2024年四川省南充市中考数学试卷（附答案）

第1页（共1页）2024年四川省南充市中考数学试卷（附答案）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A，B，C，D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．1．（4分）（2024•南充）如图，数轴上表示的点是A．点 B．点 C．点 D．点2．（4分）（2024•南充）学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制）．选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为A．170分 B．86分 C．85分 D．84分3．（4分）（2024•南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为A． B． C． D．4．（4分）（2024•南充）下列计算正确的是A． B． C． D．5．（4分）（2024•南充）如图，在中，，，，平分交于点，点为边上一点，则线段长度的最小值为A． B． C．2 D．36．（4分）（2024•南充）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房间，客人人，则可列方程组为A． B． C． D．7．（4分）（2024•南充）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是A． B． C． D．8．（4分）（2024•南充）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点作，使，连接；②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点．若，则的值为A． B． C． D．9．（4分）（2024•南充）当时，一次函数有最大值6，则实数的值为A．或0 B．0或1 C．或 D．或110．（4分）（2024•南充）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的3倍，则点是的三等分点；③将绕点逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．11．（4分）（2024•南充）计算的结果为．12．（4分）（2024•南充）若一组数据6，6，，7，7，8的众数为7，则这组数据的中位数为．13．（4分）（2024•南充）如图，是的直径，位于两侧的点，均在上，，则度．14．（4分）（2024•南充）已知是方程的一个根，则的值为．15．（4分）（2024•南充）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为．16．（4分）（2024•南充）已知抛物线与轴交于两点，在的左侧），抛物线与轴交于两点，在的左侧），且．下列四个结论：①与交点为；②；③；④，两点关于对称．其中正确的结论是（填写序号）三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）（2024•南充）先化简，再求值：，其中．18．（8分）（2024•南充）如图，在中，点为边的中点，过点作交的延长线于点．（1）求证：．（2）若，求证：．19．（8分）（2024•南充）某研学基地开设有，，，四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．根据图中信息，解答下列问题：（1）参加调查统计的学生中喜爱类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求类研学项目所在扇形的圆心角的度数．（2）从参加调查统计喜爱类研学项目的4名学生名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率．20．（10分）（2024•南充）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．（1）求的取值范围．（2）若，且，，都是整数，求的值．21．（10分）（2024•南充）如图，直线经过，两点，与双曲线交于点．（1）求直线和双曲线的解析式．（2）过点作轴于点，点在轴上，若以，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标．22．（10分）（2024•南充）如图，在中，是直径，是弦，点是上一点，，，交于点，点为延长线上一点，且．（1）求证：是的切线．（2）若，，求的半径长．23．（10分）（2024•南充）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售，两类特产．类特产进价50元件，类特产进价60元件．已知购买1件类特产和1件类特产需132元，购买3件类特产和5件类特产需540元．（1）求类特产和类特产每件的售价各是多少元？（2）类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件类特产降价元，每天的销售量为件，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，由于类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为元，求与的函数关系式，并求出每件类特产降价多少元时总利润最大，最大利润是多少元？（利润售价进价）24．（10分）（2024•南充）如图，正方形边长为，点为对角线上一点，，点在边上以的速度由点向点运动，同时点在边上以的速度由点向点运动，设运动时间为秒．（1）求证：．（2）当是直角三角形时，求的值．（3）连接，当时，求的面积．25．（12分）（2024•南充）已知抛物线与轴交于点，．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值．（3）如图2，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值．

2024年四川省南充市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A，B，C，D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．1．（4分）（2024•南充）如图，数轴上表示的点是A．点 B．点 C．点 D．点【解答】解：，，由数轴可知，只有点的取值范围在1和2之间，故选：．2．（4分）（2024•南充）学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制）．选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为A．170分 B．86分 C．85分 D．84分【解答】解：李林综合成绩为：（分，故选：．3．（4分）（2024•南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：如图：，，两个平面镜平行放置，经过两次反射后的光线与入射光线平行，，故选：．4．（4分）（2024•南充）下列计算正确的是A． B． C． D．【解答】解：．，不是同类项，不能合并，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；．，此选项的计算正确，故此选项符合题意；故选：．5．（4分）（2024•南充）如图，在中，，，，平分交于点，点为边上一点，则线段长度的最小值为A． B． C．2 D．3【解答】解：在中，，．，，，平分，．在中，，．