数学八年级上册第13章轴对称 教案 新人教版

第十三章轴对称

13.1轴对称

13.1.1轴对称

遨学®©

【知识与技能】

(1)理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念.

(2)了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某条直线对称的对应点.

(3)掌握线段垂直平分线的概念.

(4)理解和掌握轴对称的性质.

【过程与方法】

通过已知图形画对称轴及画轴对称图形，让学生体会轴对称图形的性质和轴对称在实际

生活中的应用.

【情感态度与价值观】

通过对轴对称图形和轴对称的认识，增强学生对对称美的认识，使学生感受数学带来的

美.

建学金

轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念.

藜学馅陶

轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的区别和联系.

金具命❸

多媒体课件、剪刀、长方形纸片

通膘

教师引入：我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品

的创作往往也从对称的角度考虑，自然界的许多动植物也按照对称形生长，中国的方块字中

有些也具有对称性，(教师利用投影出示一些图片，如图137.17)……对称给我们带来很

多美的感受！

图13-1.1-1

其中轴对称是对称中重要的一种，那么这节课我们就学习轴对称.（教师板书课题）

B学电0

探究1:轴对称

教师提出问题：把一张长方形纸片对折，剪出一个图案，再打开，就剪出了美丽的窗花,

你能剪出什么样的窗花呢？

教师先把长方形纸片对折，用剪刀剪出一个图案，再打开这个图案，让学生欣赏，然后

学生自己动手按要求剪纸.学生在观察、互相交流的基础上描述图形的特征，教师归纳轴对

称图形及轴对称的概念，并板书概念：

如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴

对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.

然后教师让学生举出一些轴对称图形的例子.

教师出示例题：

例1在如图13-1.1-2所示的图形中，轴对称图形的个数是（B）.

图13-1.1-2

A.1B.2C.3D.4

学生先独立思考,再口答哪些是轴对称图形，教师进行点评.

然后教师让学生完成：教材P60练习第1题.（学生口答，并在书上画出对称轴，标注它

们的一对对称点）

探究2：两个图形成轴对称

教师提出问题：在教材P59图13.1-3中，每对图形有什么共同特征？

你们能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？

学生观察思考，并互相交流，发现其共同特征一一每一对图形沿着虚线折叠，左边的图

形都能与右边的图形重合.

教师进一步说明：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那

么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应

点，叫作对称点.

然后教师让学生举出一些两个图形成轴对称的例子.

教师提出问题：⑴将教材P58-59图13.1-2和图13.1-3进行比较,轴对称图形与两个

图形成轴对称有什么区别？

(2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称吗？如果

把两个成轴对称的图形看成一个整体，它是一个轴对称图形吗？

学生独立思考后，进行交流，然后学生代表发言.

教师根据学生回答的情况进行点评，最后师生共同归纳得出：把成轴对称的两个图形看

成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图

形关于这条轴对称.

接着，教师继续提出问题：(1)成轴对称的两个图形全等吗？全等的两个图形一定成轴

对称吗？为什么？

(2)在教材图13.1-3中，你能标出A,B,C的对称点吗？

学生独立思考后，再展开讨论，教师参与学生的讨论，并及时指导.

然后教师让学生完成：教材P60练习第2题.(学生口答，并在书上画出对称轴，标注它

们的一对对称点)

最后教师总结：

轴对称轴对称图形

(1)对两个图形而言；(1)对一个图形而言；

区别

(2)指两个图形的相互关系(2)指一个特殊形状的图形

(1)沿某条直线对折后都能重合；

(2)把关于一条宜线对称的两个图形看成一个整体,它就是一

联系

个轴对称图形；反过来,一个轴对称图形也可以分成关于一条直

线对称的两个图形

探究3：垂直平分线

教师出示问题：(D观察教材P59图13.1-4,线段AA',BB',CC与直线MN有什么

关系？

(2)在教材图13.1-5中，你能测量出线段AA',BB'与直线1的夹角吗？它们与直线1

垂直吗？点A与点A，到直线1的距离相等吗？点B与点B'到直线1的距离呢？

教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流，学生汇报交流结果.

教师接着引导学生从观察三条线段与直线MN的位置关系，利用投影动画展示点A与点

A'等重合的情形，并指出：经过线段中点并垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直

平分线.

最后师生共同归纳：

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分

线.

