高考数学（文）专题七 选考内容

专题七选考内容

第1讲选修4—4坐标系与参数方程

命I题I分I析

愿全国卷3年高考

年份全国I卷全国n卷全国in卷

参数方程、极坐标方程与参数方程化普通参数方程的应

2020普通方程的互化、曲线的方程、求圆的极用、求直线的参

交点,%坐标方程数方程・不2

参数方程与普通方程、极

极坐标的几何意

坐标方程与直角坐标方圆的极坐标方程

2019义、动点的轨迹

程的互化，点到直线的距及应用,0

方程的求法・“2

离，心2

参数方程与直角参数方程与普通

极坐标与直角坐标的互坐标方程的互方程的红化、参

2018

化、曲线方程的求解化、参数方程的数方程的应

应用.%用

命题规律

1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重

点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是曲线的参

数方程与极坐标方程的综合应用。

2.高考对此部分的考查以解答题的形式出现，难度中等，备

考此部分内容时应注意转化思想的应用。

明确考点。考点整合◎扣潴要点

1.直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，X轴的正半轴作为极轴，且

在两坐标系中取相同的长度单位。设M是平面内的任意一点，它

x=pcos。,

的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(p,9),则|y=ps%0.

p2=x2+y2,

碗。=%W0）。

X

2.直线的极坐标方程

若直线过点M(p0,0o),且极轴到此直线的角为a,则它的方

-

程为p5m(0—a)=p()5zn(0oa)o

儿个特殊位置的直线的极坐标方程，

(1)直线过极点:0=a(pER)；

(2)直线过点M(〃,0)(〃>0)且垂直于极轴：pcos()=a；

(3)直线过点心，雪且平行于极轴：psm0=ho

3.圆的极坐标方程

几个特殊位置的圆的极坐标方程。

(1)当圆心位于极点，半径为八p=广,

(2)当圆心位于点MQ;0),半径为广p=2rcos0；

(3)当圆心位于点“r,,半径为r：p=2rsin0o

4.直线的参数方程

经过点尸o5),g)，倾斜角为a的直线的参数方程为

X=X（）+/COSCC,

”为参数)。

y=）'o+，sina

设尸是直线上的任一点，则r表示有向线段他的数量。

5.圆、椭圆的参数方程

⑴圆心在点M（x0,%）,半径为r的圆的参数方程为

x=M)+—cos仇

（。为参数，owe<2兀）。

y=N)+rsin。

x22x=acosO,

⑵椭圆夕+齐=1320）的参数方程为，卜加"伊为参

数）。

精析精研班点攻关。考向探究。

考向一极坐标方程及应用

【例1】（2019.全国II卷）在极坐标系中，O为极点，点M（po,

%）So>O）在曲线Cp=4sin。上，直线/过点440）且与0M垂直,

垂足为Po

⑴当仇=即寸，求po及/的极坐标方程;

