内蒙古赤峰市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷

z1i（其中i为虚数单位z（A．

C． ． A0,123Bxx20AB（

x

D．xx2或x

．

D．fx是定义域为ππ的偶函数，且满足当0xπfxtanxyfx122 点个数为（ ABCD，则“ABCD是平行四边形”是ABDC”的（充要条 B．必要不充分条C．充分不必要条 D．既不充分也不必要条fxlogx21的单调递增区间为（

C．0,

D．1,两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是（两个角均为锐 B．一个角为0∘，一个角为C．两个角均为 D．两个角均为fxlnabb01个单位后关于原点对称，则ab（ x B． C．

D．已知aln3bln2，下列说法正确的是（ln6a

ln4

log2

log12a 在aABCABC的对边分别为abc，下列说法正确的是（若a2b2c2ab，则C若a

2b3A30，则满足条件的aABC若a3cosA1，则aABC周长的最大值为3若ab，则cosAAD．下列命题正确的是（DM//AMDC的体积为ADMABC4ABC−ABC外接球的表面积为1611 已知半径为1的扇形面积为2，则扇形圆心角的弧度数 在平面直角坐标系中，已知向量b12→b1，则向量a在向量b “无字证明”(proofswithoutwords),就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请 在aABCABC的对边分别为abc若a3b5c7，求角C及aABCaABC的面积S

（p1abcpppapbp

x02πfx 3 6 如图，在三棱锥PABC中，PO底面ABC，垂足为O，且OC2OD，ACBC ，D为CD3ABPC若OP2PCPABABCD的边长为2EFABBCAEBFAFDE相M．(1)EABDEAB(2)（ⅰ）求证：在运动过程中，恒有AMD90（ⅱ）DMDC对于任意两个实数uv(uv，记区间uvyexxuxvx轴围成的曲边梯形EuvEuu0EuvEvuE0xex1．对任意实数u和h，且h0heuEuuhheuh（注：可借助图形辅助证明（ⅱ）设m0，记SaEaamEama，是否存在实数a0，使得Sa0Sa0恒成立？若存在，求出a0的所有值；若不存在，请说明理由．z1i

x20，得(x2)(x10x1x2x

BDBAADAB

AC yfx1fxy1 当πx00xπfxf(xtan(xtanx 2yfx1AB//DC,ABDCABDC；ABDCAB//DCABDCABCD是平行四边形所以“ABCD是平行四边形”是ABDC”的充要条件设t(xx21x(∞11∞，ylog2t在t0∞为增函数，fxlogx21的单调递增区间为1.AAB，可能一个角为0，一个角为90B不正确；C，可能两个角均为0∘C不正确；个角不可能均为90D正确.fxlnabb01 xgx

b axa lnax1 x gxgx，即lnaxablnaxabx x所以axabxa2

，即1x2a2b22aba2x2所以a2b22ab1ab

a（因为b0，舍去，或b

ab

a（因为b0，舍去，或 b所以ab2【详解】abln2ln3ln6，选项A2b2ln2ln4，选项Baln3log3，选项C a2bln3ln4ln12log12，选项D正确

a2b2

【详解】A选项，由余弦定理得cosC 因为C0,180，所以C60，A

Ba

2b3A30，则bsinA3，故absinA则满足条件的aABC不存在，BCa3cosA1，由余弦定理得b2c2a22bccosA故b2c29bc，所以bc29bcbb由基本不等式得bc ，当且仅当bc时，等号成立bb故bc29 ，解得bc2

，故abc

3所以aABC周长的最大值为323，CD选项，因为abABA0πB0πycosxx0π上单调递减，所以cosAcosB，D正确.ACNA1CDNDBCDNABDN1ABMABAMABAM1AB1 A1MDNA1MDNA1MDN为平行四边形，DMA1NDM⊄AA1C1CA1NAA1C1C，DMAA1C1CAAA1ABCAMDCAA1所以

11

AA11

AA1122sin602

3B M

32V

6

V

6 ABEEEFADFMF，MA1B1A1MAEA1MAE，A1MEA为平行四边形，所以MEA1A，AA1ABC，所以MEABC，ADABC，所以MEADEFADFEFAD平面MEFAD平面MEF，又因为MF平面MEFADMF，所以MFEADMABC所成二面角的平面角，DBCADBCEFBD，222212ME2ME2EF

BD

BC，又ME2，所以MF

sinMFEME

4在RtaMEF

17ADMABC417CAO1

12在正三角形ABC中，由正弦定理可 2sin

3113 OO2OOO2O

ABC−ABC外接球的表面积为4πOA228πD错误11 13．1,2 5 ab a

2→ 【详解】a在b方向上的投影为a →→ b 2bb,→ 1222 14．

15．(1)C120aABC的面积为15(2)S 1a2b2sin2C1a2b21cos2C△ 12

a2b2c22

2ab2a2b2c2ab1 1a2b2

12aba2b2c22aba2b2c2 1c2ab2ab2 1bcaacbabcabppappapbp（1）由余弦定理可得cosCabc92549

23 因为角C为三角形内角，则C0π，则C120aABC的面积S1absinC135sin120153 （2）略16．(1)fxcos1xπ，2kπ4π,0,k 6 1，最小值（1）ycos1xπfxcos1xπ2 3 6 设t1xπycost的对称中心为kππ0kZ 1xπkππx2kπ4π fx的对称中心为2kπ4π0kZ x02π时，则t1xπππ 3

66ycost为偶函数，且在t0π 6所以当t1xπ0，即xπ时，fx有最大值f

当t1xππ或π，即x0或2π时，fx有最小值f 3

fαcos1απ11απm，则α2mπ且cosm1 可得sinαπsin2mππsin2mπcos2m 6 6 2 所以sin

π 1cos2m2cos2m126 4

1717．(1)mPOABCABABC，POmACBC，DAB中点，CD又mCDPOCPOPOCCDPOO，ABmPCPOC，AB(2)3（1）（2）PD，mABPOCABPAB，∴PAB过C作CMPDM为垂足∵PABPOCPDCMPOC，CMPABCPD为CPPAB所成角mOC2OD，CD3，OC2，OD1mPOABCCDABC，POCDPO2PCPO2PO2PO2

1POCD1PDPCsinCPD sinCPDPOCD

2

310552即CPPAB310PD，过C作CMPDmABPOCCMPOC，ABCM又mCMPDPDPABABPABABPDDCMPABCPD为CPPABmOC2OD，CD3，OC2，OD1mPOABCCDABC，POCDPO2PCPO2PO2PDPO2PD2PC2 58252由余弦定理，cos2522PD mCPD0,π 2sinCPD

31011即CPPAB310(2)（ⅰ）AABxADy轴，建立如图所示的平面直角坐标系，AExA00F2xD02Ex0，DEAF2x2x0，DEAF，故恒有AMD90（ⅱ）DMDC

（1）AABxADy轴，建立如图所示的平面直角坐标系，AE1A00B20D(02)E10，DEAB21202（2（ⅰ）AExA00F2,xD02Ex0DEAF2x2x0，DEAF，故恒有AMD90（ⅱ）由（ⅰ）知AMD90MADABCDDMDC上的投影向量为aDMDCaDC MaDCamax

DC

故DMDC

a

219．(1)ABh，ADBEeu，AFBCheu

矩形

S曲边梯形

Eu,u

S矩形

heuheuEu,uh(2)alne(3)（ⅰ）①若tu，则0utvtEut,vtE0,vtE0,utevt1eut1eteveuetEu,②若vtu，则ut0vteut1evt1eteveuetEu,③若tv，则utvt0eut1evt1eteveuetEu,（ⅱ）a