电路理论基础（第三版） 课件 第9章 正弦电流电路的分析

第九章正弦电流电路的分析

本章介绍正弦电流电路的相量分析法。首先引入阻抗、导纳的概念,介绍电路相量模型的建立和分析方法,再讨论正弦电路的瞬时功率、平均功率、无功功率、视在功率、复功率及功率因素等概念,最后介绍三相电路的分析。9.1阻抗与导纳及相量模型9.2正弦电流电路的相量分析法9.3正弦电流电路的功率9.4三相电路9.1阻抗与导纳及相量模型

第8章介绍的三种基本无源元件电阻、电感和电容的伏安特性相量形式为（9-1）由上式可见,电阻、电感和电容的电压相量与电流相量之比等于一个复数。为便于研究,将(9-1)式写成统一的形式：

U=ZI

（9-2）或I=YU

（9-3）式中,Z和Y分别称为元件的阻抗和导纳。由上两式可见,电阻、电感及电容元件伏安特性的相量表达式与欧姆定律的数学表达式相似。9.1阻抗与导纳及相量模型

正弦电流电路中,将各电流和电压用相量表示,电阻、电感及电容元件的参数用阻抗或导纳表示,所得到的电路图称为正弦电流电路的相量模型,它反映电路中各电流、电压相量之间的关系。原电路图称为电路的时域模型,反映各电流和电压瞬时值之间的关系。

通过对电路相量模型的求解,可得到待求电流或电压的相量。相量模型的求解依据为两类约束条件的相量方程,这些相量方程与电阻电路两类约束条件的时域方程相比,形式上是相同的,差别仅在于后者是实数方程,前者是复数方程;后者电流、电压为时间函数,前者电流、电压用相量表示;后者的无源支路为电阻或电导,前者的无源支路(包括电阻、电感和电容元件)用阻抗或导纳表示。9.1阻抗与导纳及相量模型

由于约束方程在形式上相同,因此本书前几章所介绍的电阻电路的各种分析方法及电路定理都可用于分析正弦电流电路的相量模型。例如串、并联阻抗的等效变换,串、并联阻抗的分压和分流公式,两种有伴电源支路的等效变换,节点分析法,网孔分析法,戴维南定理,叠加定理等。在各种方法、定理的叙述、结论及公式中将电阻换成阻抗,将电导换成导纳,将电流和电压换成电流和电压的相量即可。

线性电阻电路中,不含独立源二端网络的端口电压和电流之比为一实数,称之为该网络的等效电阻。类似地,在正弦电流电路中,不含独立源二端网络的端口电压相量和电流相量之比为一复数,将它定义为该网络的等效阻抗。9.1阻抗与导纳及相量模型

设图9-1所示N0为正弦电流电路中不含独立源的二端网络(本节中简称二端网络),其端口电压和电流分别表示为图9-1不含独立源二端网络9.1阻抗与导纳及相量模型电压和电流对应的相量为U=U∠θu，I=I∠θi

二端网络N0的等效阻抗(简称阻抗)定义为（9-4） Z是复数,可表示为Z=|Z|∠φZ=R+jX上式中,|Z|是阻抗Z的模;φZ是阻抗Z的辐角,称为阻抗角;R是阻抗Z的实部,称为网络N0的等效电阻;X是阻抗Z的虚部,称为网络N0的等效电抗。Z、|Z|、R、X的单位均为欧姆。 (9-4)式可写为U∠θu=|Z|∠φZ×I∠θi即U=|Z|Iθu=θi+φZ9.1阻抗与导纳及相量模型以上两式表明,不含独立源二端网络的端口电压和电流有效值之比等于阻抗的模|Z|,它们的相位差等于阻抗角φZ。阻抗Z全面地反映了正弦电流电路中二端电路的端口电压和电流之间的关系。

对二端网络,若其阻抗角φZ>0，则θu>θi，端口电压超前于端口电流,称该二端网络呈感性;若φZ<0，则θu<θi，电流超前于电压,称该二端网络呈容性;若φZ=0,则电流与电压同相,称该二端网络呈电阻性。阻抗的倒数称为导纳。二端网络N0的等效导纳(简称导纳)定义为（9-5）Y可表示为Y=|Y|∠φY=G+jB上式中,|Y|是导纳Y的模;φY

