第二十七章 重点突破训练：相似三角形性质与判定的应用举例-简单数学之2020-2021九年级下册同步讲练（解析版）（人教版）

第二十七章重点突破训练：相似三角形性质与判定的应用举例

典例体系（本专题共71题125页）

第二十七章重点突破训练：

相似三角形性质与判定的应用举例

考点1：平行线分线段成比例定理的辅助线添加

典例：（2019•浙江台州•初三期末）如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2,点D是BC延长线上一点,

BC：CD=2：1,连接FD与AC交于点N,求FN：ND的值.

【答案】FN：ND=2：3.

【解析】解：过点F作FE〃BD,交AC于点E,

士

BD

.EF_AF

"AB?

VAF：BF=1：2,

.AF1

•・=一，

AB3

,FE1

••___—_，

BC3

即FE=-BC,

3

VBC：CD=2：1,

7.CD=—BC,

2

：FE〃BD,

.FN_FE_3c_2

"~ND~~CD~lBC~3

2

即FN：ND=2：3.

方法或规律点拨

本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性,

但是一定比较容易出错的题目.

巩固练习

1.(2020•大庆市第五十七中学初二期末)如图，AD是ABC的中线，E是AD上一点，且AE：ED=1：2,

BE的延长线交AC于F,则AF：FC=()

A.1：2B.1：3C.I：4D.1：5

【答案】C

【解析】解：作DH〃BF交AC于H,

TAD是△ABC的中线,

・・・FH=HC,

・.・DH〃BF,

*AFAE1

>•——――

FHED2

，AF：FC=1：4,

故选：C.

Af1AP

2.（2020.江苏苏州.初二期末）如图，AD是中线，点E在AC上，BE交AD于前F.若——=一，则——

AD2AC

【解析】解：过点D作BE的平行线交AC于点G,

CDCG

-JDGUBE,/.—=—

CBCE

：AD是中线，；.D是BC中点，.，.G是CE中点,

AF"AEi

FE//DG,==-»E是AG中点,

ADAG2

•AE1

.•=(

AC3

故答案是：

3

A

3.（2020•上海市静安区实验中学初三课时练习）如图，在R2ABC中，ZACB=90°,BA=12cm,AD、BE

是两条中线，F为其交点，那么CF=—cm.

c

【答案】4

【解析】解：延长CF交AB于点H,连接DH.

・・・CH是AABC的中线，

ZACB=90°,

1,

CH=—AB=6cm,

2

VBD=CD,BH=AH,

・・・DH〃AC,AC=2DH,

.FH_DH_1

CF-AC-2?

ACF=2FH,

2

ACF=-CH=4cm.

3

故答案为：4

4.（2020•温州育英国际实验学校初二月考）如图，等边AABC的边长为5,D在BC延长线上，CD=3,点

E在线段AD上，且AE=AB,连接BE交AC于F,则CF的长为.

E

B

【答案】1

【解析】解：过点A作AGJ_BD于点G,过点E作EH〃AC,交BD于点H,

VDC=3

.♦.DG=CG+DC=2.5+3=5.5

在RMAGD中，

AD=YIAG2+DG2

.♦.DE=7-5=2

：EH〃AC,

DEEHDH2EHDH

..==即14rl一==----

ADACDC753

解之：EH=—,DH=-

77

・；CF〃EH,

CF_5

.CF_BC

即诃二Q6

EHBH---o-

77

解之：CF=1

故答案为：1.

5.（2020.江苏无锡.初三其他）如图，在Rt^ABC中，NACB=90。，AB=4,点D,E分别在边AB,AC

上，且DB=2AD,AE=3EC,连接BE,CD,相交于点O,则AABO面积最大值为.

Q

【答案】-

3

【解析】解：如图，过点D作DF〃AE,

.EC1

,南-3'

；.DF=2EC,

/.DO=2OC,

2

-,.DO=-DC,

3

.22

••SAADO=_SAADC,SABDO=_SABDC»

33

._2

••SAABO=_SAABC，

3

ZACB=90°,

.•.C在以AB为直径的圆上，设圆心为G,

当CG_LAB时，AABC的面积最大为：—x4x2=4,

2

28

此时^ABO的面积最大为：一X4二一.

