高考数学错解分析大全

第一章集合与常用逻辑用语

§1.1集合的概念与运算

一、知识导学

1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.

2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.

3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若aeA则,则

称

集合A为集合3的子集，记为或BqA；如果AqB,并且AW8,这时集合A称

为集合8的真子集，记为AU8或3VA.

4.集合的相等：如果集合A、B同时满足AqB、BoA,则

5.补集：设AqS,由S中不属于4的所有元素组麻j集合称为S的子集4的补集,

记为QA.

6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通

常记作U.

7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于8的元素构成的集合，称为A与6的交

集，记作AC3.

8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于8的元素构成的集合，称为A与8的

9.空纂：不含任何元素的集合称为空集，记作0.

10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.

11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.

12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（性〃〃图）.

13.常用数集的记法：自然数集记作N,正整数集记作N+或N*,整数集记作Z,有

理数集记作。，实数集记作R

二、疑难知识导析

1.符号q,U,Y,=,表示集合与集合之间的关系，其中“q”包括

和“二”两种情况，同样“二”包括和“二”两种情况.符号£,右表示元素与集合

之间的关系.要注意两类不同符号的区别.

2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合

时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.

3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.

4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围.用集

合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观

性帮助思维判断.空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，

如在关系式BqA中，8=0易漏掉的情况.

5.若集合市的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，

用数形结合法解之

6〕若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.

7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、地加图等将有关集合直观地表示

出来.

8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.

9.含有〃个元素的集合的所有子集个数为：2：所有真子集个数为：2"-1

三、经典例题导讲

［例1］已知集合股;{y|y=1+1,丫£码，心{y|yr+1,、£/?},贝I」（）

A.(0,1),(1,2)B.{(0,1),(1,2)}

C.{y|y=l,或产2}D.{y\y^l}

错解：求MAN及解方程组"弋1得,或ix=\.・.选§

错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的

元素是什么.事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y),因此M、N是数集而不是点

集，

用、N分别表示函数度1+l(x£R),产x+l(x£R)的值域，求MCN即求两函数值域的

交集.

正解：M={y\y=x+ltx^R}={y\y>l}fN={y|y=x+1,x£R}二{y|y£R}.

•••MAN=A{y\(yWR)}二{y1},.二应选O.

注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分3尸，+1}、

{yly=/+l,x£R}、{(%y)ly=/+l,x£R}，这三个集合是不同的.

［例2］已知A={X\X2-3X+2=0］,B={x\ax-2=0}且AUB=A,求实数a组成的集合C.

错解：由3x+2=0得x=l或2.

当x=l时，a=2,当x=2时，a=l.

错因：上述解答只注意了8为非空集合，实际上，炉。时，仍满足AUBM.

当4=0时，B=0,符合题设，应补上，故正确答案为C=(0,1,2).

正解：VAUBM：.B^A又A={•/一&+2=0}二{1,2}

・・・3:0或{1}或{2}：,C={0,1,2}

［例3］己知mEA,〃wB,且集合4={x|x=2a,〃£Z},B={x\x=2a+\,aGZ),

又0卜|工=4〃+1,〃£2},则有：()

A.m+n^AB.m-n^BC.m+nGCD.阳+"不属于A,B,。中任意一个

错解：\*AM6A,・,•机=2a,Z,同理〃=2。+1,aeZf.,・/〃+〃=4a+l,故选C

错因是上述解法缩小了的取值范围.

正解：VweA,・••设/»二2小，4i£Z,又3,・••九二2@+1,Z,

・••加+〃=2(a+制)+1,而Z,/.m+nGB,故选8.

［例4］己知集合3x—10W0},集合3={x|p+lWxW2p-1}.若BqA,

求实数p的取值范围.

错解：由f—3x—10W0得一2WxW5.

欲使8=A,只须修：白二0-3别〃3

:・p的取值范围是一3<〃W3.

