《微波电路基础》课件第3章

第3章波导传输线3.1波导的分析方法与普遍特性3.2矩形波导3.3圆波导

3.1波导的分析方法与普遍特性

本节讨论波导中电磁场的求解方法与波导中电磁波传播的普遍特性。

3.1.1波导的分析方法

波导理论的核心是研究波导内部空间的电磁场分布规律。其实质是求解波导内部空间区域的麦克斯韦方程组的波导内壁边界值问题。当波导中存在电磁波时，内部空间每一点的电场和磁场都是位置和时间的矢量函数。首先要建立合理的坐标系以确定位置，同时使坐标系的坐标等值面与波导内壁重合。这样方程结合边界条件容易求解。波导坐标系的特点是z轴与波导轴线的方向一致，与z轴垂直的横坐标则与波导的截面形状有关，矩形波导与脊波导用直角坐标系，圆波导用圆柱坐标系，椭圆波导用椭圆坐标系等。这里只研究矩形波导和圆波导。将坐标系标记为(u，v，z)。时间变化规律只限于讨论正、余弦变化规律，即时谐场，复数时谐因子为ejωt。电磁场的瞬时值为

复振幅E和H是矢量，各有三个坐标分量：

称Eu+Ev=Et为横向电场分量,Ez为纵向电场分量。磁场也是如此。为了分析方便，我们首先假定：

(1)波导内壁是理想导电的。边界条件为n×E|c=0。

(2)波导内部介质各向同性、线性、无耗。μ和ε为常数。

(3)暂不考虑激励与耦合问题，空间内无源，即ρ=J=0。其中，ρ为电荷密度，J为电流密度。考虑以上条件的麦克斯韦方程组为对两旋度表示式再进行取旋度运算，代入散度关系可导出波动方程为

波导中的电磁波只能在z方向上传播，所以电磁场z坐标关系因子应为e±γz，故有所以波动方程在波导中转化成如下的亥姆霍茨方程：

这是一个矢量微分方程。数学上直接求解矢量微分方程有困难。但矢量的直线坐标分量的微分方程与矢量微分方程是相同的。在波导中，坐标z为直线，故有式(3-1-7)是波导电磁场的定解问题，可以完全确定Ez和Hz。为了求出其他电磁场分量，可利用旋度关系：

即和

即式中，h1、h2为拉梅系数。将Ez、Hz代入上式可解出：由式(3-1-8)可知，Ez和Hz只要有一个不为零，便可独立支持其余四个横向场，它们是两组相互独立的解。对Ez=0、Hz≠0决定的一组解，称为TE模；对Hz＝0、Ez≠0决定的一组解，称为TM模。求出了波导中的所有电磁场分量后，波导传输特性的相关信息就都包含在其中了。3.1.2波导的普遍特性

由波导中电磁场的求解过程可得出以下几点普遍特性。

(1)波导中只能传输TE波和ＴM波，不能传输TEM波。因为TEM波要求Ez=Hz=0。这样一来，其他横向电磁场分量也无法存在，波导中就没有电磁波传播了。这是因为波导是个空心的金属管子，由麦氏方程组的旋度关系可知，横向场的存在必须靠纵向的旋转源来维持，空心管子中无纵向电流，纵向的交变电场(TM波)或交变磁场(TE波)是唯一可能的旋转源。

(2)波导的传播条件。要求电磁波在z方向传播，在理想导电和媒质无耗的假定前提下，必有γ=±jβ。由式(3-1-6(b))的关系有：

式中，kc是一个由边界条件决定的实常数，β为实数的条件是k>kc。临界关系为所以传播条件为

即其中：

是可传播的频率下限，称为截止频率，对应的传输波长上限称为截止波长λc：不满足传输条件(f<fc或λ>λc)时：

电磁波在传播方向按e－αz规律衰减，α越大，衰减越快。波导中填充介质时，不改变λc，只降低fc，因为

频率更低的波容易满足传输式(3-1-10)。

(3)波的传播速度。定义等相位面的推进速度为相速vp:

式中，c为真空中的光速，c=3×108m/s。

对于传输波，λ<λc，vp>对于不传输波，vp→∞。

信号或能量中心沿轴线z方向的推进速度为群速vg：

对于传输波，vg<对于不传输波，vg=0，且有因电磁波在波导中的传播是以在内导体壁来回反射的方式行进的(见图3-1-1)，故当电磁波以光速由A走到B时，对应的等相位面在z方向由A′走到B′，A′B′=

vp大于光速，同时能量中心在z方向只前进到B″点处，AB″=

ABcosθ且小于光速。相速和群速都随频率变化，所以波导波是色散波(见图3-1-2)。图3-1-1相速、群速与光速的关系图3-1-2相速、群速与频率的关系

(4)波导中的波长。在波的传播方向上，相位差为2π的两点之间的距离为波长。波导波长满足βλg=2π，即

式中，为波导媒质中的波长；是截止波长；对于传输波，λg>λ，且靠近λc时λg迅速增加。

(5)波阻抗。波阻抗的定义为横向电场与横向磁场之比。在波导中：由式(3-1-18)的关系得，对传输波，ZT是个纯电阻：

其中，是波导介质波阻抗，对于不能传输的截止波，ZT是一个纯电抗:

