高考语文数学英语政治历史地理文综试卷课件复习资料听课答案(二)

例3［思路点拨］(1)先求32A,再将求值式化为关于必〃A的表达式；(2)由正弦定理求

出b,再由已知求出s山C,最后利用三角形面积公式求解.

解：(1)由切i(/+A)=2,得必〃A=1,

咐、jsin2AA2

sin2A+C?6>52A2tanA+15'

(2)由tcmA=g,AG(O,乃)，得

.A回35

sinA—|Q,cosA—|Q.

又由a=3,B=(及正弦定理就^=/有，得b=3小.

*Toiiir\olflO

由sinC=s,山(A+B)=si"(A+令，得sinC=-^-.

设4ABC的面积为S,则S=|ab.v/nC=9.

变式题解：(1)在AABC中，由余弦定理得

b2=c2+a2-2cacos/ABC=32+(3物2—2X3X3^X乎=18,则b=3^1

又/ABCC(0,%)，所以s加CABC=41—COS2/ABC=¥.

由止弦定理s’”/ACB=si”NABC'

gymZABC

得si”NACB=五

b4,

(2)以BA,BC为邻边作如图所示的平行四边形ABCE,则

cosNBCE=一cosNABC=一乎,BE=2BD=6.

在ABCE中，由余弦定理，得BE2=CB2+CE2-2CB-CECOSNBCE,

所以CE=3,即c=AB=3,

学科能力

跟踪练习警［解析］设E为BC的中点，连接DE,则DE〃AB,且DE=J\B=半.

设BE=x,

在4BDE中，由余弦定理可得

BD2=BE2+ED2-2BE-EDCWZBED,

即5=x?+g+2义斗乎x,解得x=l(舍去x=一

所以BC=2,从而AC2=AB2+BC2-2ABBCcoiZABC=y,

__2®

ar,.r2^21.V30_____3_徂.A®

即AC—3,乂s"?/ABC—$,所以“〃A—,彳寸s"?A—必.

6

【教师备用例题】

【备选理由】例1是三角函数图像与解三角形的综合问题；例2是三角变换与解三角形

的综合问题，都有一定的难度.通过练习可以提高学生分析问题和解决问题的能力.

例1【配例1使用】已知函数f(x)=Asi/尊+(p),x£R,A>0,0<^<^,y=/(x)的

部分图像如图所示，P,。分别为该图像的最高点和最低点，点户的坐标为(1,A).

(1)求/U)的最小正周期及(p的值；

(2)若点H的坐标为(1,0),NPRQ=亨，求A的值.

因为P(l,A)在/U)=Asin&+9)的图像上，所以§由专+8)=1.又因为0V。〈壬所以g

7T

6,

(2)设点Q的坐标为(刈，—A).

由题意可知枭+]=竽,得必=4,所以。(4,—A).

27r

连接PQ,在△PR。中，ZPRQ=~,由余弦定理得

RP2+R^-PQ1A2+9+A2-(9+4A2)

cos/PRQ=_ZRP.RQ-=247+；2解得屈=3.

又A>0,所以A=5.

例2【配例3使用】在AABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，且3cosAc”

C(tanAtariC_1)=1.

⑴求s加(2B一周的值;

(2)若a+c=半，b=小，求AABC的面积.

角翠：(1)由3cosAcosC(相〃C—1)=1,得

(sinAs加C

3cosAcosC1cosAcosC

3(si〃AsinC-cosAcosC)=1,

...CQS(A+C)=­

cosB=y又0<B<〃,

2y[2

/.sinB=

3'

4y[27

•'•sin2B=2sinBcosB=cos2B=1—2sin2B=一§,

9'

17~~4加

X2=18-

a2+c2-b2_1

(2)由余弦定理得cosB=-2ac-=3;

.(a+c)2—2ac—b：1

2ac=1

又a+c=^^,b=小,；.ac=碧,

••SAABC=］acsi"B=~.

