2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题8.2两条直线的位置关系【九大题型】特训(学生版+解析)

专题8.2两条直线的位置关系【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1两条直线的平行与垂直】 3【题型2求与已知直线平行、垂直的直线方程】 3【题型3两直线的交点问题】 4【题型4距离问题】 4【题型5与距离有关的最值问题】 5【题型6点（或直线）关于点对称】 5【题型7点关于直线对称】 6【题型8直线关于直线的对称问题】 6【题型9直线系方程】 71、两条直线的位置关系考点要求真题统计考情分析(1)能根据斜率判定两条直线平行或垂直(2)能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标(3)掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离2022年上海卷：第7题，5分2024年北京卷：第3题，4分从近几年的高考情况来看，高考对两条直线的位置关系、距离公式的考查比较稳定，多以选择题、填空题的形式考查，难度不大；复习时应加强对距离公式、对称关系的掌握，灵活求解.【知识点1两条直线的位置关系】1．两条直线的位置关系斜截式一般式方程l1:y=k1x+b1

l2:y=k2x+b2相交k1≠k2（当时，记为）垂直k1·k2=-1（当时，记为）平行k1=k2且b1≠b2或（当时，记为）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)（当时，记为）2．平行的直线的设法平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0.3．垂直的直线的设法垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.【知识点2三种距离公式】1．两点间的距离公式平面内两点间的距离公式为.

特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.2．点到直线的距离公式(1)定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

(2)公式：已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.3．两条平行直线间的距离公式(1)定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

(2)公式

设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.【知识点3点、线间的对称关系】1．六种常用对称关系(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y).(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).【知识点4直线系方程】1．直线系方程过直线与的交点的直线系方程为，但不包括直线.【题型1两条直线的平行与垂直】【例1】（2024·河南新乡·三模）已知直线l1:2x+my−1=0，l2:m+1x+3y+1=0，则“m=2”是“l1//l2”的（

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-1】（2024·陕西西安·二模）已知点M(m,−1)，N(4,m)，且直线MN与直线2x−y+3=0垂直，则m=（

）A．−6 B．73 C．23 【变式1-2】（2024·河南洛阳·模拟预测）“a=0”是“直线l1:x+2ay−2024=0与直线l2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-3】（2024·河南·三模）已知直线Ax+By+C=0与直线y=2x−3垂直，则（

）A．A=−2B≠0 B．A=2B≠0C．B=−2A≠0 D．B=2A≠0【题型2求与已知直线平行、垂直的直线方程】【例2】（2024·山东·二模）已知直线l与直线x−y=0平行，且在y轴上的截距是−2，则直线l的方程是（

）．A．x−y+2=0 B．x−2y+4=0C．x−y−2=0 D．x+2y−4=0【变式2-1】（2024·广东珠海·模拟预测）过点P−1,2且与直线x+2y+3=0垂直的直线方程是（

A．x−2y+5=0 B．x+2y−3=0C．2x−y+4=0 D．2x+y=0【变式2-2】（2024·吉林·模拟预测）△ABC中，A3,2，B1,1，C2,3，则ABA．2x+y−7=0 B．2x−y−1=0C．x+2y−8=0 D．x−2y+4=0【变式2-3】（23-24高二上·广东江门·期末）过点−2，0与y=x平行的直线方程是（A．x−y−2=0 B．x+y+2=0C．x−y+2=0 D．x+y−2=0【题型3两直线的交点问题】【例3】（2024·海南海口·二模）若直线y=−2x+4与直线y=kx的交点在直线y=x+2上，则实数k=（

）A．4 B．2 C．12 D．【变式3-1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线2x−y+6=0与直线x+y=3的交点坐标是（

）A．(3，0) B．(−1,4) C．(−3,6) 【变式3-2】（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线2x−3y+10=0和3x+4y−2=0的交点，且垂直于直线2x−y−1=0的直线方程为（

）A．x−2y−6=0 B．x+2y−2=0C．2x−y−3=0 D．2x+y−2=0【变式3-3】（23-24高二下·上海·期中）直线l1:7x+2y+1=0,l2:mx+y=0,A．3 B．4 C．5 D．6【题型4距离问题】【例4】（2024·全国·模拟预测）平行直线l1:2x+y−5=0与l2A．5 B．25 C．35 【变式4-1】（2024·海南海口·模拟预测）设A(0,18)，若函数y=ax2(a>0)图象上任意一点P(xA．14 B．12 C．2 【变式4-2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知方程−x2+2ax+22b=2A．12 B．14 C．22【变式4-3】（2024·江苏南京·一模）已知实数a>0,b<0，则3b−aa2A．[−2,−1) B．(−2,−1)C．(−2.−1] D．[−2,−1]【题型5与距离有关的最值问题】【例5】（2024·吉林·二模）直线l的方程为λ+2x+λ−1y−3λ=0λ∈R，当原点O到直线l的距离最大时，A．−1 B．−5 C．1 D．5【变式5-1】（23-24高二上·安徽·阶段练习）若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A．95 B．185 C．2910 【变式5-2】（23-24高三上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，集合A=x,ykx−y+k=0，集合B=x,yy=kx−1，已知点M∈A，点N∈B，记d表示线段MN长度的最小值，则A．2 B．3 C．1 D．2【变式5-3】（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x−a2+y−b2可以转化为平面上点Mx,y与点NA．210 B．22 C．2+【题型6点（或直线）关于点对称】【例6】（23-24高二上·全国·期末）点P1,2在直线l上，直线l1与l关于点0,1对称，则一定在直线l1A．12,32 B．−1,3【变式6-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线x+2y−3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1,0)对称，则实数b的值为（

