江苏专用2024高考数学二轮复习课时达标训练十八不等式

PAGEPAGEPAGE1课时达标训练(十八)不等式A组——抓牢中档小题1．当x＞0时，f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)的最大值为________．解析：因为x＞0，所以f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)＝eq\f(2,x＋\f(1,x))≤eq\f(2,2)＝1，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时取等号．答案：12．(2024·苏北三市一模)已知a>0，b>0，且a＋3b＝eq\f(1,b)－eq\f(1,a)，则b的最大值为________．解析：a＋3b＝eq\f(1,b)－eq\f(1,a)可化为eq\f(1,b)－3b＝a＋eq\f(1,a)≥2，即3b2＋2b－1≤0，解得0<b≤eq\f(1,3)，所以b的最大值为eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)3．已知点A(a，b)在直线x＋2y－1＝0上，则2a＋4b解析：由题意可知a＋2b＝1，则2a＋4b＝2a＋22b≥2eq\r(2a＋2b)＝2eq\r(2)，当且仅当a＝2b＝eq\f(1,2)，即a＝eq\f(1,2)且b＝eq\f(1,4)时等号成立．答案：2eq\r(2)4．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，所以a＝2时不等式恒成立，当a－2≠0，即a≠2时，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,Δ<0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,4（a－2）2＋16（a－2）<0，))解得－2<a<2.综上所述，－2<a≤2，即实数a的取值范围是(－2，2]．答案：(－2，2]5．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，解析：设底面矩形的一边长为x.由容器的容积为4m3，高为1m，得另一边长为eq\f(4,x)m.记容器的总造价为y元，则y＝4×20＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))×1×10＝80＋20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≥80＋20×2eq\r(x·\f(4,x))＝160，当且仅当x＝eq\f(4,x)，即x＝2时等号成立．因此，当x＝2时，y取得最小值160，即容器的最低总造价为160元．答案：160元6．已知a>0,b>0，且eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值是________．解析：因为eq\r(ab)＝eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)≥2eq\r(\f(2,a)·\f(3,b))，所以ab≥2eq\r(6)，当且仅当eq\f(2,a)＝eq\f(3,b)＝eq\r(6)时取等号．答案：2eq\r(6)7．已知关于x的不等式2x＋eq\f(2,x－a)≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：因为x∈(a，＋∞)，所以2x＋eq\f(2,x－a)＝2(x－a)＋eq\f(2,x－a)＋2a≥2eq\r(2（x－a）·\f(2,x－a))＋2a＝4＋2a，当且仅当x－a＝1时等号成立．由题意可知4＋2a≥7，解得a≥eq\f(3,2)，即实数a的最小值为eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)8．若两个正实数x，y满意eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，且不等式x＋eq\f(y,4)<m2－3m有解，则实数m的取值范围是________．解析：由题可知，1＝eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)≥2eq\r(\f(4,xy))＝eq\f(4,\r(xy))，即eq\r(xy)≥4，于是有m2－3m>x＋eq\f(y,4)≥eq\r(xy)≥4，故m2－3m>4，化简得(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)9．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于随意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．解析：因为f(x)＝x2＋mx－1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于随意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）＜0，,f（m＋1）＜0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋m2－1<0，,（m＋1）2＋m（m＋1）－1<0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)＜m＜\f(\r(2),2)，,－\f(3,2)＜m＜0，))所以－eq\f(\r(2),2)<m<0，即实数m的取值范围是m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))10．(2024·苏北四市期末)若实数x，y满意xy＋3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))，则eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)的最小值为________．解析：因为实数x，y满意xy＋3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(1,2)))，所以x＝eq\f(3,y＋3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，解得y＞3.则eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)＝y＋3＋eq\f(1,y－3)＝y－3＋eq\f(1,y－3)＋6≥2eq\r(（y－3）·\f(1,y－3))＋6＝8，当且仅当x＝eq\f(3,7)，y＝4时取等号．答案：811．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝eq\f(sinα,sinβ)，则tanα的最大值是________．解析：由cos(α＋β)＝eq\f(sinα,sinβ)，得cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(sinα,sinβ)，即cosαcosβ＝sinαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinβ＋\f(1,sinβ)))，由α，β均为锐角得cosα≠0，tanβ>0，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(cosβ,sinβ＋\f(1,sinβ))＝eq\f(sinβcosβ,sin2β＋1)＝eq\f(tanβ,2tan2β＋1)＝eq\f(1,2tanβ＋\f(1,tanβ))≤eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4)，当且仅当2tanβ＝eq\f(1,tanβ)，即tanβ＝eq\f(\r(2),2)时，等号成立．答案：eq\f(\r(2),4)12．(2024·湖北宜昌模拟)已知x，y满意不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2y－x≥0，,x＋y－3≤0，,2x－y＋3≥0，))若不等式ax＋y≤7恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：x，y满意不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2y－x≥0，,x＋y－3≤0，,2x－y＋3≥0))的平面区域如图所示，由于对随意的实数x，y，不等式ax＋y≤7恒成立，设z＝ax＋y，依据图形，当a≥0时，z＝ax＋y的最优解为A(2，1)，可得2a＋1≤7，解得0≤a≤3；当a<0时，z＝ax＋y的最优解为B(－2，－1)，则－2a－1≤7，解得－4≤a＜0，则实数a的取值范围是[－4，3]．答案：[－4，3]13．设实数x，y满意eq\f(x2,4)－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是________．