33

Q

故答案为：一.

3

6.（2020•江苏泰兴•初三其他）如图，在RtAABC中，/ACB=90。，AC=6,点G是AABC的重心，GH

则GH的长为

【解析】如图，连接AG并延长AG交BC于D,

点G是AABC的重心,

GD1

AG=2GD,即un---——

AG2

GD_1

~AD~3

由GH_LBC,ZACB=90°,

GH//BC,

GDGH

~AD~~AC

AC=6,

GD1

GH=AC'-----=6x—=2,

3

7.（2020•桂根广西师大附属外国语学校初三月考）如图，矩形A8CZ）中，AB=4,AZ）=6,点E在边上,

且BE:EC=2：1,动点P从点C出发，沿CO运动到点D停止，过点E作EFVPE交矩形ABCD的边于F,

若线段EF的中点为M,则点P从C运动到。的过程中，点M运动的路线长为.

【答案】3

【解析】解：如图，点F可能在AD边上，也可能在AB边上,

(1)点F在AD边上时，

当P与C重合时，点F与G重合，此时点M在K处，当点P与Q重合时，点F与A重合，点M在H处，

点M的运动轨迹是线段HK.

可求得DG=CE=2,AG=4,

/.HK=—AG=2,

2

(2)点F在AB边上时，

当P与D重合时，点F与0重合，此时点M在N处，点M的运动轨迹是线段HN.

VAOBE^ACED,

.OBBE

"~CE~~CD'

，OB=2,

.\OA=2,

/.HN=—AO=1,

2

二点M的运动路径的K=HK+HN=2+1=3.

故答案为3.

8.(2020•上海松江•初一期末)如图，在等边AABC中，已知点E在直线AB上(不与点A、8重合)，点。

在直线BC上，且ED=EC.

(1)若点E为线段A8的中点时，试说明O8=AE的理由；

(2)若AABC的边长为2,AE=\,求CO的长.

D'BB

备用图

【答案】（1）理由见解析；（2）I或3

【解析】（1）・・・△ABC是等边三角形，E为的中点,

AZBCE=30°,BE=AE,

•:ED=EC,

；・NEDB=NBCE=30。,

•?ZABD=120°,

：.ZDEB=30°f

:・DB=EB,

：.AE=DB；

（2）如图1,

'：AB=2,AE=l,

・••点E是A8的中点，

由（1）知，BD=AE=\f

；.CD=BC+BD=3；

如图2,过A作于M,过E作EN-LBC于N,

9

：AB=ACfDE=CE,

：.BM=-BC=3,CD=2CN,

2

VAM±BC,EN1BC,

J.AM//EN,

.ABBM

…而一而‘

21

••一=—，

3BN

3

:・BN=一,

2

：.CN=BC-BN=—，

2

：.CD=\9

综上所述，CO的长为1或3.

A

Ej

C

口B图］„/'j\A

MDNC

图2一

9.（2020•全国初三专题练习）如图，在RtZkABC中，NA3C=90°，84=3。，点。为8C边上的中

点，连接AD，过点8作3ELAZ）于点E,延长BE交AC于点F,求一的值.

【答案】2

【解析】解：如解图，过点A作的平行线，过点C作A5的平行线相交于点M，延长交MCF点

G.

VZABC=90°，BA=BC,

二四边形ABCM为正方形，

ZABC=/BCG=90°，

：.ZABE+NGBC=90。，

又,:BELAD^

二ZABE+NBAZ>=90°,

/.NGBC=NDAB,

又,:AB=BC,

：.AGBC^AZM5（ASA）,

：.CG=BD.

乂：AB//MC.

AFABAB,

——=——=——=2.