称为导纳角;G称为网络N0

的等效电导;B称为网络N0

的等效电纳。Y、|Y|、G、B的单位均为西门子。

对同一个二端网络,有（9-6）

导纳Y也可全面地反映正弦电流电路中二端电路的端口电压和电流之间的关系。9.1阻抗与导纳及相量模型

例9-2正弦电流电路中,二端网络如图9-3(a)所示,分别求ω1=1000rad/s与ω2

=2000rad/s两种工作频率下该网络的并联等效相量模型,并判断两种频率下该网络的端口性质。图9-3例9-2题图及求解9.1阻抗与导纳及相量模型9.1阻抗与导纳及相量模型9.2正弦电流电路的相量分析法9.2.1相量分析法的一般步骤

用相量法分析正弦电流电路的一般步骤是:由电路的时域模型画出相量模型;求解相量模型(电阻电路的各种分析方法均可用于求解相量模型),得到所求电流和电压的相量;根据正弦量和其相量的对应关系得到所求的正弦电流和电压。

分析正弦电流电路时要规定一个计时起点。若已知电源的时间函数表达式,则意味着计时起点已经给出。工程中求解电路时,一般是已知电源的频率和有效值,电源初相位未定。这种情况下可在电路中选定一个电流或电压作为参考正弦量,令该正弦量的初相位为零,即该正弦量到达最大值的时刻被设定为整个电路的计时起点。参考正弦量对应的相量称为参考相量。由于电路中同频率正弦量之间的关系与计时起点无关,因此参考正弦量的选择可以是任意的,一般以方便电路的求解为原则来选择。9.2正弦电流电路的相量分析法9.2正弦电流电路的相量分析法9.2.2阻抗的串、并联电路分析

图9-5所示电路中,每个方框为一个阻抗,共有n个阻抗相串联。与串联电阻的计算公式类同,n个阻抗串联的端口等效阻抗为

Z=Z1+Z2+…+Zn图示参考方向下的分压公式为图9-5阻抗的串联

图9-6所示为n个导纳相并联,端口等效导纳为Y=Y1+Y2+…+Yn图示参考方向下的分流公式为若是两个阻抗并联,则有

若电路的相量模型中只有一个电源,阻抗是串并联结构,则可利用阻抗的串、并联等效变换及分流和分压公式求解。图9-6导纳的并联9.2正弦电流电路的相量分析法9.2正弦电流电路的相量分析法9.2正弦电流电路的相量分析法图9-10例9-7题图及相量图9.2正弦电流电路的相量分析法9.2.3复杂电路分析

若正弦电流电路的相量模型较为复杂,则可采用节点法、网孔法、等效变换及应用叠加定理等方法求解。下面举例说明。图9-11例9-8题图及相量模型9.2正弦电流电路的相量分析法9.2正弦电流电路的相量分析法

例9-9正弦电流电路的相量模型如图9-12所示,已知Us1=100∠0°V,Us2=100∠90°V,R=5Ω,ωL=5Ω,ω1C=2Ω,求各支路电流相量I1、I2和I3。图9-12例9-9题图9.2正弦电流电路的相量分析法9.3正弦电流电路的功率

正弦电流电路中既有耗能元件电阻,又存在储能元件电感和电容,负载在消耗电能的同时一般还与电源之间进行着能量的往返交换。因此,正弦电流电路中功率的分析计算比较复杂,需要引入一些新的概念。9.3.1瞬时功率和平均功率

图9-15(a)所示为正弦电流电路中任一个二端网络N,设其端口电压和电流分别为图9-15二端网络及其瞬时功率在图示参考方向下,该二端网络吸收的瞬时功率为根据三角函数积化和差公式可得p=UIcosφ

+UIcos（2ωt+2θi+φ）

（9-7）上式中,φ=θu–θi，是端口电压与电流的相位差。若N是不含独立源的二端网络,则φ是其阻抗角。

由(9-7)式可见,瞬时功率有恒定分量UIcosφ及正弦分量Uicos（2ωt+2θi+φ）两部分,后者的频率是电流(电压)频率的两倍。以φ=π/4为例,画出瞬时功率的波形如图9-15(b)中实线波形所示。图中同时还画出了电压和电流的波形。9.3正弦电流电路的功率

