备战2025高考数学一轮复习配套试题含答案（新高考版）二

PAGE1提能训练练案[13]A组基础巩固一、单选题1．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是(D)A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点[解析]因为f(1)·f(2)·f(4)<0，所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小于0.若f(1)<0，则在(0,1)内有零点，在(0,4)内必有零点；若f(2)<0，则在(0,2)内有零点，在(0,4)内必有零点；若f(4)<0，则在(0,4)内有零点．故选D.2．方程lnx＝4－2x的解所在的区间为(B)A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)[解析]通过构造函数法，结合函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案．由lnx＝4－2x得2x＋lnx－4＝0，设f(x)＝2x＋lnx－4，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(1)＝－2<0，f(2)＝ln2>0，所以f(x)的唯一零点在区间(1,2)，即方程lnx＝4－2x的解所在的区间为(1,2)．故选B.3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x>1，))则函数f(x)的零点为(D)A.eq\f(1,2)，0 B．－2,0C.eq\f(1,2) D．0[解析]当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝eq\f(1,2)，又因为x>1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.4．如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点，给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是(C)A．[－2.1，－1] B．[4.1,5]C．[1.9,2.3] D．[5,6.1][解析]结合图象可得A、B、D选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点，故选C.5．(2019·课标全国Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为(B)A．2 B．3C．4 D．5[解析]函数f(x)＝2sinx－sin2x，在[0,2π]的零点个数即2sinx－sin2x＝0在区间[0,2π]的根的个数，令h(x)＝2sinx，g(x)＝sin2x，画出两函数在区间[0,2π]的图象(图略)，可知h(x)＝2sinx和g(x)＝sin2x在区间[0,2π]的图象的交点个数为3.故选B.6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]也被称为“高斯函数”，例如[2.1]＝2，[3]＝3，[－1.5]＝－2，设x0为函数f(x)＝log3x－eq\f(3,x＋1)的零点，则[x0]＝(A)A．2 B．3C．4 D．5[解析]首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断x0所在区间，最后根据高斯函数的定义计算可得．因为y＝log3x与y＝－eq\f(3,x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝log3x－eq\f(3,x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，又f(3)＝log33－eq\f(3,3＋1)＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)>0，f(2)＝log32－eq\f(3,2＋1)＝log32－1<0，所以f(x)在(2,3)上存在唯一零点x0，即x0∈(2,3)，所以[x0]＝2.故选A.7．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－a，x≤0，,2x－a，x>0))(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(A)A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(－∞，1][解析]画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需0<a≤1；当x>0时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，0<a≤1.8．已知f(x)＝|x2－1|，关于x的方程[f(x)]2－f(x)＋k＝0，则下列四个命题是假命题的为(A)A．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实数解B．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实数解C．存在实数k，使得方程恰有5个不同的实数解D．存在实数k，使得方程恰有8个不同的实数解[解析](1)令t＝f(x)＝|x2－1|(t≥0)，则原方程可化为t2－t＋k＝0.作出f(x)＝|x2－1|的图象如图所示，结合图象可知：①当t>1或t＝0时，方程t＝|x2－1|有2个不同的实数解；②当t＝1时，方程t＝|x2－1|有3个不同的实数解；③当0<t<1时，方程t＝|x2－1|有4个不同的实数解．(2)作出函数y＝t2－t(t≥0)的图象如图所示．①当－k>0，即k<0时，方程－k＝t2－t有1个实数解t1，且t1>1.②当－k＝0，即k＝0时，方程－k＝t2－t有2个不同的实数解t2，t3(t2<t3)，则t2＝0，t3＝1.③当－eq\f(1,4)<－k<0，即0<k<eq\f(1,4)时，方程－k＝t2－t有2个不同的实数解t4，t5(t4<t5)，则0<t4<eq\f(1,2)<t5<1.④当－k＝－eq\f(1,4)，即k＝eq\f(1,4)时，方程－k＝t2－t有1个实数解t6，且t6＝eq\f(1,2).⑤当－k<－eq\f(1,4)，即k>eq\f(1,4)时，方程－k＝t2－t没有实数解．综合(1)(2)可知，当k<0时，原方程有2个不同的实数解；当k＝0时，原方程有5个不同的实数解；当0<k<eq\f(1,4)时，原方程有8个不同的实数解；当k＝eq\f(1,4)时，原方程有4个不同的实数解；当k>eq\f(1,4)时，原方程没有实数解．所以B，C，D都是真命题．A为假命题．故选A.二、多选题9．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递减的是(AD)A．