立体几何综合复习课程 教案

11

高中数学适用年级高二

1适用

11

1学科1

1

适用区域人教版区域课时时长（分钟）2课时

:知识点1.空间图形（柱、推、台、球）等表面积与体积的计算公式；:

11

■

■

1

■

1.空间中点、直线、平面之间的位置关系；：

■12

■

1•

11

■

11

13.用线、平面平行、垂直的判定和性质、线线角、线面角、二面角以及三垂:

11

11

■1

11

11

1线定理、逆定理；;

1

■

\教学目标

1.能对不规则立体图形求体积求表面积。

1

1

2.掌握立体几何的基本证明方法，理解线、平面平行、垂直的判定和性质、

1

11

1线线角、线面角、二面角

1

1

12.掌握立体几何的基本证明方法，理解线、平面平行、垂直的判定和性质、j

11

1

线线角、线面角、二面角

■1i

!教学重点1.立体几何表面积及体积的计算

I

I1

■

1

>

12.立体几何的基本证明

11

,

1

1教学难点

1.立体几何的证明

2.线面夹角，二面角的求解

2.线面夹角，二面角的求解____________________I

1

【教学建议】

1.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，熟背面积公式，体积公式.

2.了解基本儿何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系

3.熟背判定定理和性质定理

4.熟记求二面角的方法

【知识导图】

教学过程

一、导入

我们都知道一棵大树它的枝干是组成大树必不可少的条件，但是要使一棵大树

能够茁壮成长，根基也是相当重要的。数学学科的学习也是如此，我们有了一定

的知识积累，但是更重要的是能够讲行运用。在学习的前面立体几何的四讲之后,

我们有了“大树的枝干”那么接下来这节课，我们将合理运用大树的“根基”让

立体几何这棵大树茁壮的成长起来。

复习

1.空间几何体的结构，直观图和三视图

2.空间几何体的表面积和体积

3、空间点直线平面的关系，直线平面平行判定和性质

4.直线平面垂直判定和性质

考点1空间几何体的结构，直观图和三视图

1.柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四

边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体.

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱.

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形;

侧楼平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形.

(2)棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面

所围成的几何体.

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥.

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比

等于顶点到截面距离与高的比的平方.

(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的

部分.

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台.

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原

棱锥的顶点

(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面

所围成的几何体.

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④

侧面展开图是一个矩形.

(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所

围成的几何体.

几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形.

(6)圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的

部分.

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图

是一个弓形.

(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几

何体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2.空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、

俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长

度;

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽

度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度.

3.空.间几何体的直观图一一斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长

度不变：

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半.

考点2空间几何体的表面积和体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，1为母线）

S直棱柱侧面积=ch“柱［则=2mhS正枝锥侧面积=5C”

5圆锥侧面积=mi

S正板台侧面积=/（J+G）〃'S回台灿积=（/+尺）加

=

SJHI柱表2为+/）=疗（r+/）S阳台表=兀（/+〃+山+箱）

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

%=Shvm=Sh=^rh％极="%

%=-(S++S)h%台=：(S'+VFs+S)力=:乃(产+水+R?)h

3JJ

（4）球体的表面积和体积公式：VS

考点3空间点直线平面的关系，直线平面平行判定和I生质

（1）点与平面的关系

点A在平面内，记作；点不在平面内，记作

点与直线的关系：点A的直线1上，记作：AE1；

点A在直线1外，记作A1；

直线与平面的关系：直线1在平面a内，记作1a；直线I不在平面

a内，记作1a.

（2）公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的

点都在这个平面内.

（即直线在平面内，或者平面经过直线）

应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1：

（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确

定一平面.

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合

的依据

（4）公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一

条过该点的公共直线.

符号：平面a和8相交，交线是，记作aAB=a.

符号语言:

①公理3的作用：

②它是判定两个平面相交的方法.

它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点.

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据.

（5）公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行

（6）空间直线与直线之间的位置关系

①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线.

②异面直线性质：既不平行，又不相交.

③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线

是异面直线

④异面直线所成角：直线a、b是异面宜线，经过空间任意一点0,分别引直线

a'〃a,b'〃b,则把直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a

和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°,90°],若两条异面直线

所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.