J1

（2）当M在。上运动且P在线段上时，求P点轨迹的极

坐标方程。

解（1）因为M3）,%）在C上，

当代）=不时，p（）=4sin37=2,\/3o

TT

由已知得|OP|=|Q41cos5=2。

设QS，。）为/上除P外的任意一点。连接OQ,在RtAOPQ

中，〃cos］。一全=|OP|=2,

，\/\

兀7T

经检脸，点P12,Q在直线pcos9一可=2上。

所以，/的极坐标方程为pcos［。一,=2。

（2）设2（p,。）,在RtZkOA尸中，|OP|=|OA|・cos9=4cos。,即

p=4cos。。

TT7T

因为P在线段OM上，且AP，OM,故。的取值范围是5

I工^

兀兀

所以，P点轨迹的极坐标方程为〃=4cos。，疝5。

I乙

法悟通

(1)求曲线的极坐标方程的一般思路。

对于曲线的极坐标方程问题通常可利用坐标变换公式转化为

直角坐标系中的问题求解，然后再次利用坐标变换公式即可转化

为极坐标方程。

(2)解决极坐标交点问题的一般思路。

一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标,

再将其转化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制

条件求出交点的极坐标。

【变式训练1](2020•开封市高三模拟)在平面直角坐标系

x=4cos%

xQy中，曲线G的参数方程为.(。为参数)，尸是曲

线G上的动点，M是。尸的中点，M点的轨迹为曲线以。

为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系。

(1)求曲线G，G的极坐标方程；

(2)射线。=与与曲线G的异于极点的交点为A，与曲线的

异于极点的交点为3,求|AB|。

x=4cosa

解(1)曲线G的参数方程为一二(G为参数)，

y=4十4sina

消去参数得曲线G的普通方程为f+(y—4)2=16,又f

=p)>,=psin0,

所以曲线Ci的极坐标方程为〃=8sinO,

设y）,由条件知P（2x,2y）,点P在曲线G上,

2x=4cos«,

所以。•（。为参数），

2y=4十4sinct

x=2cosi,

所以曲线。2的参数方程为.।.（a为参数），消去参

j'=2+2sina

222

数得普通方程为幺+（），—2了=4,又x+y=pfy=psinO9所以

曲线C2的极坐标方程为"=4sin。。

（2）射线与曲线C1的交点A的极径为"i=8sin^=4小，

射线。=方与曲线。2的交点B的极径为p2=4sin/=2小，

所以履8|=|.一22|=23。

考向二参数方程及应用

[例2]在平面直角坐标系X。），中，直线I的参数方程为

尤-]+，3|x=cos仇

<r-（r为参数），曲线G的参数方程为.A（。

73[y=sin。

〔尸2t

为参数）。

⑴设/与。1相交于A,B两点，求|A8|；

（2）若把曲线G上各点的横坐标缩短为原来的;，纵坐标缩短

为原来的坐，得到曲线C2,设点。是曲线。2上的一个动点，求

点P到直线/的距离的最小值。

解（1）解法一：曲线C1的普通方程为d+y2=l,将直线I

的参数方程代入，得产+/=（）,解得1=0或/=-1,根据参数的

几何意义可知|AB|=1o

解法二：直线/的普通方程为y=V3（x-l）,曲线G的普通

方程为f+),2=l.

产小(L1),得/与G的交点坐标为(1,0),",一身

由

乙)

则|A5|=1。

(2)直线/的普通方程为小x—y—小=0,

r1

x=]cosa,

曲线。2的参数方程为'仍（。为参数）,

y=22*s^na

故可设点P的坐标是；cosa,杀吗,

则点尸到直线/的距离是

S近.同

2cosct_2sin。一

也sina—更+2

2=44尸，，

因此当5皿,一7为T=一1时，点尸到直线/的距离取得最小值,

2事一、R

且最小值为4

法悟通

(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同

一个参数表示出来，所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题

时非常方便。

(2)解题时要充分利用直线、圆、椭圆的参数方程中的参数的

几何意义。

【变式训练2]在平面直角坐标系中，曲线C的参数

x=cosO,

方程为3为参数)，直线/的参数方程为

y=sin〃

x=2+fcosa,

。为参数)。

y=Zsina

(1)求曲线。和直线/的普通方程；

(2)若直线/与曲线C交于A,B两点,且|A8|=1,求直线/

的方程。

x=cos〃，

解(1)由<.八消去参数仇得曲线C的普通方程为

y=sin〃

x=2+tcosaf

f+«=1。直线/的参数方程为、,（，为参数），当cos。

y=tsina

=0时，直线/的普通方程为x=2;当cosaWO时，直线/的普通

方程为y=tana(x—2)。

x=2+rcosa,c

⑵把.代入d+y2=1,

y=tsina

得r+4rcosa+3=0o

3

因为J=16cos26c-12>0,所以cos%>a。

设A,B对应的参数分别为小区

则八十打=-4cosa,「心=3,则|A8|="i一打1=1,

所以(，i—&)2=(介+，2)一—4，也=16cos20t—12=1,

勺

13”,?si•n2a3

所以cos，=,所以tun（z=2-々,

16cosa13'

所以tana=±1学，即直线/的斜率为土、

JLX

所以直线/的方程为>=普》—今展或>=一曙x+与里。

考向三极坐标方程与参数方程的综合应用

【例3】在平面直角坐标系x0y中，设倾斜角为。的直线

x=S+，cosa,

/的参数方程为二,。为参数)。以坐标原点。为极

>,=2+rsina

点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p

2

=\]+3COS2。'直线/与曲线。相交于不同的两点A，瓦

(1)若a弋求直线I的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若|0P|为附与|PB|的等比中项，其中P(小,2),求直线/

的斜率。

77

解⑴因为1=%，所以直线/的参数方程为

产小+瑁，

0为参数)，

9=2+.

