2024年重庆市中考数学试卷（B卷）（附答案）

第1页（共1页）2024年重庆市中考数学试卷（B卷）（附答案）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1．（4分）（2024•重庆）下列四个数中，最小的数是A． B．0 C．1 D．22．（4分）（2024•重庆）下列标点符号中，是轴对称图形的是A． B． C． D．3．（4分）（2024•重庆）反比例函数的图象一定经过的点是A． B． C． D．4．（4分）（2024•重庆）如图，，若，则的度数为A． B． C． D．5．（4分）（2024•重庆）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是A． B． C． D．6．（4分）（2024•重庆）估计的值应在A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间7．（4分）（2024•重庆）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是A．20 B．21 C．23 D．268．（4分）（2024•重庆）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为A． B． C． D．9．（4分）（2024•重庆）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分交于点．若，则的长度为A．2 B． C． D．10．（4分）（2024•重庆）已知整式，其中，，，为自然数，为正整数，且．下列说法：①满足条件的整式中有5个单项式；②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；③满足条件的整式共有16个．其中正确的个数是A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。11．（4分）（2024•重庆）计算：．12．（4分）（2024•重庆）甲、乙两人分别从、、三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为．13．（4分）（2024•重庆）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为．14．（4分）（2024•重庆）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为．15．（4分）（2024•重庆）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为．16．（4分）（2024•重庆）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是．17．（4分）（2024•重庆）如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是；的长度是．18．（4分）（2024•重庆）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，，是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。19．（8分）（2024•重庆）计算：（1）；（2）．20．（10分）（2024•重庆）数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：，，，下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：80，83，88，88．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数七年级8687八年级8690根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：，，；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？21．（10分）（2024•重庆）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：（1）如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）（2）已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形．证明：四边形是矩形，．①，．点是的中点，②．．③．又，四边形是平行四边形．，四边形是菱形．进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．22．（10分）（2024•重庆）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元．（1）求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？23．（10分）（2024•重庆）如图，在中，，，点为上一点，过点作交于点．设的长度为，点，的距离为，的周长与的周长之比为．（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过24．（10分）（2024•重庆）如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，（1）求的长度（结果精确到0.1千米）；（2）甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？25．（10分）（2024•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．（1）求抛物线的表达式；（2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．26．（10分）（2024•重庆）在中，，，过点作．（1）如图1，若点在点的左侧，连接，过点作交于点．若点是的中点，求证：；（2）如图2，若点在点的右侧，连接，点是的中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点，平分交于点，求证：；（3）若点在点的右侧，连接，点是的中点，且．点是直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接，．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值．

2024年重庆市中考数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1．（4分）（2024•重庆）下列四个数中，最小的数是A． B．0 C．1 D．2【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得，四个数中，最小的数是．故选：．2．（4分）（2024•重庆）下列标点符号中，是轴对称图形的是A． B． C． D．【解答】解：、是轴对称图形；、不是轴对称图形；、不是轴对称图形；、不是轴对称图形．故选：．3．（4分）（2024•重庆）反比例函数的图象一定经过的点是A． B． C． D．【解答】解：当时，，图象不经过，故选项错误；当时，，图象经过，故选项正确；当时，，图象不经过，，故选项、选项错误；故选：．4．（4分）（2024•重庆）如图，，若，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：如图，，，，，，故选：．5．（4分）（2024•重庆）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是A． B． C． D．【解答】解：若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是，故选：．6．（4分）（2024•重庆）估计的值应在A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间【解答】解：，，，，，故选：．7．（4分）（2024•重庆）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是A．20 B．21 C．23 D．26【解答】解：由所给图形可知，第①个图案中，菱形的个数为：；第②个图案中，菱形的个数为：；第③个图案中，菱形的个数为：；第④个图案中，菱形的个数为：；，所以第个图案中，菱形的个数为个，当时，（个，即第⑧个图案中，菱形的个数为23个．故选：．8．（4分）（2024•重庆）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：，．，点为的中点，，，．，．故选：．9．（4分）（2024•重庆）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分交于点．若，则的长度为A．2 B． C． D．