第22讲正弦定理和余弦定理的应用

【教学参考】

［考情分析］

正弦定理和余弦定理的应用也是高考的重要考点.主要考点及考查方向如下表:

考点考查方向考例考查热度

测量距离问题求距离

测量高度问题求高度2014.新课标全国卷I16

测量角度问题求角度

【真题再现】

--------［2015—2011］课标全国真题在线

［2014•新课标全国卷I］如图，为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观

测点.从A点测得M点的仰角/MAN=60。，C点的仰角/CAB=45。，以及NMAC=75。，

150［解析］在R/Z\ABC中，BC=100,NCAB=45°,所以AC=10即.在△MAC中，

AMAC

ZMAC=75°,ZMCA=60°,所以NAMC=45。，由正弦定理有./"厂人:.即

5znZMCA5znZAMC

q加60°

AM=；山45**100媳=10即，于是在Rr^AMN中，有MN=s•加60°X10即=150.

--------2015年其他省份类似高考真题

［2015•湖北卷］如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北

侧一山顶D在西偏北30。的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75。的方

向上，仰角为30。，则此山的高度CD=m.

10(A/6［解析］依题意，在4ABC中，AB=600,NBAC=30。，ZACB=75°-30°=45°,

由正弦定理得s/；AC=sJ：CB，即肃1=7需，所以BC=30SR在aBCD中，

NCBD=30°,CD=BCtonZCBD=30()V2z«n30°=100>/6.

【课前双基巩固】

知识聚焦

1.水平线上方下方

2.正北方向

3.水平角

4.水平面水平长度

正本清源

L5也［解析］易知/ACB=6。。，由正弦定理黑=黑，得羔=焉，得BC

=5^2.

2.亨拉［解析］由面积公式得S=gAB-ACs加A=*\R.

3.1077m［解析］由余弦定理知

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cavZABC=102+202-2X10X20Xco.v120°=700,所以AC

=1()V7.

4.(1)130°(2)北偏西15°［解析］(1)由已知NBAD=60。，ZCAD=70°,AZBAC=

60°+70°=130°.

(2)如图所示，ZACB=90°,又AC=BC,，NCBA=45。,

而。=30°,；.01=90°—45°—30°=15°,

.,.点A在点B的北偏西15°.

5.60°［解析］由题知2bcosB=acosC+ccosA,根据正弦定理可得2sinBcosB=sin

AcosC+cosAsinC,即2si"BcosB=si〃(A+C)=si〃B,解得cosB=；.,所以B=60°.

6幺要m［解析］如图所示，设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则NABO

=45°,NAOB=75°,.../OAB=60°.由正弦定理知，.，.A0=^^m.

triJ34〃VIVzJ

【课堂考点探究】

典例探究

例1［思路点拨I(1)设AB的高度为h,根据OB-BE=OE,利用直角三角形建立等量

关系，可求得h的值：(2)利用余弦定理求解.

解：(1)设AB的高度为h/n,

在4CAB中，因为/ACB=45。，所以CB=h.

在△OAB中，因为/AOB=30。，ZAEB=60°,所以OB=，5h,EB=^"h.

由题意，得小h—坐'h=1(中,解得h=15.故AB的高度为15"

222

“A»OC+OB-BC300+225X3-2255A

(2)在AOBC中，一/COB=2OC而=2X1点XT^个所以在△℃£

中，CE2=OC2+OE2-2OC-OEco^ZCOE=300+300-600x1=100,所以CE=10,

故CE的长为10m.

变式题解：在4ACD中，NACD=120。，/CAD=/ADC=30。,

AC=CD=^/3km.

在4BCD中，NBCD=45°,/BDC=75°,ZCBD=60°.

.R一季si"75°乖+巾

(km).

sin60°—2

在aABC中，由余弦定理，得

人82=（小）2+产4班）-2X小乂出自也义COS75。=3+2+小一小=5,所以AB=^

km,.".A,B之间的距离为小km.

例2［思路点拨］在4BCD中，用正弦定理求出BD.如图，AEJ_CD时，仰角最大，在

RfZ\BED中求出BE的值，在Rf/XABE中求出AB的值.

