2023届高考数学特训营-专攻(九)-概率统计与数列、函数的交汇问题

高考专攻(九)概率统计与数列、函数的交汇问题1．(2022·厦门高三模拟)袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且将一个红球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中红球的个数记为Xn.(1)求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)；(2)求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式．解：(1)由题意可知X2＝3，4，5.当X2＝3时，即两次摸球均摸到红球，其概率是P(X2＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(1,8))×eq\f(Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(1,8))＝eq\f(9,64)，当X2＝4时，即两次摸球恰好摸到一红球，一白球，其概率P(X2＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(1,8))＋eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(1,8))＝eq\f(35,64)，当X2＝5时，即两次摸球均摸到白球，其概率是P(X2＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(1,8))＝eq\f(5,16)，所以随机变量X2的概率分布如下表所示：X2345Peq\f(9,64)eq\f(35,64)eq\f(5,16)故数学期望E(X2)＝3×eq\f(9,64)＋4×eq\f(35,64)＋5×eq\f(5,16)＝eq\f(267,64).(2)设P(Xn＝3＋k)＝pk，k＝0，1，2，3，4，5，则p0＋p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝1，E(Xn)＝3p0＋4p1＋5p2＋6p3＋7p4＋8p5.P(Xn＋1＝3)＝eq\f(3,8)p0，P(Xn＋1＝4)＝eq\f(5,8)p0＋eq\f(4,8)p1，P(Xn＋1＝5)＝eq\f(4,8)p1＋eq\f(5,8)p2，P(Xn＋1＝6)＝eq\f(3,8)p2＋eq\f(6,8)p3，P(Xn＋1＝7)＝eq\f(2,8)p3＋eq\f(7,8)p4，P(Xn＋1＝8)＝eq\f(1,8)p4＋eq\f(8,8)p5，所以E(Xn＋1)＝3×eq\f(3,8)p0＋4×(eq\f(5,8)p0＋eq\f(4,8)p1)＋5×(eq\f(4,8)p1＋eq\f(5,8)p2)＋6×(eq\f(3,8)p2＋eq\f(6,8)p3)＋7×(eq\f(2,8)p3＋eq\f(7,8)p4)＋8×(eq\f(1,8)p4＋eq\f(8,8)p5)＝eq\f(29,8)p0＋eq\f(36,8)p1＋eq\f(43,8)p2＋eq\f(50,8)p3＋eq\f(57,8)p4＋eq\f(64,8)p5＝eq\f(7,8)(3p0＋4p1＋5p2＋6p3＋7p4＋8p5)＋p0＋p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝eq\f(7,8)E(Xn)＋1.由此可知，E(Xn＋1)－8＝eq\f(7,8)[E(Xn)－8]．因为E(X1)＝3×eq\f(3,8)＋4×eq\f(5,8)＝eq\f(29,8)，E(X1)－8＝－eq\f(35,8)，所以数列{E(Xn)－8}是以－eq\f(35,8)为首项，eq\f(7,8)为公比的等比数列，所以E(Xn)－8＝－eq\f(35,8)(eq\f(7,8))n－1＝－5·(eq\f(7,8))n，即E(Xn)＝8－5·(eq\f(7,8))n.2．(2022·江苏常州高三模拟)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本为每瓶4元，售价为每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关，如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了近三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温天数[10，15)2[15，20)16[20，25)36[25，30)25[30，35)7[35，40)4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？解：(1)由题意知X的可能取值为200，300，500，P(X＝200)＝eq\f(2＋16,90)＝0.2，P(X＝300)＝eq\f(36,90)＝0.4，P(X＝500)＝eq\f(25＋7＋4,90)＝0.4，∴X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，∴只需考虑200≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n，若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n，若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，∴E(Y)＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n≤300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n，若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，∴E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.∴当n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．3．(2022·湖南衡阳市高三模拟)某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为eq\f(1,2)，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响．(1)当p＝eq\f(1,4)时，求：(ⅰ)在甲答对了某道题的条件下，求该题是甲自己答对的概率；(ⅱ)甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量X，求X的数学期望E(X)．(2)乙答对每道题的概率为eq\f(2,3)(含亲友团)，现甲、乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于eq\f(15,36)，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值．解：(1)(ⅰ)记事件A为“甲答对了某道题”，事件B为“甲自己答对”，则P(A)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,8)，P(AB)＝eq\f(1,2)，所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,2),\f(5,8))＝eq\f(4,5).(ⅱ)由题意，X～B(4，eq\f(5,8))，故E(X)＝4×eq\f(5,8)＝eq\f(5,2).(2)记事件Ai为“甲答对了i道题”，事件Bi为“乙答对了i道题”，其中甲答对某道题的概率为eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)p＝eq\f(1,2)(1＋p)，答错某道题的概率为1－eq\f(1,2)(1＋p)＝eq\f(1,2)(1－p)，则P(A1)＝Ceq\o\al(1,2)·eq\f(1,2)(1＋p)·eq\f(1,2)(1－p)＝eq\f(1,2)(1－p2)，P(A2)＝[eq\f(1,2)(1＋p)]2＝eq\f(1,4)(1＋p)2，P(B0)＝(eq\f(1,3))2＝eq\f(1,9)，P(B1)＝Ceq\o\al(1,2)·eq\f(2,3)·eq\f(1,3)＝eq\f(4,9)，所以甲答对题数比乙多的概率为P(A1B0∪A2B1∪A2B0)＝P(A1B0)＋P(A2B1)＋P(A2B0)＝eq\f(1,2)(1－p2)·eq\f(1,9)＋eq\f(1,4)(1＋p)2·eq\f(4,9)＋eq\f(1,4)(1＋p)2·eq\f(1,9)＝eq\f(1,36)·(3p2＋10p＋7)≥eq\f(15,36)，解得eq\f(2,3)≤p<1，即甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值为eq\f(2,3).4．(2022·普宁市高三月考)某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日礼品．现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒等概率可以开出玩偶A1，A2，A3中的一个，每个乙系列盲盒可以等概率开出玩偶B1，B2中的一个．(1)记事件En：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶A1，A2，A3，事件Fn：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐B1，B2玩偶，求概率P(E5)及P(F4)．(2)某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为eq\f(2,3)，购买乙系列的概率为eq\f(1,3)；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为eq\f(1,4)，购买乙系列的概率为eq\f(3,4)，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为eq\f(1,2)，购买乙系列的概率为eq\f(1,2).如此往复，记某人第n次购买甲系列的概率为Qn.①求{Qn}的通项公式；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．解：(1)若一次性购买5个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为35，集齐A1，A2，A3玩偶，则有两种情况：①其中一个玩偶3个，其他两个玩偶各1个，则有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(2,2)种结果；②若其中两个玩偶各2个，另外一个玩偶1个，则有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)种结果，故P(E5)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4),35)＝eq\f(60＋90,243)＝eq\f(150,243)＝eq\f(50,81).若一次性购买4个乙系列盲盒，全部为B1与全部为B2的概率相等，均为eq\f(1,24)，故P(F4)＝1－eq\f(1,24)－eq\f(1,24)＝eq\f(7,8).(2)①由题可知Q1＝eq\f(2,3)，当n≥2时，Qn＝eq\f(1,4)Qn－1＋eq\f(1,2)(1－Qn－1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)Qn－1，则Qn－eq\f(2,5)＝－eq\f(1,4)(Qn－1－eq\f(2,5))，Q1－eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，即{Qn－eq\f(2,5)}是以eq\f(4,15)为首项，以－eq\f(1,4)为公比的等比数列．所以Qn－eq\f(2,5)＝eq\f(4