式中，是TE和TM波分别对应的等效电感和等效电容值。

(6)波导中的坡印亭矢量和传输功率。由于传输波的波阻抗为实数，Et和Ht同相，因此平均坡印亭矢量和传输功率分别为式中，积分限为波导横截面。该式说明，波导传输功率可由横向电场或磁场直接算出。

非传输波的Et和Ht有90°相位差，无功率传输。

(7)由边界条件n×Hs=Js可知，波中壁上必存在伴随电磁波传播的电流波。思考练习题

1.总结波导问题分析方法的思路与步骤。

2.为什么波导不能传输TEM波？

3.波导传输电磁波的条件是什么？不满足传输条件时又如何？

4.什么是相速？什么是群速？解释为什么相速大于光速，群速小于光速。

5.波导波长表示式中λg、λ、λc分别是什么意思？

6.传输波和截止波的波阻抗有什么差别？3.2矩形波导

矩形波导的横截面为矩形，内壁理想导电，内壁尺寸为a×b且a>b(见图3-2-1)。矩形波导是适用于整个厘米波波段直至毫米波低频段传输大功率的最佳微波传输线，也是应用最广泛、最重要、最具代表性的典型微波传输线。熟悉矩形波导理论特别是掌握TE10模的有关知识是微波工作者的基本功。图3-2-1矩形波导3.2.1矩形波导中的电磁场

直角坐标系中，Ez和Hz的亥姆霍茨方程及边界条件为由于Ez和Hz的方程形式相同，因此统一用u表示。用分离变量法，设

代入式(3-2-1)有

用XY除各项得：x、y的取值范围为0≤x≤a，0≤y≤b。要使上式恒成立，必有

和且

由此可得，两个分别只与x、y有关的相同方程为该方程的解是三角函数，可以写为Aejkx+Be－jkx、

Acoskx+Bsinkx和Acos(kx+φx)等几种形式，我们取

X=Acos(kxx+φx)，Y=Bcos(kyy+φy)。Ez和Hz的通解为对TM模，Ez对四个边界都是切向场：

m和n均为整数。Ez的特解表示式为TM模的其他电磁场分量可由式(3-1-8)一一求出。对传输在+z方向的波，γ=jβ，(u，v)=(x，y)，h1=h2=1，可得:

对TE模，应先用式(3-1-8)由Hz分别求出Ex、Ey为边界条件为

TE模的五个电磁场分量特解为

TE模和TM模的kc均为

TE模和TM模是麦克斯韦方程组的两组相互独立的解，既可以单独存在，又可以组合存在，因为它们都满足波导内壁的边界条件。由式(3-2-6)和式(3-2-7)，对矩形波导中的电磁波可以得出以下几点结论：

(1)矩形波导中，电磁波在z方向以因子e±jβz的规律传输，而在横截面内只有振幅大小变化，呈驻波分布，在x方向和y方向场分量振幅只按、及

、的规律波动。

(2)矩形波导中的常数。只能取由边界条件决定的m和n为正整数的一系列分立实常数，且对于TE模和TM模表示式相同。

(3)一个确定的m、n组合决定一种特定的电场、磁场横截面分布规律。m表示场在x方向0~a范围内的驻波个数，n表示场在y方向0~b范围内的驻波个数，同时还决定与该场分布对应的kc值，也就是特定的截止波长和传播速度。通常称这种有特定的场分布、λc值和vp(vg)特定值的电磁波为一个矩形波导模式。在矩形波导中可能有TEmn和TMmn任意多个模式，但无TE00、TMm0、TM0n和TM00这四种模式，因为在这四种情况下，波导中Ez=Hz=0或常数，其他场分量都为零。

(4)TEmn和TMmn模式的同一电磁场分量(如Ex)在x和y方向的分布规律是相同的，因为它们必须满足相同的边界条件。

(5)同一模式的相互垂直的横向电场和磁场分量(即Ex和Hy、Ey和Hx)成对满足：

①同相位、同分布规律；

②幅度大小之比等于波阻抗，对TE模为，对TM模为；

③和z方向成右手螺旋关系，即Ex和Hy同号，Ey和Hx异号。

(6)同一模式的横向场分量和纵向场分量，在同一位置、同一时刻总存在由j决定的的相位差。

(7)同一模式的平均坡印亭矢量和传输功率分别为

由三角函数的正交性可知，对不同模式的横向分量，由式(3-2-10)计算的P=0(即各模式)即使都满足传输条件也互不耦合，此特性为模式正交性。又因只有模式场满足边界条件，故存在于矩形波导中的其他可能电磁状态必能用模式组合来表示，此特性为完备性。3.2.2矩形波导中的电磁场结构

