湖南省邵阳市新邵县小塘镇2024年中考一模数学试题（含答案）

湖南省邵阳市新邵县小塘镇2024年中考一模数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）1．-2024的倒数是（）A．2024 B．-2024 C．12024 D．2．火星是太阳系九大行星之一，火星的半径约为3395000米，数3395000用科学记数法表示为（）A．33.95×105 B．3.395×13．下列运算正确的是（）A．(x+2)2=x2+4 B．4．如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）A． B．C． D．5．二次函数y=−(A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，统计银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：移植的棵数a1003006001000700015000成活的棵数b84279505847633713581成活的频率b0.840.930.8420.8470.9050.905根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.87．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(12，9)，B(9，0)．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为A．(−3，−3) B．(−4，−3) C．8．湖湘饮食文化源远流长，“大碗米粉”是湖南地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“大碗”（图①）的形状示意图.AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为（）A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm9．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”.问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（）A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升10．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝35，点C为平面内一动点，BC＝32，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点MA．(35，65) B．(二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）11．在平面直角坐标系中，若点P(2，−1)与点Q(−2，m)关于原点对称，则12．要使式子3−x有意义，则x的取值范围是．13．因式分解：4x2−114．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=20°，则这个正多边形的边数为.15．已知一元二次方程x2−3x+1=0的两个实数根分别为x1和x216．若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为．17．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC=18．如图，平行于x轴的直线与函数y=k1x(k1>0,x>0)和y=k2x(k2>0,x>0)的图象分别相交于三、解答题（本大题共8个小题，第19-25题每题8分，第26题10分，共66分；解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）19．计算：(−120．先化简，再求值：(x2x−321．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段OA的端点均在小正方形的格点上．（1）画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB；（2）在（1）的运动过程中，请计算出点A绕点O旋转到点B所经过的路径长（结果保留π)22．某学校根据《中小学生课后服务实施意见》，积极开展课后延时服务活动，提供了合唱、舞蹈、科创、书法、美术、课本剧、棋类等课程供学生自由选择.半学期后，该校为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“A.满意；B.比较满意；C.基本满意；D.不满意”四个等级绘制成如图所示的两幅不完整统计图.请根据图中信息，解答下列问题：（1）将条形统计图补充完整；（2）表示等级D的扇形的圆心角是°；（3）由于学校条件限制，“课本剧”课程仅剩下一个名额，而学生小华和小亮都想参加，他们决定采用抽纸牌的方法来确定，规则是：“将背面完全相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽.若小华抽得的数字比小亮抽得的数字大，名额给小华，否则给小亮.”请用画树状图或列表的方法计算出小华和小亮获得该名额的概率，并说明这个规则对双方是否公平.23．如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC=8，菱形ADCF的面积为40，求AB的长.24．有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．25．如图，海中有一小岛P，它周围8海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在A点测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东30°方向上.（1）求∠APB的度数；（2）如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(2,0)（1）求该抛物线的函数表达式；（2）在直线l上是否存在点C，使∠ACB=45°？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为第一象限内抛物线上的一个动点，且在直线l右侧，连接PA，PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心、作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T.若PT2=S△PAB，且⊙M

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得-2024的倒数是−12024，

故答案为：D2．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得数3395000用科学记数法表示为3.395×106，3．【答案】C【解析】【解答】解：

A、(x+2)2=x2+4x+4，A不符合题意；

B、a2⋅a4=a4．【答案】B【解析】【解答】解：该几何体的主视图为：

故答案为：B.

【分析】主视图是从几何体正面观察所得到的平面图形，据此判断.5．【答案】B【解析】【解答】解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故错误；

B、抛出的篮球会下落是必然事件，故错误；

C、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用抽样调查的方式，故错误；

D、若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2=2，S乙2=2.5，则甲组数据较稳定，故正确.故答案为：D.【分析】根据必然事件的概念可判断A、B；根据抽样调查与普查适宜的条件可判断C；方差越小，数据越稳定，据此判断D.6．【答案】C【解析】【解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.905，

∴银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9，

故答案为：C

【分析】根据用频率估计概率结合表格数据即可求解。7．【答案】B【解析】【解答】解：∵点O为位似中心，△OAB的位似图形为△OCD，位似比为13而A(12，∴C(−13×12，−故答案为：B．

【分析】利用位似图形的性质求解即可。8．【答案】A【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，AB=24cm∴OD⊥AB，AC=BC=1设⊙O的半径OA为Rcm，则OC=OD−CD=(在Rt△OAC中，∵∠OCA=90°，∴OA∴R∴R=13，即⊙O的半径OA为13cm．故答案为：A【分析】先根据垂径定理得到OD⊥AB，AC=BC=12AB=12cm，设⊙O的半径OA为Rcm9．【答案】C【解析】【解答】解：设其可以换得粝米为x升，由题意得x30∴x=18，∴可以换得粝米为18升；故答案为：C【分析】设其可以换得粝米为x升，进而根据“50单位的粟，可换得30单位的粝米，有3斗的粟（1斗＝10升）”即可列出一元一次方程，从而即可求解。10．【答案】D【解析】【解答】解：∵点C为平面内一动点，BD＝32∴点C在以点B为圆心，32在x轴的负半轴上取点D（﹣35连接BD，分别过C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，∵OA＝OB＝35∴AD＝OD+OA＝95∴OAAD＝2∵CM：MA＝1：2，∴OAAD＝23＝∵∠OAM＝∠DAC，∴△OAM∽△DAC，∴OMCD＝OAAD＝∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，∵OA＝OB＝35，OD＝3∴BD=O∴CD＝BC+BD＝9，∵OMCD∴OM＝6，∵y轴⊥x轴，CF⊥OA，∴∠DOB＝∠DFC＝90°，∵∠BDO＝∠CDF，∴△BDO∽△CDF，∴OBCF=BD解得CF＝185同理可得，△AEM∽△AFC，∴MECF=AM解得ME＝125∴OE=O∴当线段OM取最大值时，点M的坐标是(6故答案为：D【分析】先根据题意D（﹣352，0），连接BD，分别过C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，进而根据比例结合相似三角形的判定与性质得到OMCD＝OA11．【答案】1【解析】【解答】解：∵点P(2，−1)与点Q(−2，m)关于原点对称，