类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

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1.概念：轴对称图形、两个图形关于某条直线对称、对称轴、对称点.

2.找轴对称图形的对称点.

3.垂直平分线.

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13.1.1轴对称

投

影探究1:轴对称探究2：两个图形成轴对称

区(轴对称图形、对称轴及轴对称的概念)探究3：垂直平分线

第十三章轴对称

13.1轴对称

13.1.2线段的垂直平分线的性质

课时1线段的垂直平分线

【知识与技能】

(1)掌握线段的垂直平分线的性质和判定.

(2)能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题.

【过程与方法】

经历线段垂直平分线的性质定理的证明过程，体验逻辑推理的数学方法.

【情感态度与价值观】

通过对线段垂直平分线的性质定理的探索，提高学生自主学习的能力，增强学好数学的

自信心.

线段的垂直平分线的性质和判定.

灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题.

多媒体课件、三角尺、无刻度的直尺、圆规

教师引入：上节课我们学习了线段垂直平分线的概念，并且我们也已经知道线段是轴对

称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，那么线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课

我们将研究它.（板书课题）

教师提出问题：已知线段a,以a为底边的等腰三角形有几个？利用三角尺和刻度尺，

你能画出至少三个吗？

教师利用三角尺、刻度尺作出线段的垂直平分线，在垂直平分线上取点、连线可得满足

条件的等腰三角形,并直接指出：在这里，我们利用了线段的垂直平分线上的点与这条线段

两个端点的距离相等.那么这条性质又是怎么证明的呢？下面我们一起来研究.

探究1：线段的垂直平分线的性质

教师让学生先根据这个命题画出图形（如图13T.2.1-1）,写出已知、求证.

学生完成之后教师提问：这是证明线段相等的命题，回忆以

前证明角的平分线的性质的方法，会得到什么启发？

图13-1.2.1-1学生思考之后回答：可以利用“SAS”证明APAC之aPBC,从而得到PA=PB.

学生自行完成证明过程.

然后教师指出线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的

距离相等.

教师进一步说明：今后我们可以直接利用这个性质得到有关的线段相等，同时这也可以

作为等腰三角形的一种判定方法.

探究2：线段的垂直平分线的判定

教师提出：反过来，与一条线段两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平

分线上呢？我们也可以通过“证明”来解决这个问题.

图13-1.2.1-2

然后让学生画出图形（如图13-1.2.1-2）,写出已知、求证.

图13-1.2.1-2教师强调：为了证明点Q在AB的垂直平分线上，可以过点Q作辅助线，

先构造“垂直或平分”中的一个关系，再证明另一个关系.特别要注意防止“过点Q作线段

AB的垂直平分线”这种错误.

然后让学生根据提示，口述证明过程.

最后师生共同总结线段垂直平分线的判定方法：与一条线段两个端点距离相等的点，在

这条线段的垂直平分线上.

学生提出问题：判定方法只能判定点在线段的垂直平分线上，那么怎么才能判定这条直

线就是线段的垂直平分线呢？

教师：这个问题提得很好，大家想一想，几点确定一条直线？

学生回答两点.

教师表示肯定以及回答学生提出的问题：只要我们能证明一条直线上有两点满足判定方

法的条件，那么这条直线就一定是线段的垂直平分线.最后教师进行总结：（1）要证明某条直

线是某条线段的垂直平分线，有两种证明方法：一是根据定义去证明；二是根据“两点确定

一条直线”，证明直线上的两个点都在这条线段的垂直平分线上.（2）根据线段垂直平分线的

判定定理可以作线段的垂直平分线.

接着教师提出：你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？

教师提示：要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……

那么……”的形式，逆命题就容易写出，并且鼓励学生找出原命题的条件和结论.

（教师出示投影）原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个

点与这条线段两个端点的距离相等”.

学生口述逆命题，教师板书：“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点

在这条线段的垂直平分线上”.

接着，教师让学生判断它的真假，并且如果是真，那么证明它；如果是假，那么用反例

说明.（请学生自行在练习本上完成）

最后学生给出了如下的四种证法.

已知：线段AB,P是平面内一点，且PA=PB.

求证：点P在AB的垂直平分线上.

证法1：过点P作已知线段AB的垂线PC.BPA=PB,PC=PC,/.RtAPAC^RtAPBC(HL).

/.AC=BC,即点P在线段AB的垂直平分线上.

