河北省石家庄长安区2024年中考一模数学试题（含答案）

河北省石家庄长安区2024年中考一模数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（本大题共16个小题．1-6小题每小题3分，7-16小题每小题2分，共38分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．−2比2（）A．小2 B．大2 C．小4 D．大42．一艘轮船在P处向M处的海上巡逻艇呼叫救援，根据图所示，巡逻艇从M处去P处实施救援，若要航线最短，其航行的路线为（）A．沿北偏东40°方向航行B．沿南偏西50°方向航行C．沿北偏东40°方向，航行30海里D．沿南偏西40°方向，航行30海里3．为纪念我国著名数学家苏步青所做的卓越贡献，国际上将一颗距地球2.18亿千米的行星命名为“苏步青星”，将2.18亿用科学记数法表示为2.18×10A．8 B．6 C．4 D．24．若使用如图所示的a，b两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（）A．a，b都可以 B．a，b都不可以C．只有a可以 D．只有b可以5．整式A=x−1，B=x结论一：A⋅x=B．结论二：A，B的公因式为x．下列判断正确的是（）A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确6．如图，将由6个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上逆时针旋转90°后，主视图的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．67．在课堂上老师给出了一道分式化简题：化简(aA．原式=aa−b−1⋅C．原式=a−a+ba−b⋅8．如图∠1=70°，∠2=150°，则直线AB与CD所成的锐角的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．50°9．如图，数轴上有①，②，③，④四部分，数轴上的三个点分别表示数a，b，c且a<0，abc>0，则原点落在（）A．段① B．段② C．段③ D．段④10．如图，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是线段AB，CD，AC，BD的中点，对于四边形EGFH的周长，下列说法正确的是（）A．只与线段AB，CD的长有关 B．只与线段AD，BC的长有关C．只与线段AC，BD的长有关 D．与四边形ABCD各边的长都有关11．班主任和甲、乙、丙三位同学围坐在圆桌前．如图，班主任坐在了D座位，三位同学随机坐在A，B，C三个座位，则甲、乙两位同学座位相邻的概率是（）A．12 B．13 C．1412．如图，在正方形纸片ABCD上进行如下操作：第一步：剪去长方形纸条AEFD；第二步：从长方形纸片BCFE上剪去长方形纸条CFGH．若长方形纸条AEFD和CFGH的面积相等，则AB的长度为（）A．30cm B．15cm C．16cm D．90cm13．刘阿姨早晨从家里出发去公园锻炼，匀速走了60min后回到家（中间不休息）．下图表示她出发后离家的距离s(km)A． B．C． D．14．对于题目“已知⊙O及圆外一点P，如何过点P作出⊙O的切线？”甲、乙的作法如图：甲的作法连接OP，作OP的垂直平分线交OP于点G，以点G为圆心，OG长为半径画弧交⊙O于M，作直线PM．直线．即为所求．乙的作法连接PO并延长，交⊙O于B，C两点，分别，以P，O为圆心，PO，BC长为半径作弧，两弧交于点D，连接OD，交⊙O于点M，作直线PM．直线PM即为所求．下列说法正确的是（）A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误15．如图，直线y=2x+2及反比例函数y=kx(A．2 B．3 C．4 D．516．如图，矩形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，CD，AD上，将矩形分别沿GE，GF，EC折叠，使点A，D恰好都落在点O处，点B落在点B'Ⅰ：若点B'落在EF上，则GF//ECⅡ：若点B'与点O重合，则AB=AD下列判断正确的是（）A．