消去t可得直线/的普通方程为X—小)，+小=0。

因为曲线C的极坐标方程p=可化为p2（l+3cos2。）

yj1+3cos2^

=4,

所以曲线C的直角坐标方程为4x2+y2=4o

(2)易知点P在直线/上，设A,8对应的参数分别为伍打,

X=\/3+rC0Sa,rr

将二,代入曲线。的直角坐标方程4d+y2=4,

y=2+tsina

可得4(5+/cos。)'+(2+Zsina)2=4,

化简得(4cos%+sin2a)/+(8，§cosa+4sinG)l+12=0,

因为|OP|为|别与|P8|的等比中项，

一闸=|他尸肃扁法所=7，

..、，12_「p?5.216

所以^2—1—~=7,可彳寸cosset=T7,sirrg=77,

4cosa+sma2121

所以tan2a=^o

因为A=(8\f3cosa+4sina)2—48(4cos2a+sin2a)>0,

即sina(25cos。-sina)>0,

所以0<tana<2^/3,故tana=4^,

所以直线/的斜率为4

法悟通

参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如cos2a+sin2a=

1等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可

x=〃cos。，

以把普通方程化为参数方程，利用关系式…

y=psmO,

卜2+），=/,

<2八等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化。这类

K=tan<9

问题一般可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程

解决相应问题。

【变式训练3】（2020•全国III卷）在直角坐标系xOy中，曲

线C的参数方程为］=2—3f+j（/为参数且，W1），。与坐标轴

交于4,8两点。

⑴求|A8|；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，求直

线45的极坐标方程。

解（1）因为由2—/—F=o得，=—2,所以。与y轴

的交点为（0/2）;

由2—3/+产=0得（=2,所以。与x轴的交点为（-4,0）o

故|A8|=4yib,

（2）由⑴可知，直线A5的直角坐标方程为£+舌=1,将x

=pcos0,y=psin0代入，得直线AB的极坐标方程为3/?cos。一psin。

+12=0o

重点增分专练（十八）选修4—4坐标系与参数方程

A级基础达标

1.（2020•全国II卷）已知曲线G，。2的参数方程分别为

X=4cos2仇x—t+~,

Q：（。为参数），。2：1[。为参数）。

j=4sin-，

【三-71

（1）将G，C2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设

G，。2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极

坐标方程。

解（1）由G的参数方程得，G的普通方程为x+y=

4（0WxW4）。

由。2的参数方程得9=/十$+2,y2=/+*2,

所以f—,2=4。

故。2的普通方程为%2—y2=4o

5

"Jx+y=4,x=2f

⑵由）24得3

了一）广=4

（53]