证法2：取AB的中点C,过点P,C作直线，如图13T.2.1-3(1).

VPA=PB,PC=PC,AC=BC,

.♦.△PAC丝△PBC(SSS).

；.NPCA=/PCB(全等三角形的对应角相等).

又•.•/PCA+/PCB=180°,

.•.ZPCA=ZPCB=90°,即PCJ_AB,

点P在线段AB的垂直平分线上.

证法3：如图13T.2.1-3(2),过点P作NAPB的平分线.

VPA=PB,Z1=Z2,PC=PC,

,•.△APC^ABPC(SAS).

/.AC=BC,NPCA=NPCB(全等三角形的对应边相等，对应角相等).

又；/PCA+/PCB=180°,

AZPCA=ZPCB=90°,

点P在线段AB的垂直平分线上.

(1)(2)

图13-1.2.1-4图13-1.2.1-5

证法4：如图13T.2.1-4,过点P作线段AB的垂直平分线PC.

VAC=CB,ZPCA=ZPCB=90°,

点P在线段AB的垂直平分线上.

四种证法由学生表述后，有学生表示对第四位同学的证法不明白.

师生共同分析：如图13T.2.1-5⑴，PDLAB,点D是垂足，但点D不平分AB；如图

13-1.2.1-5(2),PD平分AB,但PD不垂直于AB.这说明一般情况下，“过点P作AB的垂直

平分线”是不可能实现的，所以第四位同学的证法是错误的.

教师总结:从同学们的推理证明过程可知，线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题,

我们把它称为线段的垂直平分线的判定.

接着引入：我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线，现在我们学习了线段的垂直

平分线的性质和判定，能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线？那么要作出线段

的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂

直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段

的垂直平分线.下面我们共同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据.

教师出示P62例1：

尺规作图：经过己知直线外一点作这条直线的垂线.

已知：直线AB和AB外一点C(如图13-1.2.1-6).

求作：AB的垂线，使它经过点C.

C

K------5

图13-1.2.1-6

作法：(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁.

(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.

(3)分别以点D和点E为圆心，大于一DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.

(4)作直线CF.

直线CF就是所求作的垂线.

教师接着提问：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？

学生之间互相交流后，选一个代表口述：从作法的(2)(3)可知，CD=CE,DF=EF,

点C,F都在线段AB的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定).

CF就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线).

最后教师总结：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法

后，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段的中点，所以我们也用

这种方法找线段的中点.

接着教师让学生完成：教材P62练习第1,2题.（学生独立完成之后，教师点评）.

1.线段的垂直平分线的判定与性质互为逆命题.

2.线段的垂直平分线的集合定义包含两层意思：（1）到线段两个端点的距离相等的点都

在线段的垂直平分线上.（2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.

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13.1.2线段的垂直平分线的性质

课时❶线段的垂直平分线

探究1:线段的垂直平分线的性质

投

影（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的（与线段两个端点距离相等的点，

区距离相等）在这条线段的垂直平分线上）

探究2：线段的垂直平分线的判定

第十三章轴对称

13.1轴对称

13.1.2线段的垂直平分线的性质

课时2对称轴的画法

【知识与技能】

（1）会画线段的垂直平分线.

（2）会画轴对称图形的对称轴.

【过程与方法】

通过已知图形画对称轴，让学生体会轴对称图形的性质和轴对称在实际生活中的应用.

【情感态度与价值观】

通过对轴对称图形的认识，增强学生对对称美的认识，使学生感受数学带来的美的享受.

轴对称图形的对称轴的画法.

轴对称图形的对称轴的画法.

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多媒体课件、无刻度的直尺、圆规

教师出示投影并引入：如图13-1.2.2-1的交通标志是轴对称图形吗？如果是轴对称图

形，你能找到它的对称轴吗？

至A国

图13-1.2.2-1

学生先口答是否为轴对称图形，再通过折叠，画出折痕（即为对称轴），教师肯定学生的作法,

且提出问题：不经过折叠，能用什么方法画出它们的对称轴？（教师板书课题）

探究：对称轴的画法

教师引入：我们已经学过，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对

应点所连线段的垂直平分线，所以我们只要找到两个图形的一对对应点，然后画出以对应点

为端点的线段的垂直平分线即可,并提出问题：如何画线段的垂直平分线呢？

教师出示教材P63例2：

如图13-1.2.2-2（1）,点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

(1)(2)

图13-1.2.2-2

教师具体分析作法：我们只要连接点A和点B,作出线段AB的垂直平分线，就可以得

到点A和点B的对称轴.为此作出到点A,B距离相等的两点，

即线段AB的垂直平分线上的两点，连接这两点即可得出线段AB的垂直平分线.