式(3-2-6)和式(3-2-7)两组电磁场的分布结构特点可归纳为四种类型，即TEm0、TE0n、TEmn和TMmn。其基本结构单元为TE10、TE01、TE11、TM11。它们的横截面电磁力线分布如图3-2-2所示。图中，实线为电力线，虚线为磁力线。其他的场结构是这四种基本单元结构在x方向(0~a)和y方向(0~b)范围内的周期重复。图3-2-2矩形波导的四种基本场型3.2.3矩形波导的传输特性

波导中可能传输的模式有无限多个。在特定频率下，哪些模式可以传输要看是否满足传输条件，还要看激励装置能否激励出其电磁场。当频率由低向高变化时，首先是截止频率最低(截止波长最长)的模式最先满足传输条件。在第二个模式满足传输条件以前，第一个模式在波导中单独存在，称为波导处于单模传输状态，通常把截止频率最低的模式称为波导的主模，把除主模外的其他模式称为高次模。波导一般工作于主模。在矩形波导中：

根据式(3-2-11)可将截止波长由大到小的前几个模式排列为表3-2-1(设a>2b)。

TEmn和TMmn中若m和n分别相等，则kc相同，截止波长也相同，称为模式简并。矩形波导的主模为TE10，是常用的工作模式，下面进行重点讨论。3.2.4矩形波导中的TE10模

TE10模是主模，λc＝２a，单模波长范围为

其电磁场表示式为如令E0=H0为波导宽边中心x=处的最大电场强度，则式(3-2-13)可改写成下列最常用的形式:

(3-2-14)

与式(3-2-14)对应的电磁场结构如图3-2-3所示。图3-2-3TE10模的电磁场

TE10模的传输功率为

当介质为空气时，η=120π，则行波状态的功率容量为

式中，Ebr为空气击穿电场的强度(30kV/cm)。实际上通常取

。有反射时，波腹点的最大电场强度应小于Ebr，Pbr下降。矩形波导内壁的壁电流可由导体表面边界条件Js=n×Htm求出:

图3-2-4为与式(3-2-17)相对应的壁电流示意图。波导壁的电流波与内部空间电磁波是不可分割的统一体。它们一起在长度方向上同步传播。它们之间满足电流安培定律。图3-2-4矩形波导内壁电流分布波导壁的导体损耗可用微扰法计算，即在理想导体条件下导出的磁场及壁电流，再考虑实际损耗的表面电阻Rs。由于Rs的存在，Y=α+jβ使电场和磁场在传播的同时又以e－αz的规律衰减，于是传输功率为

(3-2-18)

对式(3-2-18)求导可得所以有

(3-2-19)

式中，为单位长度的功率损耗。可由壁电流和Rs计算:积分限为四壁上单位长度的面积。对于TE10模，代入式(3-2-17)后可计算出

(3-2-20)

如果波导内填充有耗介质，则介质的损耗为

(3-2-21)

总损耗为

(3-2-22)3.2.5矩形波导的尺寸

为了保证只传输TE10模，应满足

的单模条件，还应有较大的功率容量和单模带宽。这一条件要求2b≈a，实际的标准化波导基本满足这一条件，选择波导尺寸时，应使。思考练习题

1.矩形波导的kc值如何确定？哪些模式之间相互简并？

2.矩形波导截止波长是什么？前五个截止波长最长的模式的名称和截止波长各为多少?

3.已知矩形波导尺寸为72mm×34mm，计算主模的单模范围。如果f0=3GHz,计算λg、vp、vg和ZT、Pbr，如果f=6GHz,则可能传播哪些模式？

3.3圆波导

圆波导就是圆柱形的空心金属管，其内壁导电良好，空心金属管内半径r=a。

3.3.1圆波导中的电磁场

分析圆波导可采用圆柱坐标系(r，φ，z)，如图3-3-1所示。图3-3-1圆波导

Ez和Hz的亥姆霍茨方程为

求通解时，用分离变量法，令代入式(3-3-1)得

各项同乘以后变成：

令，亥姆霍茨方程分离成式(3-3-2(b))的解为三角函数。考虑到坐标φ起点的随意性，其解标记为。电磁场的稳定解必是单值唯一的，φ变化2π角度应重复，所以m必须是整数，即

m=0，1，2，3，…

(3-3-3)