解：如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD=40,

此时/DBF=45。，过点B作BE1.CD于E,则NAEB=30。，

在4BCD中，CD=40,/BCD=30°,NDBC=135°,

上十力4e/日CDBD

由正弦定理，得二一/八口3——~/口.n，

所以BD=：*；黑=2丽(机).

因为/8口£=180°—135°—30°=15°,

所以在Rfz^BED中，

--\/2

BE=DBs而15。=20^2X丫4丫=10(小-l)(w).

在RfaABE中，NAEB=30。，

所以AB=BE/an30。=?(3—小)0).

故所求的塔高为学（3一小）机.

变式题解：如图，设电视塔AB的高为x〃2,

则在Rt/\ABC中，由/ACB=45。得

BC=x.

A0

B，D

C

在用Z\ADB中，ZADB=30°,

则BD=45X.

在aBDC中，由余弦定理得

BD2=BC2+CD2-2BC-CD-cos120°,

B|J（V3X）2=X2+402-2-X-40-CO5120°,

解得x=40（舍去负值），所以电视塔高为40"?.

例3[思路点拨]利用余弦定理解AABC,得出BC,再用正弦定理解ABCD,得出所

求角NBCD.

解：设缉私船用t/?在D处追上走私船，则有CD=lMt,BD=10t.在AABC中，因为

AB=小-1,AC=2,/BAC=120。，所以由余弦定理，得

BC2=AB2+AC2-2ABACCO5ZBAC=（V3-1）2+22-2X（V3-1）X2XCO5120°=6,

所以BC=%，所以6加NABC=^-6加NBAC=^X^=乎，所以/ABC=45。，所以

BC与正北方向垂直.因为/CBD=90o+3（T=120。，在4BCD中，由正弦定理，得si"/BCD

BD..™ZCBD=10lsnH.20=1所以4CD=30。，

即缉私船沿东偏北30。方向最快追上走私船.

变式题解：设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC=14x,BC=

10x,/ABC=120°.

根据余弦定理得(14X)2=122+(10X)2-240XC“S120°,解得x=2(舍去负值),

故AC=28,BC=20.

gg-r-rA-PHBCAC50,20$加120°5s

根据正弦7E理得诉=赤而/解得s，〃a=-28—=14-

所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角a的正弦值为智.

学科能力

跟踪练习解：设ADEF的边长为x,显然NC=90。，NB=60。，故EC=x・cosa.因为

ZDEC=ZDEF+a=ZEDB+ZB,所以NEDB=a.在4BDE中，由正弦定理得而而=

BE

sina*

所以BE=2乎xsina.因为BE+EC=BC,所以xcosa+^\[3-xsina=l,

所以x_°sa+l^sinJ小,3a+2sina一

厂（2.J亚一1=市5/*+中）（其中「〃中=明’

[7序si"a+吊。sa）

当a+e=+即（!=，一＜p时，x,"i"=*L此时siaa=cos「=邛1.

【教师备用例题】

【备选理由】例1是距离问题，例2是角度问题，且两题都有一定的难度，通过练习能

提高学生综合应用正（余）弦定理解决实际问题的能力.

例1【配例1使用】某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100%的32楼阳

台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15。方向上，且俯

角为30。的C处，10s后测得该客车位于楼房北偏西75。方向上，且俯角为45。的D处(假设

客车匀速行驶).

(1)如果此高速路段限速80km/h,试问该客车是否超速？

(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？

A

解：(1)在册AABC中，/BAC=60°,AB=100w,则BC=10()V§m.

在Rf^ABD中，ZBAD=45°,AB=100根，则BD=IOO%.

在4BCD中，/DBC=75°+15°=90°,

则DC=叫BD2+Be?=200(〃?),

CD

所以客车的速度v=,=1200(m/""〃)=72(%"?//2),所以该客车没有超速.

60

(2)在放Z\BCD中，ZBCD=30°.

又因为NDBE=15。，所以NCBE=105。，所以NCEB=45。.

在4BCE中，

CD

由正弦定理可知诉心=诉，

所以EB=B*聚。=5所(㈤,

即此时客车距楼房5Oj6m.