然后写出作法，根据作法作出图形：

作法:如图13-1.2.2-2(2).

(1)分别以点A和点B为圆心，大于一AB的长为半径作弧(想一想为什么)，两弧相交

于C,D两点；

(2)作直线CD.

CD就是所求作的直线.

学生模仿教师的作法.

学生作完之后，教师指出这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图.

教师引导学生思考：

(1)在作法中为什么有CA=CB,DA=DB?

(2)可以用这种方法找出线段的中点吗？四等分点呢？

学生思考之后，教师总结对称轴的画法：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点,

作出对应点所连线段的垂直平分线，就能得到此图形的对称轴.教师出示例题：

例1如图13-1.2.2-3,ZXABC和AA'B，C'是两个成轴对称的图形，请画出它的对称

轴.

教师启发学生把问题转化为已解决的问题，此时只要画出点A,A'连线的垂直平分线即

可.师生共同完成.

解：如图13-1.2.2-4,直线1就是所要求作的对称轴.

随后教师提示学生思考其他作法.

例2图13T.2.2-5是一个五角星，请画出它的对称轴.

教师引导学生思考，五角星有几条对称轴？点A可以和哪些点是对应点？最后类比例1,

由学生自己完成.

解：如图13-1.2.2-6.

最后教师归纳总结：画轴对称图形的对称轴，实际上就是运用轴对称的性质，找到对应

点所连线段的垂直平分线.在画一个轴对称图形的对称轴时，一定要将所有的对称轴都画出

来.在画对称轴时，也可以取两组对应点连线的中点，过这两个中点的直线即为对称轴.

接着教师让学生独立完成：教材P64练习第「3题.（学生在书上画出对称轴，教师巡

视、点评.

画轴对称图形的对称轴，实际上就是运用轴对称的性质，找到对应点所连线段的垂直平

分线.

13.1.2线段的垂直平分线的性质

课时❷对称轴的画法

投

影探究:对称轴的画法例2

区例1

第十三章轴对称

13.1轴对称

【预习速填】

1.轴对称图形.理解轴对称图形的概念,要注意以下三点:①轴对称图形是一个整图形;②将

图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够互相—；③轴对图形的对称轴是一条—,它可

以是一条，也可以有多条.

2.轴对称的定义.理解轴对称的概念要注意与轴对称图形区别，轴对称是相对于两个图形而

言的,把其中一个图形沿着某一条直线折叠,能够与另一个图形重合,则这两个图形关于这条

直线成.

3.轴对称的性质.经过线段中点并且于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，

由此得到轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所

连线段的.反过来,如果两个图形的点所连线段分别被同一条直线垂直平分,那么这两

个图形关于这条直线成.

4.线段的垂直平分线的性质与判定.线段的垂直平分线说明了垂直平分线与线段的两种关

系:①位置关系一垂直;②数量关系一平分线段的垂直平分线的性质是:线段垂直平分线上的

点与这条线段两个端点的距离—,其主要应用于证明线段相等;判定是:与线段两个端点距

离相等的点在这条线段的上，其主要应用于证明某一个点在线段的垂直平分线上.

【自我检测】

1.下面每组两个图形成轴对称的是（）

FF3FFt

ABCD，

2.下列图形中是轴对称图形的有

⑴⑵

3.如图，线段AB、CD关于直线EF对称，贝ljAC1—,BD±,A0=,BOi=

A

E—

D

C

4.如图所示,直线MN和DE分别是线段AB、BC的垂直平分线,它们交于P点,请问PA和PC

相等吗？为什么？

5.如图是一个轴对称图形,请找出对称轴的条数,并在图上画出其中的一条对称轴.