所以P的直角坐标为造，2）°

设所求圆的圆心的直角坐标为（即0）,由题意得

焉=,一5：+,9，解得沏=17

410°

因此，所求圆的极坐标方程为〃=7cos。。

（0

2.（2020,江苏高考）在极坐标系中，已知点也，司在直线/：

/JT、

pcos8=2上，点B[p2,5J在圆Cp=4sin。上（其中p20,0We<2兀）。

⑴求Q,〃2的值；

（2）求出直线/与圆C的公共点的极坐标。

7T71

解（1）由picosq=2,得pi=4;"2=4Xsin[=2,

//JT\\

又（0,0）即0,7也在圆C上，

因此p2=2或p2=0o

pcos^=2,

（2）由彳八得4sin0cos0=2,所以sin28=1

〃=4si也o

因为〃、。。/。々兀，

所以0=3,p=2^/2o

所以公共点的极坐标为（2啦，,。

3.（2020.全国I卷）在直角坐标系/Oy中，曲线G的参数方

x=cost,

程为.k。为参数）。以坐标原点为极点，X轴正半轴为极

轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为4〃cose-16psin0+3=

Oo

⑴当仁1时'G是什么曲线？

（2）当k=4时，求G与G的公共点的直角坐标。

x=cosl

,‘消去参数，得f+y2=l,

|y=sin/,

故曲线G是圆心为坐标原点，半径为1的圆。

4

x=cost,

⑵当％=4时，C,:.消去参数[得G的普通方程

[y=sin4t,

为也+6=1。

。2的直角坐标方程为4x-16y+3=0o

C=1

，（也+⑴=1,X~49

由解得《

[4x—16y+3=0,_1

H。

（\n

故G与。2的公共点的直角坐标为1，4）°

4.（2020.长沙市模拟考试）在平面直角坐标系xOy中，直线

x=t一小,

/1的参数方程为（t为参数），直线/的参数方程为

\y=k7t2

x=y[3~m,

_m（m为参数）。设直线/i与/2的交点为P,当k变化

{y=3k

时点P的轨迹为曲线G。

（1）求出曲线G的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

直线G的极坐标方程为"Sin,+M|=3啦，点Q为曲线G上的动

点，求点Q到直线。2的距离的最大值。

解(1)分别消去/”/2的参数方程中的参数，得/],L的普通

方程为/)：y=k(x+小),

仁y=聂力一%),

2

两式相乘消去&可得?+/=1,

因为女#0,所以y#0,

2

所以曲线G的普通方程为方+『=1。二())。

(2)因为psin。+1=3啦,所以网116+〃(：05。=6,将工="605。,

y=psinO代入上式，得直线G的直角坐标方程为x+y—6=0。

结合(1)知曲线C1与直线。2无公共点。

X=A/3COSC(,

曲线G的参数方程为.(以为参数，a手尿,ke

j=sina

Z),

所以曲线G上的点2(V3cosa,sina)至U直线x+y—6=0的距

离

|小cosa+sina-6|2sin[a+3,6

d=碑=s

所以当sin(a+W=—1时，d取得最大值,为4VL

5.在直角坐标系g中,曲线G的参数方程为kx=t.cosa

。为参数，，20),在以。为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标系

中，曲线Q,G的极坐标方程为p?—2〃cos。-p(cosO+sin。)

=5°

(1)判断。2,G的位置关系，并说明理由；

(2)若tana=^O＜。，)，G分别与G，G交于M，N两点,

求|MN。

解(1)由。2：/—2/7COS。一T=0,

可得£+/-2X一3=0,

即C‘2是圆心为(1,。)，半径为平的圆;

又G："(cos，+sinO)=《,

j)

7

可得x+y—《=O,即G是一条直线,

7

1+0-5也”

因为圆心(1,0)到直线。3的距离d=~1^=5<5，即

d<r9

所以圆。2与直线。3相交。

(2)由tana=^(0a^7t),得sina=,,cosa=^,

(〃=如。0),

由b_2〃cosd—3。,尸2爸4一

仔/一夕_5_°，

2

解得pi=2,〃2=一§(舍去),

。=加2。)，

得卷f4+3+、于7

p(cos0+sin^)=1,

解得P3=1,故|MN|=|〃1—01=1o

B级素养落实

x=^/3cosa,

6.在直角坐标系x0y中，曲线G的参数方程为

j=V3sina

(。为参数，«e[0,TT])O以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极

坐标系，曲线0?的极坐标方程为片=1_$亩2。：小cos20°

(1)求曲线G的极坐标方程；

(2)设G与。2的交点为M,N,求/MON。

人,[x=V3cosa,.、

解⑴由仄.得f+y2=3。

y=73sina

又a£[0,TT],所以曲线C是以。为圆心，小为半径的圆的

上半部分。

所以曲线G的极坐标方程为〃=3(。£[0,n])o

(2)将〃=小代入p2=—sin2e+小COS26中'