Ⅰ、Ⅱ都正确 B．Ⅰ、Ⅱ都不正确C．只有Ⅰ正确 D．只有Ⅱ正确二、填空题（本大题有3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）17．计算：4−9=18．规定一种新运算：a☆b=ab+a−b，如2☆3=2×3+2−3=5．⑴计算：(3a)⑵如果2☆(2x−3)=3x19．图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，图2是该零件的俯视图，正方形ABCD的两个相对的顶点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），点E，F分别是正六边形的顶点．已知正六边形的边长为2，正方形边长为a．⑴连接EF，EF的长为；⑵a的取值范围是．三、解答题（本大题有7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．琪琪准备完成题目：计算：(−9（1）琪琪猜测被污染的数字“■”23，请计算(（2）琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于−9，请通过计算求出被污染的数字“■”．21．某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：第1个等式：15第2个等式：25第3个等式：35…按照以上规律，解决下列问题：（1）填空：752=75×75=（2）已知1≤n≤9且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明．22．鱼塘承包户小李在春天往鱼塘投放了2000条鱼苗，打算在中秋节前全部售出，据统计，鱼的存活率约为90%（1）求样本的中位数和平均数；（2）已知这种鱼的售价为25元/kg23．某中学举行校庆活动，使用了两架小型无人机进行现场拍摄，1号机所在高度y1(m)与上升时间x(s)（1）求1号机所在高度y1与上升时间x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围），并在图中画出2号机所在高度y2(（2）在某时刻两架无人机能否位于同一高度？如果能，求此时两架无人机的高度；如果不能，请说明理由．24．如图1，某玩具风车的支撑杆OE垂直于桌面MN，点O为风车中心，OE=26cm，风车在风吹动下绕着中心O旋转，叶片端点A，B，C，D将⊙O四等分，已知⊙O的半径为10cm．（1）风车在转动过程中，当∠AOE=45°时，点A在OE左侧，如图2所示，求点A到桌面MN的距离（结果保留根号）；（2）在风车转动一周的过程中，求点A到桌面的距离不超过21cm时，点A所经过的路径长（结果保留π）；（3）连接CE，当CE与⊙O相切时，求切线长CE的值，并直接写出A，C两点到桌面MN的距离的差．25．图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段AB是一段直滑道，点A在y轴上，且OA=1．滑道B−C−D为抛物线：y=14x2+bx+c的一部分，在点C(4,2)处达到最低，点B，D到x轴的距离相等，其中点B到点A的水平距离为2，（1）求抛物线B−C−D和D−E−F的函数表达式；（2）当过山车沿滑道从点A运动到点F的过程中，过山车到x轴的距离为1.5时，求它到出发点A的水平距离；（3）点M为B−C上的一点，求点M到BG和到x轴的距离之和（图中MH+MN）的最大值及此时点M的坐标．26．在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，点P是AB的中点，M在AC上（不与点C重合），连接PM，在PM的左侧作矩形PMQN．（1）如图1，当点N在线段BC上时，①若AM=2，求PN的长；②求tan∠PNM的值．（2）如图2，当PN=PM时，①若矩形PMQN在△ABC内部（包括边界），设AM=x，写出CQ的长与x的函数关系式，并求x的取值范围；②若矩形PMQN的两个顶点落在△PCA的同一条边上，直接写出AC在矩形PMQN内部的线段长．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵2-（-2）=2+2=4，