由图9-15(b)可看出,由于电流和电压不同相,使得瞬时功率p不仅大小随时间变化,其正负也随时间变化。当p>0时,二端网络从外电路吸收能量;当p<0时,二端网络送出能量给外电路。二端网络和外电路之间存在能量往返交换的现象,这是因为电路中存在储能元件。电容的储能随其电压(正弦电压)的变化而周期性地增减,电感的储能则随其电流(正弦电流)的变化而周期性地增减。当储能增加时,它们吸收能量,而当储能减少时,它们放出能量。因此,会有一部分能量在二端网络、内部的各储能元件之间以及二端网络和外电路之间进行往返交换。

由(9-7)式可得电阻、电感及电容元件的瞬时功率分别为

可见,电阻的功率任何时刻都为非负,这反映了它的耗能特性。电感和电容的瞬时功率都是正负半周对称的正弦波,它们在一个周期内吸收的能量与送出的能量相等,这反映了它们储能且不耗能的特性。9.3正弦电流电路的功率

瞬时功率随时间变化,实用意义不大,常用的是平均功率。平均功率又称为有功功率(简称功率),定义为瞬时功率在一个周期内的平均值,记为P,单位为瓦(W)。图9-15(a)所示的二端电路吸收的平均功率为（9-8）

二端网络吸收的平均功率反映其吸收电能的平均速率。由上式可见,平均功率不仅与电压和电流的有效值有关,还与两者的相位差φ有关。若cosφ>0,则该二端电路吸收平均功率;若cosφ<0,则发出平均功率。

容易求得电感元件和电容元件的平均功率为零,即平均而言,这两类元件不吸收电能。可求得电阻元件平均功率为上式中,U、I分别为电阻的电压、电流有效值。9.3正弦电流电路的功率

例9-12已知图9-16所示二端电路的端口电压有效值U=100V,求该二端电路吸收的平均功率、各元件的电流有效值及各元件吸收的平均功率。图9-16例9-12题图9.3正弦电流电路的功率9.3正弦电流电路的功率9.3正弦电流电路的功率

例9-13图9-17所示为一个电感线圈的电路模型。实验测得其端电流有效值为1A,端口电压有效值为50V,其吸收的平均功率为30W,电源频率为50Hz,求该线圈的参数R和L。图9-17例9-13题图9.3正弦电流电路的功率

解电阻吸收的平均功率即该线圈吸收的平均功率,可求得线圈阻抗的模为由Z=R+jωL=R+jX，得9.3正弦电流电路的功率9.3.2视在功率与功率因数

二端网络的视在功率记为S,定义为S=UI（9-9）上式中,U、I为二端网络的端口电压及端电流的有效值。视在功率的单位为伏安(VA)或千伏安(kVA)。

不含独立源二端网络的平均功率与视在功率之比称为该二端网络的功率因数,记为λ,则有功率因数是该二端网络阻抗角的余弦函数,因此阻抗角又称为功率因数角。由于λ值不能反映φ角的正负,因此必要时需指明是超前功率因数还是滞后功率因数。超前指电流超前电压,该二端网络是容性电路;滞后指电流滞后电压,该二端网络是感性电路。9.3正弦电流电路的功率

若二端网络仅由无源元件电阻、电感、电容构成,则该二端网络吸收的平均功率不为负,即λ≥0,因此有

。阻抗角的绝对值越大,该二端电路在一定的视在功率下所吸收的平均功率就越小。若端口呈纯电阻性,则φ=0,λ=1,电路吸收的平均功率等于视在功率;若端口呈纯电抗性,则φ=±π/2,λ=0,电路吸收的平均功率为零。

虽然视在功率一般并不等于电路实际消耗的功率,但这一概念有其实用性。例如,发电机、变压器等发、配电设备的输出电压及最大可输出电流都有限制,因此一般以额定视在功率作为这一类设备的额定容量。这类设备可输出的最大平均功率不仅与其额定容量有关,还与其所带负载的功率因数有关。一个额定容量为2kVA的电源,若给功率因数为1的负载供电,则该电源最大可输出的功率为2kW;若负载功率因数为0.5,则其最大可输出功率只有1kW。可见,负载的功率因数低,会使得电源容量得不到充分利用。另外,由于P=UIcosφ,在一定的电网电压U和负载功率P下,负载功率因数越低,则所需电流越大,在输电线上产生的损耗也越大。对常见的感性负载,可采用并电容的方法提高负载总的功率因数。9.3正弦电流电路的功率9.3.3无功功率、复功率