y＝logeq\f(1,2)(x＋1) B．y＝2x－1C．y＝x2－eq\f(1,2) D．y＝－x3[解析]函数y＝logeq\f(1,2)(x＋1)在定义域上单调递减，且x＝0时y＝0，y＝x2－eq\f(1,2)在(－1,1)上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，且x＝0时y＝0.对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1,1)时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选AD.10．下列图象表示的函数中有两个零点的有(CD)[解析]有两个零点就是函数图象与x轴有两个交点．11．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点可以是(AC)A．0 B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．2[解析]2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝0，得x＝0或－eq\f(1,2)，故选AC.12．(2023·济宁模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2x,0<a<b<c，f(a)f(b)f(c)<0，实数d是函数f(x)的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是(ABD)A．d<a B．d>bC．d>c D．d<c[解析]由y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2x在定义域(0，＋∞)上是减函数，当0<a<b<c时，f(a)>f(b)>f(c)，因为f(a)f(b)f(c)<0，f(d)＝0，所以①f(a)，f(b)，f(c)都为负值，则a，b，c都大于d；②f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0，则a，b都小于d，c大于d.综合①②可得d>c不可能成立．三、填空题13．用二分法求函数f(x)＝ln(x＋1)＋x－1在区间(0,1)上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为_7__.[解析]开区间(0,1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n(n∈N＋)次操作后，区间长度变为eq\f(1,2n).令eq\f(1,2n)<0.01，解得n≥7，且n∈N＋，故所需二分区间的次数最少为7.14．(2023·济南模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xlnx，x>0，,x2－x－2，x≤0，))则f(x)的零点为_－1和1__.[解析]令f(x)＝0得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,xlnx＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2－x－2＝0，))解得x＝1或x＝－1，∴f(x)的零点为－1和1.15．(2024·江苏淮安联考)函数f(x)对一切实数x都满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))，并且方程f(x)＝0有三个实根，则这三个实根的和为eq\f(3,2).[解析]因为函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(1,2)对称，所以方程f(x)＝0有三个实根时，一定有一个根是eq\f(1,2)，另外两个根的和为1，故方程f(x)＝0的三个实根的和为eq\f(3,2).16．(2024·广东阳江调研)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1，x<1，,log\f(1,2)x，x≥1，))若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是_(－1,0)__.[解析]关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0)．B组能力提升1．(2024·济宁模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≤a，,x－1，x>a，))若f(x)有3个零点，则实数a的取值范围是(A)A．{a|0≤a＜1} B．{a|－1≤a＜0}C．{a|－1≤a＜1} D．{a|a＜1}[解析]因为y＝x2＋2x有2个零点x＝－2和x＝0，y＝x－1有1个零点x＝1，所以若要使f(x)有3个零点，则0≤a＜1，故选A.2．函数f(x)＝|lgx2|＋x2－2|x|的零点的个数为(C)A．2 B．3C．4 D．6[解析]函数f(x)＝|lgx2|＋x2－2|x|的零点个数，即方程|lgx2|＝－x2＋2|x|的根的个数，考虑g(x)＝|lgx2|，h(x)＝－x2＋2|x|，定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，当x>0时，g(x)＝|2lgx|，h(x)＝－x2＋2x，作出函数图象：两个函数一共有两个交点，即当x>0时，|lgx2|＝－x2＋2|x|有两根，根据对称性可得：当x<0时|lgx2|＝－x2＋2|x|有两根，所以|lgx2|＝－x2＋2|x|一共4个根，即函数f(x)＝|lgx2|＋x2－2|x|的零点的个数为4.故选C.3．已知函数f(x)＝x－eq\r(x)(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则(C)A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3C．x2<x3<x1 D．x3<x1<x2[解析]作出y＝x与y＝eq\r(x)(x>0)，y＝－ex，y＝－lnx(x>0)的图象，如图所示，可知选C.4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝_－8__.[解析]因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝－2对称，又f(x－4)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋4)，所以f(x－4)＝f(x＋4)，f(x)＝f(x＋8)，所以f(x)是周期为8的周期函数．因为奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递增，所以f(x)在区间[－2,2]上单调递增，在区间[－6，－2]上单调递减，画出f(x)的可能图象如图所示．作出直线y＝m(m>0)．不妨设x1<x2<x3<x4，由对称性可知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.5．(2022·厦门模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,log2x，x>0，))则函数y＝f[f(x)]的所有零点之和为eq\f(1,2).[解析]当x≤0时，x＋1＝0，x＝－1.由f(x)＝－1，可得x＋1＝－1或log2x＝－1，∴x＝－2或x＝eq\f(1,2)；当x>0时，log2x＝0，x＝1，由f(x)＝1，可得x＋1＝1或log2x＝1，∴x＝0或x＝2；∴函数y＝f[f(x)]的所有零点为－2，eq\f(1,2)，0,2，∴所有零点的和为－2＋eq\f(1,2)＋0＋2＝

