数学人教版A必修1同步训练1．31单调性与最大小值附答案

1.3函数的基本性质1．3.1单调性与最大(小)值1．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则…()A．k＞eq\f(1,2)B．k＜eq\f(1,2)C．k＞－eq\f(1,2)D．k＜－eq\f(1,2)2．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是…()A．递减函数B．递增函数C．先递减再递增D．先递增再递减3．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1、x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是()A.eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0C．f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)D.eq\f(x1－x2,f(x1)－f(x2))>04．下图表示某市2008年6月份某一天的气温随时间变化的情况，请观察此图回答下列问题：(1)这天的最高气温是__________；(2)这天共有______个小时的气温在31℃以上；(3)这天在______(时间)范围内温度在上升；(4)请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约在______内．课堂巩固1．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，且a＋b>0，则有()A．f(a)＋f(b)>－f(a)－f(b)B．f(a)＋f(b)<－f(a)－f(b)C．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)D．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)2．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是…()A．a≤－3B．a≥－3C．a≤5D．a≥33．函数y＝x＋eq\r(2x－1)()A．有最小值eq\f(1,2)，无最大值B．有最大值eq\f(1,2)，无最小值C．有最小值eq\f(1,2)，最大值2D．无最大值，也无最小值4．函数y＝eq\r(x2＋2x－3)的单调递减区间为()A．(－∞，－3]B．(－∞，－1]C．[1，＋∞)D．[－3，－1]5．若y＝ax，y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是__________函数．(选填“增”或“减”)6．一次函数f(x)是减函数，且满足f[f(x)]＝4x－1，则f(x)＝__________.7．证明函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0,1)上是减函数．8．已知函数f(x)＝3x＋2，x∈[－1,2]，证明该函数的单调性并求出其最大值和最小值．1．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则()A．f(a)>f(2a)B．f(a2)<f(a)C．f(a2＋a)<f(a)D．f(a2＋1)<f(a)2．已知0<t≤eq\f(1,4)，那么eq\f(1,t)－t的最小值是…()A.eq\f(15,4)B.eq\f(63,8)C．2D．－23．若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是()A．{m|0≤m≤eq\f(1,4)}B．{m|0<m≤eq\f(1,4)}C．{m|0≤m<eq\f(1,4)}D．{m|0<m<eq\f(1,4)}4．函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是()A．[2，＋∞)B．[2,4]C．(－∞，2]D．[0,2]5．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)<g(x)时，F(x)＝f(x)，那么F(x)()A．有最大值3，最小值－1B．有最大值3，无最小值C．有最大值7－2eq\r(7)，无最小值D．无最大值，也无最小值6．(2009广西北海一检，文10)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((a－3)x＋5，x≤1，,\f(2a,x)，x>1))是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是()A．(0,3)B．(0,3]C．(0,2)D．(0,2]7．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形．要使正方形和圆的面积之和最小，则正方形的周长应为__________．8．已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(3a－1)，则a的取值范围是__________．9．已知函数f(x)＝kx2－4x－8在[5,20]上是单调函数，求实数k的取值范围．10．已知函数f(x)＝eq\f(x－1,x＋1)，x∈[1,3]，求函数的最大值和最小值．11．已知f(x)＝x3＋x(x∈R)，(1)判断f(x)在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明；(2)求证：满足f(x)＝a(a为常数)的实数x至多只有一个．答案与解析1．3函数的基本性质1．3.1单调性与最大(小)值课前预习1．D由已知，2k＋1＜0，解得k＜－eq\f(1,2).2．C如图所示，该函数的对称轴为x＝3，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的．3．C由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B、D正确；对于C，若x1<x2时，可有x1＝a或x2＝b，即f(x1)＝f(a)或f(x2)＝f(b)，故C不成立．4．(1)37℃(2)9(3)3时～15时(4)23℃～26℃课堂巩固1．C∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a.由函数的单调性可知，f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)．两式相加得C正确．2．A由二次函数的性质，可知4≤－(a－1)，解得a≤－3.3．A∵y＝x＋eq\r(2x－1)在定义域[eq\f(1,2)，＋∞)上是增函数，∴y≥f(eq\f(1,2))＝eq\f(1,2)，即函数最小值为eq\f(1,2)，无最大值，选A.4．