（7）空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内一一有无数个公共点.

直线不在平面内[相交一一只有一个公共点.

（或直线在平面外）（平行——没有公共点.

三种位置关系的符号表示：aaaCla=Aa,7a

（8）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直

线平行，则该直线与此平面平行.

线线平行=线面平行

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，

经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

线面平行=线线平行

考点4直线平面垂直判定和性质

（1）线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线

垂直这个平面.

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

（2）直线与直线所成的先

①两平行直线所成的角：规定为.

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线

所成的角.

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点0,分别作与两条异面直线a,b平

行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做

两条异面直线所成的角.

（3）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为.

②平面的垂线与平面所成的角：规定为.

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐

角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

在“作角”时依定义关键作别影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,

在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）

过斜线.卜•的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线.

（4）二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这

条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于

棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如

果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角.

三、例题精析

类型一空间几何体的结构，直观图和三视图

1.若・个儿何体的三视图如图所示

（1）求侧视图的面积：（2）求几何体的表面积

S=1x2xV3=V3S.=2G+18

【解析】⑴2(2)

【总结与反思】空间几何体的三视图是高考数学中的一个必考点，考生在做此类题时首先

要能够将所给的三视图进行还原原立体图形，此外必须熟记立体几何图形的表面积体积求

解公式.

某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）

1.2

Fv

正视图左视图

侑视图

A.B.

C.D.[:.1

【答案】A

【解析】由正视图与侧视图可判断出几何体为锥体，再由俯视图能够判定该几何体为圆锥

的一半，且底面向上放置.所以表面积由底面半圆，侧面的一半，和轴截面的面积组成.

由俯视图可得底面半圆半径，所以底面半圆面积，几何体的侧面为圆锥侧面的一半，

由正视图可得圆锥的母线，所以侧面面积，轴截面为三角形，底为2（侧视图），高为

2（正视图）所以可得面积，所以该几何体的表面积为.

一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯

形，则这个平面图形的面积是（）

C.1+

【答案】D

【解析】设直观图为O'A'B'C',建立如图所示的坐标系，按照斜二测画法的规则，在

原来的平面图形中0C_L0A,且0C=2,BC=1,0A=l+2X=1+,故其面积为X（1+1

+）X2=2+.

【总结与反思】

1.解决有关“斜二测画法”问题时，一般在原图形中建立直角坐标系，尽

量取原图形中互相垂直的线段所在直线或图形的对称轴为坐标釉，图形

的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.

2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的两个关系：

⑴S位观图="5甲图形.

（2）S原图形=2Sr或图.

一个几何体的三视图及其尺T（单位：cm）,如图所示，则该几何体的侧面积为cm2.

正主视图侧I左:视图

俯视图

【解析】通过三视图可判断出该几何体为正四棱椎，所以只需计算出一个侧面三角形的面积,

乘4即为侧面积.通过三视图可得侧面三角形的底为8（由俯视图可得）,高为5（左侧面

的高即为正视图中三角形左腰的长度），所以面积为cm2,所以侧面积为cm2.

已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为），则该fl何体的体积为（）

【答案】B

【解析】由三视图可知：该儿何体为正方体挖去了一个四棱锥©

17

X]X-=

28

故选：B

【总结与反思】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对

正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；

俯视图的长是几何体的长，竟是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.

类型2:空间直线平面的关系

如图，四棱锥中，平面，为线段上一点，，为的中点.

(1)证明:0

(2)求四面体N-BCM的体积.

【解析】(1)

由已知得，取的中点，连接，由为中点知，即又，即故四边形为

平行四边形，于是因为所以

(2)因为PA平面ABCD,N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA,取BC的中点

E,连接AE,由AB=AC=3得AEBC,AE=,由AM〃BC得M到BC的距离为，故，所以四面

体N-BCM的体积为

如图，在直角梯形ABCP中，CP//AB,CP1CB,AB=BC=CP=2,D是CP的中点，将PAD沿AD

折起，使得PD_L平面ABCD.

(I)求证：平面PAD_L平面；

(II)若E是PC的中点，求三棱锥A-PEB的体积.