错因：上述解答忽略了“空集是任何集合的子集〃这一结论，即炉。时，符合题设.

正解：①当BW0时，即p+lW2p-in〃22.

由8GA得：-2Wp+l且2p—K5.

由一3WpW3.

J2WpW3

②当8二0时，即p+D2p—l=pV2.

由①、②得：pW3.

点评：从以上解答应看到：解决有关4GB=0、AUB=0fAqB等集合问题易忽视

空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.

［例5］已知集合A={。,。+匕,。+28},B={afacfac］.若A=B,求c的值.

分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个

集合元素完仝相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式.

解：分两种情况进行讨论.

(1)若a+b=ac且a+2b=ac9消去。得：a+ac—2ac=Qt

。=0时，集合3中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故aWO.

・・・。2—20+1=0,即c=l,但L1时，8中的三元素又相同，此时无解.

(2)a~\~b=acS.a+2b-ac,消去力得：2ac*一敬一。二0,

•・ZW0,.,.2C2-C-1=0,

即(c—1)(2c+l)=0,又cWL故c=一*.

点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.

［例6］设4是实数集，满足若则y！一EA,awl且IcA.

\-a

⑴若2WA,则4中至少还有几个元素？求出这几个元素.

⑵A能否为单元素集合？请说明理由.

(3)若。£A,证明：l-'wA.

a

⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.

解：(1)2£A=-leA£4n2WA

・•・A中至少还有两个元素：一1和*

⑵如果A为单元素集合，贝=

\-a

即a?一。+1=。

该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集

⑶a£A=>—J—GA=-----L-eA=>--------wA,即-J—GA

1—。11—l-tz-l1一。

\-a

(4)由(3)知时，-J-eA,现在证明41-J-,J—三数互不相等.

1-aaa\-a

①若。二丁!一，即储一。+1=0,方程无解，.

1-aI-a

②若。二l-L即-a+l=O,方程无解

aa

③若1一，二11一,即炉一々+1=0,方程无解・・.1一工金丁!一.

ai-aa\-a

综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.

点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.

［例7］设集合A={a|+1,〃£N'},集合3二{〃|Z?二女2一42+5,女£N'},

试证：AUB.

证明：任设〃04,

则。=〃2+1=(〃+2)2—4(〃+2)+5(〃£N*),

〃£N*,I.〃+2£N*

/.故①

显然，1eA={〃|a=1+wN*},而由

22

B=[b\b=k-4k+51k^N]=[b|/?=(/:-2)+1,Z三N'}知IWB,于是AWB②

由①、②得AUB.

点评：(1)判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系.

(2)判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义.

四、典型习题导练

1.集合A={x|f-3x-10WOxez},B={x\2x-x-Q>0,x^Z]t则AA8的非空真子

集的个数为()

A.16B.14C.15D.32

2.数集{1,2,犬―3}中的工不能取的数值的集合是()

A.(2,-2}B.{-2,—V5}C.{±2,土V5}D.(y[5,

~亚}

3.若片3产V%£R},Q={y\y=^+ltx^R],则尸n。等于()

A.PB.QC.0D.不知道

4.若户{y|产女G={(x,y)\y=xfx^R}f则必有()

A.PAQ=0B.PUgC.P=QD.PYQ

5.若集合M={x|-L<l},N={x|/wx},则MC|N=()

x

A.{x|-1<x<1}B.{x|O<x<1}

0{x|-IvxvO}D0

6.已知集合A={x|x2+(/n+2)x+1=0,R},若4n/?+=0,则实数m的取值范围是.

7.(06高考全国n卷)设awR,函数/3=以2-2%-2a若f(x)>0的解集为A,

8={x|lvx<3},AnBw0,求实数。的取值范围。

8.已知集合4={幻/+0¥+1»=0}和3={工|/一0¥+力=0}满足

(SlAC\B={2}fAA^B={4},1=R,求实数的值.