任一二端网络N吸收的瞬时功率的表达式(9-7)式可改写为（为简便,设电流初相位θi=0）p

=ui=UIcosφ+UIcos（2ωt+φ）=UIcosφ（1+cos2ωt）-UIsinφsin2ωt上式中第一项的正负号不变,是瞬时功率中不可逆的分量,它反映网络N与外电路之间单向能量传送的速率,其平均值即有功功率。上式中第二项是正负半周对称的正弦函数,是瞬时功率中的可逆分量,是在平均意义上不能作功的无功分量,它反映网络N与外电路之间能量往返交换的瞬时速率,其系数UIsinφ

定义为网络N吸收的无功功率,记为Q,即Q=UIsinφ

（9-10）

无功功率的单位为无功伏安,简称乏(var)。从物理意义讲,无功功率的绝对值是网络N与外电路之间能量往返交换的最大速率。9.3正弦电流电路的功率

无功功率的单位为无功伏安,简称乏(var)。从物理意义讲,无功功率的绝对值是网络N与外电路之间能量往返交换的最大速率。

根据三种基本元件的伏安特性,可得它们吸收的无功功率分别为可见,电感吸收正值的无功功率,电容吸收负值的无功功率。9.3正弦电流电路的功率9.3正弦电流电路的功率9.3正弦电流电路的功率9.3.4最大功率传输

电子工程中,常要考虑最大功率传输的问题。正弦电流电路中,负载在什么条件下可获得最大功率?这一问题可用图9-22所示等效相量模型加以研究。图中,Z为负载阻抗,虚线框内为与负载相连的二端网络的戴维南等效相量模型。图9-22最大功率传输9.3正弦电流电路的功率

设Zeq=Req+jXeq,Z=R+jX。负载电流相量为负载吸收的功率为（9-13）设二端网络参数已定,负载阻抗的实部R

及虚部X

均可任意取值,由上式可见,P

作为X

的函数,当X=-Xeq

（9-14）时,P

取得最大值,此时有（9-15）9.3正弦电流电路的功率上式中,R

为变量,令得(9-15)式中功率P

取最大值的条件为R=Req

（9-16）

综合(9-14)式和(9-16)式可得负载获得最大功率的条件为Z=Z*eq=Req-jXeq(9-17)9.3正弦电流电路的功率9.3正弦电流电路的功率9.4三相电路9.4.1三相电路的基本概念

目前,世界各国的供电系统普遍采用三相制。三相供电系统以三相发电机供电,三相发电机能同时产生三个频率相同而相位不同的正弦电压源。

普遍采用的三相电源是三个频率相同、振幅相同、相位依次相差120°的正弦电压源,称为对称三相电源,本书涉及的三相电源均指对称三相电源。三相电源符号如图9-23所示。其中,uA、uB、uC分别称为A相、B相、C相电源。若以uA作为参考正弦量,则各相电源电压的瞬时表达式为（9-18）图9-23三相电源其中，Up是每相电源电压的有效值。各电源所对应的相量为（9-19）其波形图和相量图分别如图9-24(a)、(b)所示。图9-24对称三相电源电压的波形图和相量图9.4三相电路

对称三相电压相量之和为UA+UB+UC=Up∠0°+Up∠-120°+Up∠120°=0这说明对称三相电源的电压瞬时值之和为零,即

各相电源波形到达最大值的先后次序称为相序。由(9-18)式表示的三相电源,其相序为A→B→C,称为正序或顺序。若相序为A→C→B,则称为反序或逆序。本书仅讨论顺序。9.4三相电路

对称三相电源的连接方式有星形(Y形)和三角形(△形)两种。图9-25(a)所示为星形连接电源的相量模型。将三个电源的负极性端连接起来形成一个公共点N,称该点为电源中性点,从该点引出的线称为中线或零线。从三个电源的正极性端A、B、C引出三条供电线,称为端线,俗称火线。图9-25星形连接的对称三相电源及其电压相量图9.4三相电路9.4三相电路9.4三相电路

对称三相电源的三角形连接如图9-26所示。将电源按正负参考极性顺次相连构成一个回路,从连接点A、B、C引出三条端线对负载供电。注意,各相电源的极性不能接错。正确连接时,由于UA+UB+UC=0,因此回路没有环流。一旦接错,在电源内部会形成很大的环流,导致电源损坏。

三角形连接时线电压就等于各相电源的电压,即

UAB=UA，UBC=UB，

UCA=UC图9-26三角形连接的对称三相电源9.4三相电路9.4三相电路9.4.2三相电路的计算

对称三相电源连接对称三相负载,且各端