）A．2 B．6 C．−2 D．−6【变式6-2】（23-24高二上·北京海淀·期中）点P(1,2)在直线l上，直线l1与l关于点(0,1)对称，则一定在直线l1上的点为（A．(12,32) B．(−1,【变式6-3】（23-24高一下·内蒙古包头·期末）与直线3x−4y+5=0关于坐标原点对称的直线方程为（

）A．3x+4y−5=0 B．3x+4y+5=0C．3x−4y+5=0 D．3x−4y−5=0【题型7点关于直线对称】【例7】（2024·浙江·模拟预测）点1,2关于直线x+y−2=0的对称点是（

）A．1,0 B．0,1 C．0,−1 D．2,1【变式7-1】（23-24高二上·福建三明·期中）已知A−3,0,B0,3，从点P−1,0射出的光线经y轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射到A．210 B．6 C．25 【变式7-2】（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A−4,1．若将军从山脚下的点B−3,2处出发，河岸线所在直线方程为x−y+3=0，则“将军饮马”的最短总路程为（A．2 B．5 C．10 D．2【变式7-3】（23-24高二上·浙江宁波·期中）如图，一束光线从A1,0出发，经直线x+y+1=0反射后又经过点B6,−5，则光线从A到B走过的路程为（A．55 B．214 C．58 D．【题型8直线关于直线的对称问题】【例8】（2024·上海静安·二模）设直线l1:x−2y−2=0与l2关于直线l:2x−y−4=0A．11x+2y−22=0 B．11x+y+22=0C．5x+y−11=0 D．10x+y−22=0【变式8-1】（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线l1:3x−2y−6=0，直线l2:x−y−4=0，则l1A．3x+2y−14=0 B．2x−3y−14=0C．3x+2y−6=0 D．2x−3y−6=0【变式8-2】（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点A−2,1射出，经直线2x−y+10=0反射，且反射光线所在直线过点B(−8,−3)，则反射光线所在直线的方程是（

A．x−3y−1=0 B．3x−y+21=0C．x+3y+17=0 D．3x+y+15=0【变式8-3】（23-24高二上·湖北黄石·阶段练习）若两条平行直线l1：x−2y+m=0m>0与l2：2x+ny−6=0之间的距离是25，则直线l1A．x−2y−13=0 B．x−2y+2=0C．x−2y+4=0 D．x−2y−6=0【题型9直线系方程】【例9】（23-24高二上·全国·课后作业）过两直线l1:x−3y+4=0和l2A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【变式9-1】（23-24高二上·重庆·阶段练习）经过直线3x+2y+6=0和2x+5y−7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（

）A．x+y+1=0 B．x−y+1=0C．x+y+1=0或3x+4y=0 D．x−y+1=0或x+y+1=0【变式9-2】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线2023x−2022y−1=0和2022x+2023y+1=0的交点且过原点的直线方程为．【变式9-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系xOy中，过直线l1:7x−3y+1=0与l2:x+4y−3=0的交点，且在y轴上截距为1的直线一、单选题1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知直线l1:ax+3y−6=0，直线l2:2x+a−1y−4=0，则“l1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024·黑龙江吉林·二模）两条平行直线l1：x+y+1=0，l2：x+y−1=0之间的距离是（A．1 B．2 C．22 3．（2024·河南郑州·模拟预测）已知直线l1:x+my+1=0与直线l2:x+(1−2m)y−3=0，则“m∈{1,−2}”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024·重庆·三模）当点P−1,0到直线l：3λ+1x+λ+1A．−1 B．1 C．−2 D．25．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线l:x+y−1=0，一束光线从原点O出发沿射线y=kxx≥0向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，再次经x轴反射后与y轴交于点N.若MN=136，则A．32 B．C．12 D．6．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知点A2,3,B4,1,直线x−2y+4=0与y轴相交于点C,则△ABC中AB边上的高CEA．x+y−2=0 B．x+y+2=0C．x−y+2=0 D．x−y−2=07．（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A−3,0，若将军从山脚下的点B−1,1处出发，河岸线所在直线方程为x+y=1，则“将军饮马”的最短总路程为（A．5 B．3 C．13 D．58．（2024·贵州毕节·模拟预测）直线l1:x+1+a①∃a∈R，使得l1//l2；