§1.2.常用逻辑用语

一、知识导学

1.逻辑联结词：“且”、“或”、“非”分别用符号“人”“v”表示.

2.命题：能够判断真假的陈述句.

3.简单命题：不含逻辑联结词的命题

4.复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：〃或小〃

且4；非〃

5.四种命题的构成；原命题；若"则夕；逆命题；若q则p；否命题；若一1p则「夕；

逆否命题：若f,则

6.原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则夕”。“若「夕则「p”.

7.反证法：欲证“若p则q”,从“非/出发，导出矛盾，从而知“若p则非为假,

即“若〃贝加”为其

8.充分条件与必要条件：

①pnq：p是夕的充分条件；q是〃的必要条件；

②〃<=>夕：〃是g的充要条件.

9.常用的全称量词：“对所有的”、“对任意一个”“对一切”“对每一个”“任给”等；

并用符号“V”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.

10.常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“有的”、“对某

个”；并用符号“三”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.

二、疑难知识导析

1.基本题型及其方法

(1)由给定的复合命题指出它的形式及其构成；

（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；

（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特

别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的.

（4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；

方法：利用定义

（5）证明p的充要条件是q；

方法：分别证明充分性和必要性

（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成

立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.

注：常见关键词的否定：

关键词是都是（全是）>(<)至少有一个至多有一个任意存在

否定不是不都是（全是）<(>)一个也没有至少有两个存在任意

2.全称命题与特称命题的关系:

全称命题p：Vx£M,〃（x）,它的否定:；特称命题

〃：王£〃,〃。），它的否定力：也£加,「〃（幻；即全称命题的否定是特称命题，特称

命题的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.

三、经典例题导讲

［例1］把命题“全等三角形一定相似”写成“若P则夕”的形式，并写出它的逆命题、

否命题与逆否命题.

错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.

逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.

否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.

逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.

错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定“一定不”，在逻辑知识中求否定

相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生

活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.

正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.

逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.

［例2］将下列命题改写成“若P则/的形式，并写出否命题.时，函数户a+b的

值随x值的增加而增加.

错解：原命题改为：若〃>0时，x的值增加，则函数产or+h的值也随着增加.

错因：如果从字面上分析最简单的方法是将。>0看作条件，将“随着”看作结论，而x

的值增加，y的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若4>0时，则函数y=+h

的值随着x的值增加而增加，其否命题为若出，0时，则函数y=or+6的值不随x值的增

加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x值的增加当做条件，又不把

看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以

就错了.

正解：原命题改为：时，若x的值增加，则函数y=+力的值也随着增加.

否命题为：时，若x的值不增加，则函数y=+h的值也不增加.

原命题也可改为：当x的值增加时，若。>0,则函数y=at+力的值也随着增加.

否命题为：当工增加时，若生,0,则函数y=or+力的值不增加.

［例3］己知〃>0,设命题甲为：两个实数。、b满足命题乙为：两个实数〃、

b满足|。一1|<力且|8—l|v〃，那么

A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

错解：一目v2hO\(a-1)-(b-1)|<2h=h+hO\a-\\<hy\b-\\<h

故本题应选C

错因：(1)对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误；

(2)不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.

正解：因为小所以两式相减得一2〃<a—故k-

即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件.

由于极二针：，，同理也可得耳<2〃

因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B

［例4］已知命题甲：。+8=4,命题乙：awl且人。3,则命题甲是命题乙的.

错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若〃=1且人=3则。+匕=4成立，所以命题甲是

命题乙的充分不必要条件.

错因：对命题的否定不正确.。工1且人工3的否定是。=1或6=3.

正解：当a+〃工4时，可选取a=l,匕=5,故此时〃工1且人工3不成立(,二。=1).

同样，awl,且Z?w3时，可选取a=2,Z?=2,a+b=4,故此时a+b=4.

因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.

注：QHI且Z?工3为真时，必须ah1,Z?工3同时成立.