得1—sin29+小cos29=2,即一sin29+/cos29=1。

(1、B)

所以21一/sin20+号cos20j=1,

即cos[2e+dj=]。

所以20+'=与，或29+3=2兀

o3o

即。=专，或夕=苧。

1I

所以NMON=苧一色=穹。

tJL//*_z

7.(2020・深州市统一测试)在平面直角坐标系xO)，中，直线

G的参数方程为J,。为参数，a为倾斜角)，以

y=tsina

坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的

极坐标方程为〃=4sin仇

(1)求曲线C2的直角坐标方程；

(2)直线G与曲线。2相交于E厂两个不同的点，点P的极

坐标为(2旧，兀)，若2|石F|=|P£+|PQ,求直线G的普通方程。

解由曲线C2的极坐标方程为"=4sin。，

所以p2=4〃sin。，

又―+y2="2,),=psin仇

代入上式化简可得，f+y2—4y=0,

所以曲线。2的直角坐标方程为产+0，-2)2=4。

(2)易得点P的直角坐标为(一25，0),

\x=-2小+tcosa,

将.

|j=Zsina

代入曲线。2的直角坐标方程，可得

r—(4^/3cosa+4sina)r+12=0,

1=(45cosa+4sina)2—48=8sin(a+22—48>0,

,或sin,+郛一当

解得sin

2

TI-

由题知a为锐角,故sinla+jl>

也、，兀।兀幺兀力八兀

所以铲<亍即0<«<^,

设这个方程的两个实数根分别为小12,则

，i+f2=445cosa+4sin。，人・12=12,

所以4与打同号，

由参数，的几何意义可得，

\PE\+\PF\=\t]\+\t2\=\ti+t2\=Ssin[«+1j|,

\EF]=\t]-12\=4（，1+/2）2一书"2

=474，百a+鼻-3,

所以2X4\^4sin^a+^—3=8sin。+野,

（由

两边平方化简可解得sina+z=1,

\3）

兀

所以。=5+2女兀，kGZ,

TTTT

因为0<«<^,所以<Z=7,

rX=-2^3+2

所以直线G的参数方程为J]

尸/,

消去参数/,可得直线G的普通方程为工一5y+2小=0。

第2讲选修4—5不等式选讲

命I题分I析

全国卷3年高考

年份「全国I卷〜全国Tl卷全前卷

函数的图象与不不等式的解法与

2020不等式的证明123

等式的解法(23恒成立问题123

不等式的证明的

含绝对值不等式

基本方法、基本不基本不等式的应

2019的解法、不等式恒

等式及其变形的用123

成立问题123

灵活应用・123

含绝对值不等式含绝对值不等式含绝对值函数的

的解法及绝对值的解法及绝对值图象与绝对值不

2018

不等式恒成立问不等式恒成立问等式恒成立问

题工3题123题上3

@命题规律

1.不等式选评是高考的选考内容之一，考查的重点是绝对值

不等式的解法以及不等式的证明，其中绝对值不等式的解法以及

绝对值不等式与函数综合问题的求解是命题的热点。

2.该部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考时应注意分

类整合思想的应用。

明确考点扣准要点

O考点整合。

1.绝对值不等式的性质

定理1：如果〃"是实数,则|。+勿或间+⑸，当且仅当就20

时，等号成立。

定理2：如果a,b,c是实数,那么|〃一c|W|〃一切+|。一c|,

当且仅当(a—c)》0时，等号成立。

2.|ar+A|2c(c>0)型不等式的解法

⑴|办+用Wc<=>—C〈QX+Z?WC。

(2)|ar+/?|>cOar+〃2c或ax+b^—Co

3.\x-a\-\-\x-b\^c,|x—〃|+|x—W?(c>0)型不等式的解法

(1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解。

(2)利用零点分段法求解。

(3)构造函数，利用函数的图象求解。

4.基本不等式

定理1：设a,a+b2^2abo当且仅当a=6时;