式(3-3-2(a))是标准贝塞尔方程，它的解为贝塞尔函数，可表示为

R(r)=AJm(kcr)+BNm(kcr)

(3-3-4)

Jm(kcr)和Nm(kcr)分别为第一、第二类m阶贝塞尔函数。m=0，1，2的Jm和Nm示意图如图3-3-2所示。图3-3-2Jm、Nm(m=0，1，2)函数示意图函数Nm(kcr)在r→0时都为无限大，作为电磁场是不可能的，所以应取B=0。单值、有限这两个条件也称为圆波导电磁场的自然条件。圆波导中Ez、Hz的通解可表示为

(3-3-5)

Ez为TM模的边界(r=a)处的切向电场，必有Ez|r=0=0。由图

(3-3-2)可知，应有kca=umn，故

(3-3-6)

umn为贝塞尔函数与横坐标轴的交点，称为贝塞尔函数的根。m为贝塞尔函数的阶数，n表示根的序号(由小到大排列)。

TE模的Ez=0、r=a的边界上的切向电场为Eφ:

(3-3-7)

由Eφ|r=a=0的边界条件有kca=umn′，即

(3-3-8)

umn′为m阶贝塞尔函数导数的第n个根。其他电磁场分量可由旋度关系导出的式(3-1-8)求出，这时u=r，v=φ，h1=1，h2=r，r=－jβ。TE模的五个电磁场分量为TM模式有：可以看出，由Hz支持的TE模和由Ez支持的TM模的解是相互独立的，它们之中每一个mn组合所决定的特解既可独立存在，也可和其他解共同存在，因为它们都满足麦克斯韦方程组和边界条件。由上面两组表示式，对圆波导中的电磁波也可得出以下几点结论：

(1)圆波导中电磁波在z方向以因子e±jβz的规律传输，而在横截面内只有振幅大小变化，呈驻波分布，在半径r方向以贝塞尔函数或其导数规律波动，在圆周φ方向以三角函数

的规律周期波动。

(2)常数或只能取一系列由边界条件所决定的分立的实常数值，而由于一般umn≠umn′，所以TE模和TM模的kc不相等，只有TE0n和TM1n例外，因J0n′=－J1n，故有u01′=u11。

(3)一个特定的mn组合规定一种特殊电磁状态，定义一个圆波导模式。圆波导可能有TEmn和TMmn无限个模式。m=0，1，2，…，是圆波导场分量在φ方向2π角度范围幅度变化的周期数，也是贝塞尔函数的阶数。m=0表示场圆对称分布。n=1，2，3，…，是贝塞尔函数或其导数的根从小到大的排列编号，也表示场从圆心到边界在半径r方向0→a范围经历的零点个数(中心零点不计)，其最小值为1。圆波导中无TEm0和TMm0模。

(4)TEmn和TMmn模中的同一电磁场分量横向分布规律相同，它们是由同一边界条件决定的。

(5)相互垂直的同一模式中，横向电场和磁场分量(即Er和Hφ，Hr和Eφ)成对地满足:①同相位、同分布；②幅度之比等于波阻抗，即；③传播方向z满足右手螺旋关系，即对+z方向，Er和Hφ同号，Eφ和Hr异号。

(6)同一模式的横向场分量和纵向场分量在同一位置、同一时刻总存在由j决定的的相位差。

(7)圆波导中传输模的平均坡印亭矢量和传输功率分别为

由于贝塞尔方程和三角函数方程都属斯特姆-刘维尔类型方程，该类方程的解都具有正交性和完备性，所以圆波导的TEmn和TMmn模式都属本征模，具有完备性和正交性。

(8)圆波导的壁电流可由边界条件Js=n×Ht决定，其中

n=－ar，Ht为Hz|a和Hφ|a。3.3.2圆波导的传输特性

定义：

(3-3-13)

圆波导模式如下：

(3-3-14)截止波长的表示式为

(3-3-15)

由贝塞尔函数表可查得：

把相应模式与μmn的前几个值和截止波长排列为表3-3-1。所以圆波导的主模为TE11。单模波长范围为2.62a<λ<3.41a。圆波导中一般TEmn和TMmn不会简并。由于贝塞尔函数J0′=－J1，因此只有TE0n和TM1n在n相等时总是简并的。另外，圆波导中除了m=0的圆对称模式外，其他所有模的电场矢量在横截面的取向可以随意。把取向不同但场分布、λc值和vp都相同的模式称为极化简并模。所以圆波导中普遍存在极化简并现象(m=0模除外)。3.3.3圆波导的三种常用模式

圆波导主要不是用来传输能量，而是应用在许多特殊的微波元件和谐振器中。最常用的模式有TE11、TM01和TE01。

1.TE11模

TE11模是圆波导的主模式，截止波长为

(3-3-16)

单模范围为

2.62a<λ<3.41a