例2【配例3使用】如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击

训练，已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确

瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角。的大小.若AB=15m,AC=25m,ZBCM

=30。，则tan0的最大值是(仰角0为直线AP与平面ABC所成角).

5s

［解析］如图，过点P作POJ_BC于点O,连接A0,则NPAO=0.

9

设CO=xin,则OP=¥xm.

在心△ABC中，AB=15m,AC=25

V3

3

所以Ee=dx-4()x+625=7］W+尊=

VX十X2

由

3

亚

当个=''即x=中时，取得最大值告=¥.第四单元平面向量、数系的扩充与

5

复数的引入

1.编写意图

本单元内容是高中数学中的工具性知识，出现在近几年高考卷中主要有两个方面：一是

平面向量本身知识的基础题，多以选择题、填空题的形式出现，难度不大；二是考查复数的

概念与运算，一般设在第1题，难度小.

因此，编写时主要立足于基本概念及运算，如用向量知识解决有关长度、夹角、垂直等

问题.复数概念、几何意义及复数运算等不再涉及过高或过难的问题.

2.教学建议

本单元的内容着重体现其应用性、工具性，复习时应注意下面几点：

(1)对向量的复习要分层次进行：一是向量的基础知识，包括向量的概念和线性运算，平

面向量的基本定理，平面向量的坐标运算和数量积等，这是基本要求；二是单元内的综合，

特别是平面向量的坐标表示，线性运算，基本定理以及数量积的应用，其中向量的数量积是

平面向量的核心内容，也是高考考查的热点：三是向量与其他知识的综合，即用向量来解决

向量与代数、向量与三角函数、向量与几何等综合问题.

(2)对于复数部分，新教材对复数的要求有所降低，复习时要重视基础.理解复数、相等

的复数、共规复数及复数的模等概念，掌握复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件，掌握复

数的四则运算，理解复数加减法的几何意义.同时注重复数的基本运算和技巧运用，以此提

高解题速度和准确度.

3.课时安排

本单元共4讲和一个45分钟三维滚动复习卷，一个突破高考解答题专项训练.第25讲

建议2课时完成，其余每讲建议1课时完成，45分钟三维滚动复习卷建议1课时完成，突破

高考解答题专项训练建议1课时完成，共需7课时.

第23讲平面向量的概念及其线性运算

【教学参考】

［考情分析］

平面向量的概念及其线性运算是向量的基础概念.主要考点及考查方向如下表：

考点考查方向考例考查热度

平面向量的基本概念平面向量的基本概念

206全国卷114,2015•全国

平面向量的线性运算平面向量的加减运算

卷12

向量共线定理及应用向量共线定理及应用

【真题再现】

--------［2015-2011］课标全国真题在线

1.［2015•全国卷I］已知点A(0,1),B(3,2),向量辰=(一4,一3),则向量证=()

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

A［解析|AB=(3,1),BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(一7,-4).

2.［2014•新课标全国卷I］设D,E,F分别为AABC的三边BC,CA,AB的中点，则

EB+FC=()

A.AD8.5AD

C.7BC£).BC

-A-»AAA-►1-►1-►-A

A［解析］EB+FC=EC+CB+FB+BC=］AC+］AB=AD.

--------2015年其他省份类似高考真题

［2015•四川卷］设向量。=(2,4)与向量6=(x,6)共线，则实数x=()

A.2B.3C.4D.6

B［解析］由向量a,b共线，得2X6—4x=0,解得x=3,选B.

【课前双基巩固】

知识聚焦

1.大小方向大小长度回通|0011相同

长度相同长度相反一a不确定的、任意的平行

2.和三角形平行四边形b+aa+S+c)相反向量三角形a+(-b)向量

数乘Xa\X\\a\相同相反

3.b=Xa

正本清源

\.AC［解析］原式=祐+局>+而+而+就=启.

2.^-a+yZ>+|c［解析］由2(x—/s+c—3x)+6=0,

41I

所以x—^a+^b+^c.

3.东南也［解析I易知a+5表示向东南方向走出km.

4*a+b)［解析］:赢+前=R,

■>-►-►-►1-►-►-►-►AA-►1-►-►I

AC+CM=AMf：.AM=^(AB+BM+AC+CM).又CM=-6M,.・.AM=2(A8+AO=2(a

+ft).