FCCGBD

B

D

M

考点2：动点问题中的相似问题

典例：(2020•无锡市钱桥中学初三月考)如图，矩形ABCD中，AB=8cm,BC=6cm,点O为对角线的

中点，点P从点A出发，沿折线AD-DO-OC,以每秒2厘米的速度向终点运动，当点P与点A不重合时,

过点P作PQLAB于点Q,以PQ为边向右作正方形PQMN,点P运动的时间为t(秒).

(1)求点N落在BD上时t的值;

(2)当点O在正方形PQMN内部时，t的取值范围

(3)当直线DN平分ABCD面积时求出t的值.

【解析】解：(1)如图，当点N落在BD上时,

:四边形PQMN是正方形,

APN//QM,PN=PQ=2t,

：.DPNDQB,

DPPN

DQ-QB

VPN=PQ=PA=2t,£>P=6—2f,QB=AB=8,

.6—2，It

••-------=---，

68

12

.•t=---,

7

12

当，=一时，点N落在BD上；

7

(2)①如图，当MN过点O时,

QM=QP=2t,MB=S-2t,

•.•四边形PQMN是正方形，

MN//DQ,

.点。是DB中点，

AQM=BM,

.'.2r=8—2r,解得，=2,

②如图，当PQ过点。时，

•.•四边形ABCD是矩形，

...ZA=90。，

；AB=8,AD=6,

.\DB=10,

:点。是DB的中点，

AD0=5,

・・・2，=AT>+OO=6+5=11,解得/=□,

2

.•.当点0在正方形PQMN内部时，，的范围是2<5；

(3)设直线DN与BC交于点E,

•.•直线DN平分BCD面积,

/.BE=CE=3,

①如图，点P在AD匕过点E作EH//PN交AD于点H,

•/DPNDHE，

.DPPN

••=~,

DHEH

,:PN=PA=2t,DP=6—2t,DH=CE=3,EH=AB=8,

6-2t2t24

-----=—.解得，=77

3o11

②如图，点P在DO匕连接OE,

/.DPNDOE,

DPPN

DO-OE

,:DP=2t—6,£>O=5,OE=4,

2r-6PNan*,8/公

=N，即PN=”-3),

V整PQBDA,

.BPPQ

"~BD~~DA'

研=6+10-2/=16-2，

里丝丝即PQ=18T),

1065V7

PN=PQ,

-1(/-3)=^(8-/),解得f=竿；

③如图，点P在OC上，设DE与OC交于点S,连接OE,交PQ于点R,

DC

：.{DSCESO,

.SCDC

"~SO~~OE'

:.SC=2SO,

'：OC=5,

.s°C5

33

；PN//AB//DC//0E,

：.\SPNSOE,

.SPPN

"SO-OEf

•；SP=6+5+--2r=—-2r,

33

3

,/PR//MN//BC，

A\ORPOEC,

OPPR

~OC~~CE

VOP^2t-ll,0C=5,EC=3,

.2r-llPR即PR专告,

,•-----=---

53

•；QR=BE=3,

八nr,八r>633,618

PQ=PR+QR——t----F3=—t-----,

5555

•；PN=PQ,

1522461817

t=-t——，/解nZ得M，=一,

555~~53

17

综上：/的值为—，—,

117~3

方法或规律点拨

本题考查动点问题，涉及矩形的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是用时间t根据题意表示出对

应的线段长，然后利用相似三角形对应边成比例列式求出t的值.

巩固练习

1.（2020•山东安丘•东埠初中初三月考）如图，在A6C中，ZACB=90°,AB=10,AC=6,点。是

BC上一动点，连接AD,将&W沿4）折叠，点C落在点C,连接CD交A3于点E,连接BC.当

△比Z）是直角三角形时，的长为

【解析】在AABCAABC中，/ACB=90。，AB=10,AC=6,由勾股定理得BC=JAB中AC?=8,

「△BCD是直角三角形时

当/DCB=90。，/AC，D=90。，则C与E重合，如图，AC=AC'=6,BC（=AB-AC'=4,CD=C'D=x,BD=8-x,

由勾股定理得X2+42=（8-X）2,解得X=3

D

当/CDB=90。，如下图:

NC=NAC'D=90°,

ZC=ZAC,D=ZCDC,=90°,AC=AC',

四边形ACDC为正方形,

CA=C'A=CD=6,BD=2,设DE=x,C'E=6-x,由BD〃AC,

AAAC'E^ABDE,

AC'C'E66-x3

---=----即nn—=---解得x=—,

BDDE2x2

3

故答案为：3或一.