提能训练练案[14]A组基础巩固一、单选题1．如图所示的是一份统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的有(C)(1)这几年人民生活水平逐年得到提高；(2)人民生活费收入增长最快的一年是2019年；(3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2020年；(4)虽然2021年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活费价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．A．1项 B．2项C．3项 D．4项2．(2024·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是(A)[解析]根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x上方，结合选项只有A选项能够较好的达到目的．3．“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米．已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t(单位：天)的河水污染质量指数m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足m(t)＝eq\f(r,k)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m0－\f(r,R)))e－eq\f(k,v)t(m0为初始河水污染质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln10≈2.30)(C)A．1个月 B．3个月C．半年 D．1年[解析]由题可知，m(t)＝m0e－eq\f(1,80)t＝0.1m0，∴e－eq\f(1,80)t＝0.1，∴－eq\f(1,80)t＝ln0.1≈－2.30，∴t≈184(天)，∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是半年，故选C.4．(2023·西安市关山中学高三阶段练习)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(D)A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油[解析]对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确．故选D.5．(2022·全国高三专题练习)2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级每月应纳税所得额x元(含税)x≤30003000<x≤1200012000<x≤25000税率31020现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为(C)A．1800元 B．1000元C．790元 D．560元[解析]李某月应纳税所得额(含税)为：18000－5000－1000－2000＝10000元，不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元，超过3000元至12000元的部分税额为(10000－3000)×10%＝7000×10%＝700元，所以李某月应缴纳的个税金额为90＋700＝790元．故选C.6．成昆线复线是国家西部大开发重点工程建设项目，是“一带一路”建设中连接南亚、东南亚国际贸易口岸的重要通道．线路并行于既有成昆铁路，全长约860公里，设计时速160公里，预计于2022年12月试运行．西昌到成都的列车运行时不仅速度比以前列车快而且噪声更小．我们用声强I(单位：W/m2)表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L(单位：dB)与声强I的函数关系式为：L＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12))).若提速前列车的声强级是100dB，提速后列车的声强级是50dB，则普通列车的声强是高速列车声强的(B)A．106倍 B．105倍C．104倍 D．103倍[解析]根据函数模型，列出关系式，进而结合对数与指数的互化运算即可求解．不妨设普通列车的声强是I1，高速列车声强是I2，100＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I1,10－12)))，50＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I2,10－12)))，即lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I1,10－12)))＝10，lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I2,10－12)))＝5，则lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I1,10－12)))－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I2,10－12)))＝5，即lgeq\f(I1,I2)＝5，解得eq\f(I1,I2)＝105.故选B.二、多选题7．某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍．调整前后的各产业利润与总利润的占比如图所示：则下列结论中正确的有(BCD)A．调整后房地产业的利润有所下降B．调整后医疗器械的利润增长量最大C．调整后生物制药的利润增长率最高D．调整后金融产业的利润占比最低[解析]利用题中扇形图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．