新课标(2019-A版)高中数学讲义-第五部分-平面向量与复数

1第五部分平面向量与复数§5.1平面向量的概念及线性运算§5.2平面向量基本定理及坐标表示§5.3平面向量的数量积2(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律+a；加法求两个向量和的运算加法=a＋(b＋c)减法减法和的运算(λ+μ)a=λa+(λ+μ)a=λa+μa；λ(a＋b)=λa+λb当λ=0时，λa＝03.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ,使得b=λa.概念方法微思考提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b=λa.λ=0或a为零向量时，λa为零向量．3题组一思考辨析(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．()(3)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b=λa，反之亦成立．()题组二教材改编.________题组三易错自纠A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．(多选)下列四个命题中，错误的是()6．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ=____________.平面向量的概念1．(多选)给出下列命题，不正确的有()A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B．若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则ABCD为平行四边形4假命题的个数是()思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义命题点2向量的线性运算44命题点3根据向量线性运算求参数例3(江西省名校联考)在△ABC中，BD＝DC，AP＝2PD，BP=λAB+μAC，则λ+μ等于()．－思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和或差．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．5跟踪训练1(1)(河北省衡水中学模拟)如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝2AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则DE等于()2424共线定理的应用思维升华利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b今a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线今AB，AC共线．(3)若a与b不共线且λa=μb，则λ=μ=0.(4)OA=λOB+μOC(λ,μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ+μ=1.6跟踪训练2(1)设两个非零向量a与b不共线．(2)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于不同的两点M，1．(湖北省黄冈、华师附中等八校联考)已知线段上A，B，C三点满足BC＝2AB，则这三点在线段上的位置关系是()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件＝－4.(沈阳东北育才学校模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa＋b与c共线，则实数λ等于()7A.B.C.D.A.B.C.D.7．(8．(多选共线，则λ=________.＝－8A．(0,1)B．(1，+∞)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),OP)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),3)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(→),OA)＋EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1→),2OB)＋EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1→),2OC)，②给定向量b和c，总存在实数λ和μ,使a=λb+μc；③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc；④若|a|＝2，存在单位向量b，c和正实数λ,μ,使a=λb+μc，则3λ+3μ>6.其中真命题是__________．920使a=λ1e1+λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示(1)向量及向量的模的坐标表示①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(→),AB)=(2)平面向量的坐标运算3．平面向量共线的坐标表示概念方法微思考向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．提示不一定．两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．()(2)若a，b不共线，且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b，则λ1=λ2，μ1=μ2.()EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(x),x)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up4(1),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(y),y)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up4(1),2)(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．()题组二教材改编2．已知▱ABCD的顶点A(－12)，B(31)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．14．(多选)如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是()＝－题组三易错自纠2是平面内一组基底，若λ1e1+λ2e2＝0，则λ1+λ2＝________.6．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－43)，则向量BC＝________.A．4B4C．2D2平面向量基本定理的应用(2)若OE=λOA，求实数λ的值．=tCP，则t的值为________．平面向量的坐标运算(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．本例中条件不变，如何利用向量求线段AB中点的坐标？思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．A．(－2,3)B．(23)C．(－2,1)A．(6,1)B．(－61)向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求参数例3(1)(内江模拟)设向量a命题点2利用向量共线求向量或点的坐标例4已知O为坐标原点，点A(1．在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB的坐标是()A．(2,2)B．(－22)C．(1,1)D．(－11)A．(－24)B．(2,4)C．(6,10)D．(－610)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件示成c=λa+μb(λ,μ为实数)，则实数m的取值范围是()A．(-∞,2)B．(2，+∞)C．RD．(-∞,2)∪(2，+∞)λOA+μOB，则λ+μ等于()6．已知向量m＝(sinA，EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2)与向量n＝ππππA.B.C.ππππ内且两两不共线)，则真命题是()B．给定向量b和c，总存在实数λ和μ,使a=λb+μcC．给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μcD．给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c，使a=λb+μc+ye2时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，关于下列命题正确的是()A．线段AB的中点的广义坐标为 . ．22的外接圆于点D，设AB＝a，AC＝b，则向量AD等于( 2 2222323|＝1,|OC|＝3，若OC=λOA+μOB，则则该方程的解的情况是()A．至少有一个解B．至多有一个解C．至多有两个解D．可能有无数个解33点，若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R)，求λ+μ的取值范围．2．平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a，b的夹角为θ,则3．向量数量积的运算律4．平面向量数量积的有关结论模夹角的余弦符号表示坐标表示cosθ=cosθ=概念方法微思考提示不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.题组一思考辨析(1)两个向量的夹角的范围是0，EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(π),2).