2

2.(2019•全国初三单元测试)如图,在矩形ABCD中，AB=CD=4cm,AD=BC—6cm,AE=DE=3cm,

点P从点E出发，沿EB方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速

度为2cm/s,连接PQ,设运动时间为t(s)(0<Z<2),解答下列问题：

(1)当t为何值时，PQ//BC?

(2)设四边形PBCQ的面积为y(cm2),求y与t的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻L使四边形PBCQ的面积是四边形PQDE的面积的4倍？若存在，求出t的值;

若不存在，说明理由.

(4)连接BD,点O是BD的中点，是否存在某一时刻t,使P,O,Q在同一直线上？若存在，求出t的

值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)z=—：(2)y=-t2+-t+\2；(3)存在.t=姮匚(4)不存在，详见解析.

7552

【解析】解：(1)由题意，得NA=9()°,EP=tcm,QC=2tcm.

在RtAABE中，AB-4cm-AE-3cm.

•*-BE=VAB2+AE2=5cm-

EPDOt4-2/10

则PB=(5-/)c■加.若PQ//8C.则万^=,即^―j=2f，=

(2)如图，过点P作用则PF//A3，

:./BPF=/EBA

又：ZBFP=ZEAB=900.

/.|BPFEBA

BFBPPF,BF5-iPt

...---=---=----,即HI----=----=---

EAEBBA354

•BF—3(5-"cmPF_4(5-力

55

3(5+R)

CF=BC-BF=6—3(5T)^Cm.

55

y=SPI1F+S^0QPF=—BF-PF+—(C(2+PF).

型口维⑵+3.迎a"。/.

25525555

33

・・・y与t的函数关系式为》=《广+)1+12.

(3)存在.由题意，得

S四边形BCDE=S矩形ABCD—S槐=4x6-彳x3x4=18.

S四边形P8CQ=4s四如称PQ/%，

z.-r+-r+12=-xl8.

555

解得r=土典(舍去)，f=五二1,.♦.当t=g3时,四边形PBCQ的面积是四动形PQDE的

12222

面积的4倍.

(4)不存在.理由：

①当点P在点0上方，点Q在点0下方时，如图1,延长Q0至点Q'易得AQ'=CQ=2fcm,

过点P作尸于点M,

.PMEFPMt4

PM//AB,即——=-.PM=-tcm.

455

4

但实际PM〉AQ',.•.此时不存在.

②当点P在点O下方，点Q在点0上方时，如图2,延长Q0交AB于点Q，,作④刀于点G，PH_LA8

于点H.

则BG=LAB=2cm,0G=-AD=3cm.

22

,:PB=(5-t)cm，

3(34/4、

APH=-(5-r)=3--tcm,BH=-(,5-t)=\4一一tcm.

5I5J5I5)

易证8。'=OQ=(4-2f)cm,

At6

HQ=BH-BQ=4---(4-2t)=^tcm,

GQ=BG-8。'=2-(4-2t)=(2r-2)cm,

易证Q'HPQ'GO,

.PHHQ

OGGQ

36

A5?_5Z,即产一3f+5=0，

3-2/-2

=—11<0,...方程无解，，不存在.

综上所述，不存在某一时刻3使P,O,Q在同一直线上.

3.(2020•河北邯郸•初三其他)在七AABC中，NACB=90，AC=Scm,BC=6cm,边BC在AMON

的边ON上，且NA5C=2NMON.AABC沿射线ON向右平移，速度为每秒1cm，运动时间为f秒，7=0

时，点、B与。重合；当点A落在OM上时停止运动.