参考答案

【预习速填】

1.【答案】重合，直线

2.【答案】轴对称

3•【答案】垂直，垂直平分线，轴对称

4.【答案】相等，垂直平分线

【自我检测】

1•【解析】由轴对称的概念可知C正确。

【答案】C

【答案】B

2.【解析】由轴对称的概念可知，这四个图像都是轴对称图形

【答案】⑴⑵⑶⑷

3.【解析】由轴对称的概念，EF是对称轴，求解。

【答案】EF,EF,CO,D0,

4.【解析】相等理由:连接PB,MN是AB的垂直平分线,PA=PB.同DP理,PC=PB,二,PA=PC.

5.【解析】6条对称轴，画图如图

第十三章轴对称

13.2画轴对称图形

课时1画对称轴图形

【知识与技能】

通过实际操作，掌握画轴对称图形的方法.

【过程与方法】

探索画一般的轴对称图形的方法，使学生能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后

的图形.

【情感态度与价值观】

培养学生的审美情趣、合作意识和学习兴趣.

能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形.

较复杂图形的轴对称图形的画法.

多媒体课件、半透明纸（左边部分画有一只左脚印）、无刻度的直尺、圆规

教师引入：经过前面的学习，我们掌握了轴对称的性质，能利用轴对称的性质画出轴对

称图形的对称轴.那么如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的

图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法.

探究：作轴对称图形的方法

图13-2-1

教师拿出一张半透明的纸，并且左边部分画好一只左脚印.然后教师把这张纸对折后描

图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印（如图13-2-1）.

然后让学生观察发现：右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴，

并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.

然后教师让学生再画一个图形做一做，看看能否得到同样的结论.

接着教师提出问题：对称轴是折痕所在的直线，即直线1,它与图中的线段PP'是什么

关系？

学生回答：直线1垂直平分线段PP'.

教师最后归纳：由一个平面图形可以得到与它关于一条直线1对称的图形，这个图形与

原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线1的对称

点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.

教师出示思考1:如何画一个点的对称图形？

己知：直线/和直线外一点A.

求作：关于直线1的对称点A，.

教师总结画法，学生完成：如图13-2-2.(1)过点A作对称轴/的垂线，垂足为B；

(2)延长AB至点A',使得BA'=AB,则A'就是点A关于直线/的对称点.

可

图13-2-2图13-2-3

接着出示思考2：如何画一条线段的对称图形？

已知：线段AB.

求作：AB关于直线1的对称线段.

学生先独立思考，再归纳画法：如图13-2-3.(1)画出点A关于直线1的对称点A'；

(2)画出点B关于直线1的对称点B'；

(3)连接点A'和点B'得到线段A'B',线段A'B'即为所求.

教师出示教材P67例1：

如图13-2-4(1),已知AABC和直线1,画出与AABC关于直线1对称的图形.

图13-2-4

师生共同分析：^ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画出这三个顶点关于直线1

的对称点，连接这些对称点，就能得到要画的图形.

学生口述画法，教师板演：(1)如图13-2-4(2),过点A作直线1的垂线，垂足为0,

在垂线上截取0A'=0A,则A'就是点A关于直线1的对称点；

(2)同理，分别画出点B,C关于直线1的对称点B',C；

(3)连接A'B',B，C',C'A',则4A'B'C'即为所求.

最后，教师总结：几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一

些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.

接着，让学生独立完成：教材P68练习第1,2题.

1.由一个平面图形可以得到与它关于一条直线对称的图形，这个图形与原图形的形状、

大小完全相同.

2.经过轴对称变换的图形与原图形上的对应点的连线被对称轴垂直平分.

3.画一个图形的轴对称图形，关键是找到图形上一些特殊点的对称点，它的方法如下：

(1)由已知点出发作已知直线的垂线，并确定垂足；

(2)在直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段

的长，得到线段的另一端点，即为对称点；

(3)连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形.

13.2画轴对称图形

一轴对称图形

投

影探究:作轴对称图形的方法(教材P67例1的作图过程)

区

第十三章轴对称

13.2画轴对称图形

课时2用坐标表示轴对称

【知识与技能】

(1)能在平面直角坐标系中画出点关于坐标轴的对称点.

(2)能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，表示关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐

标.

【过程与方法】

通过实验,探索、发现关于坐标轴对称的点的规律，并能运用坐标规律在坐标系中画轴

对称图形.

【情感态度与价值观】

通过研究坐标系中关于坐标轴对称的点的规律，让学生体会数形结合在解决问题时发挥

的优势.

表示点关于坐标轴对称的点的坐标.

找对称点的坐标之间的关系.