③∀a∈R，l1与l2都相交；

④∃a∈R，使得原点到其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④二、多选题9．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知直线l1:x+2y−2=0，直线l2A．直线l2可以与x轴平行 B．直线l2可以与C．当l1∥l2时，k=2 D．当l10．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知直线l经过点2,3，且点A−3,2，B5,−4到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（A．4x−y−5=0 B．4x+y−11=0C．3x+4y−18=0 D．3x−4y+6=011．（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为2x−y=0，y=0，将军的出发点是点A3,1，军营所在位置为B6,3，则下列说法错误的是（A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为(1,2)B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是5C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是85D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是2三、填空题12．（2024·山东·二模）过直线x+y+1=0和3x−y−3=0的交点，倾斜角为45°的直线方程为.13．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线l1:−2x+a−2y+3=0与直线l2:bx−y−1=0,a>0,b>0，若l114．（2024·四川成都·模拟预测）已知直线l经过点P(0,1)，且被两条平行直线l1:3x+y+1=0和l2:3四、解答题15．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知直线l1:2x+a−1(1)若l1//l(2)若l1⊥l16．（2024·陕西西安·二模）解答下列问题.(1)已知直线l1:ax−3y+4b=0与直线l2:2x+by−2a=0相交，交点坐标为(2)已知直线l过点P(2,3)，且点M(3,1)到直线l的距离为1，求直线l的方程.17．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知两直线l1(1)求过两直线的交点，且垂直于直线3x+4y−5=0的直线方程；(2)已知两点A−1,1,B0,2，动点P在直线l18．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知A6,63，B0,0，C12,0，直线(1)求直线l经过的定点坐标；(2)若P2,23，李老师站在点P用激光笔照出一束光线，依次由BC（反射点为K）、AC（反射点为I）反射后，光斑落在P点，求入射光线19．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知△ABC的三个顶点的坐标分别是点A(5,1)、B(4,3)与C(0,−1)，直线m:(k+2)x+(k−1)y+k−1=0    (1)求边AC所在直线l1的倾斜角和边AC上的高所在直线l(2)记d为点A到直线m的距离，试问:d是否存在最大值?若存在，求出d的最大值:若不存在，说明理由;专题8.2两条直线的位置关系【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1两条直线的平行与垂直】 3【题型2求与已知直线平行、垂直的直线方程】 4【题型3两直线的交点问题】 5【题型4距离问题】 7【题型5与距离有关的最值问题】 9【题型6点（或直线）关于点对称】 11【题型7点关于直线对称】 12【题型8直线关于直线的对称问题】 15【题型9直线系方程】 171、两条直线的位置关系考点要求真题统计考情分析(1)能根据斜率判定两条直线平行或垂直(2)能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标(3)掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离2022年上海卷：第7题，5分2024年北京卷：第3题，4分从近几年的高考情况来看，高考对两条直线的位置关系、距离公式的考查比较稳定，多以选择题、填空题的形式考查，难度不大；复习时应加强对距离公式、对称关系的掌握，灵活求解.【知识点1两条直线的位置关系】1．两条直线的位置关系斜截式一般式方程l1:y=k1x+b1

l2:y=k2x+b2相交k1≠k2（当时，记为）垂直k1·k2=-1（当时，记为）平行k1=k2且b1≠b2或（当时，记为）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)（当时，记为）2．平行的直线的设法平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0.3．垂直的直线的设法垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.【知识点2三种距离公式】1．两点间的距离公式平面内两点间的距离公式为.

特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.2．点到直线的距离公式(1)定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

(2)公式：已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.3．两条平行直线间的距离公式(1)定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

(2)公式

设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.【知识点3点、线间的对称关系】1．六种常用对称关系(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y).(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).【知识点4直线系方程】1．直线系方程过直线与的交点的直线系方程为，但不包括直线.【题型1两条直线的平行与垂直】【例1】（2024·河南新乡·三模）已知直线l1:2x+my−1=0，l2:m+1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得.【解答过程】当m=2时，直线l1:2x+2y−1=0，当l1//l2时，所以“m=2”是“l1故选：C.【变式1-1】（2024·陕西西安·二模）已知点M(m,−1)，N(4,m)，且直线MN与直线2x−y+3=0垂直，则m=（