【解析】

(1)证明：：J■底面、：..

乂由于CP〃AB,,,

...为正方形，.

乂，故平面，

因为平面，所以平面平面.

(II)解：AD〃BC,乂平面，平面，

所以AD〃平面，

・•・点到平面的距离即为点到平面的距离.

又•••，是的中点，

由(I)知平面，所以有.

由题意得AD//BC,故.

于是，由，可得平面.

又：平面，，

AD//BC,

如图，己知中，，，且

(1)求证：不论为何值，总有

(2)若求三极锥的体积.

【解析】

(1)证明:因为AB_L平面BCC,所以AB_LCD,

又在4BCD中，ZBCD=900,所以，BC±CD,又ABGBC=B,

所以，CD_L平面ABC,

又在aACD,E、F分别是AC、AD上的动点，

AEAF-八八

且---=----=4(0<4<1)

ACAD

(2)所以，不论为何值，EI7/CD,总有EF_L平面ABC

解：在aBCD中，ZBCD=900,

BC=CD=1,

所以，BD=,

又AB_L平面BCD,所以，AB_LBD,

又在RtAABD中，.\AB=BDtan

由⑴知EF_L平面ABE,

声1

J/o2224

所以，三棱锥A-BCD的体积是

【总结与反思】在解决线面垂直的证明题时，往往是线面垂直的性质和判定的一

个混合应用过程.

如图，己知三棱锥A—BPC中，AP_LPC,AC±BC,M为AB的中点,

D为PB的中点，且△PVB为正三角形.

(1)求证:DM〃平面APC；

⑵求证：BC_L平面APC：

⑶若BC=4,AB=20,求三棱锥D—BCM的体积.

【解析】(1)由已知得，MD是AABP的中位线，所以MD〃AP.

因为MDQ平面APC,APc平面APC,所以MD〃平面APC.

(2)因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD_LPB所以APJ_PB.又因为AP_LPC,且

PBHPC=P,所以AP_L平面PEC

因为BCu平面PBC,所以AP_LBC.

又因为BC_LAC,且ACAAP=A,所以BC_L平面APC

⑶因为MDJ_平面PBC,所以MD是三棱锥M—DBC的高,且MD=5,

又在直角三角形PCB中，由PB=10,BC=4,可得PC=2

SABCI)=SABCP=2,(12分)所以VD—BCM=VM—DBC==10

【总结与反思】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直

类型3:空间角

(1)AC与平面BQ)所成角的大小

(2)二面角A-BC-D的正切值

(3)异面直线A8和CO的角

A

【解析】（1）如图，:RtZkBCD中,BC=1,CD=

:.BD==TO是RtZkBCD斜边中点，

.*.OB=OC=OD=,

VA在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O,

.•・AO_L平面BCD,

...AC与平面BCD所成角为/ACO,

VcosZACO==

.•・NACO=30°,

AAC与平面BCD所成角的大小为30°.

（2）由（1）得AO=

tAB=AC=1=BC,

•••△ABC是正三角形

取BC中点E,则AE_LBC,DE_LBC,AE=,OE=,DC=

则/AEO是二面角A-BC-D的平面角，

tanZAEO==

...二面角A-BC-D的正切值为

（3）取AC的中点，连接EF,OE,0F,

因为E,F分别为中点，所以AB与CD所成的角即为EF与E0所成的角即/OEF,所

以在AEFO中，EF=E0CD=,0F=AC=,

所以Al汴0为等腰直角三角形，所以NOEF=

如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形，，，面面，点为棱的中点.

（1）在棱上是否存在一点，使得面，并说明理由：

（2）当二面角D-FOB的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角.

【解析】：（1）在棱上存在点，使得面，点为棱的中点.

理由如下：

取的中点，连结、

由题意，且，且，

故AEHFQ且AE=FQ.

所以，四边形为平行四边形.

所以，,又平面，平面，

所以，平面.