()题组二教材改编＝－题组三易错自纠A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件平面向量数量积的基本运算EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AB)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AC)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AB)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AD)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AD)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AC)跟踪训练1(1)在正三角形ABC中，D是BC上的点，若AB＝3，BD＝1，则AB·AD＝________.．－平面向量数量积的应用命题点1求向量的模例2(1)(遵义统考)已知两个单位向量a和b的夹角为120°,k∈R，则|ka＋b|的最小值为(命题点2求向量的夹角(13)(13)2是互相垂直的单位向量．若3e1－e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是________．思维升华(1)求解平面向量模的方法③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．x＋y·x2＋y2..________EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(π),4)-1，则|c－a|的最大值为________．平面向量与三角函数、解三角形f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)＝a·b的最小正周期；EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(C),2)(2)若点D为边AB上一点，且满足EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AD)=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),DB)，|EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),CD)|＝7求△ABC的面积．A3B2C．2D．3ππ余弦值为()A.B.C.A.B.C.D.ππ7．(多选)设a，b是两个非零向量．则下列命题为假命题的是()C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ,使得b=λaD．若存在实数λ,使得b=λa，则|a＋b|＝|a|－|b|8．(多选)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是()2(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．＝－A.B.C.D.A.B.C.D.段AD(含端点)上一个动点，设AP＝xAD，PB·PC＝y，对于函数y＝f(x)，以下四个结论中正确的是()B．∀a∈(0，+∞)，都有f(1)＝1成立C．∀a∈(0，+∞)，函数f(x)的最大值都等于4D．若f(x)在(0,1)上单调递减，则a∈(0，2]316.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，|OC|＝1，且∠AOC=θ,其中O为坐标若，向量m=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),BC)，n＝(1－cosθ,sinθ-2cosθ)，求m·n的最小值及对应的θ满足条件满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为虚数今b≠0a＋bi为纯虚数今a＝0且b≠0＝－2．复数的几何意义(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．1.概念方法微思考提示不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部．提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．题组一思考辨析(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()题组二教材改编2．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A1B．0C．1D1或13．在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数是()A．1－2iB1＋2iC．3＋4iD3－4i题组三易错自纠A1B2C.2DA．第一象限C．第三象限7．(多选)对于两个复数α=1－i，β=1＋i，下列四个结论中正确的是()α=-iC.EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up13(α),β)=1D．α2+β2＝0复数的有关概念1．(河南省百校联考)已知i为虚数单位，则复数的虚部为()A．iB．2C1DiA2－iB2＋iC．2－iD．2＋i3．(东莞模拟)已知a为实数，若复数(a＋i)(1－2i)为纯虚数，则a等于()A2B．2C.2D4．(河南省八市重点高中联考)已知复数则|z|等于5A.2B.2C.2D.5复数的运算命题点1复数的乘法运算例1(1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于()A3－iB3＋iC．3－iD．3＋i(2)i(2＋3i)等于()A．3－2iB．3＋2iC3－2iD3＋2i命题点2复数的除法运算例2(1)(2018·全国Ⅱ等于EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(3),5)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(4),5)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(3),5)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(4),5)A1－iB1＋iC．1－iD．1＋i命题点3复数的综合运算21C1B．1D．不存在的实数A.B.A.B.CD．-复数的几何意义例4(1)(江西省临川第一中学模拟)已知i为虚数单位，复数z满足z(1＋i)＝2－i，则在复平面上复数z对应的点位于()A．第一象限C．第三象限b之间的关系是()2＋b2<12＋b2>1跟踪训练已知其中a，b是实数，则复数a－bi在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C(2)已知复数z11＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若OC=1．(葫芦岛模拟)设i是虚数单位，若复数z＝1＋2i，则复数z的模为()122A．第一象限C．第三象限5．(湖南省师范大学附属中学模拟)若复数z＝m2＋m＋(m＋1)i是纯虚数，其中m是EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),z)A．iBiC．2iD2i27．(多选)下面是关于复数z1＋i的四个命题，其中的真命题为()228．(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是()129．(天津市南开区模拟)已知复数，i为虚数单位，则|z|2＝________.11．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则1(1)求复数z；(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．13．若复数是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是()A．(-∞,-1)B．(1，+∞)-∞,-1)∪(1，+∞)14．已知a∈14．已知a∈R，i是虚数单位，若复数z=∈R，则复数z＝________.④若z＝－i，则z3＋1在复平面内对应的点位于第一象限．其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)16．(张家口调研)已知复数z满足：z2＝(1)求复数z；[经验分享]在平面向量的问题中，存在一种“以平面图形为载体的有关数量积的最大值问题”，通过对该类问题的多解探究，进一步提高分析、解决此类问题的能力．题目如图1，已知AC＝2，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点(不含端点A，B，C)，且BM⊥BN，则AM·CN的最大值为________．第五部分平面向量与复数§5.1平面向量的概念及线性运算§5.2平面向量基本定理及坐标表示§5.3平面向量的数量积3(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律+a；加法求两个向量和的运算加法=a＋(b＋c)减法减法和的运算(λ+μ)a=λa+(λ+μ)a=λa+μa；λ(a＋b)=λa+λb当λ=0时，λa＝03.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ,使得b=λa.概念方法微思考提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b=λa.λ=0或a为零向量时，λa为零向量．题组一思考辨析(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(√)(3)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×)(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b=λa，反之亦成立．(√)题组二教材改编＝－＝－.________答案梯形EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),DA)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),CB)题组三易错自纠A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案A＝－故前者是后者的充分不必要条件．