∴m=1，12．【答案】x≤3【解析】【解答】解：∵3-x有意义，

∴3-x≥0，

∴x≤3.

【分析】根据二次根式有意义的条件得出3-x≥0，解不等式即可得出答案.13．【答案】(2x+1)(2x-1)【解析】【解答】4x2−1=(2x+1)(2x-1).

【分析】将4x214．【答案】九【解析】【解答】解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，∵∠ADB=20°，∴∠AOB=2∠ADB=40°，而360°÷40°=9，∴这个正多边形为正九边形.故答案为：九.【分析】设正多边形的外接圆为○O，连接OA，OB，由圆周角定理可得∠AOB=2∠ADB=40°，然后利用360°除以∠AOB的度数就可求出正多边形的边数.15．【答案】2【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+1=0的两个实数根分别为x1∴x1+x∴x1故答案为：2【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解。16．【答案】24【解析】【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8，

∴菱形的面积为24，

故答案为：24

【分析】根据菱形面积的计算公式即可求解。17．【答案】2【解析】【解答】解：连接AC，

∵AC2=12+32=10，BC2=12+32=10，AB2=42+22=20.

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，

∴sin∠ABC=ACAB=1020=12【分析】连接AC，由勾股定理求出AC2、BC2、AB2，结合勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，然后根据三角函数的概念进行计算.18．【答案】8【解析】【解答】解：设：A、B点的坐标分别是A（k1m，m）、B（∴△ABC的面积＝12•AB•yA＝12•（k1∴k1﹣k2＝8，故答案为：8【分析】根据反比例函数k的几何意义结合题意即可得到△ABC的面积＝12•AB•yA＝12•（k119．【答案】解：(=1+2−=1【解析】【分析】根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值进行计算即可求解。20．【答案】解：原式==2x当x=1012时，原式=2x=2×1012=2024.【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，进而代入数值即可求解。21．【答案】（1）解：如图所示（2）解：由图知，OA=2∴l=90×π×【解析】【分析】（1）利用旋转变换的性质找到对应点B即可求解；

（2）利用勾股定理求出OA的长，再利用弧长公式代入数据即可求解.22．【答案】（1）解：补全统计图如下：（2）60（3）解：根据题意画图如下：共有16种等可能的情况数，其中小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况有6种，则名额给小华的概率是616=3因为38所以这个规则对双方不公平.【解析】【解答】解：（1）根据题意，得15÷25%B类人数为：60−10−10−15=25（人），补图如下：（2）由题意得360°×10故答案为：60【分析】（1）先根据题意求出总人数，进而用总人数减去其余人数即可得到B类人数，从而即可补全统计图；

（2）根据圆心角的计算公式结合题意进行计算即可求解；

（3）先根据题意画出树状图，进而得到共有16种等可能的情况数，其中小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况有6种，从而根据等可能事件的概率即可求解。23．【答案】（1）证明：如图，因为AF∥BC，所以∠AFE=∠DBE，因为E是AD的中点，所以AE=DE，在△AEF和△DEB中，∠AFE=∠DBE所以△AEF≅△DEB(AAS)，所以AF=DB，因为AD为BC边上的中线，所以DB=DC，所以AF=CD，因为AF∥BC，所以四边形ADCF是平行四边形，因为∠BAC=90°，D是BC的中点，所以AD=1所以平行四边形ADCF是菱形.（2）解：因为D是BC的中点，所以S菱形ADCF所以AB=10.【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠AFE=∠DBE，进而根据三角形全等的判定与性质证明△AEF≅△DEB(AAS)得到AF=DB，从而根据中线的性质结合题意得到AF=CD，再根据平行四边形的判定结合菱形的判定即可求解；

（2）根据中点结合三角形的面积和菱形的性质即可求解。24．【答案】（1）解：设1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为x人，y人，2x+3y=180x+2y=105解得：x=45y=30答：1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人（2）解：设租用甲种客车x辆，依题意有：45x+30(6−x)≥240x<6解得：6>x≥4，因为x取整数，所以x=4或5，当x=4时，租车费用最低，为4×400+2×280=2160.【解析】【分析】设1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为x人,y人,根据“2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．”列出方程组，解出即可.

（2）

设租用甲种客车x辆，根据共有240名学生及甲、乙共6辆，可列出不等式组，求出不等式组的整数解，即得租车方案及最低费用.25．【答案】（1）解：过点P作PC⊥AB于点C，则PC的长是A到AB的最短距离.∵∠CPD=30°，∠CPA=60°，∴∠APB=60°−30°=30°（2）解：∵∠PAB=90°−60°=30°∴∠PAB=∠APB∴AB=PB=12海里∵Rt△PCB中，∠CPB=30°∴PC=