平分，且，点到边的距离等于线段的长，即线段长度的最小值为2．故选：．6．（4分）（2024•南充）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房间，客人人，则可列方程组为A． B． C． D．【解答】解：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住，；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，．根据题意得可列方程组．故选：．7．（4分）（2024•南充）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：解不等式，得：，关于的不等式组的解集为，，．故选：．8．（4分）（2024•南充）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点作，使，连接；②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点．若，则的值为A． B． C． D．【解答】解：令的长为，则，在中，．因为，，所以，则，所以的值为．故选：．9．（4分）（2024•南充）当时，一次函数有最大值6，则实数的值为A．或0 B．0或1 C．或 D．或1【解答】解：当，即时，随的增大而增大，当时，一次函数有最大值6，，解得，（舍去），当，即时，随的增大而减小，当时，一次函数有最大值6，，解得，（舍去），综上，当时，一次函数有最大值6，则实数的值为0或，故选：．10．（4分）（2024•南充）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的3倍，则点是的三等分点；③将绕点逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：在中，．令，，则，解得（舍负），所以，．因为外部的四个直角三角形全等，所以，所以．故①正确．因为的面积是正方形面积的3倍，所以．因为，所以，整理得，．则，解得（舍负），则点是的三等分点．故②正确．由旋转可知，，所以点在以为直径的圆上．在中，．当点，，共线时，取得最大值，此时．故③正确．故选：．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．11．（4分）（2024•南充）计算的结果为1．【解答】解：原式，故答案为：1．12．（4分）（2024•南充）若一组数据6，6，，7，7，8的众数为7，则这组数据的中位数为7．【解答】解：一组数据6，6，，7，7，8的众数为7，，这组数据从小到大排列顺序为：6，6，7，7，7，8，这组数据的中位数是．故答案为：7．13．（4分）（2024•南充）如图，是的直径，位于两侧的点，均在上，，则75度．【解答】解：，，，，故答案为：75．14．（4分）（2024•南充）已知是方程的一个根，则的值为．【解答】解：把代入，，，故答案为：．15．（4分）（2024•南充）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为．【解答】解：过点作于点，于点．平分，．四边形为矩形，，．由翻折得，，，，，，，，．故答案为：．16．（4分）（2024•南充）已知抛物线与轴交于两点，在的左侧），抛物线与轴交于两点，在的左侧），且．下列四个结论：①与交点为；②；③；④，两点关于对称．其中正确的结论是①②④（填写序号）【解答】解：令，解得，把代入得，，与交点为，故①正确；抛物线与抛物线的开口方向和大小相同，且，两抛物线的关于直线对称，，两点关于对称，故④正确；，，故②正确；由题意可知，，或，，不一定成立，故③错误．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）（2024•南充）先化简，再求值：，其中．【解答】解：当时，．18．（8分）（2024•南充）如图，在中，点为边的中点，过点作交的延长线于点．（1）求证：．（2）若，求证：．【解答】（1）证明：点为的中点，，，，，在和中，，；（2）证明：点为的中点，，直线为线段的垂直平分线，，由（1）可知：，，．19．（8分）（2024•南充）某研学基地开设有，，，四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．根据图中信息，解答下列问题：（1）参加调查统计的学生中喜爱类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求类研学项目所在扇形的圆心角的度数．（2）从参加调查统计喜爱类研学项目的4名学生名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率．【解答】解：（1）样本容量为：，参加调查统计的学生中喜爱类研学项目人数：（人；在扇形统计图中，求类研学项目所在扇形的圆心角的度数为：．答：喜爱类研学项目有8人，类研学项目所在扇形的圆心角的度数为；（2）喜爱类研学项目的4名学生分别记为：男1，男2，女1，女2．列表如下：第2位第1位男1男2女1女2男1男1，男2男1，女1男1，女2男2男2，男1男2，女1男2，女2女1女1，男1女1，男2女1，女2女2女2，男1女2，男2女2，女1由表可知，抽选2名学生共有12种等可能的结果，抽中一名男生和一名女生（记作事件共8种可能．，答：抽中一名男生和一名女生的概率为．20．（10分）（2024•南充）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．（1）求的取值范围．（2）若，且，，都是整数，求的值．【解答】解：（1）原方程有两个不相等的实数根，△，△，解得．（2），整数的值为2，3，4，当时，方程为，解得，，当或4时，此时方程解不为整数．综上所述，的值为2．21．（10分）（2024•南充）如图，直线经过，两点，与双曲线交于点．（1）求直线和双曲线的解析式．（2）过点作轴于点，点在轴上，若以，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标．【解答】解：（1）点，在直线上，，解得：，直线解析式为：；点在直线上，，，即点为；双曲线过点，，双曲线解析式为：；（2）轴，，，，，，，，若以，，为顶点的三角形与相似，或4，点在轴上，点坐标为或或或．22．（10分）（2024•南充）如图，在中，是直径，是弦，点是上一点，，，交于点，点为延长线上一点，且．（1）求证：是的切线．（2）若，，求的半径长．【解答】（1）证明：，，，且，，，是的半径，且，是的切线．（2）解：连接，，，，，是的直径，，，，，，，的半径长为．23．（10分）（2024•南充）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售，两类特产．类特产进价50元件，类特产进价60元件．已知购买1件类特产和1件类特产需132元，购买3件类特产和5件类特产需540元．（1）求类特产和类特产每件的售价各是多少元？（2）类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件类特产降价元，每天的销售量为件，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，由于类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为元，求与的函数关系式，并求出每件类特产降价多少元时总利润最大，最大利润是多少元？（利润售价进价）【解答】解：（1）由题意，设每件类特产的售价为元，则每件类特产的售价为元．．．每件类特产的售价（元．答：类特产的售价为60元件，类特产的售价为72元件．（2）由题意，每件类特产降价元，又每降价1元，每天可多售出10件，．答：．（3）由题意，．