5.(1)平行四边形(2)梯形［解析］(1)俞=正表示AO〃BC且AZ)=8C,所以四边形

ABCQ是平行四边形.

(2)AD=kBC(k>0,KM)表示AD〃BC,但A。与BC不相等，所以四边形ABC。是梯形.

6.(1)共线向量或不共线向量(2)［1,3］|解析J(l)若b=0,则a与c未必是共线向量，

若〃是非零向量，则a与c是共线向量.在处理向量问题时不要忽略零向量.

(2)当a,8方向相同时，有|a+b|=3；当a,〃方向相反时，有|。+方|=1；当a,不共线

时，l<|a+b|<3.所以|a+b|的范围是［1,3］,注意在一般情况下，|a+句=|a|十|b|不成立.

7.(l)l-r(2)|(3)0［解析］(1)根据共线向量定理知，A,B,C三点共线的充要条件

是存在实数t使得证=后次，即又一6h=t(6X-6b),即氏=t6X+(i-t)6k

(2)由俞=丽+玩)，AD=AC+CD,得2Ab=(赢+京)+(近)+(56).

-►►-►1>-►

・・・BD+CD=0,・・・AD=g(AB+AC).

->?-*21-*f1-

(3)取BC的中点D,O为AABC重心的充要条件是AO=gAD=§><E(AB+AC)=］(AB+

AC)=1(6B-6A+6C-6A),整理即得6X+6h+G=o.

【课堂考点探究】

典例探究

例1［思路点拨|根据向量的相关概念判断.

②③［解析］①不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.

②正确，因为靠=庆，所以|赢|=|氏|且赢〃氏，又因为A,B,C,D是不共线的四

点，所以四边形ABCD为平行四边形.反之，若四边形ABCD为平行四边形，则油〃庆且

|AB|=|DC|,因此，箍=氏做"油=女”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件.

③正确，因为Q=b,所以a,b的长度相等且方向相同，又b=c,

所以"c的长度相等且方向相同，所以a,c的长度相等且方向相同，故。=，

④不正确，当a〃b且方向相反时，即使|a|=|Z>|,也不能得到a=b,故"|a|=|臼且a〃Z>"

不是“a=b”的充要条件，而是必要不充分条件.

综上所述，真命题的序号是②③.

变式题C［解析］①错误，两向量共线要看其方向而不是起点与终点.

②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，

故可以比较大小.

③错误，当a=0时，不论X,为何值，Xa=0.

④错误，当入=n=0时，Xa=7必，此时。与b可以是任意向量.

例2［思路点拨］(1)利用向量加法的三角形法则，相反向量以及几何图形求解.

(2)利用向量加法的三角形法则，共线向量、相反向量的概念求解.

(1)£>(2)|［解析］(1)如图所示，因为M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以M

是AC与BD的中点，即加入=一位，MB=-MD.

在△OAC中，6A+6c=(dM+MA)+(dM+MC)=2OM.

在AOBD中，6B+6b=(dM+MB)+(6M+MD)=26M,

即猫+九2=g.

变式题(1)|(2)—%+%»［解析］(1)E和尸分别是边8和8c的中点，所以有靠=£

-A-A-A1-A-►

(4O+AC),AF=^AB+AQt

相加得2念+2命=赢+万)+2启=3元，

所以4C=]AE+1AR即％="=1,所以2+〃=,

_A_»_aJ__a3

(2)由AN=3NC得AN=jAC=](a+Z>),

AM=a+^b,所以岩(a+b)_(a+，)=­：a+%.

例3［思路点拨］(1)利用共线向量定理证明；(2)利用共线向量定理得出关于k的方程,

解方程可得.

解：(1)证明：由已知得靛)=Cb-eh=(2ei-e2)-(ei+3e2)=ei—4e2.

因为矗=2ei—8e2，所以赢=2互5.

又有公共点8,所以A,B,。三点共线.