［例5］己知〃是一的充分不必要条件，s是〃的必要条件，q是s的必要条件，那么〃是

q成立的()

A.充分不必要条件&必要不充分条件C.充要条件》既不充分也不必要条件

分析：本题考查简易逻辑知识.

因为p=r=s=q但〃成立不能推出p成立，所以pnq,但q成立不能推出p成立，

所以选A

解：选A

［例6］已知关于x的一元二次方程(机£Z)

①mx"一4x+4=0②x—4nix+4tn—4m—5=0

求方程①和②都有整数解的充要条件.

解：方程①有实根的充要条件是△=16-4x4xm20,解得m<\.

方程②有实根的充要条件是△=16/-4(4w2-4m-5)〉0,解得近...

二.-3领J机1.而加€Z,故片一1或片0或片1.

当机二一1时，①方程无整数解.当相二0时，②无整数解；

当机二1时，①②都有整数.从而①②都有整数解加口.反之，机二1①②都有整数解.

・••①②都有整数解的充要条件是m=1.

［例7］用反证法证明：若a、bc£R,且工=。2一2/7+1,y=Z?2-2c+l,

z=c2-4-1,则x、ysz中至少有一个不小于0.

证明：假设X、y、Z均小于0,即：

x=a2-2b+l<0-----①；

y=b2-2c+1<0-----(2)；

z=c2-2a+l<0-----③；

①+②+③得x+y+z=(a-l)2+(/?-l)2+(c-l)2<0,

这与(a-1)2+S-1)2+(c-1)2N0矛盾，则假设不成立,

x.y>z中至少有一个不小于0.

［例8］己知命题p:方程V+/nx+l=0有两个不等的负根；命题/方程4?+4(阳一2)工

+1=0无实根.若“〃或/为真，“〃且为假，求相的取值范围.

分析：“p或4”为真，则命题p、q至少有一个为真，“p且/为假，则命题p、q至

少有一为神，因此，两命题p、乡应一真一假，即命题p为宜，命题夕为假或命题p为假，

命题g为真.

解：若方程/+g+1=0有两不等的负根，贝山△二始一4>°解得心2,

囱>0

即命题p：m>2

若方程底+4(m—2)x+1=0无实根，

则J=16(?n—2)16=16(M—4/n+3)<0

解得：lVmV3.即q：l</w<3.

因“p或g”为真，所以p、q至少有一为真，

又“p且/为假，所以命题P、4至少有一为假，

因此，命题p、q应一真一假，即命题〃为真，命题夕为假或命题〃为假，命题夕为真.

­(团>2成|“42

*'<1或相><m<3

解得：或lV/nW2.

四、典型习题导练

1.方程的2+2x+l=0至少有一个负根,则()

A.0<<1或相<0B.0<m<1C.m<\D.m<\

2.“x2-3工+2>0”是“x<l或x>4”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件

3.三个数仇c不全为0的充要条件是()

A.都不是0.B.c中至多一个是0.

C.仇C中只有一个是0.O.中至少一个不是0.

4.由命题p:6是12的约数，q:6是24的约数，构成的“p或/形式的命题是：

“p且夕”形式的命题是，“非p”形式的命题是

5.若a,b£R,试从

A.ab=OB.a+b=OC.a2+b2=0D.ab>0E.a+b>0

F,a2+b2>0中，选出适合下列条件者，用代号填竺：

(1)使。,b都为0的充分条件是；

(2)使。，匕都不为0的充分条件是；

(3)使”,人中至少有一个为0的充要条件是；

(4)使中至少有一个不为0的充要条件是.

6.分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假.

(1)P：梯形有一组对边平行；q：梯形有一组对边相等.

(2)p:1是方程％2—4%+3=0的解；q：3是方程f_4x+3=0的解.

⑶p:不等式/一2尤+1>°解集为R；q：不等式/一2X+2W1解集为0.

7.命题：已知小b为实数，若9+公+力<0有非空解集，则4b20.写出该命题

的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假.