(1)如图1,当点5与。重合时，AC交于点O，于点E,此时线段AD=cm,

DE=cm-

(2)如图2,在AABC向右平移的过程中，AC交OM于点〃，AB交OM于点G,当点G为A6中

点时，求t的值；

(3)如果AA3C的边上有一点P,在AA3C向右平移的同时，点尸从点8出发沿8fCfA运动，当

点P在3c边上运动时，速度为每秒1cm,当点P在C4边上运动时，速度为每秒4cm,当r>6时，请求

出当MGP为直角三角形时t的值

:V

。

CN0RcNBCN

图l图2备用图

【答案】（1）5.3；（2）。=5；⑶15或78

【解析】解：（I）ZACB=90»AC=8cm,BC=6cm,

/.AB=10cm：

・・・NABC=2NA/ON,点区与。重合

・・・ZAON=ZMON

♦；DE工AB,ZACB=90

・・・DE=DC,ZACB=ZOED=90

・♦・ODE=ODC

OE=BC=6cm

.EA=4cm,

设AD=xcm,则DE=DC=(8-x)cm

在RtAD石中，x2=(8-X)2+42

/.x=5,即AD=5cm

:.DE=3cm

(2)在自AABC中，AB=VAC2+BC2=1Ocm

ZABC=ZO+ZOGB,ZABC=2Z0

:.ZO=ZOGB

OB=BG=AG=—AB=5cm2

2

:.t=5

(3)当r>6时，点尸在AC边上

此时3G=0B=rcm,AG=(\O-t')cm,AP=AC-PC=S-4(t-6')=(32-4t)cm

①当NA[G=90时，如图1，MG/]~MBC

.AGAP,

"~AB~~AC

10-r32—4，

即Hn-----=-------

108

解得f=15

②当NAGg=90时，如图2,A4G£~AACB

AGAP2

-AC-AB

Hnio-r32-4t

810

解得f=78

综上，/的值为15或78

4

4.（2020•哈尔滨市萧红中学初三月考）在平面直角坐标系中，函数y=-§x+4的图像分别交x轴、y轴

于点AC,函数y=ax+〃的图象分别交入轴、y轴于点仇C,且(T=4，过点。作射线CR//X轴.

(1)求直线8c的解析式；

(2)点p自点C沿射线CR以每秒1个单位长度运动，同时点。自点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速

度向终点。运动，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ.设APOC的面积为S,点。

的运动时间为f(秒)，求S与，的函数关系式，并直接写出，的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点P作PF//CB,交x轴于点/，连接QE,在P、。运动的过程中，是否存

在f值，使得NPFQ=45°,若存在，求f值：若不存在，请说明理由.

21525

【答案】(I)y=4x+4；(2)S=—q厂+2，(0<♦<5)；(3)存在，■或

4

【解析】解：(1)函数y=的图象分别交x轴、V轴于点A，C,

：.A(3,0),C(0,4),

OA=3,OC—41

OC=4OB,

：.OB=\,

：.B(-1,O),

b—4

设直线3C的解析式为y=H+。，则有4,,八，

—k+b=G

解得L7=4..

b=4

直线BC的解析式为y=4x+4.

(2)如图1中，

...S=；t(4—+)=—『+2K0</<5)

(3)存在：

情形①如图2中，取点M(4,3),连接CM，8M，作MG_LCR垂足为G交。4\K,作垂足为

CG=CO=4,NCGM=NCOB=90。,MG=BO=1

:ACGM=Z\COB(ASA),

:.NGCM=4JCB,CB=CM,

:.ZBCM=ZOCG=90°,

「.△BCM的等腰直角一角形，

.\Z1=Z3=45O,

PF//BC,

/.Z2=Z1=45°,N4=45。，

.・.Z2=N4,

:.FQ//BN,

/QFH=/MBK,ZQHF=ZMKB=90°,

:'/\QHFS/\MKB,

43

QHFH-t3-(r-l)--r

，-=,..55

MKBK—=----------------

15

11

丁一3

25

t----,

7

1525

综上所述1=里或一.