∴−2比2小4.

故答案为：C.

【分析】直接计算2-（-2）即可解答.2．【答案】D【解析】【解答】解：如图所示，

若要航线最短，其航行的路线为沿南偏西40°方向，航行30海里.

故答案为：D.

【分析】画出图形，根据方位角和距离判断即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：2.18亿=218000000=2.18×108，

∴n的值为8.

故答案为：A.

【分析】利用科学记数法表示2.18亿即可得到n的值.4．【答案】C【解析】【解答】解：∵5cm＞4cm，

∴将5cm铁丝折成两段后，满足两边之和大于第三边，

∴只有a可以.

故答案为：C.

【分析】根据三角形三边的关系为两边之和大于第三边即可判断.5．【答案】A【解析】【解答】解：∵A=x−1，B=x2−x，

∴A⋅x=（x-1）x=x2-x=B，

∴结论一正确；

∵B=x2−x=x（x-1），

∴A、B的公因式为（x-1），6．【答案】A【解析】【解答】解：逆时针旋转90°后的主视图，即是旋转前的左视图，

由图可知，旋转前的左视图的小正方形的个数为3个，

∴旋转后的主视图的面积为3.

故答案为：A.

【分析】逆时针旋转90°后的主视图，即是旋转前的左视图，据此即可求解.7．【答案】D【解析】【解答】解：(aa−b−1)÷ba2−b8．【答案】C【解析】【解答】解：∵∠1=70°，∠2=150°，

∴∠ACD=180°-∠1=110°，∠BAC=180°-∠2=30°，

∴直线AB与CD所成的锐角的度数为180°-（∠ACD+∠BAC）=180°-140°=40°.

故答案为：C.

【分析】先根据平角的定义求出∠ACD、∠BAC的度数，再利用三角形内角和等于180°计算即可.9．【答案】C【解析】【解答】解：由图可知a<b<c，

∵a<0，abc>0，

∴bc<0，

又∵b<c，

∴b<0，c>0，

∴原点落在b、c两点之间，

即原点落在段③.

故答案为：C.

【分析】根据a、b、c所在位置以及a<0，abc>0，可得出b<0，c>0，从而可判定原点落在段③.10．【答案】B【解析】【解答】解：∵点E，F，G，H分别是线段AB，CD，AC，BD的中点，

∴FG=EH=12AD，FH=EG=12BC，

∴C四边形EGFH=FG+EH+FH+EG=AD+BC，

∴四边形EGFH的周长只与线段AD，11．【答案】D【解析】【解答】解：画树状图如下，

由树状图可知，共有6种结果，其中甲、乙两位同学座位相邻的结果占4种，

∴甲、乙两位同学座位相邻的概率为46=23.

12．【答案】A【解析】【解答】解：由题可知四边形ABCD是正方形，四边形EBHG是长方形，

设AB的长度为xcm，

∴AD=AB=xcm，GH=BE=AB-5=（x-5）cm，

∵长方形纸条AEFD和CFGH的面积相等，

∴AD×AE=GH×CH，

∴5x=6（x-5），

解得：x=30，

∴AB的长度为30cm.

故答案为：A.

【分析】设AB的长度为xcm，则AD=xcm，GH=（x-5）cm，根据长方形纸条AEFD和CFGH的面积相等建立方程，解出x的值即可得到AB的长.13．【答案】C【解析】【解答】解：根据图像可知，前半段时间，刘阿姨离家越来越远，中间时间段离家先远后近，后半段时间，离家越来越近，结合选项可知C符合题意.

故答案为：C.

【分析】根据刘阿姨离家的距离结合各选项判断即可.14．【答案】A【解析】【解答】解：甲的作法：如图所示，连接OM、MG，

∵AB是线段OP的垂直平分线，

∴GO=GP，

∵以点G为圆心，OG长为半径画弧交⊙O于M，

∴点M在以OP为直径的⊙G上，

∴∠OMP=90°，

∴直线PM与⊙O相切；

乙的作法：

∵以P为圆心，PO的长为半径作弧，

∴PO=PD，

∴△POD是等腰三角形，

∵以点O为圆心，BC长为半径作弧，

∴OD=BC，

∴OM=DM=12BC，

即点M是线段OD的中点，

∴PM是△POD底边上的中线，

∴PM⊥OD，

∴∠PMO=90°，

∴直线PM与⊙O相切；

综上所述，甲和乙的作法都正确.

故答案为：A.

【分析】甲的作法：连接OM、MG，根据作图得到点M在以OP为直径的15．【答案】C【解析】【解答】解：由直线y=2x+2可知其必过（0，2），（1，4），

把（1，4）代入反比例函数y=kx(x>0)中可得k=4，

此时反比例函数y=4xx>0必过的整点为（4，1），（2，2），（1，4），

∴此时与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）的整点有（1，1）（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），刚好5个整点，