5．(多选)下列四个命题中，错误的是()答案ABC6．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ=____________.答案EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),2)+2b)成立，即λa＋b=μa＋2μb，则{l1＝2μ,解得λ=μ=2.EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AE)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1→),2AB)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),CF)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),FA)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),EF)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AB)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AC)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),3)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),6)平面向量的概念1．(多选)给出下列命题，不正确的有()A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B．若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则ABCD为平行四边形答案ACD解析A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点D错误，当λ=μ=0时，a与b可以为任意向量，满足λa=μb，但a与b不一定共线．故选ACD.假命题的个数是()答案D解析①②③均为假命题．思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义答案A解析方法一利用向量加法的平行四边形法则．从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.2.22命题点2向量的线性运算答案A解析作出示意图如图所示．故选A.命题点3根据向量线性运算求参数例3(江西省名校联考)在△ABC中，BD＝DC，AP＝2PD，BP=λAB+μAC，则λ+μ等于()答案A因为EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),BP)=λEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AB)+μEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AC)，所以λ=-EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(2),3)，μ=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),3)，所以λ+μ=-3.故选A.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和或差．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．2跟踪训练1(1)(河北省衡水2于点E，则DE等于()2424答案A可得EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),DE)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1→),2DA)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1→),2DC)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),2)(EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),DC)+EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),CA))＋EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),DC)=DC－2AC＝2AB－2A=DC－2AC＝2AB－2AC，故选A.答案2解析由题意得EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AE)=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AB)+EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),BE)=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AB)＋EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1→),2AD)，EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AB)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(y),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AB)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(x),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AD)共线定理的应用(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ,使BP=λBA，故有mOA＋(n－1)OB=λOA-λOB，即(m-λ)OA＋(n+λ-1)OB＝0.〔m-λ=0，ln+λ-1＝0，ln+λ-1＝0，思维升华利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b今a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线今AB，AC共线．(3)若a与b不共线且λa=μb，则λ=μ=0.(4)OA=λOB+μOC(λ,μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ+μ=1.跟踪训练2(1)设两个非零向量a与b不共线．若ka＋b与a＋kb共线，则k＝________.答案±1∴存在实数λ,使ka＋b=λ(a＋kb)，∴k-λ=λk－1＝0.消去λ,得k2－1＝0，∴k=±1.(2)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于不同的两点M，答案B解析方法一连结AO，则EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AO)＝EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),2)(EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AB)+EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AC))=2AM＋2AN，方法二连结AO(图略)．由于向量MO，NO共线，故存在实数λ使得MO=λNO，EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),m)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),n)1．(湖北省黄冈、华师附中等八校联考)已知线段上A，B，C三点满足BC＝2关系是()答案A解析根据题意得到BC和AB是共线同向的，且BC＝2AA．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件答案B＝－答案B因此A，B，D三点共线，故选B.4.(沈阳东北育才学校模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa＋b与c共线，则实数λ等于()答案D解析由题中所给图象可得，2a＋b＝c，又c=μ(λa＋b)，所以λ=2.故选D.答案DEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(3),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),2)A.B.C.D.A.B.C.D.答案B答案BEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(→),AP)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(→),AB)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(2→),11AC)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(→),AB)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(6→),11AN)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(6),1)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(5),1)7．(多选)在△ABC中，下列命题正确的是()答案BC∴角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．8．