假设调整前总利润为100，那么调整后总利润为200，对于A，调整前房地产业利润占45%，利润为45，调整后利润占比25%，利润为50，应该是有所上升的，故选项A错误；对于B，调整前医疗器械利润为20，调整后利润为80，房地产业调整前利润为45，调整后利润为50，金融调整前利润为25，调整后利润为20，生物制药调整前利润为10，调整后利润为50，故选项B正确；对于C，医疗器械利润增长率为300%，生物制药利润增长率为400%，故选项C正确；对于D，由扇形图可知，金融产业利润占比为10%，所以调整后金融产业的利润占比最低，故选项D正确．故选BCD.8．某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2022年1月至2022年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据．绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是(CD)A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳[解析]由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错误；月跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C正确；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，D正确．9．(2023·济南质检)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是(CD)A．当x>1时，甲走在最前面B．当x>1时，乙走在最前面C．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲[解析]甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．三、填空题10．(2022·北京一模)调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/kg的经济效益．为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg积1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg，则额外奖励x分(x为正整数)．月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换．(1)当x＝10时，若某家庭某月产生120kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_13__元；(2)为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为_36__.[解析](1)若某家庭某月产生120kg生活垃圾，则该家庭月底的积分为120＋10＝130(分)，故该家庭该月积分卡能兑换130×0.1＝13(元)．(2)设每个家庭每月产生的垃圾为tkg，每个家庭月底积分卡能兑换的金额为f(t)元．当0≤t<100时，f(t)＝0.1t<0.34t·0.4＝0.136t恒成立；当t≥100时，f(t)＝0.1t＋0.1x≤0.34t·0.4，可得x≤(0.36t)min＝36.故x的最大值为36.11．一种药在病人血液中的量不少于1500mg才有效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过_2.3__小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，结果精确到0.1h)[解析]设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药，则500≤2500×(1－20%)x≤1500，整理可得0.2≤0.8x≤0.6，所以log0.80.6≤x≤log0.80.2.计算得2.3≤x≤7.2.四、解答题12．兴泉铁路起于江西，途经三明，最后抵达泉州(途经站点如图所示)．这条“客货共用”铁路是开发沿线资源、服务革命老区的重要铁路干线，是打通泉州港通往内陆铁路货运的重要方式，将进一步促进山海协作，同时也将结束多个山区县不通客货铁路的历史．目前，江西兴国至清流段已于2021年9月底开通运营，清流至泉州段也具备了开通运营条件，即将全线通车．预期该路线通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时列车为满载状态，载客量为720人；当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(12－t)的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人．记列车载客量为p(t)．(1)求p(t)的表达式；(2)若该线路每分钟的净收益为Q(t)＝eq\f(2pt－360,t)－60(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．[解析](1)由题知，当10≤t<20时，p(t)＝720，当2≤t<10时，可设p(t)＝720－k(12－t)2，又发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人，∴p(3)＝720－k(12－3)2＝396，解得k＝4.此时p(t)＝720－4×(12－t)2＝－4t2＋96t＋144,2≤t<10，∴p(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4t2＋96t＋144，2≤t<10，,720，10≤t≤20.))(2)由(1)知：Q(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(132－8t－\f(72,t)，2≤t<10，,\f(1080,t)－60，10≤t≤20，))∵2≤t<10时，Q(t)≤132－2eq\r(8t·\f(72,t))＝84，当且仅当t＝3等号成立，∴2≤t<10时，Q(t)max＝Q(3)＝84，当10≤t≤20上，Q(t)单调递减，则Q(t)max＝Q(10)＝48，综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元．B组能力提升1．在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾.2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式C＝Wlog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(S,N)))是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中eq\f(S,N)叫做信噪比．