多媒体课件、尺子

多媒体展示教材P69“思考”：你能说出西直门的坐标吗？

学生指出西直门的位置，试着说出西直门的坐标.

然后教师引入：用坐标表示轴对称，可以很方便地确定一个地方的位置，这种表示位置

的方法在我们日常生活中应用非常广泛，如工程建设的绘图等.这节课我们就来学习用坐标

表示轴对称.(板书课题)

探究：关于坐标轴对称的点的规律

教师引导学生完成以下活动：

1.在平面直角坐标系中画出下列已知点：

A(2,-3),B(-l,2),C(-6,-5),D12,1,E(4,0).

2.画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点，并填写表格.

3.你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗？

横、纵坐标

已知点4(2,-3)8(-1,2)C(-6,-5)DJ£(4,0)

(T)的变化情况

关于X轴的

对称点

关于y轴的

对称点

小组合作，总结规律(教师板书)：点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y),即横

坐标相同，纵坐标互为相反数；点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y),即横坐标互

为相反数，纵坐标相同.

教师出示教材P70例2：

如图13-2-5,四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),

D(-5,4),分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形.

解：点(X,y)关于y轴对称的点的坐标为(-X,y),因此四边形ABCD的顶点A,B,C,

D关于y轴对称的点的坐标分别为A'(5,1),B'(2,1),C'(2,5),D'(5,4),依次连

接A'B',B'C',C'D',D'A',就可得到与四边形ABCD关于y轴对称的四边形A'B'

C'D',如图13-2-6.

然后让学生在图13-2-6中画出与四边形ABCD关于x轴对称的图形.

最后教师总结：1.对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶

点)的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形关于坐标轴对称的图形.

2.图形关于坐标轴对称：

(1)一个图形内任意一点的横坐标保持不变，纵坐标乘T,所得图形与原图形关于x轴

对称；

(2)一个图形内任意一点的纵坐标保持不变，横坐标乘-1,所得图形与原图形关于y轴

对称.

接着，学生口答教材.P70练习第1题，然后书面完成练习第2题.

点A关于x轴或y轴对称的点的坐标.

(1)点A(a,b)关于x轴对称的点的坐标是(a,-b)；

⑵点A(a,b)关于y轴对称的点的坐标是(-a,b).

说明：若两个点关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数；若两个点关于y

轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相等.

13.2画轴对称图形

课时❷用坐标表示轴对称

探究：关点（%,y）关于x轴对称的点的坐标为（3-y）,即横坐标相同，纵坐标互为相

于坐标轴反数；点（》,，）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）,即横坐标互为相反数，

对称的点纵坐标相同

的规律例2

第十四章轴对称

13.2画轴对称图形

【预习速填】

1轴对称变换的性质.轴对称变换是由一个平面图形得到它的轴对称图形,它描述的是两个

图形的位置、形状、大小的关系，即:①由一个平面图形可以得到它关于条直线1成轴对称的

图形,这个图形与原图形的,完全相同;②新图形上的任意一点，都是原图形上某

一点关于直线1的；③连接任意一对对称点的线段被对称轴.

2.作关于直线对称的图形的方法画轴对称图形的依据是轴对称的性质，找特殊点对作出轴对

称图形极其重要，因为几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴

的,再—这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形;对于一些由直线、线段或射线

组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的—,再连接这些对称点,就可以

得到原图形的轴对称图形.

3.点关于坐标轴对称.实际动手操作,在平面直角坐标系中任意选取一些点，画出它们分别关

于x轴、y轴的对称点,观察每对对应点的坐标规律，总结：点（x,y）关于x轴对称的点的坐标

为,即横坐标相同,纵坐标互为相反数;点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为—,即横

坐标互为相反数,纵坐标相同；在记忆规律时，要注意,关于坐标轴对称的点的坐标只有符号

不同，其绝对值相同.

4.图形关于坐标轴对称.要在平面直角坐标系中作出一个图形关于坐标轴对称的图形，只要

先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并顺次—这些点,

即可得到这个图形关于坐标轴对称的图形注意:所我的特殊点,一定要能确定原图形,否则作

出的图形与原图形不一定成轴对称.

【自我检测】

1.如图,4ABC和△ABC'关于直线1成轴对称，连接AA、CC分别交直线1于点D、E若

AD=2cm,C'E=lcm,则AA'=cm,CE=_cm.