∴k的取值可能是4.16．【答案】C【解析】【解答】解：若点B'落在EF上，由折叠的性质可知，

∠FGO=∠FGD，∠EGO=∠EGA，

∴∠FGE=∠FGO+∠EGO=90°，

∠B'EC=∠BEC，∠GEO=∠GEA，

∵点B'落在EF上，

∴∠CEG=∠CEB'+∠GEO=90°，

∴∠FGE+∠CEG=180°，

∴GF//EC（同旁内角互补，两直线平行），

∴结论Ⅰ正确；

若点B'与点O重合，如图所示，

由折叠性质可知，GD=GO=GA，EA=EO=EB，CO=CB，

设GD=GO=GA=a，EA=EO=EB=b，则AD=2a，AB=2b，

∴CG=CO+GO=CB+GO=2a+a=3a，

在Rt△CEG中，CG2=CE2+EG2=AG2+AE2+BE2+BC2，

即（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2，

整理得b2=2a2，

即b=2a，

∴AB=2AD，

∴结论Ⅱ错误.

综上，只有Ⅰ正确.

故答案为：C.

【分析】若点17．【答案】-1．【解析】【解答】原式=2-3=-1．【分析】原式利用算术平方根定义计算即可得到结果．18．【答案】18a−5；1或−【解析】【解答】解：（1）∵a☆b=ab+a−b，

∴(3a)☆5=3a×5+3a-5=18a-5，

故答案为：18a−5；

（2）∵a☆b=ab+a−b，

∴2☆(2x−3)=2×2x-3+2-2x-3=2x-1，

∵2☆(2x−3)=3x2−2，

∴2x-1=3x2-2，

解得：x1=1,19．【答案】23；【解析】【解答】解：（1）如图所示，过点G作GH⊥EF，

∵点G是正六边形的一个顶点，

∴GE=GF，∠EGF=6-2×180°6=120°，

∵GH⊥EF，

∴∠GEH=30°，

∵正六边形的边长为2，

∴EH=GE·cos30°=2×32=3，

∴EF=2EH=23，

故答案为：23.

（2）当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边上，且垂直这组对边时，如图所示，此时正方形的边长a的值最小，由（1）可知，此时AC为23，根据正方形的性质可得此时边长a=6；

当正方形ABCD的四个顶点都落在正六边形的边上时，正方形的边长a的值最大，如图所示，以正六边形的中心建立平面直角坐标系，

设A't,3时，正方形的边长a的值最大，

由正方形的性质易知B'-3，t，

由正六边形的性质易知M（-2，0），N-1，-3，

设直线MN的表达式为y=kx+b，

将M、N的坐标代入解得k=-3,b=-23，

∴直线MN的表达式为y=-3x-23，

将B'-3，t代入y=-3x-2320．【答案】（1）解：(−9（2）解：设被污染的数字为x，根据题意得：(−9)×(答：被污染的数字是52【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算法则直接计算(−9)×(1221．【答案】（1）5625；(（2）解：(10n+5)2证明：(10n+5∴猜测的算式正确．【解析】【解答】解：（1）∵第1个等式：15第2个等式：25第3个等式：352=35×35=1225=∴第7个等式：752=75×75=5625=（7×8）×100+25.

故答案为：5625；（7×8）×100+25.【分析】（1）直接计算75×75=5625，再根据三个等式的规律写出第7个等式即可得到答案；

（2）根据前三个等式的规律，得出规律(10n+5)222．【答案】（1）解：∵将这20条鱼的质量按照由小到大排列后，中位数是第10、11个数据的平均数，∵第10、11个数据为1.4、1.4，∴这20条鱼质量的中位数是1.x=（2）解：25×1.答：估计小李售完鱼塘里的这种鱼可收入64125元．【解析】【分析】（1）根据中位数的定义和加权平均数的计算方法求解即可；