8.用反证法证明：若。、b、c、d均为小于1的正数，且x=4o(l—。)，y=4A(l—c),z=4c(l

—d),尸4d(1一加，则x、y、z、f四个数中，至少有一个不大于L

第二章函数概念与基本初等函数

§2.1映射、函数、反函数

一、知识导学

L映射：一般地，设A、6两个集合，如果按照某种对应法则/,对于集合8中的

任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到

集合8的映射，记作反(包括集合A、8及A到B的对应法则)

2.函数：设A,8都是非空的数集，如果按某种对应法则/，对于集合A中每一个

元素X,在集合8中都有唯一的元素和它对应，且8中每一个元素都的原象，这样的对

应叫做从集合A到集合3的一个函数，记作y=/(x).

其中所有的输入值X组成的集合A称为函数)=/(/)定义域.

对于A中的每一个X,都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集

合称为函数的值域.

3.反函数：一般地，设函数y=/(冗)(x£A)的值域是C,根据这个函数中乂y的关

系，用y把］表示出来，得到问T(y)若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都

有唯一的值和它对应，那么枳尸3就表示)，是自变量，1是自变量y的函数，这样的函

数

叫做函数y寸G)(xwA)的反函数，记作寸My).我们一般用x表示自变量，用y表示

函数,为此我们常常对调函数k1(y)中的字母x,y,把它改写成)-尸⑺反函数尸尸1G)

的定义域、值域分别是函数发/Q)的值域、定义域.二、疑难知识导析

1.对映射概念的认识

(1)广4-B与广A是不同的，即A与B上有序的.或者说：映射是有方向的，

(2)输出值的集合是集合8的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输

入值.集合4中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中

有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.

(3)集合A,3可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.

2.对函数概念的认识

(1)对函数符号/(X)的理解知道尸f(x)与/(x)的含义是一样的，它们都表示y是x的函

数，其中x是自变量，/(x)是函数值，连接的纽带是法则是单值对应.

(2)注意定义中的集合A,B都是非空的数集,而不能是其他集合;

(3)函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.

3.对反函数概念的认识

(1)函数k/(X)只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；

(2)反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般

不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.

(3)互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于对称.

三、经典例题导讲

［例1］设知={。，b,c},N={-2,0,2}，求(1)从M到N的映射种数；

(2)从M到N的映射满足力…试确定这样的映射了的种数.

错解：(1)由于M={〃，b,c},N={-2,0,2},结合映射的概念，有

a—>-2a——2d->0ci->0ci―>2ci->2

"f02b—2一—2,步f0bf-2,共6个映射

cf2cf2c—>-2c—>2c->-2cf0

第二章函数概念与基本初等函数-9-

a-》2

(2)由(1)得满足条件的映射仅有田-0一种情况

c一—2

错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清

正解：(1)由于M={〃，b,c},N={-2,0,2),结合映射的概念，有

一共有27个映射

a―》0a―42〃—2a―,2

(2)符合条件的映射共有4个bf-2,<b->一2,<bf0>,b—>0,

c-—2[c—>-2c一—2c-0

［例2］己知函数/(x)的定义域为［0,1］,求函数/(x+1)的定义域

错解：由于函数/(x)的定义域为［0,1］,即OWxWl,

・・・/(x+l)的定义域是［1,2］

错因：对函数定义域理解不透，不明白/(幻与/(〃(％))定义域之间的区别与联系，其实

在这里只要明白：/&)中工取值的范围与/("0))中式子“(%)的取值范围一致就好了.

正解：由于函数/(%)的定义域为［0,1］,即0<x<l.・・f(x+l)满足.•.0工工+1<1

—IWxWO,・・・/(%+1)的定义域是［―1,0］

［例3］己知一eN*,/*)=［：］+4版?，求/(3).

错解：V7*)=］洽+2)(x；6r"(X+2)=(X+2)—5=X—3

故沈K"(3)=3-3=0.