等号成立。

定理2：如果a,b为正数，则巴芋24茄，当且仅当a=b

时，等号成立。

定理3：如果〃，b,c为正数，则匹区当且仅当

。=匕=。时,,等号成立。

定理4：(一般形式的算术一儿何平均不等式)如果3,。2,…,

%为n个正数，则__土出力弋处见…%,当且仅当。1=。2

=~=恁时,等号成立。

.精析精研-重点攻关----------------•考向探究•------

考向一含绝对值不等式的解法

[例1]已知函数./U)=|2x+3|一|x-Q|meR)。

(1)当L=1时,解不等式人r)l2；

(2)若关于工的不等式火©川/一3|的解集包含[3,5],求。的取

值范围。

解⑴当4=1时,不等式段)22即为3+31一|元一1|22,

3

<-

X-2一］«,x>l,

所以或或

x+422,

—%—4^23x+222

解得xW—6或OWxW1或x>l,

所以不等式的解集为(-8,-6]U[0,+8)。

⑵关于x的不等式«x)》|x—3|的解集包含[3,5],

即|21+3|一以一3|邦不一〃|在工£［3,5］时恒成立,

即1+62以一〃|在［3万］时恒成立，

即一6WQW2X+6在［3,5］时恒成立，

则一6WaW12,

所以。的取值范围是［-6,12］。

法悟通

(1)对于形如(Ax)|2|g(x)l的不等式，可利用不等式两边同时平

方的技巧，去掉绝对值。

(2)对于形如|/U)|±|g(x)|2m|/U)|±|g(x)|于a的不等式,可利用

零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对

值符号的不等式(组)求解。

【变式训练11(2020•全国I卷)已知函数於)=|3x+l|-2|x

一1|。

(1)画出y=/(力的图象；

⑵求不等式段)次x+1)的解集。

rr11

-%—3,XW-Q,

解(1)由题设知./U)=<5x—i,--<x^1,作出y=/U)

、x+3,x>\o

的图象如图所示。

(2)函数y=«x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数)=

1)的图象。

y=/U)的图象与y=/(x+l)的图象的交点坐标为［一不一记。

7

由图象可知，当且仅当XV—4时，y=/(x)的图象在y=/(x+1)

图象的上方。

(71

故不等式«r)》a+l)的解集为［-8,一京。

考向二不等式的最值问题

［例2］(2020.西安五校联考)已知函数«x)=|2x—〃|+

八十Q°

(1)当。=2时，求不等式兀Q21的解集;

(2)求函数g(£)=/U)+/(—x)的最小值。

解⑴当〃=2时,Xx)=|2x-2|+|x+l|^l,

xW—1时，2—2x—x—131,得xWO,即有xW—1,

—时，2~2x+x+1^1,得工<2,即有一14<1,

2

时，2x—2+x+121,得即有

■,X21,

综上，不等式式幻21的解集为Ro

22

(2)g(x)=/U)+./(—x)=|2x—〃|+x+-+|—2x—c/H--x+-

22

x

=|2x—a|+|2x+〃|+x+~Cl+~~“2|(2r—〃)一(2x+〃)|+

(2、(214I4»-

卜+方卜七=恒+£》2yj\2a\~=4隹

当且仅当(2九一4)(2x+4)<0,j+北1一旨<0,|2。|=林卜寸，

取“="，所以函数g(x)的最小值为4g。

i法悟通

不等式的最值问题的解决方法

(1)绝对值不等式的性质。

(2)均值不等式。

(3)函数的单调性。

【变式训练2](2020.合肥市教学质量检测)已知函数y(x)

=\x-m\—\x+2\(mR),不等式於一2)20的解集为(-8,4]o

(1)求m的值;

(2)若々>0,Z?>0,c>3,且〃+2〃+c=2加，求(〃+1)•(/?+l)(c

-3)的最大值。

解(1)因为fix)=\x-m\—|x+2|,所以J(x—2)=\x—m~2\—

|x|20的解集为(一8,4],

所以以一加一2|2|x|的解集为(一8,4J,

结合y=|x|的图象得加+2=8,即m=6o

(2)因为〃2=6,所以。+2/?+c=12。

又。>0,b>Q9c>3,

“..(。+1)(2/7+2)伍一3)