(2)由题意知为正三角形，所以，亦即，

又，

所以，且面面，面面，

所以面，

设，取DC的中点M,过M作FC的垂线MN,交FC于N,连接MN,所以NBNM即为日

-FC-D的二面角.在直角ABMN中，BM=x/lMN=分

由二面角的余弦值C。80=祢N=任，

所以=,

所以，

由于面，所以在平面内的射影为

所以为直线与平面所成的角a,

易知在中，从而，

所以直线股与平面A8CQ所成的角为45.

如图，在平行六面体

ABCD-AIBICIDI中，AAI上平面ABCD,

且AB=AD=2,AA1=,ZBAD=120°.

(1)求异面直线MB与AG所成角的余弦值:

⑵求二面角B-AID-A的正弦值.

【解析】在平面ABCD内,过点A作AE_LAD,交BC于点E.

因为AA1_L平面ABCD,所以AA1_LAE,AA1_LAD.如图，以｛,,｝为正交基底，建立空间

直角坐标系A-xyz.

因为AB=AD=2,AA1=,ZBAD=120°,

则A(0,0,0),B(,-1,0),D(0,2,0),E(,0,0),Al(0,0,),Cl(,1,).(1)

=(,一1,一)，=(,1,).

则COS〈，)===一.

因此异面直线AB与/IG所成角的余弦值为g.

(2)可知平面AIDA的一个法向量为=(,0,0).

设m=(x,y,z)为平面BAID的一个法向量，

又=(,—1,—)

__

m,AiB=0,■\)3x—y—y[3z=0,

则＜即<

^3x+3y=0.

BD=0.

不妨取x=3,则丫=,z=2,

所以m=(3,,2)为平面BAID的一个法向量,

从而cos<,m)===.

设二面角B-AID-A的大小为。，则|cos0|=.

因为0e[0,n],所以sin0=

因此二面角B-A^A的止弦值为平.

如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为菱形且NDAB=60°,0为AD中点.

(I)若PA=PD.求证：平面POB_L平面PAD：

(H)若平面PAD_L平面ABCD,且PA=PD=AD=2,试问在线段PC上是否存在点M,使二面角

M—B0—C的大小为60°,如存在，求的值，如不存在，说明理由.

【解析】(1)VPA=PD0为AD中点APOIAD

又TABCD为菱形且NDAB=60°AOB±AD

VP0A0B=0.•.AD_L而POB,VAD面PAD.•.面POB_L面PAD

⑵二,面PADliBlABCD且而PADAffl]ABCD=ADAPOlifilABCD,

以O为坐标原点，分别以OA、OB、OP为x、y、z轴

建立空间直角坐标系

・・・°（0,0,0）、P（（）,0,错误!未找到引用源。）、B（0,错误!未找到引用源。，0）、C（-2,错误!

未找到引用源。，①

设错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。（0＜入＜1）错误!未找到引用

源。L错误!未找到引用源。（■入））

•.・平面CBO的法向量为n.=（0,0.错误!未找到引用源。）

设平面MOB的法向量为n2=（x,y,z）

取n2=（°，错误!未找到引用源。）

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

•.•二面角M—BO—C的大小为60°

=解得入=

错误!未找到引用源°错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。

・,・存在M点使二面角M-BO-C等于60°,且=

四、课堂运用

1.一个几何体的三视图如图，则俯视图的面积是—

2.如图，矩形OW8C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=6cm,OC=2cm,则原图

形是()

A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形

Cj___|小

/O'//

3.如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，.

(I)求证：平面；

(II)求四面体8OE厂的体积.

4.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAJ_底面ABCD,AB1AD,AC1CD,ZABC=60°,

PA=AB=BC,E是PC的中点，

(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；

(II)证明AE_L平面PCD；

(HI)求二面角A-PD-C的正弦值.

p

5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD_L平面ABCD,点M在线段

PB上，PD〃平面MAC,PA=PD=,AB=4

(1)求证:M为PB的中点;

(2)求二面角B-PD-A的大小：

(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

答案与解析

1.【答案】2

【解析】由三视图得S=2

2.【答案】C

【解析】将直观图还原得。0A8C,如图,

因为O'D'=OC=2cm.所以OD=2O'O'=4cm,

因为CO'=O'C=2cm,所以CD=2cm,

所以。C=NCD-OD-J2、(4&)2=6(cm),

所以0A=0A=6cm=0C,故原图形为菱形.