7

工APl.A'

2.已知点P(2a+b,-3a)与点P'(8,b+2).若点P与点P关于x轴对称，则a=—,b=—;若点P

与点P关于y轴对称，则a=___,b=___.

3.(1)已知4ABC及点A的对称点A',请作出对称轴直线1,并画出aABC关于直线1的对称

图形.

(2)如图,把下列图形补成以直线1为对称轴的轴对称图形.

4.平面直角坐标系中,AABC的三个顶点坐标分别为A(0,4),B(2,4),C(3,-1).

⑴试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；

(2)求4ABC的面积；

(3)若△ABG与AABC关于x轴对称，写出由、C的坐标并在坐标系中作出△A3G.

参考答案

【预习速填】

L【答案】形状，大小，对称点，垂直平分

2.【答案】对称点，连接，对称点

3.【答案】(x,-y),(-x,y)

4.【答案】连接

【自我检测】

1.【解析】由轴对称可知,AA'=2AD=4cm,1E=C'E=lcm.

【答案】4,1

2.【解析】关于x轴对称的点的坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的

坐标纵坐标相等，横坐标互为相反数。

【答案】2,4,6,-20

4.【解析】(1)如图所示

(2)SAABC=2X(2-0)X[4-(-1)]=5

(3)A,(0,-4),BK2,-4),G(3,1),作图(1).

第十三章轴对称

13.3等腰三角形

13.3.1等腰三角形

课时1等腰三角形的性质

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【知识与技能】

(1)理解并掌握等腰三角形的性质.

(2)利用角的平分线的定义进行简单的证明与计算.

(3)观察等腰三角形的对称性，发展形象思维.

【过程与方法】

(1)通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，培养学生的推理能力.

(2)通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能

力.

【情感态度与价值观】

引导学生对图形进行观察，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解决问题的

活动中获取成功的体验，建立学习的信心.

等腰三角形的性质及应用.

等腰三角形的性质的证明.

多媒体课件、剪刀、尺子

教师出示一些几何图形，包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角

形、等边三角形等.

让学生抢答哪些是轴对称图形，并且提问什么是轴对称图形，什么样的三角形才是轴对

称图形.

教师引入：我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，下面我们利用轴对称的知

识来研究等腰三角形.（板书课题）

探究：等腰三角形的性质

教师让学生完成活动1:

如图13-3.1-1,把一张长方形纸片按图中的虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开,

得到的aABC有什么特点？

图13-3.1-2学生动手操作，观察剪出的△ABC的特点，可以发现AB=AC.

然后教师让学生回顾等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的

两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角，如图

13-3.1-2.

并指出：在AABC中，若AB=AC,则4ABC是等腰三角形，AB,AC是腰，BC是底边，Z

A是顶角，NB和NC是底角.

教师让学生继续完成活动2：把活动1中剪出的AABC沿折痕AD对折，找出其中重合的

线段和角，填入下表:

重合的线段重合的角

从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？

学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论、交流，从表中总结等腰三角形的性质.

接着教师引导学生归纳，并板书:

性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.

性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线

合一”）.

教师归纳：等腰三角形的“等边对等角”的特征是用来说明两角相等、计算角的度数的

常用方法.

教师让学生完成活动3：你能用所学的知识验证上述性质吗？

已知：如图13-3.「3,在△ABC中，AB知C.求证:ZB=ZC.

图13-3.1-3图13-3.1-4

学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的方法，要证明NB=NC,根据全等

三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可.

教师提示：可以作辅助线构造两个三角形.作BC边上的中线AD,证明4ABD和4ACD全

等即可.根据条件，利用“边边边”可以证明.

学生给出证明过程：

证明：作BC边上的中线AD,如图13-3.1-4,所以BD=CD.

r.lB=4C,

在△480和△ACO中，卜

[BD=CD,

所以△ABD丝△ACD（SSS）,所以/B=NC.

这样，就证明了性质1.

然后教师让学生类比性质1的证明，证明性质2.

由4ABD丝ZXACD,还可得出NBAD=NCAD,ZADB=ZADC=90°,从而得出AD_LBC.这就

证明了等腰三角形ABC底边上的中线平分顶角/A且垂直于底边BC.

学生通过讨论、交流可以得出，等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合,

等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对

称轴.