117

5.（2020.陕西交大附中分校初三月考）在册AABC中，NC=90。,AC=8,=6,P、Q分别为边

AB、AC的动点.

（1）若AP=a,则当AQ=时，AAPQ与AABC相似（用含a的式子表示）；

（2）若点P从点A处出发，沿线段AB以每秒钟5个单位的速度向点8运动，同时点。从点C处出发,

沿线段C4以每秒钟4个单位的速度向点A运动：

①当运动到第几秒时，BQLCP1

②令线段PQ的中点为M，则运动过程中，△例8C的周长的最小值是多少？

A

AA

457

【答案】(1)二a或；a；(2)①彳；②16.

548

【解析】解：(1)•••NC=90°,AC=8,BC=6

•*-AB=4AC〜BC?=A/82+62=10

当AAPQAACB时，

可知一AP=—AQ,即a一=A々Q

ABAC108

4

解得AQ=ga

同理，当A4PQAA3C时,

APAQaAQ

可知——,即H11一=—

ACAB810

解得42=?a

45

故答案为：一a或一a

54

(2)①如图，过点P做PDLAC于点D

设两点运动时间为t,则AP=5t,CQ=4t

VDP/7CB

.ADDPAP

，AD=4t,DP=3t

:.DC=8-4t

,/ZACB=90°.BQA.CP

：.NDCP=NCBQ

ZACB=NPDC=90。

：.\DCP\CBQ

.CB_CQ64f

DCDP8—4，3t

7

解得t=—,t=0（舍去）

8

②如图，分别取AC、AB中点E、F,接EF,交EF于点M

过点P做PN_LEF与点N

：EF〃CB,PN〃AC

/.AP7VFAACB

：.PN=4-4t

，PN=QE

NQEM=NPNM=90。

NEMQ=NNMP

：.t^EMQs^NMP

；.M为PQ中点，故在P、Q运动过程中，PQ中点M在EF上运动.

；EF为HA4BC中位线

二点C与点A关于直线EF对称

当点M与点F重合时，MB+MC最小

此时MB+MC=AB=10

则AMBC的周长的最小值是10+6=16.

6.（2020•吉林长春.初三一模）如图，在A3c中，AB=AC^5,BC=6,点P从点B出发，沿BC

以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿折线C4-A8以每秒5个单位长度的

速度运动，到达点A时，点Q停止1秒，然后继续运动.分别连结PQ、BQ.设V8PQ的面积为S,点P

的运动时间为f秒.

(1)求点A与BC之间的距离.

(2)当BP=2AQ时，求f的值.

(3)求S与f之间的函数关系式.

(4)当线段PQ与A6C的某条边垂直时，直接写出，的值.

A

P

【答案】(1)4；(2"=9或，=9；(3)当0〈区1时，5=4产；当1〈£2时，S=4f；当2VK3时，S=-4r+12r；

62

18口375

(4)—或一或r一.

31231

【解析】(1)如图，作ADLBC于点D.

VAB=AC=5,AD±BC,BC=6,

ABD=—BC=3.

2

...在R2ABD中，AD=^AB2-BD2=752-32=4.

(2)当0<饪1时，由题意可知：BP=2t,AQ=5-5t,

BP=2AQ,

•••2，=2(5-5力，

解得g.

6

当2<£3时，由题意可知:BP=2t,AQ=5(t-2)=5t-10,

BP=2AQ,

：.2—10),

mt=-.

2

综上所述，当BP=2AQ时，，的值为*或士.