）A．−6 B．73 C．23 【解题思路】借助垂直直线斜率的关系计算即可得.【解答过程】由题意可得−1−mm−4⋅2=−1，解得故选：A.【变式1-2】（2024·河南洛阳·模拟预测）“a=0”是“直线l1:x+2ay−2024=0与直线l2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】求出直线平行的充要条件为a=3【解答过程】若l1//l2，则有1×a=2a(a−1)，所以当a=0时，l1:x−2024=0,l2:−x+2024=0当a=32时，所以“a=0”是“l1故选：D．【变式1-3】（2024·河南·三模）已知直线Ax+By+C=0与直线y=2x−3垂直，则（

）A．A=−2B≠0 B．A=2B≠0C．B=−2A≠0 D．B=2A≠0【解题思路】由直线垂直的充要条件即可列式得解.【解答过程】直线y=2x−3的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线Ax+By+C=0的斜率为−1即−AB=−12且A≠0故选：D.【题型2求与已知直线平行、垂直的直线方程】【例2】（2024·山东·二模）已知直线l与直线x−y=0平行，且在y轴上的截距是−2，则直线l的方程是（

）．A．x−y+2=0 B．x−2y+4=0C．x−y−2=0 D．x+2y−4=0【解题思路】依题意设直线l的方程为x−y+m=0，代入0,−2求出参数的值，即可得解.【解答过程】因为直线l平行于直线x−y=0，所以直线l可设为x−y+m=0，因为在y轴上的截距是−2，则过点0,−2，代入直线方程得0−−2解得m=−2，所以直线l的方程是x−y−2=0.故选：C.【变式2-1】（2024·广东珠海·模拟预测）过点P−1,2且与直线x+2y+3=0垂直的直线方程是（

A．x−2y+5=0 B．x+2y−3=0C．2x−y+4=0 D．2x+y=0【解题思路】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【解答过程】直线x+2y+3=0的斜率为−12，故所求直线的斜率为所以，过点P−1,2且与直线x+2y+3=0垂直的直线方程是y−2=2即2x−y+4=0.故选：C.【变式2-2】（2024·吉林·模拟预测）△ABC中，A3,2，B1,1，C2,3，则ABA．2x+y−7=0 B．2x−y−1=0C．x+2y−8=0 D．x−2y+4=0【解题思路】设AB边上的高所在的直线为l，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案.【解答过程】设AB边上的高所在的直线为l，由已知可得，kAB=1−21−3=又l过C2,3，所以l的方程为y−3=−2整理可得，2x+y−7=0.故选：A.【变式2-3】（23-24高二上·广东江门·期末）过点−2，0与y=x平行的直线方程是（A．x−y−2=0 B．x+y+2=0C．x−y+2=0 D．x+y−2=0【解题思路】根据直线与y=x平行设出直线方程，根据过点−2，【解答过程】设直线方程为y=x+b，因为直线过点−2，所以b=2，所以直线方程为x−y+2=0.故选C.【题型3两直线的交点问题】【例3】（2024·海南海口·二模）若直线y=−2x+4与直线y=kx的交点在直线y=x+2上，则实数k=（

）A．4 B．2 C．12 D．【解题思路】求出直线y=−2x+4与直线y=x+2的交点，再代入求解作答.【解答过程】解方程组y=−2x+4y=x+2，得直线y=−2x+4与直线y=x+2的交点(依题意，83=2所以实数k=4.故选：A.【变式3-1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线2x−y+6=0与直线x+y=3的交点坐标是（

）A．(3，0) B．(−1,4) C．(−3,6) 【解题思路】两个方程的联立，加减消元法计算即可.【解答过程】2x−y+6=0……①x+y=3……②①+②得：3x=−3⇒x=−1……③③代入②有：y=4……④由③④得交点坐标为：−1,4.故选：B.【变式3-2】（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线2x−3y+10=0和3x+4y−2=0的交点，且垂直于直线2x−y−1=0的直线方程为（