A该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由复合函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．5．减由条件知a<0，b<0，∴－eq\f(b,2a)<0.此时，该二次函数是开口向下，对称轴小于零的二次函数．6．－2x＋1由一次函数f(x)是减函数，可设f(x)＝kx＋b(k<0)．则f[f(x)]＝kf(x)＋b＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b，∵f[f(x)]＝4x－1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝4，,kb＋b＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝1.))∴f(x)＝－2x＋1.7．证明：(1)设0＜x1＜x2＜1，则x2－x1＞0，f(x2)－f(x1)＝(x2＋eq\f(1,x2))－(x1＋eq\f(1,x1))＝(x2－x1)＋(eq\f(1,x2)－eq\f(1,x1))＝(x2－x1)＋eq\f(x1－x2,x2x1)＝(x2－x1)(1－eq\f(1,x2x1))＝eq\f((x2－x1)(x2x1－1),x2x1)，若0＜x1＜x2＜1，则x1x2－1＜0，故f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x2)＜f(x1)．∴f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0,1)上是减函数．8．解：设x1，x2是区间[－1,2]上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝3x1＋2－3x2－2＝3(x1－x2)．由x1<x2，得x1－x2<0，于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以，函数f(x)＝3x＋2是区间[－1,2]上的增函数．因此，函数f(x)＝3x＋2在区间[－1,2]的两个端点上分别取得最小值与最大值，即在x＝－1时取得最小值，最小值是－1，在x＝2时取得最大值，最大值是8.课后检测1．D∵a2＋1－a＝(a－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，∴a2＋1>a.又∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，∴f(a2＋1)<f(a)．2．A由f(t)＝eq\f(1,t)－t，当t∈(0，eq\f(1,4)]时，f(t)是两个减函数的和，仍是减函数，故当t＝eq\f(1,4)时，f(t)min＝f(eq\f(1,4))＝4－eq\f(1,4)＝eq\f(15,4).3.A当m＝0时，y＝x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，符合题意；当m<0时，－eq\f(1,2m)>0，显然不合题意；当m>0时，由－eq\f(1,2m)≤－2，得m≤eq\f(1,4)，即0<m≤eq\f(1,4).综上可知0≤m≤eq\f(1,4).4．Bf(x)＝(x－2)2＋1，最小值1为x＝2时取得，最大值5为x＝0,4时取得，∴m的取值为[2,4]．5．C画图得到F(x)的图象：为射线AC、抛物线eq\x\to(AB)及射线BD三段，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋3，,y＝x2－2x，))得xA＝2－eq\r(7)，代入得F(x)的最大值为7－2eq\r(7)，由图可得F(x)无最小值，从而选C.6．D由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3<0，,a>0，,a－3＋5≥2a，))解得0<a≤2.7.eq\f(4,π＋4)设正方形周长为x，则圆的周长为1－x，半径r＝eq\f(1－x,2π).∴S正＝(eq\f(x,4))2＝eq\f(x2,16)，S圆＝π·eq\f((1－x)2,4π2).∴S正＋S圆＝eq\f((π＋4)x2－8x＋4,16π)(0<x<1)．∴当x＝eq\f(4,π＋4)时有最小值．8．(0，eq\f(1,2))由题意，可得1＞1－a＞3a－1＞－1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＞1－a，,1－a＞3a－1，,3a－1＞－1.))解得0＜a＜eq\f(1,2).所以a的取值范围是(0，eq\f(1,2))．9．解：因为自变量最高次数项的系数含有变量，所以应分类讨论．(1)当k＝0时，f(x)＝－4x－8，它是[5,20]上的单调减函数．(2)当k≠0时，有下列两种情形：①k>0时，当eq\f(2,k)≥20，即0<k≤eq\f(1,10)，f(x)在[5,20]上是减函数；当eq\f(2,k)≤5，即k≥eq\f(2,5)时，f(x)在[5,20]上是增函数．②k<0时，当eq\f(2,k)≥20时，不等式无解；当eq\f(2,k)≤5，即k<0时，f(x)在[5,20]上是减函数．综上可知，实数k的取值范围是(－∞，eq\f(1,10)]∪[eq\f(2,5)，＋∞)．10．解：f(x)＝eq\f(x－1,x＋1)＝eq\f(x＋1－2,x＋1)＝1－eq\f(2,x＋1).设x1，x2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝1－eq\f(2,x1＋1)－1＋eq\f(2,x2＋1)＝eq\f(2,x2＋1)－eq\f(2,x1＋1)＝eq\f(2(x1＋1)－2(x2＋1),(x1＋1)(x2＋1))＝eq\f(2(x1－x2),(x1＋1)(x2＋1)).由1≤x1<x2≤3，得x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以，函数f(x)＝eq\f(x－1,x＋1)是区间[1,3]上的增函数．因此，函数f(x)＝eq\f(x－1,x＋1)在区间[1,3]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x＝1时取得最小值，最小值是0，在x＝3时取得最大值，最大值是eq\f(1,2).点评：若函数在给定的区间上是单调函数，可利用函数的单调性求最值．若给定的单调区间是闭区间，则函数的最值在区间的两个端点处取得．11．(1)解：f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．证明如下：设x1＜x2，即x1－x2＜0.∴f(x1)－f(x2)＝(xeq\o\al(3,1)＋x1)－(xeq\o\al(3,2)＋x2)＝(xeq\o\al(3,1)－xeq\o\al(3,2))＋(x1－x2)＝(x1－x2)(xeq\o\al(2,1)＋x1x2＋xeq\o\al(2,2)＋1)＝(x1－x2