62

(3)当0＜区1时，如图，点Q在AC上，过点Q作QELBC于点E,

；.AD〃QE,

.,.△QEC^AADC,

..•-Q-E-=-Q--C,

ADAC

•.•-Q-E-=-5-t,

45

QE=4t,

11,

：.S=-BPQE=-x2tx4t=4f,

•*-S=4r；

当l<t<2时，如图，点Q与点A重合,

4。）

22

・・・S=4t；

当2V£3时，如图，点Q在AB上，过点Q作QE_LBC于点E,

VAD1BC,QE1BC,

・・・AD〃QE,

/.△QEB^AADB,

.QEBQ

••一»

ADAB

.QE10—5(1)

..---=-----------,

45

：.QE=n-4t,

：.S^-BPQE=-x2tx(}2-4t)^-4r+\2t,

22

：.S=-4t2+\2t.

综上所述：当0<区1时，S=4/；当1<52时，S=4r：当2<tW3时，S=^r+\2t：

(4)当PQ1AC时，如图，

VAD1BC,PQ1AC,

.•.ZADC=ZPQC=90°,

又：NC=NC,

.,.△PQC^AADC,

.CPCQ

••=»

ACCD

.6-2t_5t

••—,

53

]Q

解得：/=—,

31

当PQ1BC时，

由题意可知此时点Q与点A重合，且点P与点D重合，如图,

则BP=BD=3,

・・・2t=3,

3

m：t=~,

2

当PQ_LAB时，如图,

VADIBC,PQ1AB,

・・・NADB=NPQB=90。，

又=

AAPQB^AADB,

.B^_BQ

••一,

ABBD

.2t10-5(r-l)

..—=-----------，

53

75

解得：t=q，

31

综上所述：当线段PQ与A3C的某条边垂直时，t的值为一或=或一.

31231

7.(202。长春市新朝阳实验学校初三月考)如图，在A3C中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,点尸

从点A出发，沿线段A3以每秒5个单位长度的速度向终点3运动.当点尸不与点A、B重合时，过点P作

PQ上AB,交折线AC—C3于点Q,过点P、。分别平行于8C、84的直线相交于点R.设点P运动

的时间为/秒，PQR与A5c重叠部分的面积为S.

(1)直接写出线段PQ的长.(用含f的代数式表示)

(2)当点R落在边AC上时，求，的值.

（3）当PQR与ABC重叠部分图形为三角形时，求S与f之间的函数关系式.

（4）直接写出AQ或PC平分PQR面积时f的值.

20

-t

3507575759

【答案】（1）PQ=<(2)t=一：(3)S=-r2——1+一；(4)t=一或

15_|518°412224

——<t<2

T-T25

34

t=一

25

【解析】（1）作CD_LAB交AB于D点,

在用ABC中，AB=yjAC2+BC2=10

・•,SvA8c=；ACgBC=；ABgC0

ACD=—,AD7AC?-CD?=史

55

,l,18「18

.•.当P和D重ry合时，，=—+5=一

525

[8

①当0<fW—时，AP=5t,如下图所小

R

PQ±AB

：.PQ//CD

：.ACD

.APPQ

"~AD~'CD

•♦.PQ等

1Q

②当—<f<2时，AP=5t,如下图所示

25

8

自

c\：

\1

R

•；PQ±AB

：.PQ//CD

：.PPQBDC

.BPPQ

"~BD~~CD

<\24

.BPCD^-5r)y1515

O-18一24,

BD

5

'20(0<Z-S

一r

3

综上所述，PQ=\

15_15f18Q

4125J

20八,18

—t0<r<—

325

故答案为：PQ=<

15_1518.

—<t<2

25

(2)当R落在边AC上时，得到下图

VPQ1AB,ZACB=90°，且NPBQ=NC8A,

里PQBCA,

又PQ〃AB,

,NPQR=90°,

.,.△CQR^ACBA,

：PR〃BC,

/.△ARP^AABC,

VAP=5t,

PRMt,

又PQ〃AB,

NPQR=90°,

/.△CQR^ACBA,

12

/.PQ=­r,

5

,1515

又PQ=----------

24

151512

----------1-----

245

解得：t=—

41

故答案为一若

(3)当PQR与A5c重叠部分图形为三角形时,

由(2)可知，当型W/V2时满足要求，

41

4

故此时QR=-PQ；

114221515丫7527575

：.S=-xQRxPQ=-x-PQxPQ=-PQ2=-x--------1=-t------1+—

24J222

g”c75,27575

故答案为：S=—I-----1H.