(2)由(1)可知丽=ei-4e?,且游'=36|一心2，

由B,D,尸三点共线得肝'=2好，

即3ei—ke2=^c\—4初2，

4=3

「「解得左=12.

{—%=-42,

变式题A［解析］因为荏=2ei+e2，CD=3e［-e2,

所以BD—CD—CB—(3e\—e2)—(2g+e2)=ei—Ze］.

若A,B,。三点共线，则鼐与访共线，即存在〃£R,使得赢="诟，即ei-猫2="(ei

—2%.

1="，

由约，氏是不共线的向量，得［解得2=2.

［―2=—2〃，

学科能力

跟踪练习⑴C(2)+1［解析J(l)因为铮=§己+投瓦所以及一无=w①一及及即

丽=|荡，所以|丽|=2|两.

(2)因为&r+b与Q+幼共线,则存在实数九使履+5=2(。+妨)，即伏一2)。=(2左一1)尻

又a,b是两不共线的非零向量，

所以/一2="—1=0,所以炉一1=0,所以％=±1.

【教学参考】

【备选理由】例1利用平面向量的线性运算求参数，意在加深考生对平面向量线性运算

的理解.例2是平面向量共线定理的应用，意在提高考生的应用能力.

例1【配例2使用】如图，在AABC中，在AC上取点N,使得AN=；AC,在AB上

取点M,使得AM=；AB,在BN的延长线上取点P,使得NP=33N,在CM的延长线上取

一点Q，使得而。=入日%，若Q=C，则入的值为.

I[解析]AP=NP-NA=1(BN-CN)=1(BN+NC)=1BC.

（^=MA—MQ=1BM—XCM=1BM+A.MC.

又AP=QA,所以^BM+入MC=：BC,所以九MC=£（BC—BM）=^MC,所以ag.

例2【配例3使用】如图，AABC中，0是BC中点，过点O的直线MN分别交直线

AB,AC于不同的两点M,N,若赢=mAM,AC=nAN,求m+n的值.

2|解析|连接AO.

因为M,O,N三点共线，所以设45=>由+（1—入）菽,

且嬴=mKl,AC=nAN,所以最）=5&+匕4危.

根据条件易知麻）=；油+；启,

入11—入1

所以m=2，=2>所以m=2九，n=2—2X.,所以m+n=2.

第24讲平面向量基本定理及坐标表示

【教学参考】

［考情分析］

平面向量基本定理及坐标运算是向量的基础概念和基本方法.主要考点及考查方向如下

表：

考点考查方向考例考查热度

平面向量基本定理的应

平面向量的基本定理

用

2015•全国卷114,

平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算

2015•全国卷I2

平面向量共”的坐标表

向量共线的判断与应用

示

【真题再现】

--------［2015—2011］课标全国真题在线

1.［2015•全国卷H］向量a=(l,-1),6=(—1,2),则(2。+力•。=()

A.—1B.0

C.1D.2

C［解析］20+〃=2(L-1)+(-1,2)=(1,0),所以(20+b)・a=(L0)•(1,-1)=1.

2.［2015・全国卷I］已知点A(0,I),B(3,2),向量R=(—4,-3),则向量证=()

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

A［解析|AB=(3,1),BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(一7,-4).

--------2015年其他省份类似高考真题

［2015・浙江卷］己知ei，e2是平面单位向量，且e「e2=J.若平面向量b满足Z>ci=Z>e2=L

则创=________.

斗^［解析］令b=xe\-\-yei(x,y《R),be\=xe\-e\+ye2-e\=x-\-^y=1,be2=xe\-e2+

122444

"29=5'+)=1，解得x=y=Q,则》=1(ei+e2),所以庐=§(ei+e2)2=g()+2e「e2+eg)=］,

故步i=¥

【课前双基巩固】

知识聚焦

1.不共线有且只有a=X\e\+^2^2基底

2.(1)(X1+%2>)'1+丫2).(即―X2，力一力)(〃1，An)

(2)te—X［,yi-Ji)yj(X2-xi)2+(y2-yi)2

3.x\y2—X2y］=0

正本清源

1.(5,-2)［解析］设点A的坐标为(x,y),贝ij

(—2,-5)=(3,—7)—(x,y)=(3—x,-7—y),

x—5,

则-5=-7-解得故点A的坐标为(5,-2).