3.【答案】

【解析】(I)证明：设，取中点，连结，

所以，因为，，所以，

从而四边形是平行四边形..

因为/Gu平面BEF,AOq平面BEF,

所以平面，即平面

(II)解：因为平面平面，，

所以平面.

因为，，，

所以的面积为，

所以四面体的体积

4.【答案】(1)45°(2)如下(3)

【解析】：(I)解：在四棱锥P-ABCD中,因PAJ_底面ABCD,平面ABCD,

故PA_LAB,又AB_LAD,PAAAD=A,从而ABJ_平面PAD,故PB在平面PAD内的射影为PA,

从而/APB为PB和平面PAD所成的角，在中，AB=PA,故/APB=45°,

所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.

(II)证明:在四棱锥P-ABCD中,

因PA_L底面ABCD,平面ABCD,

故CD_LPA,

由条件CD_LPC,PAnAC=A,

，CD_UiiiPAC,又面PAC,

AAE1CD,由PA=AB二BC,ZABC=60°,可得AC=PA,

TE是HJ的中点,/.AE±EC,/.PCflC^C；

综上得AE_L平面PCD.

【解析】：(I)解:在四棱锥P-ABCD中,因PA_L底面ABCD,平面ABCD,

故PALAB,又AB_LAD,PAAAD=A,从而AB_L平而PAD,故PB在平面PAD内的射影为PA,

从而NAPB为PB和平面PAD所成的角，在中，AB=PA,故/APB=45°,

所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.

(II)证明:在四棱锥P-ABCD中,

因PA_L底面ABCD,平面ABCI),

故CD_LPA,

由条件CD_LPC,PAnAC=A,

.,.CDljfflPAC,又面PAC,

AAE1CD,由PA=AB=BC,ZABC=60°,可得AC=PA,

YE是PC的中点，.*.AE_LPC,/.PCnCD=C,

综上得AE_L平面PCD.

【解析】:(I)解：在四棱锥P-ABCD中.因PA」底面ABCD,平面ABCD.

故PA_LAB,又AB_LAD,PAAAD=A,从而AB_L平面PAD,故PB在平面PAD内的射影为PA,

从而NAPB为PB和平面PAD所成的角，在中，AB=PA,故NAPB=45°,

所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.

(II)证明：在四棱锥P-ABCD中，

因PAJ_底面ABCD,平面ABCI),

故CD_LPA,

由条件CD_LPC,PAnAC=A,

/.CDlifilPAC,又面PAC,

AAE1CD,由PA=AB=BC,ZABC=60°,可得AC=PA,

E是PC的中点，.二AE_LPC,/.PCnCI)=C,

综上得AE_L平面PCD.

【解析】：(I)解：在四棱锥P-ABCD中，因PA_L底面ABCD,平面ABCD,

故PA_LAB,又AB_1_AD,PAOAD=A,从而ABJ_平面PAD,故PB在平面PAD内的射影为PA,

从而NAPB为PB和平而PAD所成的角，在中，AB=PA,故NAPB=45。，

所以PB和平面PAD所成的角的大小为45。.

(II)证明：在四棱锥P-ABCD中，

因PA_L底面ABCD,COU平面ABCD,

故CD_LPA,

由条件CD_LPC,PACIAC=A,

二•CDL面PAC,又施U面PAC,

AAEICD,由PA=AB=BC,NABC=60°,可得AC=PA,

YE是PC的中点，AAE1PC,.*.PCnCI>C,

综上得AE_L平面PCD.

(Ill)解：过点E作EM1PD,垂足为M.连结AM,

由(II)知，AEJL平面PCD,

AM在平面PCD内的射即是EM.则AM1PD.

因此NAME是二面角A-PD-C的平面角，

由已知，可得NCAD=30°,设AC=a,可得

则，

在中，sinNAME=,

所以二面角A-PD-C的正弦值为

5.【答案】同解析

【解析】(1)证明：设AC,BD的交点为E,连接ME.

因为PD〃平面MAC,

平面MACn平面PDB=ME.