222

(4)直接写出AQ或PC平分尸。尺面积时，的值

①当AQ平分APQR面积时，令AQ交PR于点M,连接AR,如卜图所示,

则根据三角形等面积可知此时PM=RM,

，四边形BQPR为平行四边形，四边形ARQP时矩形,

.'.QM=PM=-^-BQ=^x1-x(10-50=-^x^x(10-5/)

:.AQ=BQ=|-BP=-x(10-5r)2525259

---------1CQ—BC-BQ——t，

2442

故根据勾股定理可得

偿-笠+6=偿—"j

(42)U4)

9

解得」“

②当PC平分4PQR面积时，令PC交QR于点N,此时R在CD上，如下图所示,

则根据三角形等面积可知此时QN=RN,

四边形PQRD为矩形，四边形CQPR为平行四边形,

；.DR=PQ,CE=PQ,

«15

.♦.CD=2PQ=15——t,

_,24

又CD=—,

5

即15——1=—,

25

34

解得：t="^；

25

故答案为：t=乙9或t=3，4.

425

8.（2020•吉林净月高新技术产业开发区•东北师大附中初三月考）如图，在RfABC,ZACB=9Q，AC=8,

BC=6,点。是边AB的中点，动点尸从点3出发以每秒4个单位长度的速度向终点A运动，当尸与点。不

重合时，以为边构造MPDQ,使NP£>Q=Z4,NDPQ=90,且点。与点C在直线A3同侧，

设点P的运动时间为，秒（r>0）,瞠与A6C重叠部分图形面积为S.

（1）用含f的代数式表示线段PD的长；

（2）当点。落在边BC上时，求，的值；

（3）当PDQ与A6C重叠部分图形为四边形时，求S与，的函数关系式.

（4）当点。落在A6C内部或边上时，直接写出点。与ABC的顶点的连线平分A5C面积时f的值.

c

\Q

/、I、

DPB

55599

【答案】(1)当0<f<一时，PD=5-4r：当一<f4—时，PD=At-5.(2)t=一：(3)0<t<——

4422020

。332/155,_/2.525936517

时，S=---1+6；—<r<一时，S——6/+30r-----；(4)—

382162022820,

【解析】解：(1)由题意得，AB=7AC2+5C2=V62+82=10，AD=BD=^-AB=5

当P在线段BD上且不与D重合时，有PD=5-4t(0<r<-)；

4

当P在线段AD上且不与D重合时，有PD=4t-5(0<Z<-)；

4

则当0</<2时，PD=5-4t；当时，PD=4t-5；

442

(2)如图1：NPDQ=NA,ZDPQ=ZACB=90°,

/.△DQP^AABC

DQDP5e5/u,、25=

---=----,DQ=—PrlD=—(5—4/)=----5t

ABAC44V'4

又•.,/PDQ=NA

.\DQ//AC,

•.•点。是边AB的中点

；.DQ为AABC的中位线

二当点Q落在BC上时，DQ=/AC=4

259

•••——5f=4,解得t=--:

420

(3)由(1)(2)可知：

9

①如图2：当OVtV4时，重叠部分为四边形

S=SABND-SABPM

Rx-X⑷)*

②如图3：当Q在AC上时，P在AD的中点，即此时t=—

8

当”<t<3时，重叠部分为四边形

82

S=SAADQ-SAAPM

1531八八/、23

=—x5cx—x--------x(10-4r)x—

2242、74

=-6r+30/--：

16

259

(4)①如图4,当AQ平分AABC的面积且P在BD上时，有——5f=4,解得t=—；

420

129

②如图5,当AQ平分AABC的面积且P在AD上时，作MN1ABTN,则MN=y