产一2,

2.(7,-7)［解析］34-25=3(3,一1)一2(1,2)=(7,-7).

3.4［解析］由。〃b得办="，siii/=34,cos^=42(2^0),即tan£=］

4.022=0［解析］若a//ei,贝U设°=猫2(2#0),于是M2=2iei+石/，即(2一22)02=九幻.

又ei，C2不共线，所以石=0且21=0.同理。和ei共线有22=0.

5.(1)120°［解析I(1)求两向量的夹角要求两向量的起点是同

一点，因此a,8的夹角为120。.

(2)由已知得油=(3,-4),所以|能|=5,因此与通共线的单位向量为颍=

3当

5,5/

6.(1)-11(2)0［解析］(1)根据平面向量基本定理，用一组基底表示一个向量，基底

的系数是唯一的，则有小=-1,川=1.

(2)由c=2a+/力，得(3,4)=(1,2)+〃(2,3)="+2",22+3”)，

人+24=3,A=-1,

・・・L,°解得故22+4=0.

22+3〃-4,R=2.

【课堂考点探究】

典例探究

例1［思路点拨］设晶=〃，AD=b,利用向量运算的三角形法则寻找向量a,〃与向量

c,d的关系.

解：方法一：设诵=〃，AD=b,

则。=俞+彷="+(V，①

将②代入①，得a=d+(一升+(—5)］，

422

a=^d~^c=^(2d-c).③

将③代入②,得b=c+(—；)x,(2d—c)=|(2c—d).

一2一2

，A3=w(2d—c),AD=^2c—d).

方法二：设A8=Q,AD=b.

因为M,N分别为CD,8c的中点，所以的=；力，血=%,

a=

c=b+^af[2(2d—c)，

1=2

{d=a+]bI6=2(2c—d)，

即AB=[(2d—c),AZ)=|(2r—rf).

变式题解：EF=EA+AB+BF=—^b—a+^b=^b—a,

DF=DE+EF=-/+&-，=/一。,

例2［思路点拨］(1)直接利用向量加法的坐标运算法则进行运算；(2)先求油，再将mAC

+n证表示为坐标形式，利用向量相等，得到关于m,n的方程组.

(1)C(2)0［解析］(1)因为魂=(3,7),BC=(-2,3),所以危=靠+戢：=(1,10),

所以辰:H，—5).

(2)因为油=(5,4)-(2,3)=(3,1),AC=(7,10)-(2,3)=(5,7),BC=(7,10)-(5,

4)=(2,6),

所以mR+n^=m(5,7)+n(2,6)=(5m+2n,7m+6n).

因为Q=mA+n前：=(3,1),

[5m+2n=3,[m=1,

所以«,所以《所以m+n=0.

[7m+6n=l,|n=-1,

变式题(1)D(2)2[解析](1)%=&2)..=你—I),故%—'=(-I'2).

(2)设C(x,y),则布=(无一7,y-1),CB={\~x,4-y),

x—7=2(1—x),x=3,

因为布=2无，所以,解得

y—]=2(4—y),J'=3,

所以C(3,3).又因为点C在直线y=；"x上，所以3=53所以a=2.

例3［思路点拨|(1)由a〃力求出〃?的值，再求2a+3b；(2)根据a〃分得出关于。的三

角函数式，再求值.

(1)(-4,-8)(2)|［解析］⑴由Q=(1,2),Z>=(—2,m),S.a//b,得1X〃?=2X(一

2),即加=—4.从而b=(—2,—4),

那么2。+35=2(1,2)+3(-2,-4)=(一4,一8).

(2)因为向量。〃b,所以sin2夕一cos"cos8=0,又cosOWO,所以2sin9=cos。，故tan

变式题⑴(2,4)⑵60。［解析］⑴因为在梯形A8CD中，DC=2ABf所以5b=2嬴.