）A．x−2y−6=0 B．x+2y−2=0C．2x−y−3=0 D．2x+y−2=0【解题思路】首先求出两条直线的交点坐标，再根据垂直求出斜率，点斜式写方程即可.【解答过程】由题知：2x−3y+10=03x+4y−2=0，解得：x=−2y=2，交点直线2x−y−1=0的斜率为2，所求直线斜率为−1所求直线为：y−2=−12(x+2)故选：B.【变式3-3】（23-24高二下·上海·期中）直线l1:7x+2y+1=0,l2:mx+y=0,A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】分l1//l2、l1【解答过程】①l1//l2时，则②l1//l3时，则③l2//l3时，则④三条直线交于一点7x+2y+1=0mx+y=0x+my−1=0，解得m=2x=−则实数m可取值的集合为72,2故选：D.【题型4距离问题】【例4】（2024·全国·模拟预测）平行直线l1:2x+y−5=0与l2A．5 B．25 C．35 【解题思路】先通过平行求出b，再利用平行线的距离公式求解.【解答过程】因为l1∥l2，所以解得b=−12，所以故两平行直线间的距离d=10−故选：C．【变式4-1】（2024·海南海口·模拟预测）设A(0,18)，若函数y=ax2(a>0)图象上任意一点P(xA．14 B．12 C．2 【解题思路】根据题意结合两点间距离公式分析运算.【解答过程】因为点P(x0,y0)在函数又因为|PA|=x0−0整理得a−2y由于a−2y0=0对y0恒成立，则故选：C.【变式4-2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知方程−x2+2ax+22b=2A．12 B．14 C．22【解题思路】将方程中的a,b看成主元，x看成系数可得2xa+22b−(x2+2)=0，表示一条直线，直线上的点为(a,b)，根据a2+【解答过程】由题意知，将方程中的a,b看成主元，x看成系数，则变成二元一次方程2xa+22该方程可以表示直角坐标系中的一条直线，直线上的点为(a,b)，a2+b2的几何意义是点所以直线上的点(a,b)到点(0,0)的距离不小于(0,0)到直线的距离，(0,0)到直线2xa+22d=2x⋅0+2即a2+b又y=x当x=0时，ymin=1即a2+b故选：A.【变式4-3】（2024·江苏南京·一模）已知实数a>0,b<0，则3b−aa2A．[−2,−1) B．(−2,−1)C．(−2.−1] D．[−2,−1]【解题思路】根据题意设直线l：ax+by=0，点A1,−3，利用点到直线的距离公式得点A到直线l的距离为d=a−3ba2+b【解答过程】根据题意，设直线l：ax+by=0恒过原点，点A1,−那么点A1,−3到直线l的距离为：因为a>0,b<0，所以d=a−3ba2当直线l的斜率不存在时，d=a−3b当OA⊥l时，dmax所以1<d≤2，即1<a−因为3b−aa2故选：A.【题型5与距离有关的最值问题】【例5】（2024·吉林·二模）直线l的方程为λ+2x+λ−1y−3λ=0λ∈R，当原点O到直线l的距离最大时，A．−1 B．−5 C．1 D．5【解题思路】求出直线λ+2x+λ−1y−3λ=0λ∈R所过定点A的坐标，分析可知当OA⊥l时，原点O到直线【解答过程】直线方程λ+2x+λ−1y−3λ=0由x+y−3=02x−y=0可得x=1所以，直线λ+2x+λ−1y−3λ=0当OA⊥l时，原点O到直线l的距离最大，且kOA又因为直线l的斜率为k=−λ+2λ−1=−故选：B.【变式5-1】（23-24高二上·安徽·阶段练习）若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A．95 B．185 C．2910 【解题思路】先判定两直线平行，再求出两平行线之间的距离即得解.【解答过程】因为36将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|−24−5|62+8故选：C.【变式5-2】（23-24高三上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，集合A=x,ykx−y+k=0，集合B=x,yy=kx−1，已知点M∈A，点N∈B，记d表示线段MN长度的最小值，则A．2 B．3 C．1 D．2【解题思路】将集合A,B看作是直线的集合，求出定点坐标，即可得出答案.【解答过程】集合A=x|kx−y+k=0可以看作是表示直线l由kx−y+k=0变形可得，kx+1由x+1=0y=0可得，x=−1所以直线l1:kx−y+k=0过定点集合B=x,yy=kx−1可看作是直线由y=kx−1变形可得，kx−y+1由x=0y+1=0可得，x=0所以，直线l2:y=kx−1过定点显然，当点M,N与点E,F分别重合，且线段MN与直线l1,l2都垂直时，故选：D.【变式5-3】（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x−a2+y−b2可以转化为平面上点Mx,y与点NA．210 B．22 C．2+【解题思路】y可看作x轴上一点Px,0到点A1,2与点B3,−4的距离之和，可知当A，P，B【解答过程】y=x则y可看作x轴上一点Px,0到点A1,2与点即PA+PB，则可知当A，P，B三点共线时，即PA+故选：A.【题型6点（或直线）关于点对称】【例6】（23-24高二上·全国·期末）点P1,2在直线l上，直线l1与l关于点0,1对称，则一定在直线l1A．12,32 B．−1,3【解题思路】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线l上P1,2的对称点，且该点在直线l【解答过程】由题设P1,2关于0,1对称的点为(x,y)，若该点必在l∴1+x2=02+y2=1，解得x=−1故选：C.【变式6-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线x+2y−3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1,0)对称，则实数b的值为（