所以PD//ME.

因为底面ABCD是正方形，

所以E为BD的中点.所以M为PB的中点.

(2)取AD的中点O,连接OP,OE.因为PA=PD,所以OP_LAD.又因为平面PADJ_平面ABCD,

平面PADn平面ABCD=AD,OPc平面PAD,所以OP_L平面ABCD.

因为OEc平面ABCD,所以OPJ_OE.

因为底面ABCD是正方形，所以OE_LAD.

以0为原点，以，，为x轴,y轴,z轴的止方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,

则P(0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),

=(4.-4.0),=(2,0,-).设平面BDP的一个法向量为n=(x,y,z),

f一

n-BD=0,f4.x—4v=0,

贝K则r

।―>12.V-A/2Z=0.

In-PD=0,

令x=l,得y=l,z=.于是n=(l,l,).

又平而PAD的一个法向量为p=(0,1.0),

所以cos<n,p>==.

由题知二面角B-PD-A为锐角，所以二面角B-PD-A的大小为60,

(3)由题意知M,C(2.4,0),

>

则A/C=(3,2,一点)

设直线MC与平面BDP所成为为Q,

贝!!sina=|cos<n,>|==.

所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为孚.

巩固

1.如图，是一个几何体的三视图，侧视图是一个等边三角形，求

1B.C.2D.3

2.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所

示),NABC=45o/8=AD=lQUL3C,则这块菜地的面积为.

3.如图，在直角梯形ABCD中，ZB=90°,DC/7AB.BC=CD=AB=2,G为线段AB的中

点，将4ADG沿GD折起，使平面ADG_L平面BCDG,得到几何体A-BCDG.

⑴若E,F分别为线段AC,AD的中点，求证:EF〃平面ABG；

(2)求证:AGJL平面BCDG：

(3)求三极锥C-ABD的体积.

4.如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,

PD二，ZPAB=60°.

(I)证明AD_L平面PAB；

(ID求异面直线PC与AD所成的角的正切值;

(III)求二面角P-BD-A的正切值.

5.如图,四棱锥P-ABCD的底面为菱形,

NABC=60°,E是DP的中点.若AP=PB=,AB=PC=2.

⑴证明：PB〃平面ACE：

⑵求二面角A-PC-D的余弦值.

答案与解析

1.【答案】B.由三视图得，a为侧视图上的高线

2.【答案】2+

如图①，在直观图中，过点A作AE_L8C,垂足为E,

:.BE—

•・•在RtA48E中,A8=I,/A8E=45°,

2

•••四边形AEC。为矩形4）=1.

EC=AD=1.:.BC=BE+EC=—+1.

由此可还原原图形如图②.

图②

在原图形中J\'D'=1A8=2,BC=1,

旦AQ'〃8c48_LB'C,

「・这块菜地的面积5=2(A'D^B'C)A'B'=2X(1+1+2)x2=2+2.

3.【答案】

【解析】（1）证明：依题意，折会前后CD.BG位置关系不改变，・・・CD〃BG.

YE、F分别为线段AC.BD的中点，...在AACD中，EF/7CD,AEF/7BG.

又EFG平面ABG,BGu平面ABG,，EF〃平面ABG.

(2)证明：将AADG沿GD折起后，AG、GD位置关系不改变，...AG_LGD,

又平面ADGL平面BCDG,平面ADGD平面BCDG=GD,AGu平面AGD,...AG_L平面BCDG.

⑶解:由已知得BC=CD=AG=2,

又由⑵得又J_平面BCDG,即点A到平面BCDG的距离AG=2,

AG=11xQ1x2X2jX2=1.

32

c

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

I

1

I

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

I

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

HE=，于是在RT^PHE中、lanPEH=，所以二面角P-BD-A的正切值为.

5.【答案】(1)证明：连接BD交AC于点F,连接EF,

:底面ABCD为菱形，，F为BD中点.又YE是DP中点，

：.EF//PB.

,.,PBQ平面ACE,EFc平面ACE,，PB〃平面ACE.