【解答】解：四边形是正方形，，，在和中，，，；平分，，在和中，，，；四边形是正方形，，，设，则，，，在中，根据勾股定理，得，即，解得．故选：．10．（4分）（2024•重庆）已知整式，其中，，，为自然数，为正整数，且．下列说法：①满足条件的整式中有5个单项式；②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；③满足条件的整式共有16个．其中正确的个数是A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：，，为自然数，为正整数，且，，当时，则，，，满足条件的整式有，当时，则，，，，，0，0，，，1，0，，，0，1，，，0，0，，满足条件的整式有：，，，，当时，则，，，，0，，，1，，，0，，，2，，，0，，，1，，满足条件的整式有：，，，，，；当时，则，，，，，，，满足条件的整式有：，，，；当时，，满足条件的整式有：5；满足条件的单项式有：，，，，5，故①符合题意；不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个，故②符合题意；满足条件的整式共有个，故③符合题意；故选：．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。11．（4分）（2024•重庆）计算：3．【解答】解：，故答案为：3．12．（4分）（2024•重庆）甲、乙两人分别从、、三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为．【解答】解：根据题意列表如下：甲乙由上面表格可得总共有9种可能，其中他们恰好选择同一景区的有3种，则他们恰好选择同一景区的概率是．故答案为：．13．（4分）（2024•重庆）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为8．【解答】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是，即该正多边形的边数为8．14．（4分）（2024•重庆）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为．【解答】解：根据题意得：．故答案为：．15．（4分）（2024•重庆）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为2．【解答】解：，，，又，，平分，，，，，，，，，故答案为：2．16．（4分）（2024•重庆）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是12．【解答】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，由题意得，解得；解方程得，，当时，；当时，（不合题意，舍去）；当时，，符合条件的有8，4，，即所有满足条件的整数的值之和是12．17．（4分）（2024•重庆）如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是；的长度是．【解答】解：是圆的直径，，，，，，切圆于，直径，，，，，，，，，，，，，，．故答案为：，．18．（4分）（2024•重庆）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，，是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为3456；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是．【解答】解：是一个“友谊数”，，又，，，，，这个数为3456；是一个“友谊数”，，，，是整数，是整数，即是整数，是13的倍数，、、、都是不为0的正整数，且，，当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意；当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意；当时，，此时可以满足是13的倍数，即此时，则此时，，要使最大，则一定要满足最大，满足题意的的最大值即为6273；故答案为：3456；6273．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。19．（8分）（2024•重庆）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）；（2）．20．（10分）（2024•重庆）数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：，，，下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：80，83，88，88．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数七年级8687八年级8690根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：88，，；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？【解答】解：（1）由题意可知，八年级组有：（人，把被抽取八年级10名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为88，88，故中位数，在被抽取的七年级10名学生的数学竞赛成绩中，87分出现的次数最多，故众数，，故；故答案为：88，87，40；（2）八年级学生数学文化知识较好，理由：因为八年级学生成绩的中位数和众数比七年级的高，所以八年级学生数学文化知识较好；（3）（人，答：估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有310人．21．（10分）（2024•重庆）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：（1）如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）（2）已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形．证明：四边形是矩形，．①，．点是的中点，②．．③．又，四边形是平行四边形．，四边形是菱形．进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：：四边形是矩形，．①，．点是的中点，②．．③．又，四边形是平行四边形．，四边形是菱形．进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④四边形是菱形．故答案为：，，，四边形是菱形．22．（10分）（2024•重庆）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元．（1）求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？【解答】解：（1）设种外墙漆每千克的价格是元，种外墙漆每千克的价格是元，根据题意得：，解得：．答：种外墙漆每千克的价格是26元，种外墙漆每千克的价格是24元；（2）设甲每小时粉刷外墙的面积是平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积是方米，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意．答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米．23．（10分）（2024•重庆）如图，在中，，，点为上一点，过点作交于点．设的长度为，点，的距离为，的周长与的周长之比为．（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过【解答】解：（1），，，，；，，的周长：的周长，；（2）平面直角坐标系中画出函数，的图象如图所示；当时，随的增大而增大；随的增大而减小；（3）由函数图象得，当时的取值范围为．24．（10分）（2024•重庆）如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，（1）求的长度（结果精确到0.1千米）；（2）甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？【解答】解：（1）过作于，如图：根据已知得，，，，（千米），（千米），在的北偏西方向，，是等腰直角三角形，（千米），（千米），的长度约为2.5千米；（2）过作于，如图：由（1）知千米，千米，千米，在中，（千米），（千米），在的北偏西方向，，（千米），（千米），（千米）；（千米），；甲选择的路线比较近．25．（10分）（2024•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．（1）求抛物线的表达式；（2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物