2025版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何3第3讲圆的方程新题培优练文含解析新人教A版

PAGE1-第3讲圆的方程[基础题组练]1．圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝4解析：选A.依据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.2．方程|x|－1＝eq\r(1－（y－1）2)所表示的曲线是()A．一个圆 B．两个圆C．半个圆 D．两个半圆解析：选D.由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（|x|－1）2＋（y－1）2＝1，,|x|－1≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－1）2＋（y－1）2＝1，,x≥1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）2＋（y－1）2＝1，,x≤－1.))故原方程表示两个半圆．3．(2024·湖南长沙模拟)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是()A．1＋eq\r(2) B．2C．1＋eq\f(\r(2),2) D．2＋2eq\r(2)解析：选A.将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝eq\f(|1－1－2|,\r(2))＝eq\r(2)，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝eq\r(2)＋1，选A.4．(2024·河南六校联考(一))圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝eq\f(\r(3),3)x对称的圆的方程是()A．(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝4B．(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4C．x2＋(y－2)2＝4D．(x－eq\r(2))2＋(y－eq\r(2))2＝4解析：选B.设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心关于直线y＝eq\f(\r(3),3)x对称的点的坐标为A(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－2)·\f(\r(3),3)＝－1，,\f(b,2)＝\f(\r(3),3)·\f(a＋2,2)，))所以a＝1，b＝eq\r(3)，所以A(1，eq\r(3))，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4.故选B.5．(2024·山西太原模拟)已知方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半径为2的圆，则实数F＝________．解析：法一：因为方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半径为2的圆，所以eq\f(4＋4－4F,4)＝4，得F＝－2.法二：方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝2－F，因为方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半径为2的圆，所以F＝－2.答案：－26．过两点A(1，4)，B(3，2)且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程为________．解析：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为圆心在直线y＝0上，所以b＝0，所以圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.又因为该圆过A(1，4)，B(3，2)两点，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－a）2＋16＝r2，,（3－a）2＋4＝r2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,r2＝20.))所以所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20.答案：(x＋1)2＋y2＝207．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(2)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)．解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－4a，,（3－a）2＋（－2－b）2＝r2，,\f(|a＋b－1|,\r(2))＝r，))解得a＝1，b＝－4，r＝2eq\r(2).所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r＝eq\r(（1－3）2＋（－4＋2）2)＝2eq\r(2)，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋144＋D＋12E＋F＝0，,49＋100＋7D＋10E＋F＝0，,81＋4－9D＋2E＋F＝0.))解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.8．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq\r(10).(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①又因为直径|CD|＝4eq\r(10)，所以|PA|＝2eq\r(10)，所以(a＋1)2＋b2＝40.②由①②解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝6，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－2.))所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.[综合题组练]1．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上随意一点，且点Q(－2，3)，则eq\f(n－3,m＋2)的最大值为()A．3＋eq\r(2) B．1＋eq\r(2)C．1＋eq\r(3) D．2＋eq\r(3)解析：选D.由题可知eq\f(n－3,m＋2)表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，其中eq\f(n－3,m＋2)＝k，将圆C的方程化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，C(2，7)，半径r＝2eq\r(2)，由直线MQ与圆C有交点，得eq\f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq\r(2)，解得2－eq\r(3)≤k≤2＋eq\r(3)，所以eq\f(n－3,m＋2)的最大值为2＋eq\r(3)，故选D.2．(2024·高考全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2，6] B．[4，8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]解析：选A.圆心(2，0)到直线的距离d＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)，所以点P到直线的距离d1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]．依据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，所以△ABP的面积S＝eq\f(1,2)|AB|·d1＝eq\r(2)d1.因为d1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6]．3．已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a，2)，B(－4，a)，C(2a＋2，2)，则△ABC的外接圆的方程是________．解析：由题意，得2a＝－4，所以a＝－2.所以B(－4，－2)，C(－2，2)．所以圆的半径为eq\f(BC,2)＝eq\f(\r(（－4＋2）2＋（－2－2）2),2)＝eq\r(5)，圆心为(－3，0)．所以△ABC的外接圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5.答案：(x＋3)2＋y2＝54．(应用型)已知平面区域eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋2y－4≤0))恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ为直角三角形，所以圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r＝eq\f(|PQ|,2)＝eq\r(5)，因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝55．已知以点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(2,t)))(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中O为原点．(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．解：(1)证明：因为圆C过原点O，所以OC2＝t2＋eq\f(4,t2).设圆C的方程是(x－t)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(2,t)))eq\s\up12(2)＝t2＋eq\f(4,t2)，令x＝0，得y1＝0，y2＝eq\f(4,t)；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，所以S△OAB＝eq\f(1,2)OA·OB＝eq\f(1,2)×|2t|×|eq\f(4,t)|＝4，即△OAB的面积为定值．(2)因为OM＝ON，CM＝CN，所以OC垂直平分线段MN.因为kMN＝－2，所以kOC＝eq\f(1,2).所以eq\f(2,t)＝eq\f(1,2)t，解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为(2，1)，OC＝eq\r(5)，此时，圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝eq\f(1,\r(5))<eq\r(5)，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．符合题意，此时，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝eq\r(5)，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝eq\f(9,\r(5))>eq\r(5).圆C与直线y＝－2x＋4不相交，所以t＝－2不符合题意，舍去．所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.6．(2024·河北唐山调研)已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满意|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则eq\r(（x＋3）2＋y2)＝2