若不改变带宽W.而将信噪比eq\f(S,N)从9提升至161，则最大信息传递率C会提升到原来的(C)参考数据：log23＝1.58，log25＝2.32.A．2.4倍 B．2.3倍C．2.2倍 D．2.1倍[解析]根据已知条件，列出比例式，再结合对数函数的公式，即可求解．∵信噪比eq\f(S,N)从9提升至161，∴最大信息传递率C会提升到原来的eq\f(Wlog21＋161,Wlog21＋9)＝eq\f(log22×81,log22×5)＝eq\f(1＋4log23,1＋log25)＝eq\f(1＋4×1.58,1＋2.32)≈2.2.故选C.2．(2023·上海浦东新区期中)国际上通常用恩格尔系数衡量一个国家和人民生活水平的状况，它的计算公式为n＝eq\f(x,y)(x代表人均食品支出总额，y代表人均个人消费支出总额)，且y＝2x＋475，各种类型的家庭标准如表：家庭类型贫困温饱小康富裕nn≥59%50%≤n<59%40%≤n<50%30%≤n<40%张先生居住区2019年比2018年食品支出下降7.5%，张先生家在2019年购买食品和2018年完全相同的状况下，人均个人消费少支出75元，则张先生家2019年属于(D)A．贫困 B．温饱C．小康 D．富裕[解析]设2018年人均食品支出x元，则2019年人均食品支出x(1－7.5%)＝92.5%x,2019年人均消费支出2×92.5%x＋475，由题意，有2×92.5%x＋475＋75＝2x＋475，∴x＝500.此时，n＝eq\f(92.5%×500,2×92.5%×500＋475)≈0.3304＝33.04%，由表知属富裕．3．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度经有关研究可知：在室温25℃下，某种绿茶用85℃的水泡制，经过xmin后茶水的温度为y℃，且y＝k·0.9085x＋25(x≥0，k∈R)．当茶水温度降至55℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为(结果保留整数，参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln0.9085≈－0.0960)(B)A．6min B．7minC．8min D．9min[解析]由题意可知，当x＝0时，y＝85，则85＝k＋25，解得k＝60，所以y＝60×0.9085x＋25.当y＝55时，55＝60×0.9085x＋25，即0.9085x＝0.5，则x＝log0.90850.5＝eq\f(ln\f(1,2),ln0.9085)＝eq\f(－ln2,ln0.9085)≈eq\f(0.6931,0.0960)≈7，所以茶水泡制时间大约为7min.4．(多选题)(2024·厦门模拟)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则(AD)A．a＝3B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C．注射该药物eq\f(1,8)小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5eq\f(31,32)小时[解析]由函数图象可知y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t，0≤t<1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－a，t≥1，))当t＝1时，y＝4，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－a＝4，解得a＝3，∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t，0≤t<1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－3，t≥1，))故A正确；药物刚好起效的时间，当4t＝0.125，即t＝eq\f(1,32)，药物刚好失效的时间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－3＝0.125，解得t＝6，故药物有效时长为6－eq\f(1,32)＝5eq\f(31,32)(小时)，注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B错误，D正确；注射该药物eq\f(1,8)小时后每毫升血液含药量为4×eq\f(1,8)＝0.5(微克)，故C错误．5．某商家推行亲子款十二生肖纪念章．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：上市时间x天41036市场价y元905190(1)根据上表数据，为描述亲子款十二生肖纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系，从下列函数中选取一个最佳的函数模型是_②__；①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝logax.(2)利用你选取的函数，求亲子款十二生肖纪念章的市场价最低时的上市时间及最低价格；(3)设你选取的函数为y＝f(x)，若对任意实数k，方程f(x)＝kx＋2m＋120恒有两个相异实数根，求m的取值范围．[解析](1)由于市场价y随上市时间x的增大先减小后增大，而模型①③均为单调函数，不符合题意，故选择二次函数模型②.(2)由表中数据可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16a＋4b＋c＝90，,100a＋10b＋c＝51，,－\f(b,2a)＝\f(4＋36,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝－10，,c＝126.))∴函数模型为y＝eq\f(1,4)x2－10x＋126＝eq\f(1,4)(x－20)2＋26.∴当市场价最低时的上市时间为20天，最低价格为26元．(3)∵f(x)＝eq\f(1,4)x2－10x＋126＝kx＋2m＋120，∴eq\f(1,4)x2－(10＋k)x＋6－2m＝0恒有两个相异实数根，∴Δ＝(10＋k)2－(6－2m)>0恒成立，即－2m<k2＋20k＋94.∵k2＋20k＋94＝(k＋10)2－6≥－6，∴－2m<－6，∴m>3.故m的取值范围是(3，＋∞)．6．方同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，大学毕业后回到家乡，利用所学专业进行自主创业，自主研发生产A产品．经过市场调研，生产A产品需投入固定成本1万元，每生产x(单位：万元)，需再投入流动成本C(x)(单位：万元)，当年产量小于9万件时，C(x)＝eq\f(4,x)＋6x－8，当年产量不小于9万件时，C(x)＝5x＋lnx＋eq\f(e3,x)－12.已知每件A产品的售价为5元，若方同学生产的A产品当年全部售完．