所以(a+1)0+1)(6-3)=-——°——4

J

1)+(2>+2)+(c-3)3

l(a+2b+cc

=41一3=户印=32,

当且仅当Q+1=2Z?+2=c—3时，等号成立，结合Q+2〃+C

=12,解得〃=3,b=\,c=7时，等号成立，

所以(〃+l)S+l)(c—3)的最大值为32o

考向三不等式恒(能)成立问题

[例3]已知函数j(x)=\x-m\—\x+3m|(m>0)。

(1)当m=1时，求不等式1的解集；

(2)对于任意实数x,3不等式於)<|2+/|+|/—1|恒成立,求

机的取值范围。

1—4,G1,

解⑴当m=\时，Rx)=<—2%—2,—3<x<l,

、4,xW—3。

[―2x—221,、

由人幻21,得或不或一3,

[―3<¥<1

解得仁一宗3

所以不等式人x)Nl的解集为xxW一mO

(2)不等式火X)<|2+/|+|L1|对任意的实数x,[恒成立，等价

于对任意的实数X,/WV(|2+r|+|/—l|)min恒成立,即，(M]max<(|2

+r|+|r—l|)min,

因为,Ax)=\x-m\—\x+3m\55—(x+3m)|=4m,\2+t\

十|L1闫(2+。一"—l)|=3,

3

所以4m<3,又/77>O,所以0<m<4o

(31

即机的取值范围为0,T°

法悟通

解决不等式恒成立、能成立、恰成立问题的策略

不等式«x)X在区间D上恒成立，等价于在

不等式

区间。上火X)min>A。

恒成立

不等式«丫)<8在区间£)上恒成立，等价于在

问题

区间。上«4皿<8

在区间D上存在实数x使不等式成立，

不等式

等价于在区间。上/>)max>40

能成立

在区间。上存在实数X使不等式兀x)<5成立，

问题

等价于在区间。上人。面<8

不等式/U)>A在区间。上恰成立，等价于不

不等式

等式火X)>A的解集为。。

恰成立

不等式在区间D上恰成立，等价于不

问题

等式./U)VB的解集为D

【变式训练3】已知函数次x)=|x|+|x+l|。

(1)若任意x£R，恒有成立，求实数人的取值范围；

(2)若存在m£R,使得加之+2m+八1)=0成立，求实数/的取

值范围。

解⑴由於)=|%|+以+1|汁以一(工+1)|=1,

知«Ax)min—1,

欲使任意了£凡恒有人x)22成立，

则需满足2qU)min,

所以实数％的取值范围为(一8,l]o

—2r—1,t<—lf

⑵由题意得财=M+|/+1|=J1,

hr+l,r>0,

存在m£R,使得i?r+2m+fit)=0成立，

即有』=4一攸。》0,所以ywwi,

t<—1,

又人。<1可等价转化为。

—21—1W1,

—1W/W0,r>0,

或或，

臼，2/+1W1,

所以实数/的取值范围为LL0]。

考向四不等式的证明问题

【例4】(2020•全国m卷)设mb,cER,a+b+c=O9abc

(1)证明：ab+bc+ca<0；

(2)用max{mb,c}表示mb,c的最大值，证明：maxftz,

b,c}^y[4o

证明(1)由题设可知，a,b,。均不为零,

2222

所以ab+bc+ca=h(<a+b+c)—(a+b+c)]=—

乙

+c2)<0o

(2)不妨设max{。,b,c}=a9

因为abc=1,a=—(/?+(?),

所以a>0,b<0,c<0o

o3

由,可得abcW女,故汨,

c}2折。

所以max{〃，b,

法悟通

(1)证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证

法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明

的切入点。

(2)当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时'可用

分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步

必须可逆。在不等式的证明中，一方面要注意基本不等式成立的

条件；另一方面要善于对“式子”进行恰当的转化、变形。

【变式训练4](2020.福州市质量检测)已知函数外)=|2x

—l|+x+：的最小值为

(1)求加的值；

(2)若a,b,c为正实数，且a+b+c=m,证明：cr+^+c1^

解⑴根据题意，函数於)=|2x-1|+x+|=

1

2-1>1

2，%—2，

<

,31

—冗十],x<2,

所以於)在一8,句上单调递减，

在/+°°]