错因：没有理解分段函数的意义，/(3)的自变量是3,应代入/(%+2)中去，而不是代

入x—5中，只有将自变量叱为不小于6的数才能代入解析式求解.

正解：=/(%)={；(『+2)(x<6r

・・・/(3)=f(3+2)=/(5)=/(5+2)=/(7)=7-5=2

［例4］己知/*)的反函数是/T(X),如果/(x)与广匕)的图像有交点，那么交点必在

直线y=x上，判断此命题是否正确？

错解：正确

错因：对互为反函数的图像关于直线y=x对称这一性质理解不深，比如函数

y=(2)'与)，=1。8/的图像的交点中，点4，}),(：,))不在直线丁二不上，由此可以说

10［6ZZ

明“两互为反函数图像的交点必在直线y=x上”是不正确的.

［例5］求函数y=/(x)=x2-4x+6,xe［l,5)的值域.

22

错解：v/(1)=1-4x1+6=3,/(5)=5-4x5+6=11

又入c［L5),.・./*)的值域是［3,11)

错因:对函数定义中，输入定义域中每一个x值都有唯一的y值与之对应，错误地理解为

x的两端点时函数值就是y的取值范围了.

正解：配方，得y=/(x)=f-4x+6=(x—2月+2

Vxe［l,5),对称轴是x=2.••当％=2时，函数取最小值为/(2)=2,/(%)</(5)=11

・,.f(x)的值域是［2,11)

［例6］已知/(%)=3x4-4,求函数广|*+1)的解析式.

第二章函数概念与基本初等函数-10-

错解：由已知得了(x+l)=3S+l)+4=3x+7

y=3x+7,即工=写，・•・f-］。+1)=三

错因：将函数/7(x+l)错误地认为是/(%+1)的反函数，是由于对函数表达式理解不

透彻所致，实际上/(%+1)与/“(X+1)并不是互为反函数，一般地应该由/(x)先求

r'u)»再去得到/T(X+I).

正解：因为/(x)=3x+4的反函数为，一|(%)=工/，

所以/-(x+l)=Q+?4二三=(4_1

［例7］根据条件求下列各函数的解析式：

(1)己知/(x)是二次函数，若/(O)=O,/(x+l)=/(x)+x+l,求/(%).

(2)己知/(石+1)=%+2五，求/(x)

(3)若满足/(%)+2/§)=以，求/(x)

解：(1)本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解

设/(x)=cur+bx+c(aw0)由于/(0)=0得/(x)=ax2-\-bx,

又由/(x+l)=f(x)+x+l,a(x+1)2+h(x+\)=ax2+hx+x+\

即ax2+(2a4-h)x+a+b=ax1+3+l)x+1

2a+b=b+\

.「awO：.a=b=\因此：f(x)=j-x24-^x

a+b=1222

(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解

设〃=\/x+1(x>0),,«=W-1(u...1)/.f(u)=(〃-1)2+2(w-1)=w2-l(w...1)

/./(x)=x2-1(X>1)

(3)由于/(x)为抽象函数，可以用消参法求解

用《代x可得：/(1)+2f(幻=4%与/(幻+2/(1)=以

联列可消去了由得：/(')=孕-等.

点评:求函数解析式(1)若已知函数/(x)的类型，常采用待定系数法;(2)若已知f［g(x)］

表达式，常采用换元法或采用凑合法；(3)若为抽象函数，常采用代换后消参法.

［例8］已知3d+2尸=6元，试求/+y2的最大值.

分析：要求/+y2的最大值，由己知条件很快将/+y2变为一元二次函数

人助=一41-3)2+多然后求极值点的x值，联系到V...0,这一条件，既快又准地求出

最大值.

解由3f+2y2=6x得

y2=~x2+3x.y2庞0,^x2+3x0,0麴k2.

又/+y2=工2,|X2+3X=_1(X_3)2+1?