设点。的坐标为(x,y),则虎=(4,2)—(x,y)=(4—X,2~y),

AB=(2,1)-(1,2)=(1,-1),

所以(4—x,2—丫)=2(1,-1),即(4-x,2一四=(2,—2),

4—x—21x—2

.’一：解得一「故点。的坐标为(2,4).

{2—>=-2,2=4,

+从—/

(2)因为p〃q,则(〃+c)(c—〃)一伙匕-a)=0,所以^+/―c2=〃h,所以cosC=

=3.又0°<C<180°,所以C=60°.

学科能力

跟踪练习(1)B(2)5［解析］(1)不妨设4(1,0),8(0,1),C(x,y),则(x,y)=z(l,0)

+〃(0,1)即x=2,y=〃,由于点。在圆、+y=1上,所以入2+〃2=1

(2)以。为坐标原点，DA,0c所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的直角坐标系，

设QC=m,尸点坐标为(0,y),则A(2,0),B(l,m),函=(2,一y),PB=(1,m-y),

所以说+3丽=(2,->>)+3(1,m~y)=(5,3m~4y),

故|成+3而1=^5?+(3加一4y)2匠5,当且仅当)•=和时取等号，故前+3两的最小值

为5.

【教学参考】

【备选理由】例1是平面向量基本定理的应用问题，例2是向量坐标运算的应用问题,

通过这两个题目的练习能够对提高学生的综合应用能力起到积极作用.

例1【配例1使用】如图，G是aOAB的重心，P,Q分别是边OA,OB上的动点,

且P,G,Q三点共线.

(1)设由=入的，将6d用入，OP,的表示；

(2)设丽=x6入，OQ=yOB,证明：是定值.

解：⑴65=/+由=/+届=S+M的一丽=(1一入@+入面

(2)证明：由(1)得63=(1—入)用+入6。=(1一入)x6X+入y丽，①

因为G是△OAB的重心，

f(1—A.)x=g,

而6人，丽不共线，所以由①②得3

仕=3—3入，

Ix11

解得J所以：+2=3(定值).

［产入，

例21配例2使用】给定两个长度为1的平面向量6人和由，它们的夹角为言.如图所

示，点C在以O为圆心的圆弧前上运动.若氏=x6A+y丽，其中x,yWR,求x+y的最

大值.

解：以0为坐标原点，

如图所示，则A(l,0),8(一当孽,

设NAOC=a(aw［。，争0，则C(cosa,sina),

由OC=MM+yOB,

得(cosa,sina)=x(L0)+y

即x—；y=cosa,且坐y=sina,

na,尸半相

所以x=cosa

所以小

x+y=cosa+sina=2sin(a+\I.又a

所以当a4时，x+y取得最大值2.

第25讲平面向量的数量积与平面向量应用举例

【教学参考】

［考情分析］

平面向量的数量积是高考的重点内容，常以小题的形式出现.主要考点及考查方向如下

表：

考点考查方向考例考查热度

2015•全国卷II4,2014.新课标全

向量数量积运算求两个向量的数量积

国卷114

2013•新课标全国卷I13,

向量的模与夹角求向量的模与夹角

2012.新课标全国卷15

向量的垂直向量垂直的应用

【真题再现】

--------[2015—2011]课标全国真题在线

1.[2015•全国卷II]向量a=(L-1),&=(-1,2),则(2a+b)・a=()

A.-1B.0

C.1D.2

C［解析J2a+6=2(l,-l)+(-l,2)=(1,0),所以(2a+b)a=(l,0)-(1,-1)=1.

2.［2013,新课标全国卷I］已知两个单位向量a,的夹角为60。，c=ta+{\—t)b,若Zrc

=0,贝h=.

2［解析］"c=/r［/a+(l—f)句=心力+(1—。庐=5+(1—。=1一5=0,即f=2.

3.［2012•新课标全国卷］已知向量a,h夹角为45°,且⑷=1,|2a—臼=遮，则|例=

3^2［解析1因为|2°—臼=皿,平方得4/-4。功+"=10,得4—4X1例义乎+|那=10,

解得血=3吸.

-----2015年其他省份类似高考真题

1.［2015•广东卷］在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，@=

(1,-2),/)=(2,1),则俞.启