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()则M为AN的中点，EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2)故选ACD.答案23共线，则λ答案－414可得{解得λ=-4.＝－解如图，取AC的中点D，连结OD，则OA＋OC＝2OD，＝－EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(→),DO)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(→),DC)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(→),AC)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(→),AD)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(1),2)=-2k1a＋k1b(k1为实数)，EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2)＝－EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2)=-EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2)(1＋k1)a＋k1b，②所以由①②,得－k2a＋EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2)k2bEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2)(1＋k1)a＋k1b，EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2)＝－(λ,μ∈R)，则λ+μ的取值范围是()答案BB．(1，+∞)因为OC=λOA+μOB，所以mOD=λOA+μOB，即EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(→),OD)=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(λ),m)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(→),OA)+EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(μ),m)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(→),OB)，又知A，B，D三点共线，所以1，即λ+μ=m，所以λ+μ>1，故选B.答案B且P是AM上靠近A点的一个三等分点．②给定向量b和c，总存在实数λ和μ,使a=λb+μc；③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc；④若|a|＝2，存在单位向量b，c和正实数λ,μ,使a=λb+μc，则3λ+3μ>6.答案①②④理可得②正确．给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc，当a分解到c方向于a=λb+μc，向量b，c的模为1，由三角形的三边关系可得λ+μ>2.由3λ+3μ≥23λ+μ>6.所以④成立．EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(20),9)∴可设AG=μAP＋(1-μ)AQ，∴AG=λμAB＋(1-μ)xAC，②②代入①即EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(20),81)=μ(1-μ)，解得μ=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(4),9)或EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(5),9)，即λ=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(3),5)或EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(3),4).使a=λ1e1+λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示(1)向量及向量的模的坐标表示①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(→),AB)=(2)平面向量的坐标运算3．平面向量共线的坐标表示概念方法微思考向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．提示不一定．两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一思考辨析(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a，b不共线，且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b，则λ1=λ2，μ1=μ2.(√)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(x),x)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up4(1),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(y),y)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up4(1),2)(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)题组二教材改编2．已知▱ABCD的顶点A(－12)，B(31)，C(5,6)答案(1,5)即{解得{4．(多选)如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是()＝－答案ABC题组三易错自纠2是平面内一组基底，若λ1e1+λ2e2＝0，则λ1+λ2＝________.答案06．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－43)，则向量BC＝________.答案(－74)，－，－A．4B4C．2D2答案B＝－平面向量基本定理的应用(2)若OE=λOA，求实数λ的值．EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(5),3)故λ=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(4),5).思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．(3)强化共线向量定理的应用．=tCP，则t的值为________．4答案34即P为AB的一个三等分点，如图所示．EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),CM)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),CQ)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),CA)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(x→),2CB)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AC)而EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),CB)=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AB)-EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AC)，∴EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),CM)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(x→),2AB)(EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(x),2)－1EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AC).EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),CM)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),CP)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(→),AB)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(→),AC)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up10(3),4)平面向量的坐标运算(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．，－，－，－，－=(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．，－∴{解得{＝－＝－，－＝－＝－，－本例中条件不变，如何利用向量求线段AB中点的坐标？EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(1),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(3),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(3),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),CG)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(2→),3CP)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(2),3)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),3)思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．