第3节向量学生版

第3节向量复习题型汇总：1.向量的线性运算2.数量积3.向量取值范围4.四心综合题型总结1.向量的线性运算例1.（2023·全国·高一专题练习）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（

）A． B． C．1 D．2【变式11】.（2022春·陕西西安·高一西安建筑科技大学附属中学校考阶段练习）相传，太极八卦图是古代圣人伏羲氏首创，如图2是八卦模型图，其平面图形记为图3中的正八边形，则给出下列结论：①；②；③．其中正确的结论为（

）A．①② B．②③ C．② D．③【变式12】.（2023·江苏·高一专题练习）衡量钻石价值的4C标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形BCDE为等腰梯形，且，，，则（

）A． B．C． D．例2.（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）如图，在△ABC中，，，＝3，＝2，则＝（）A． B．C． D．【变式21】．（2023春·河南南阳·高一统考期末）如图，在中，点，分别在边和边上，，分别为和的三等分点，点靠近点，点靠近点，交于点，设，，则（

）

A． B．C． D．【变式22】．（2024春·浙江·高一景宁中学校联考阶段练习）如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，则，则的最小值（

）

A．1 B．3 C．5 D．82.数量积例3.（2023春·浙江绍兴·高一统考期末）已知向量，满足，，，则在上的投影向量的模长为（

）A． B． C． D．【变式31】.（2023春·河北衡水·高一校考期中）已知向量，满足，且，则在方向上的投影为A．1 B．1 C． D．【变式32】.（2023春·山东德州·高一德州市第一中学校考阶段练习）已知非零向量，满足=2，则向量的模是（）A．4 B． C．2 D．例4.（2024·高一课时练习）已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（

）A．； B．； C．； D．．【变式41】.（2023春·全国·高一专题练习）已知平面向量，，与的夹角为钝角，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式42】.(多选)（2024·高一课时练习）已知向量，，则正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若与的夹角为锐角，则 D．若向量是与同向的单位向量，则3.向量取值范围例5.（2024·高一课时练习）已知向量.（1）若，求的值；（2）若，求实数的值；（3）若与的夹角是锐角，求实数的取值范围．【变式51】.（2023春·全国·高一专题练习）已知向量，.(1)若，求；(2)若和的夹角为锐角，求的取值范围.【变式52】.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_________．例6.（2024秋·高二校考单元测试）如图，分别是矩形的边和的中点，与交于点．（1）若，求：的值；（2）设，试用表示；（3）若，是线段上的一动点，求的最大值．

【变式61】．如图，在四边形中，，，，且，.

(1)求实数的值；(2)若，是线段上的动点，且，求的最小值.【变式62】．在平面直角坐标系中，已知，，，为轴上两个动点，且，则的最小值为________.例7.如图，在菱形ABCD中，，.(1)若，，求；(2)若菱形的边长为6，求的取值范围.【变式71】．已知正方形的边长为，为该正方形内切圆的直径，在的四边上运动，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式72】．梯形中，，，，，点在线段上运动.(1)当点是线段的中点时，求；(2)求的最大值.4.四心综合例8.（2023春·全国·高一专题练习）已知，是其内心，内角所对的边分别，则（

）A． B．C． D．【变式81】．在△中，，，，O为△的内心，若，则（

）A． B． C． D．【变式82】．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心例9.（2023春·天津静海·高一静海一中校考阶段练习）设O是所在平面内一定点,P是平面内一动点,若,则点O是的A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【变式91】.在中，为的外心，则__________.若，则的值为__________.【变式92】在中，，，，为的外心，若，，，则______.例10.已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（

）A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2【变式101】（多选）已知点是所在平面内任一点，为的中点，，，且，则（

）A．是的外心 B．是的重心C． D．【变式102】.（2023·全国·高一专题练习）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（

） B． C． D．巩固练习1.（2023春·河南南阳·高一统考期中）在平行四边形中，点为的中点，点在上，三点共线，若，则_______________.2.（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，在中，，若，则__________．3.（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，.若，则_____.4.（2024·河南·校联考一模）设，，，若，则______.5.（2024春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期中）平行四边形中，，E是的中点，F是的中点，则向量的模长是______．6.（2023春·江苏淮安·高一校考阶段练习）若向量，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________．7.（2024春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）已知点是所在平面内的一定点，是平面内一动点，若，则点的轨迹一定经过的（

）A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心8.（2024春·湖南怀化·高一怀化市第三中学校考期中）已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，则点为三角形的A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心9.（2023春·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）在直角坐标系中，向量，，，，其中，，.(1)若，，三点共线，求实数的值；(2)若四边形为菱形，求的值.10.（2023春·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）设两个向量满足，(1)求方向的单位向量；(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．11.（2024春·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，在四边形中，E是的中点，设，(1)用，表示(2)若，与交于点O，求12.（2024秋·安徽黄山·高一统考期末）为三角形内部一点，､､均为大于1的正实数，且满足，若､､分别表示､､的面积，则为（

）A． B． C． D．13.