最后教师拓展补充等腰三角形还有以下性质：（1）等腰三角形两腰上的中线、高线相

等.（2）等腰三角形两个底角的平分线相等.（3）等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和

等于一腰上的高.

教师出示教材P76例1：

图13-3.1-5

如图13-3.1-5,在aABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD.求ZXABC各角的度数.

师生共同分析：根据“等边对等角”的性质，我们可以得到NA=/ABD,ZABC=ZC=Z

BDC,再由NBDC=NA+NABD,就可得到NABC=NC=NBDC=2/A.把NA设为x,那么NABC,

/C都可以用x来表示.再由三角形的内角和为180°,就可求出AABC的三个内角的度数.

分析完之后，学生口述过程，教师板书：

解：VAB=AC,BD=BC=AD,

二ZABC=ZC=ZBDC,NA=NABD（等边对等角）.

设NA=x,则NBDC=/A+NABD=2x,

ZABC=ZC=ZBDC=2x.

在△ABC中，ZA+ZABC+ZC=x+2x+2x=180°,

解得x=36°.

在AABC中，ZA=36°,ZABC=ZC=72°.

接着教师让学生独立完成：教材P77练习第1-3题.

1.等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角“）.

注意：等边对等角只限在同一个三角形中运用.

2.等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重

合（简写成“三线合一”）.

说明：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（底边上的高、顶角平分线）所在的直线

是它的对称轴.

13.3.1等腰三角形

课时❶等腰三角形的性质

探究:等腰三角形的性质性质2等腰三角形的顶向平分

投

影性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等线、底边上的中线、底边上的高相互

区边对等角”）重合（简写成“三线合一”）

（教材P76例1的解答过程）

第十三章轴对称

13.3等腰三角形

13.3.1等腰三角形

课时2等腰三角形的判定

【知识与技能】

（1）理解并掌握等腰三角形的判定方法.

（2）运用等腰三角形的判定进行证明和计算.

【过程与方法】

探索等腰三角形的判定定理，进一步体会轴对称的特征，发展空间观念.

【情感态度与价值观】

使学生感受观察、试验、猜想、论证几何图形问题的全过程，体会证明的必要性.

等腰三角形的判定方法.

等腰三角形的判定方法.的证明.

多媒体课件.

教师提出问题：我们已经知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角也相

等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边是否相等呢？

学生猜想它们所对的边相等.

教师肯定学生的猜想并给出结论：如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对

的边也相等.

教师追问：如何证明呢？下面我们就来研究这个问题.（板书课题）

探究：等腰三角形的判定方法

（1）在这一问题中，条件和结论是什么？

（2）用数学符号怎样表示？

教师引导、提示，学生根据提示画出图形，并写出已知、求证.

已知：在aABC中，ZB=ZC.

求证：AB=AC.

A

与学生一起回顾等腰三角形性质的证明过程，从作底边上的高、中线、顶角平分线三个

方面分析.让学生逐一尝试，发现可以作ADLBC,或AD平分NBAC,但不能作BC边上的中

线.

学生口头证明后，教师选一种方法写出证明过程：

如图13-3.1-7,在AABC中，ZB=ZC,作△ABC的角平分线AD.

在ABAD和4CAD中，Z1=Z2,ZB=ZC,AD=AD,

.,.△BAD丝△CAD（AAS）,

/.AB=AC.

教师最后总结：从上面的推证，我们可以得到等腰三角形的判定方法（教师板书）：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边“）.

并且教师强调：在同一个三角形中才能得到“等边对等角”及“等角对等边”.“等边

对等角”是性质，“等角对等边”是判定方法.

教师出示教材P78例2：

求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角

形.

教师引导学生根据命题画出图形，写出已知、求证，利用角平分线的性质及''等角对等

边”来证明.

E

BL------\c

图13-3.1-8

已知：/CAE是AABC的外角，Z1=Z2,AD〃BC（如图13-3.b8）.

求证：AB=AC.

师生共同分析：要证明AB=AC,可先证明NB=NC.因为N1=N2,所以可以设法找出NB,

/C与Nl,N2的关系.

学生完成证明过程.

证明：：AD〃BC,

，N1=NB（两直线平行，同位角相等），

N2=NC（两直线平行，内错角相等）.

又ZB=ZC.

，AB=AC（等角对等边）.

接着，教师出示教材P78例3：

如图13-3.1-9,已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h,求作这个等