A．(－2,3)B．(23)C．(－2,1)答案D，－，－即{解得{故选D.A．(6,1)B．(－61)答案A向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求参数 ．答案2答案－6＝－命题点2利用向量共线求向量或点的坐标例4已知O为坐标原点，点A(答案(3,3)由AP与AC共线，得(4λ-4)×6－4λ×(－2)＝0，EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),OB)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),OP)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),OB)思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．答案A，－，－∴-2×(4－k)＝－7×(－2k)，EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(2),3)答案(12)∴-1×y－2×2＝0，解得y＝－4，，－，－1．在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB的坐标是()A．(2,2)B．(－22)C．(1,1)答案D解析因为A(2,2)，B(1,1)，所以AB＝(－11)A．(－24)B．(2,4)答案BA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案C示成c=λa+μb(λ,μ为实数)，则实数m的取值范围是()A．(-∞,2)B．(2，+∞)C．RD．(-∞,2)∪(2，+∞)答案D5λOA+μOB，则λ+μ等于()答案A又OC=λOA+μOB，所以λ=μ=2，λ+μ=22.6．已知向量m＝(sinA，EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2)与向量n＝ππππA.B.C.ππππ答案C∴sinA(sinA＋3cosA)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(3),2)0，∴2sin2A＋23sinAcosA＝3，EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(π),6)∴2A-EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(π),6)∈(-EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(π),6)，1EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),6)π.ππππππ内且两两不共线)，则真命题是()B．给定向量b和c，总存在实数λ和μ,使a=λb+μcC．给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μcD．给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c，使a=λb+μc答案AB由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，要使a=λb+μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量c使等式成立，这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使a=λb+μc成立，故D错误．+ye2时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，关于下列命题正确的是()A．线段AB的中点的广义坐标为(x1EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(＋),2)x2，y1EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(＋),2)y2答案AC2互相垂直时，两点间的距离公式B才正确，B错误；9．(德阳模拟)已知向量a＝(21)，b＝(1，λ)，若(a＋2b)∥(2a－b)，则实数λ=________.解析a＋2b＝(4,2λ-1)，2a－b＝(3，－2-λ)，∴4(－2-λ)＝3(2λ-1)，解得λ=-EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2).答案(68)2＝－，－EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up15(2),3)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up15(λ),m)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(3),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(3),2)A解方法一如图，作平行四边形OB1CA1，1所以λ=4，μ=2，所以λ+μ=6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),2)由OC=λOA+μOB，所以λ+μ=6.22的外接圆于点D，设AB＝a，AC＝b，则向量AD等于(22 2 22323答案Cππππ分线交△ABC的外接圆于点D，所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(π),6)，则根据圆的性质得BD＝CD＝AB，EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),2)所以四边形ABDO为菱形，所以EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AD)=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AB)+EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AO)＝a＋EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),2)b.|＝1,|OC|＝3，若OC=λOA+μOB，则答案D(31)(333)解析由题意知A(2,0)，B(－2，2,(31)(333)因为OC=λOA+μOB，由向量相等的坐标表示可得，EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up8(μ),λ)则该方程的解的情况是()A．至少有一个解B．至多有一个解C．至多有两个解D．可能有无数个解答案B＋bx+λa+μb＝0，即(λ+x2)a＋(μ+x)b＝0，+x2＝0，lμ+x＝0，可知方程组可能无解，也可能有一个解．16．(大连模拟)A，B为单位圆(圆心为O)上的点，O到弦AB的距离为23，C是劣弧AB(包含端点)上一动点，若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R)，求λ+μ的取值范围．解如图以圆心O为坐标原点建立直角坐标系，设A，B两点在x轴上方且线段AB与y轴垂直，3∵A，B为单位圆(圆心为O)上的点，O到3EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(1),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(1),2)又∵C是劣弧AB(包含端点)上一动点，设点C坐标为(x，y)，33(λ+μ)23故λ+μ的取值范围为2．平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a，b的夹角为θ,则3．向量数量积的运算律4．平面向量数量积的有关结论模夹角的余弦符号表示坐标表示cosθ=cosθ=概念方法微思考提示不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.题组一思考辨析(1)两个向量的夹角的范围是0，EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(π),2).(×)题组二教材改编3．已知则a与b的夹角θ=________.6答案6解析又因为0≤θ≤π,所以题组三易错自纠A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案B答案C解析因为ABCD为矩形，建系如图．A(0,0)，M(6,3)，N(4,4)．答案BCD=2，即△ABC为直角三角形，D正确，综上真命题为BCD.2，即b2＋c2－a2＝2b·c，＝－=2，即△ABC为直角三角形，D正确，综上真命题为BCD. 答案23=a2＋4a·b＋4b2=22＋4×2×1×cos60°+4×12=12＝23.方法二(数形结合法)又∠AOB＝60°,所以|a＋2b|＝23.平面向量数量积的基本运算解析方法一(几何法)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(π),4)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AB)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AB)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(→),AD)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(π),4)π=(22)2＋22×2cos4＝12.π方法二(坐标法)如图，建立平面直角坐标系xAy.2思维升华平面向量数量积的三种运算方法(3)利用数量积的几何意义求解．跟踪训练1(1)在正三角形ABC中，D是BC上的点，若AB＝3，BD＝1，则AB·AD＝________.2答案2