(2)取AB的中点Q,连接PQ.CQ,

•・•底面ABCD为菱形,且NABC=60°,

.'.△ABC为正三角形，••.CQLAB.

VAP=PB=,AB=PC=2,

.••CQ=，且^PAB为等腰直角三角形，

.•.PQ_LAB,PQ=1,，PQ2+CQ2=CP2,，PQ_LCQ.

以Q为坐标原点,QA,QC,QP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标

系，则A(1,O,O),C(O,,0),P(0,0,l),D(2,,0),=(-1,0,1),=(0,-,1),=(2,0,0).

设平面APC的法向量为nl=(xl,yl,zl),

nrAP=0,—xi+zi=0,

即V

->-V3yi+zi=0,

ni-CP=0,

令yl=l,得xl=,zl=，故nl=(,1,).

设平面DPC的法向量为n2=(x2,y2,z2),

=02r2=0，

即

一45yz+z2=0,

=0

令y2=L得z2=,故n2=(D,l,).

•.cos〈nl,n2)===,

由图知二面角A-PC-D为锐角，

・•.二面角A-PC-D的余弦值为平.

1.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥中最长棱的长度为

1).3

2.如图，在四棱锥中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，是

上的点.

求证：(1)平面：

(2)平面平面.

P

E

/'B

DA

3.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形.AD//BC.ZBCD=PA=PB.PC=PD.

(l)i正明平面PABl平面ABCD

(2)如果CD=AD+BC,二面角P-BC-A等于，求二面角P-CD-A的大小

4.如图，是的中点，四边形是菱形，平面平面

(I)若点是线段的中点，证明：平面；

(II)求平而AEE与平面4c厂所成的锐二面角的余弦值.

答案与解析

1.【答案】B

【解析】将几何体还原在长方体中，如图.该几何体为三棱锥片ABC可得最长

棱为长方体的一条体对角线的回31不10名

2.【答案】同解析

【解析】（1）V,平面，平面，

/.平面.

（2）底面，底面，

由题意可知，且，是等腰直角三角形，

，，，即

又，平面

平面，平面平面

3.【答案】（1）取AB.CI）的中点E、F.连结PE、EF、PF,

由PA=PB.PC=PD

得PE_LAB,PFXCD

・・・EF为直角梯形的中位线，ZBCD=90°,

・,.EF_LCD

又PFAEF=F

•••CDJL平面PEF

又〈PFu平面PEF,得CD_LPE

又PE±AB且梯形两腰AB.CD必相交

.•.PE_L平面ABCD

又由PEc平面PAB

・•.平面PAB_L平面ABCD

由（1）及二面角的定义知NPFE为二面角P-CD-A的平面角

作EG_LBC于G,连PG,

由三垂线定理得BCJ_PG,

故NPGE为二而角P-BC-A的平而角

即NPGE=60°,

由已知，得EF=,（AD+BC）=，又EG=CF=

，EF=EG,

ARcAPEF^RtAPEG.（11分）

ZPEF=ZPGE=60°,

故二面角P-CD-A的大小为60°.

4.【答案】同解析

【解析】（1）连接，.

♦.•四边形为菱形，且，

.♦.M8b为等边三角形.

,/为的中点，，.

•・•，，又是的中点，

:.BDVAC.

♦.•平面平面，平面平面，平面，

人。_1_平面8。石月.

又平面，・••.

由，，，

BF_1_平面AMC.

（2）设线段的中点为，连接.易证平面.以为坐标原点，，，所在直

线分别为轴,轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.则

设平面，平面的法向量分别为

=0

由｛A一Em.=O2

EF-m=0

—x=0

12

解得）'i二一44.

取，/.

-x+y=0

BCn=022

又由《=I73解得M=J5Z2.

BF•〃=0~2^+^~22=°

取

m♦n1

・•・平而AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为1.

7

五、课堂小结

1.本节讲了3个重要内容:

2.三视图与表面积及体积

2.直线与平面的位置关系

3.空间角

（1）几何法

（2）向量法

1.一个楼长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示,则截去

的几何体是（）

A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱

2如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，是中点.

(I)证明：平面

(1【)若，，求三棱锥的体积

3.在正四面体ABCD