上单调递增，

所以兀X)min=(；J=1,即m=1o

(2)证明:由(1)知,m=1,所以a+—+c=l。

又。，b,c为正实数，

a1b2^2ah,b2c2^2hc,a2-\-c2^2ac,

所以2(6Z2+h2+c2)2(6//?+he+ac),

所以1=(tz+Z?+c)2=6?2+/?2+c2+lab+2/?c+"lea3(tz24-b1

+c2)o

即/+/+°2*。

重点增分专练(十九)选修4—5不等式选讲

A级基础达标

1.(2020•东北三校联考)设函数f(x)=|x+2|+|x—3|。

(1)求不等式f(x)>9的解集；

(2)若关于x的不等式f(x)W|3m-2|有解，求实数m的取值范

围。

—2x+l,x<-2,

解(l)f(x)=<5,—2^x<3,

、2x—1,x23,

当xv-2时，-2x+l>9,解得xv-4,所以xv-4;

当一2Wxv3时，5>9,无解；

当x23时，2x-l>9,解得x>5,所以x>5。

综上，不等式f(x)>9的解集为｛x|x〉5或x<—4｝。

(2)因为伙+2|+做一3|2卜+2一任-3)|=5(当且仅当仪+2)任

-3)^0,即一2WxW3时取等号)，

7

所以|3m—2|25,解得mW—1或

2

2.(2020•全国II卷)已知函数f(x)=|x—a|+|x-2a+l|o

(1)当a=2时，求不等式f(x)24的解集；

(2)若f(x)24,求a的取值范围。

7—2x,xW3,

解(1)当a=2时，f(x)=11,3Vx<4,当xW3时，令

、2x—7,x>4o

3

—2x+724,解得XW5;

当3Vx<4时，1)4,无解；

当x>4时，令2x—724,解得x2,。

r、

311

因此，不等式f(x)24的解集为JxxWj或ro

(2)因为f(x)=|x-a2|+|x-2a+1121a2-2a+l|=(a-Ip,故当

(a—l)2^4,

即|a—1|22时,f(x)>4,

所以当a23或a〈一l时，f(x)24。

所以a的取值范围是(一8,-1]U[3,+8)。

3.(2020.广州市调研测试)已知f(x)=|x-a|(x-2)+|x-2|(x

-a)0

(1)当a=2时，求不等式f(x)v0的解集；

(2)若x£(—8,a)时，f(x)〈0,求a的取值范围。

解(1)当a=2时，f(x)=2|x-2|(x-2),

由2|x-2|(x—2)<0,解得xv2,

所以不等式f(x)<0的解集为{x|x<2}o

(2)当X£(-8,a)时，

f(x)=|x-a|(x-2)+|x-2|(x—a)

=(a—x)(x-2)+|x-2|(x—a)

=(x-a)[|x-2|-(x-2)],

因为x—a<(),则由f(x)<0,可得|x—2|一(x—2)>(),|x—2|>x

一2,

所以x—2<0,x<2,即x<a=>x<2,

所以a的取值范围是(一8,2]o

4.(2020・沈阳市质量监测)已知函数f(x)=|2x+3|-|x-l|o

⑴求不等式f(x)W3的解集；

(2)若不等式f(x)>2a—|3x—3|对任意x£R恒成立，求实数a

的取值范围。

解⑴由/U)W3,得|2x+3|一|x—l|W3,

31Q3

X21,一，，或1

不等式可化为x+4<3或

3x+2W3[-x-4W3,

313

解得无解或一六或一7&W一3

所以不等式火x)W3的解集为xo

(2)若不等式—|3x—3]对任意的x£R恒成立，

即不等式|2x+3|—\x-1|>2〃一|3x—3|对任意的x£R恒成立，

即不等式|〃+3|+3一2|>2。对任意的x£R恒成立，

因为|2X+3|+|2Y—2|2|(2X+