（2）用这种鱼的售价乘以乘以（1）中计算的平均质量，再乘以存活的数量即可求解.23．【答案】（1）解：由图象知，函数y1经过(0,设y1=kx+b，将(0,3)，(9由题意得：y2=0.5x+6．当x=6，y=9，∴在直角坐标系中描点画得函数y2（2）解：在某时刻两架无人机能位于同一高度，理由如下：当y1=y2时，x+3=0.答：此时两架无人机高度为9m．【解析】【分析】（1）设y1=kx+b，有函数y1经过(0,3)，(9,12)两点，利用待定系数法求一次函数的表达式即可；先根据2号机从6m高度，以024．【答案】（1）解：如图1，过点A作AF⊥MN于点F，作AG⊥OE于点G，则四边形AFEG为矩形．∴AF=GE．在Rt△AOG中，∠AOG=45°，OA=10cm，∴OG=OA⋅cos∵OE=26cm，∴GE=OE−OG=(26−52)，答：点A到桌面的距离是(26−52（2）解：如图2，点A在旋转过程中运动到点A1，A2的位置时，点A到桌面的距离均为过点A2作A2H⊥MN于H，则A2H=21．作A∵OE=26cm，∴OD=OE−DE=26−21=5cm．在Rt△A2OD中，OA2由圆的轴对称性可知，∠A1O∴符合条件的点A所经过的路径长为20π3（3）解：连接AC，如图3．∵弧AC是半圆，∴AC为⊙O的直径．∵直线l切⊙O于点C，且l经过点E，∴OC⊥CE．在Rt△OCE中，OC=10cm，OE=26cm，∴CE=O答：切线长CE的值为24cm．A，C两点到桌面的距离的差为10013【解析】（3）如图，过点A作AH⊥MN，过点C作CK⊥MN，CL⊥AH，

易得四边形LHKC是矩形，

∴LH=CK，∠ACL=90°，

∵CE与⊙O相切，

∴∠OCE=90°，

又∵OE∥AH，

∴∠CAL=∠EOC，

∴△ACL~△OEC，

∴ALOC=ACOE，即AL10=2026，

∴AL=1003cm，

∴A，C两点到桌面的距离的差为10013cm．

【分析】（1）过点A作AF⊥MN于点F，作AG⊥OE于点G，易得四边形AFEG为矩形，得出AF=GE，在Rt△AOG中，利用特殊三角函数值求出OG的长，再利用线段的和差计算即可；

（2）设点A在旋转过程中运动到点A1，A2的位置时，点A到桌面的距离均为21cm，过点A2作A2H⊥MN于H，则A2H=21．作A2D⊥OE于点D，则四动形25．【答案】（1）解：滑道B−C−D:y=1∴y=14(∵点B到点A的水平距离为2，∴将x=2代入y=14(x−4)2+2∵点D与点B关于直线x=4对称，点D(∵滑道B−C−D与滑道D−E−F是形状完全相同、开口方向相反的抛物线，∴可设抛物线D−E−F的函数表达式为y=−1将点F(12,0)，D∴抛物线D−E−F的函数表达式为y=−1（2）解：设直线AB的函数表达式为y=kx+b．将B(2,3)，A(0∴直线AB的函数表达式为y=x+1．∵点C(4,∴抛物线B−C−D不存在y=1.当y=1.5时，1.1.5=−14(综上所述，y=1.5时，过山车到出发点A的水平距离为：x=0.（3）解：设M(x,14(x−4．MH+MN=x−2+1∵点M为B−C上一点，∴2≤x≤4，且MH+MN的值随x的增大而增大，∴当x=4时，MH+MN=1∴当x=4时，MH和MN长度之和的最大值为4．此时M的坐标为(4【解析】【分析】（1）由滑道B−C−D:y=14x2+bx+c的顶点为点C(4,2)，可设其表达式为y=14(x−4)2+2，再整理即可；先根据滑道B−C−D的表达式求出点B的坐标，再根据对称性得出点D的坐标，由滑道B−C−D与滑道D−E−F是形状完全相同、开口方向相反的抛物线，可设抛物线D−E−F的函数表达式为y=−14当y=1.5时，1.5=x+1，解得x=0.5；当y=1.5时，1.5=−14(x−8)2+4，解得x=8±10，据此即可得到过山车到出发点A的水平距离；

（3）设M(x,26．【答案】（1）解：①如图1，当AM=2时，∵A