・・.当X=2时，/+/有最大值，最大值为一*(2-3)2十3一4

第二章函数概念与基本初等函数-11-

点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：

由3x2+2y2=6x得y2=-^x2+3x,

K+y2=*-1r2+3r=-l(r-3)2+1,

.•.当X=3时，/+y2取最大值，最大值为£

这种解法由于忽略了VNO这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅

能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已

知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确

地解题.

［例9］设/(%)是R上的函数，且满足/(0)=1,并且对任意的实数x,y都有

-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的表达式.

解法一：由f(0)=l,=一义2%—y+1),设％=丫,

得/(。)=/(x)-x(2x-x+l),所以f(x)=x2+x+1

解法二：令1=0,得/(0-y)=/(0)-y(-y+1)

即/㈠)=i-M-y+i)

又将一y用x代换到上式中得/(%)=寸+x+1

点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变

量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定.

四、典型习题导练

1.已知函数/(x),工£凡那么集合｛(x,y)\y=f(x),n｛(x,y)\x=l｝中所含元素

的个数是()

A.0B.1C.0或1D1或2

2.对函数f(%)=342+or+b作代换产屋力，则总不改变f(x)值域的代换是()

A.g(t)=logjtB.g(f)=W)'

CgS=(l1)2D.g(r)=cost

3.方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2—x,y)=0的曲线是()

A.190B.171C.90D.45

5.若函数/(x)二产、(xWg)在定义域内恒有/[/(%)]则机等于()

4X—34

43B.。一2D.一3

22

6.已知函数/(%)满足：f(a±b)=f(a)-f(b)t/(1)=2,贝U

第二章函数概念与基本初等函数-12-

/⑴+/(2)/(2)+/(4)/(3)+/(6)/(4)+/⑻=

/(I)/⑶/(5)/(7)------------,

7.已知函数f(x)满足fUogx)=——(%--)(其中a>0,o#l,x>0),求/(x)的表达式.

(la~-1X

8.已知函数/(%)是函数丁二一一-1(不£/?)的反函数，函数g(x)的图像与函数

10+1

产生岑的图像关于直线y=x-l成轴对称图形，记F(x)=f(x)+g(x).

(1)求函数/(x)的解析式及定义域；

(2)试问在函数尸(x)的图像上是否存在两个不同的点A、5,使直线43恰好与)，轴

垂直？若存在，求出A、8两点的坐标；若不存在，说明理由.

§2.2函数的性质

一、知识导学

1.函数的单调性：

(1)增函数：一般地，设函数)，=/(幻的定义域为/,如果定义域/内某个区间上任

意两个自变量的值孙%2,当的VE时，都有/(xO<rte),那么就说fix)在这个区间上是增函

数.

(2)减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为/,如果定义域/内某个区间上任

意两个自变量的值用,如当》<&0寸，都有/(汨)>/&),那么就说f(x)在这个区间上是减函

数.

(3)单调性(单调区间)如y=/(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数/(功

在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数的单调区间.

2.函数的奇偶性：

(1)奇函数：一般地，如果对于函数/(X)的定义域内的任意一个X,都有/(—X)=—

/(X),那么函数f(x)就叫做奇函数.

(2)一般地，如果对于函数/(x)的定义域内的任意一个x,都有/(一%)=/(%)，那么

函数/(X)就叫做偶函数.

(3)如果函数/(%)是奇函数或偶函数，那么就说了(%)具有奇偶性.

3.函数的图像：将自变量的一个值刖作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，

就得到平面内的一个点(沏,八沏))，当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一

系列这样的点，所有这些点的集合(点集)组成的图形就是函数y寸Q)的图像.

二、疑难知识导析

1.对函数单调性的理解，函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来

讨论，函数)宁10在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是

函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某

个区间而言的，所以要受到区间的限制.

