去)．在△CDE中，由正弦定理得：=于是sinα===．即sin∠CED=．EC√777(2)BE=4√7．保证此区域完整由题设知0<α<，于是由(I)知，cosα=1−√1−sin2α=√1−=3而∠AEB=−α3cos∠AEB=cos(−α)=−cosα+sinα在Rt△EAB中，cos∠AEB==，故BE===4√7． 582005I设正项等比数列{an}的首项a1=，前n项和为Sn，且210S30−(210+1)S20+S10=0．(1)求{an}的通项；(2)求{nSn}的前n项和Tn．(1)an=a1qn−1=n(2)n(n+1)1nn(n+1)1nn2n保证此区域完整 (1−)1n由(1)，得Sn=1=1−2n，则nSn=n−2n．1−2从而Tn=(1+2+…+n)−(++…+)，两端同乘以，得=(1+2+…+n)−(++…++)．式相减，得=(1+2+…+n)−(++…+)+n(n+1)(1−)n412n+1412n+11−2化简，得Tn=++−化简，得Tn=++−2．n2n本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力． 592018II记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=−7，S3=−15．(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．(1)an=2n−9依据等差数列的前n项和公式得S3，再结合首项a1确定d值，再由等差数列的通项公式写出数列{an}的通项，由a1=−7得d=2，所以{an}的通项公式为an=2n−9．(2)保证此区域完整结合(1)所得结论得出Sn，结合配方法和n的取值范围求解Sn的最小值．由(1)得Sn=n2−8n=(n−4)2−16，所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为−16．【名师指导】：本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式、等差数列的前n项和的最值的求解． 602019annSnaaSbn每个n∈N∗，Sn+bn，bn