）A．2 B．6 C．−2 D．−6【解题思路】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可.【解答过程】由于直线x+2y−3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1,0)对称，所以两直线平行，故2a=4，则a=2，由于点(3,0)在直线x+2y−3=0上，(3,0)关于点A(1,0)的对称点为(−1,0)，故(−1,0)在ax+4y+b=0上，代入可得−a+b=0，故b=a=2，故选：A.【变式6-2】（23-24高二上·北京海淀·期中）点P(1,2)在直线l上，直线l1与l关于点(0,1)对称，则一定在直线l1上的点为（A．(12,32) B．(−1,【解题思路】根据两直线关于点对称，利用中点公式即可求直线l上P(1,2)的对称点，且该点在直线l1【解答过程】由题设，P(1,2)关于(0,1)对称的点必在l1上，若该点为(x,y)∴{1+x2=02+y2=1，解得故选：C.【变式6-3】（23-24高一下·内蒙古包头·期末）与直线3x−4y+5=0关于坐标原点对称的直线方程为（

）A．3x+4y−5=0 B．3x+4y+5=0C．3x−4y+5=0 D．3x−4y−5=0【解题思路】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可.【解答过程】设所求对称直线上任意一点的坐标为(x,y)，则关于原点对称点的坐标为(−x,−y)，该点在已知的直线上，则−3x+4y+5=0，即3x−4y−5=0.故选：D.【题型7点关于直线对称】【例7】（2024·浙江·模拟预测）点1,2关于直线x+y−2=0的对称点是（

）A．1,0 B．0,1 C．0,−1 D．2,1【解题思路】设出对称点，根据对称关系列出式子即可求解.【解答过程】解：设点A1,2关于直线x+y−2=0的对称点是B则有b−2a−1=1a+12+故点1,2关于直线x+y−2=0的对称点是0,1.故选：B.【变式7-1】（23-24高二上·福建三明·期中）已知A−3,0,B0,3，从点P−1,0射出的光线经y轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射到A．210 B．6 C．25 【解题思路】利用光线反射定理结合点关于直线的对称点即可求得光线所经过的路程.【解答过程】直线AB的方程为x−y+3=0，P点关于y轴的对称点为E(1,0)，设点E关于直线AB的对称点为F(x,y)，则y−0x−1=−1x+12设点P−1,0射出的光线交y轴于点C，交直线AB于点D则光线所经过的路程为PC=故选：C.【变式7-2】（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A−4,1．若将军从山脚下的点B−3,2处出发，河岸线所在直线方程为x−y+3=0，则“将军饮马”的最短总路程为（A．2 B．5 C．10 D．2【解题思路】找出对称点，发现特殊情况路径最短，用两点间距离公式求解即可.【解答过程】如图，设点A−4,1关于直线x−y+3=0的对称点为A′(m,n)，A′B

由轴对称性质得，n−1m+4=−1，解得m=−2，n=−1，故A′即P与P0则最短路程为AP故选：C.【变式7-3】（23-24高二上·浙江宁波·期中）如图，一束光线从A1,0出发，经直线x+y+1=0反射后又经过点B6,−5，则光线从A到B走过的路程为（A．55 B．214 C．58 D．【解题思路】根据点关于线对称求出C点标,结合反射光线的性质应用两点间距离公式求出距离的最小值即可.【解答过程】一束光线从A1,0出发，经直线x+y+1=0反射,与x+y+1=0交于点由题意可得，点A1,0关于直线x+y+1=0的对称点C设Cx0,y0∴C故光线从A到B所经过的最短路程是AP+PB=CP+PB=BC=6+1故选：C.【题型8直线关于直线的对称问题】【例8】（2024·上海静安·二模）设直线l1:x−2y−2=0与l2关于直线l:2x−y−4=0A．11x+2y−22=0 B．11x+y+22=0C．5x+y−11=0 D．10x+y−22=0【解题思路】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线l2【解答过程】联立x−2y−2=02x−y−4=0，得x=2取直线l1:x−2y−2=0上一点0,−1，设点0,−1关于直线l:2x−y−4=0的对称点为a,b，则b+1a直线l2的斜率k=−112，所以直线l整理为：11x+2y−22=0.故选：A.【变式8-1】（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线l1:3x−2y−6=0，直线l2:x−y−4=0，则l1A．3x+2y−14=0 B．2x−3y−14=0C．3x+2y−6=0 D．2x−3y−6=0【解题思路】设所求直线上任一点M(x,y)，M关于直线l2的对称点N(x1,y1)，利用轴对称的性质列出方程组解出x【解答过程】设所求直线上任一点M(x,y)，M关于直线l2:x−y−4=0的对称点则y−y1x−∵点N(x1,y1∴3y+4−2x−4故选：B.【变式8-2】（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点A−2,1射出，经直线2x−y+10=0反射，且反射光线所在直线过点B(−8,−3)，则反射光线所在直线的方程是（