解析：法一：因为eq\f(x2,4)－y2＝1，所以3x2－2xy＝eq\f(3x2－2xy,\f(x2,4)－y2)＝eq\f(3－\f(2y,x),\f(1,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))\s\up12(2))，令k＝eq\f(y,x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，则3x2－2xy＝eq\f(3－2k,\f(1,4)－k2)＝eq\f(4（3－2k）,1－4k2)，再令t＝3－2k∈(2，4)，则k＝eq\f(3－t,2)，故3x2－2xy＝eq\f(4t,－t2＋6t－8)＝eq\f(4,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(8,t)))＋6)≥eq\f(4,6－2\r(8))＝6＋4eq\r(2)，当且仅当t＝2eq\r(2)时等号成立．法二：因为eq\f(x2,4)－y2＝1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋y))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－y))，所以令eq\f(x,2)＋y＝t，则eq\f(x,2)－y＝eq\f(1,t)，从而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋\f(1,t)，,y＝\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,t)))，))则3x2－2xy＝6＋2t2＋eq\f(4,t2)≥6＋4eq\r(2)，当且仅当t2＝eq\r(2)时等号成立．答案：6＋4eq\r(2)14．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x＋3，x≤1，,x＋\f(2,x)，x>1.))设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋a))在R上恒成立，则a的取值范围是________．解析：依据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示．当x≤1时，若要f(x)≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋a))恒成立，结合图象，只需x2－x＋3≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋a))，即x2－eq\f(x,2)＋3＋a≥0，故对于方程x2－eq\f(x,2)＋3＋a＝0，Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－4(3＋a)≤0，解得a≥－eq\f(47,16)；当x>1时，若要f(x)≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋a))恒成立，结合图象，只需x＋eq\f(2,x)≥eq\f(x,2)＋a，即eq\f(x,2)＋eq\f(2,x)≥a.又eq\f(x,2)＋eq\f(2,x)≥2，当且仅当eq\f(x,2)＝eq\f(2,x)，即x＝2时等号成立，所以a≤2.综上，a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(47,16)，2)).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(47,16)，2))B组——力争难度小题1．已知函数f(x)＝ax2＋x，若当x∈[0，1]时，－1≤f(x)≤1恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：当x＝0时，f(x)＝0，不等式成立；当x∈(0，1]时，不等式－1≤f(x)≤1，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax2＋x≤1，,ax2＋x≥－1，))其中eq\f(1,x)∈[1，＋∞)，从而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,x2)－\f(1,x)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))\s\up12(2)－\f(1,4)，,a≥－\f(1,x2)－\f(1,x)＝－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,4)，))解得－2≤a≤0.答案：[－2，0]2．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，sin2C＋eq\r(3)cos(A＋B)＝0且c＝eq\r(13)，a＞c，a＋b＝5.则△ABC的面积是________．解析：由sin2C＋eq\r(3)cos(A＋B)＝0且A＋B＋C＝π，得2sinCcosC－eq\r(3)cosC＝0，所以cosC＝0或sinC＝eq\f(\r(3),2).由c＝eq\r(13)，a＞c得，cosC＝0不成立，所以sinC＝eq\f(\r(3),2)，所以C＝eq\f(π,3)，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab＝13，所以ab＝4，故S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)3．(2024·湖南长沙岳麓区模拟)若圆A：(x－1)2＋(y－4)2＝a上至少存在一点P落在不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋y－1≥0，,3x－y－1≥0，,x＋y－7≤0))表示的平面区域内，则实数a的取值范围是________．解析：作出不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋y－1≥0，,3x－y－1≥0，,x＋y－7≤0))表示的平面区域，如图，圆A与不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋y－1≥0，,3x－y－1≥0，,x＋y－7≤0))表示的平面区域有交点．因为圆A的圆心(1，4)到直线3x－y－1＝0的距离为eq\f(|3－4－1|,\r(32＋1))＝eq\f(\r(10),5)，联立方程可得B(3，4)，D(1，2)，则圆心A与可行域内的点的距离的最大值为|AB|＝|AD|＝2，所以eq\f(\r(10),5)≤eq\r(a)≤2，即实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，4)).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，4))4．如图是某斜拉式大桥的部分平面结构模型，其中桥塔AB，CD与桥面AC垂直，且AB＝1m，CD＝2m，AC＝7m．P为AC上的一点，则当∠BPD达到最大时，解析：设AP＝xm(0≤x≤7)，则PC＝(7－x)m，所以tan∠BPD＝tan(∠ABP＋∠PDC)＝eq\f(tan∠ABP＋tan∠PDC,1－tan∠ABP·tan∠PDC)＝eq\f(x＋\f(7－x,2),1－x·\f(7－x,2))＝eq\f(x＋7,x2－7x＋2).令x＋7＝t，7≤t≤14，则tan∠BPD＝eq\f(t,t2－14t＋49－7t＋49＋2)＝eq\f(t,t2－21t＋100)＝eq\f(1,t＋\f(100,t)－21)，故当t＝eq\f(100,t)，即t＝10时，∠BPD最大，此时x＝3，即AP的长度为3m.答案：35．(2024·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c解析：法一：如图，∵S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，∴eq\f(1,2)ac·sin120°＝eq\f(1,2)c×1×sin60°＋eq\f(1,2)a×1×sin60°，∴ac＝a＋c.∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝1.∴4a＋c＝(4a＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,c)))＝eq\f(c,a)＋eq\f(4a,c)＋5≥2eq\r(\f(c,a)·\f(4a,c))＋5＝9，当且仅当eq\f(c,a)＝eq\f(4a,c)，即c＝2a时取等号．故4a＋c法二：如图，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，则D(1，0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，－\f(\r(3),2)c))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(\r(3),2)a)).又A，D，C三点共线，∴eq\f(\f(c,2)－1,－\f(\r(3),2)c)＝eq\f(\f(a,2)－1,\f(\r(3),2)a)，∴ac＝a＋c.∴e