(完整)南京师范大学考研高等代数2008-2011

2008年硕士研究生招生入学考试试卷高等代数判断题（共60分，每小题6分；若正确，打钩并给出证明，若错误，打叉并给出反例或说明理由）对多项式来说，不存在素数满足艾森斯坦判别法的条件，故不是有理数域上的不可约多项式。若数域上的多项式在复数域上有重根，则在上一定有重因式。设向量组（=1\*ROMANI）的秩大于向量组（=2\*ROMANII）的秩，则（=1\*ROMANI）不能由（=2\*ROMANII）线性表出。设都是阶方阵，是对角矩阵，，则也是对角矩阵。设都是半正定矩阵，则的特征值大于或等于0。设是维线性空间的子空间，，若，则是直和。实矩阵的秩为的充要条件是对任意的阶实矩阵，有可推得。设属于数域,，则是一个线性空间，并且是上的一个线性变换。是可逆的当且仅当的行列式。在维欧几里得空间中，正交变换在一组基下的矩阵是正交矩阵。计算题（每小题10分，共40分）设，阶方阵，求的行列式。求的所有不变因子，初等因子以及若尔当标准形。设是所有次数小于4的多项式和零多项式构成的线性空间，求线性变换的特征值，求最大特征值的特征向量。已知三维欧几里得空间中有一组基，其度量矩阵为，求向量的长度。证明题（1，2题每小题10分，3，4题每小题15分，共50分）设是一个维线性空间，是一个维子空间，，证明：存在一个线性变换，使得。设分块实对称矩阵，其中，证明：正定的充要条件是且矩阵正定。设是由所有复系数多项式所构成的集合，，令，设最小多项式的次数为，证明：（1）是一个有限维线性空间；（2）构成的一个基。设是数域上的有限维线性空间，是上的线性变换，是的最小多项式；再设，其中表示核空间，证明：。2009年硕士研究生招生入学考试试卷高等代数考生注意：答案必须写在答题纸上，否则无效，后果自负。（20分）是整系数多项式，若是奇数，是偶数，证明：是有理数域上的不可约多项式。（20分）设是欧式空间的一个正交变换，和是两个不同的特征值，设的属于的特征向量为，属于的特征向量为，证明：和是正交的。（20分）设为级矩阵满足且，证明：存在可逆矩阵使得和都是对角矩阵。（30分）求二次型的矩阵及正负惯性指数。（30分）设是有限维线性空间上的线性变换，证明：的充要条件是。（30分）设维线性空间上的线性变换的特征多项式为并有，证明：构成整个线性空间的一组基，并写出在这组基下的矩阵。2010年硕士研究生招生入学考试试卷高等代数（15分）计算行列式。（15分）设整系数多项式，记为和的首项系数为1的最大公因式，为的导数，若为二次多项式，求的值。（16分）设矩阵，求矩阵的若尔当标准形和的有理标准形。（15分）设级行列式为中的元素的代数余子式，证明：当时，线性方程组有一个基础解系为：，。（20分）设是由数域上的次数小于的全体多项式，再添上零多项式构成的线性空间，定义上的线性变换，使，其中为的导数，（1）求的核与值域；（2）证明：线性空间是与的直和。（15分）设，请把分解为一个可逆矩阵和一个幂等矩阵（即）的乘积。（14分）已知，都为级正定矩阵，证明：（1）中绝对值最大的元素在主对角线上；（2）。（10分）设，为复数域上的级矩阵，和无公共特征根，证明：关于的矩阵方程只有零解。（15分）设复数为某个非零有理系数多项式的根，记证明：中存在唯一的首项系数为1的有理数域上的不可约多项式，使得对任意的，都有成立；证明：存在有理数域上的多项式，使得；令，求（1）中的。（15分）设级循环矩阵。试把表示为一个级可逆矩阵的多项式；证明：所有的级循环矩阵在复数域上可以同时对角化。2011年硕士研究生招生入学考试试卷高等代数考生注意：答案必须写在答题纸上，否则无效，后果自负。（15分）计算行列式。（15分）设是数域上的两个多项式，满足，证明：。（10分）设级实矩阵满足：对任意的且，不等式成立，证明：。（15分）设为级实对称半正定矩阵，为级正定矩阵，证明：。（15分）设是一个级矩阵，证明：是反对称矩阵当且仅当对任一个维向量,有；(表示的转置)如果对称矩阵，且对任一个维向量，有，那么。（15分）设和分别是齐次方程组与的解空间，证明：。（20分）设三维线性空间上的线性变换在基下的矩阵为。求