A．x−3y−1=0 B．3x−y+21=0C．x+3y+17=0 D．3x+y+15=0【解题思路】求出A(−2,1)关于直线2x−y+10=0的对称点为C的坐标，由B,C都在反射光线所在直线上得直线方程．【解答过程】设A(−2,1)关于直线2x−y+10=0的对称点为C(x,y)，则(x−2)−y+12+10=0y−1x+2所以反射光线所在直线方程为y−3=−3−3−8+6⋅(x+6)故选：B．【变式8-3】（23-24高二上·湖北黄石·阶段练习）若两条平行直线l1：x−2y+m=0m>0与l2：2x+ny−6=0之间的距离是25，则直线l1A．x−2y−13=0 B．x−2y+2=0C．x−2y+4=0 D．x−2y−6=0【解题思路】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解.【解答过程】因为直线l1：x−2y+m=0m>0与l2所以n=−2×2=−4，又两条平行直线l1：x−2y+m=0m>0与l2：2x+ny−6=0所以|2m+6|4+16=2即直线l1：x−2y+7=0，l2：设直线l1关于直线l2对称的直线方程为则|−3−7|5=|−3−c|故所求直线方程为x−2y−13=0，故选：A.【题型9直线系方程】【例9】（23-24高二上·全国·课后作业）过两直线l1:x−3y+4=0和l2A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【解题思路】设过两直线交点的直线系方程为x−3y+4+λ(2x+y+5)=0，代入原点坐标，得4+5λ=0，求解即可.【解答过程】设过两直线交点的直线系方程为x−3y+4+λ(2x+y+5)=0，代入原点坐标，得4+5λ=0，解得λ=−4故所求直线方程为x−3y+4−45(2x+y+5)=0故选：D.【变式9-1】（23-24高二上·重庆·阶段练习）经过直线3x+2y+6=0和2x+5y−7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（

）A．x+y+1=0 B．x−y+1=0C．x+y+1=0或3x+4y=0 D．x−y+1=0或x+y+1=0【解题思路】设直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y−7)=0，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果.【解答过程】解：设直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y−7)=0，即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6−7λ=0令x=0，得y=7λ−6令y=0，得x=7λ−6由7λ−62+5λ得λ=13或所以直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0.故选：C.【变式9-2】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线2023x−2022y−1=0和2022x+2023y+1=0的交点且过原点的直线方程为4045x+y=0．【解题思路】根据直线相交设所求直线为2023x−2022y−1+λ(2022x+2023y+1)=0，结合直线过原点求参数，即可得方程.【解答过程】令所求直线为2023x−2022y−1+λ(2022x+2023y+1)=0，又直线过原点，则−1+λ=0⇒λ=1，所以所求直线为4045x+y=0.故答案为：4045x+y=0.【变式9-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系xOy中，过直线l1:7x−3y+1=0与l2:x+4y−3=0的交点，且在y轴上截距为1的直线l的方程为【解题思路】设交点系方程，结合直线过(0,1)求方程即可.【解答过程】由题设，令直线l的方程为7x−3y+1+λ(x+4y−3)=0，且直线过(0,1)，所以0−3+1+λ(0+4−3)=0⇒λ=2，故直线l的方程为9x+5y−5=0.故答案为：9x+5y−5=0.一、单选题1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知直线l1:ax+3y−6=0，直线l2:2x+a−1y−4=0，则“l1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据直线平行满足的系数关系列式求解a，结合充分条件、必要条件的概念判断即可.【解答过程】若直线l1:ax+3y−6=0和直线则a×a−1=2×3a×所以“l1∥l2”是“故选：A.2．（2024·黑龙江吉林·二模）两条平行直线l1：x+y+1=0，l2：x+y−1=0之间的距离是（A．1 B．2 C．22 【解题思路】利用平行直线间的距离公式即可得解.【解答过程】因为l1：x+y+1=0，l2：所以它们之间的距离为d=1−故选：B.3．（2024·河南郑州·模拟预测）已知直线l1:x+my+1=0与直线l2:x+(1−2m)y−3=0，则“m∈{1,−2}”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】由l1⊥l2，计算得【解答过程】因为l1所以1+m(1−2m)=0，解得m=1或m=−1所以“m∈{1,−2}”是“l1故选：D．4．（2024·重庆·三模）当点P−1,0到直线l：3λ+1x+λ+1A．−1 B．1 C．−2 D．2【解题思路】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解.【解答过程】直线l：3λ+1x+整理得λ3x+y−4由3x+y−4=0x+y−2=0，可得x=1故直线恒过点A1,1点P−1,0到A1,1的距离故kPA直线l：3λ+1x+λ+1y−故−3λ+1λ+1故选：B.5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线l:x+y−1=0，一束光线从原点O出发沿射线y=kxx≥0向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，再次经x轴反射后与y轴交于点N.若MN=136，则A．32 B．C．12 D．【解题思路】根据光学的性质，根据对称性可先求O关于直线l的对称点A，后求直线AP，可得M、N两点坐标，进而由MN=136【解答过程】如图，设点O关于直线l的对称点为Ax则x12+y1由题意知y=kxx≥0与直线l不平行，故k≠−1由y=kxx+y−1=0，得x=1k+1故直线AP的斜率为kAP直线AP的直线方程为：y−1=1令y=0得x=1−k，故M1−k,0令x=0得y=1−1k，故由对称性可得由MN=136得(1−k)解得k+1k=136若k=32，则第二次反射后光线不会与故k=2故选：B.6．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知点A2,3,B4,1,直线x−2y+4=0与y轴相交于点C,则△ABC中AB边上的高CEA．x+y−2=0 B．x+y+2=0C．x−y+2=0 D．x−y−2=0【解题思路】令x=0,得点C坐标,再根据CE⊥AB和斜率公式,得直线CE的斜率,结合点斜式求解即可.【解答过程】∵直线x−2y+4=0与y轴相交于点C,令x=0,得y=2,∴C由题知CE⊥AB,且直线AB的斜率kAB=易知点C在直线CE上,根据点斜式得y−2=x,即x−y+2=0.故选：C.7．（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A−3,0，若将军从山脚下的点B−1,1处出发，河岸线所在直线方程为x+y=1，则“将军饮马”的最短总路程为（A．5 B．3 C．13 D．5【解题思路】根据两点间线段最短，结合中点坐标公式、互相垂直直线斜率的性质进行求解即可.【解答过程】设点B−1,1关于直线x+y=1对称的点为C则有−1+x2所以“将军饮马”的最短总路程为AC=故选：C.8．（2024·贵州毕节·模拟预测）直线l1:x+1+a①∃a∈R，使得l1//l2；

