高等数学（慕课版）课件 1.5 无穷小量与无穷大量;1.6 函数的连续性

第1章函数、极限与连续无穷小量与无穷大量第5讲高等数学（慕课版）主讲教师|01无穷小量02无穷大量03无穷大量与无穷小量的关系04无穷小的比较05等价无穷小的替换2本节内容301无穷小量

1.无穷小量的概念📝定义1.21

401无穷小量📢注501无穷小量

📖定理1.12

601无穷小量有限个无穷小的代数和仍是无穷小.常数与无穷小的乘积是无穷小.2.无穷小的性质📖性质1.1有限个无穷小的乘积仍是无穷小.📖性质1.2有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小.📖性质1.3🎯推论无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小.(2)两个无穷小的商的极限没有确定的结果，对于这类问题，要针对具体情况具体分析.📢注

701无穷小量

📚例1解

801无穷小量

📚例2解01无穷小量02无穷大量03无穷大量与无穷小量的关系04无穷小的比较05等价无穷小的替换9本节内容1002无穷大量

📝定义1.22

1102无穷大量📢注

1202无穷大量

📝定义1.231302无穷大量📢注

（1）无穷大量必是无界的变量，无界变量不一定是无穷大量.（2）在自变量的同一变化过程中，两个无穷大的和、差、商，以及有界函数与无穷大的乘积，没有确定的结果.01无穷小量02无穷大量03无穷大量与无穷小量的关系04无穷小的比较05等价无穷小的替换14本节内容1503无穷大量与无穷小量的关系

📖定理1.13

1601无穷小量

📚例3解

1701无穷小量

📚例4解01无穷小量02无穷大量03无穷大量与无穷小量的关系04无穷小的比较05等价无穷小的替换18本节内容1904无穷小的比较

📝定义1.242004无穷小的比较

2104无穷小的比较

2204无穷小的比较📢注

01无穷小量02无穷大量03无穷大量与无穷小量的关系04无穷小的比较05等价无穷小的替换23本节内容2405等价无穷小的替换

📖定理1.14📢注

（1）在求极限的过程中，可以把积或商中的无穷小用与之等价的无穷小替换，从而达到简化运算的目的.但须注意，在加减运算中一般不能使用等价无穷小替换.

2505等价无穷小的替换📢注

26

📚例5解05等价无穷小的替换

27

📚例6解05等价无穷小的替换

28

📚例7错解05等价无穷小的替换

正解学海无涯，祝你成功！高等数学（慕课版）第1章函数、极限与连续函数的连续性第6讲高等数学（慕课版）主讲教师|01函数连续性的定义02函数的间断点及其分类03初等函数的连续性04闭区间上连续函数的性质31本节内容3201函数连续性的定义📝增量

📢注

3301函数连续性的定义

3401函数连续性的定义

1.函数在一点处的连续性📝定义1.253501函数连续性的定义

1.函数在一点处的连续性📝定义1.26🎯结论

3601函数连续性的定义

📚例1证明

3701函数连续性的定义

📚例2证明

根据有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小，得

3801函数连续性的定义

📝定义1.273901函数连续性的定义

📖定理1.154001函数连续性的定义📚例3解

因为

所以

4101函数连续性的定义2.区间上的连续函数

4201函数连续性的定义

1.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.2.基本初等函数都是其定义域内的连续函数.3.有理分式函数在其定义域内的每一点处都是连续的.🎯结论4301函数连续性的定义📚例4解

01函数连续性的定义02函数的间断点及其分类03初等函数的连续性04闭区间上连续函数的性质44本节内容4502函数的间断点及其分类

📝间断点

4602函数的间断点及其分类

47间断点分类02函数的间断点及其分类第一类间断点：第二类间断点：间断点

跳跃间断点：可去间断点：

分为：特殊情形：无穷间断点和振荡间断点4802函数的间断点及其分类

可去第二类可去跳跃4902函数的间断点及其分类📚例5解

由于

50📚例6解

02函数的间断点及其分类01函数连续性的定义02函数的间断点及其分类03初等函数的连续性04闭区间上连续函数的性质51本节内容5203初等函数的连续性📖定理1.16

5303初等函数的连续性

📖定理1.17

🎯结论5403初等函数的连续性📚例7解

由定理1.17可知

5503初等函数的连续性解📚例8

5603初等函数的连续性📖定理1.18

一切初等函数在其定义区间内都是连续的.🎯结论

5703初等函数的连续性解📚例9

5803初等函数的连续性解📚例10

5903初等函数的连续性

01函数连续性的定义02函数的间断点及其分类03初等函数的连续性04闭区间上连续函数的性质60本节内容6104闭区间上连续函数的性质📖定义1.28

📖定理1.19（最大值和最小值定理）

6204闭区间上连续函数的性质📖注（1）若把定理中的闭区间改成开区间，则定理的结论不一定成立.

定理1.19的条件是充分而非必要条件.

🎯推论6304闭区间上连续函数的性质

📖定理1.20（零点定理）

6404闭区间上连续函数的性质

📖注零点定理的条件是充分而非必要条件.6504闭区间上连续