2.对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在/(七)寸G)和/(-动二寸⑺这两个等式上,

要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=/U),〃P)=寸6)的实质：函数的定义域关于

原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数/(%)的图像关于直线产〃

对称的充要条件是对定义域内的任意斯都有八户。)？(。七)成立.函数的奇偶性是其相应

图像的特殊的对称性的反映.

这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，

选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.

3.用列表描点法总能作出函数的图像，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函

数图像的特点，如二次函数图像是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称

轴，盲目地列表描点是很难将图像的特征描绘山来的.

三、经典例题导讲

第二章函数概念与基本初等函数-13-

［例1］判断函数y=g)7的单调性.

错解：•・•()<=g)7是减函数

错因：概念不清，导致判断错误.这是一个复合函数，而复合函数的单调性(或单调区间),

仍是从基础函数的单调性(或单调区间)分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变

化.当然这个函数可化为y=3',从而可判断出其单调性.

正解：令f=则该函数在R上是减函数，又=在R上是减函数，

・・・y=g)T是增函数

［例2］判断函数/(外=(1+”席的奇偶性.

错解：・・・/(幻=(1+工)后孑=后彳［］［=7^7?

.・・f(-x)=，1-(一幻2=x/T7=/(x)

・・・/(x)=(l+x)^H是偶函数

错因：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个长都有--外?6),

/(-X)=•/㈤的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.

正解：f(x)=(l+x)后孑有意义时必须满足总20=>-1<XW1

即函数的定义域是{xI-1<XK1},由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇

函数也不是偶函数

［例3］判断f(x)=log?*+&+1)的奇偶性.

2

错解：*.*/(-X)=log2(-x+J(-x)2+1)=log2(-x+Jx+1)

・・・f(-x)wf(x)且f(-x)+-/(x)

所以该函数既不是奇函数也不是偶函数

错因：对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中

/(-X)=f(x),也可改为研究=0,=0是否成立.

2

正解：方法一：,**/(-A)=log2(-A+«r)2+1)=log2(-A+V%+1)

2

=log2---j==-log2(x+\/x+l)=-/(x)/./(X)是奇函数

X+W+1

22

方法二：：/(X)+f(-X)=10g2(X+yjx+1)+10g2(-X+yjx+1)

22

=log2［(x+\lx+1)(-X+y/x+1)=Iog21=0

/(-X)=-/(X).・・/5)是奇函数

［例4］函数尸&-©-f的单调增区间是.

错解：因为函数g(x)=5-4x—犬的对称轴是工=一2,图像是抛物线，开口向下，由图

可知g(x)=5-4x-x2在(-00,-2］上是增函数，所以y=yj5-4x-x2的增区间是

(—co,-2］

错因：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的

单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误.

第二章函数概念与基本初等函数-14-

正解：y=，5-4x-f的定义域是［一5］］,又g（x）=5-4%一炉在区间［一5,一为上增函数，

在区间是减函数，所以y=j5-4x-9的增区间是~5,-2］

［例5］已知奇函数八功是定义在（一3,3）上的减函数，且满足不等式/（工一3）4/涕-3）<0,

求x的取值范围.

错解：:/G）是奇函数，・・・/（］-3）<一/（9一3）?（3一9），又/（%）在（一3,3）上是减函数,

Ax-3>3—%2,即x2+x—6>0；解得x>2或水一3

又/（X）是定义在（一3,3）上的函数，所以2VxV3

错因：只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域.

—3<X—3<3zg:了？<6,故。*南

正解：由-3〈冗2一3<3得

又二f（x）是奇函数，3）<一/（f—3）?"（3—f）,又f（x）在（-3,3）上是减函数，

/.X—3>3—xt即x+x—6>0,解得x>2或——3,综上得2<x<限,即A-{x|2〈水>/6},

［例6］作出下列函数的图像⑴尸|犷2|（x+D;（2）y=10Pg<

分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我

们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨

论的思想.

解：（1）当时，即厂290时，

2

y=(x-2)(x+l)