③∀a∈R，l1与l2都相交；

④∃a∈R，使得原点到其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【解题思路】利用两直线平行可得出关于a的等式与不等式，解之可判断①；利用两直线垂直可求得实数a的值，可判断②；取a=1可判断③；利用点到直线的距离公式可判断④.【解答过程】对于①，若l1//l对于②，若l1⊥l2，则对于③，当a=1时，直线l1的方程为x+2y=0，即y=−12x，此时，对于④，直线l1的方程为x+若∃a∈R，使得原点到l1的距离为2，则a−11+a+1Δ=100−4×3×7>0，方程3故选：C.二、多选题9．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知直线l1:x+2y−2=0，直线l2A．直线l2可以与x轴平行 B．直线l2可以与C．当l1∥l2时，k=2 D．当l【解题思路】根据直线平行和垂直对选项进行分析，从而确定正确答案.【解答过程】当k=0时，直线l2:x=3，此时直线l2若k=1，则直线l2:y+3=0，此时直线l2若l1∥l2，则k−2k−1经验证可知此时两直线不重合，C项正确；若l1⊥l2，则故选：ABC.10．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知直线l经过点2,3，且点A−3,2，B5,−4到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（A．4x−y−5=0 B．4x+y−11=0C．3x+4y−18=0 D．3x−4y+6=0【解题思路】当直线l的斜率不存在时不满足题意，当直线l的斜率存在时，设出直线方程，利用距离相等列方程求解即可.【解答过程】当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−3=kx−2，即kx−y+3−2k=0由已知得−3k−2+3−2kk所以k=4或k=−3所以直线l的方程为4x−y−5=0或3x+4y−18=0.故选：AC.11．（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为2x−y=0，y=0，将军的出发点是点A3,1，军营所在位置为B6,3，则下列说法错误的是（A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为(1,2)B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是5C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是85D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是2【解题思路】确定A(3,1)关于直线m,n对称点A1,A2，确定B(6,3)关于直线【解答过程】对于A，如图①所示，设点A(3,1)关于直线2x−y=0的对称点为A1由y1−1x所以将军在河边饮马的地点的坐标为C(3对于B，如图②所示，因为点A3,1关于直线y=0的对称点为A将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是BA对于C，如图③所示，因为点B6,3关于直线y=0的对称点分别为，B点A(3,1)关于直线2x−y=0的对称点为A1所以将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程A1对于D，如图④所示，设点B6,3关于直线2x−y=0的对称点分别为B由y2−3x2−6×2=−1,2×6+x将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是A2故选：ABD.

三、填空题12．（2024·山东·二模）过直线x+y+1=0和3x−y−3=0的交点，倾斜角为45°的直线方程为y=x−2.【解题思路】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程.【解答过程】联立x+y+1=0与3x−y−3=0可得x=1故交点为12,−3故直线方程为y+32=x−故答案为：y=x−2.13．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线l1:−2x+a−2y+3=0与直线l2:bx−y−1=0,a>0,b>0，若l1【解题思路】根据直线垂直的条件得2=a+2