(1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)当年产量约为多少万件时，方同学的A产品所获年利润最大？最大年利润是多少？(注：取e3≈20)[解析](1)因为产品售价为5元，则x万件产品销售收入为5x万元．依据题意得，当0<x<9时，P(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)＋6x－8))－1＝7－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)＋x))，当x≥9时，P(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋lnx＋\f(e3,x)－12))－1＝11－lnx－eq\f(e3,x)，所以P(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)＋x))，0<x<9，,11－lnx－\f(e3,x)，x≥9，))x∈N*.(2)当0<x<9时，P(x)＝7－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)＋x))，因为eq\f(4,x)＋x≥2eq\r(\f(4,x)×x)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当\f(4,x)＝x，即x＝2时取等号))，所以P(x)＝7－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)＋x))≤3，即当x＝2时，P(x)取得最大值为P(2)＝3(万元)，当x≥9时，P(x)＝11－lnx－eq\f(e3,x)，∴P′(x)＝eq\f(e3－x,x2)，∴当9≤x<e3时，P′(x)>0，P(x)单调递增，当x>e3时，P′(x)<0，P(x)单调递减，∴当x＝e3时，P(x)取得最大值为P(e3)＝11－lne3－1＝7(万元)，∵7>3，∴当x＝e3≈20时，P(x)的最大值为7万元．∴当年产量约为20万件时，方同学的A产品所获得的年利润最大，最大年利润为7万元

提能训练练案[15]A组基础巩固一、单选题1．已知函数f(x)＝eq\f(1,x)cosx，则f(π)＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝(C)A．－eq\f(3,π2) B．－eq\f(1,π2)C．－eq\f(3,π) D．－eq\f(1,π)[解析]f(π)＝eq\f(－1,π)，f′(x)＝eq\f(－xsinx－cosx,x2)，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(2,π)，∴f(π)＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(3,π).故选C．2．函数f(x)＝x(ex－1)＋lnx的图象在点(1，f(1))处的切线方程是(A)A．y＝2ex－e－1 B．y＝2ex－e＋1C．y＝2ex＋e－1 D．y＝2ex＋e＋1[解析]由函数f(x)＝x(ex－1)＋lnx知f(1)＝e－1，f′(x)＝ex－1＋xex＋eq\f(1,x)，所以切线的斜率k＝f′(1)＝2e，在点(1，f(1))处的切线方程是y－(e－1)＝2e(x－1)，化简得y＝2ex－e－1.故选A．3．函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为(B)[解析]由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)<0.4．(2023·衡水中学调研卷)设a∈R，函数f(x)＝ex＋eq\f(a,ex)是偶函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是eq\f(3,2)，则切点的横坐标为(C)A．a B．eC．ln2 D．1[解析]由f(x)为偶函数，易得a＝1.∴f(x)＝ex＋e－x，f′(x)＝ex－e－x，设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝eq\f(3,2)，解得x0＝ln2.5．已知直线y＝ax是曲线y＝lnx的切线，则实数a＝(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,2e)C．eq\f(1,e) D．eq\f(1,e2)[解析]设切点坐标为(x0，lnx0)，由y＝lnx的导函数为y′＝eq\f(1,x)知切线方程为y－lnx0＝eq\f(1,x0)(x－x0)，即y＝eq\f(x,x0)＋lnx0－1.由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,x0)，,lnx0－1＝0，))解得a＝eq\f(1,e).6．函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(A)A．2f′(2)<f(4)－f(2)<2f′(4)B．2f′(4)<2f′(2)<f(4)－f(2)C．2f′(2)<2f′(4)<f(4)－f(2)D．f(4)－f(2)<2f′(4)<2f′(2)[解析]先由f(x)的图象，确定f(x)的单调性，再根据图象斜率的变化情况，判断f′(x)的单调性，最后由函数的凹凸性进行判断，即可得到答案．由函数f(x)的图象可知，当x≥0时，f(x)单调递增，所以f′(2)>0，f′(4)>0，f(4)－f(2)>0，由此可知，f′(x)在(0，＋∞)上恒大于0，因为直线的斜率逐渐增大，所以f′(x)单调递增，所以f′(2)<f′(4)，则2f′(2)<2f′(4)，因为f′(2)<eq\f(f4－f2,4－2)<f′(4)，所以2f′(2)<f(4)－f(2)<2f′(4)．故选A．7．(2024·宣城模拟)若曲线y＝alnx＋x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，则a＝(B)A．eq\f(1,24) B．eq\f(3,8)C．eq\f(3,4) D．eq\f(3,2)[解析]因为y＝alnx＋x2(a>0)，所以y′＝eq\f(a,x)＋2x≥2eq\r(2a)，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，所以斜率k≥eq\r(3)，因为eq\r(3)＝2eq\r(2a)，所以a＝eq\f(3,8).8．(2023·沧衡八校联盟)若直线l与曲线f(x)＝－eq\f(4,ex＋2)相切，则直线l的斜率的最大值为(C)A．eq\f(ln2,2) B．1－eq\f(ln2,2)C．eq\f(1,2) D．ln2[解析]由f(x)＝－eq\f(4,ex＋2)，可得f′(x)＝eq\f(4ex,ex＋22)＝eq\f(4,ex＋\f(4,ex)＋4).因为ex＋eq\f(4,ex)＋4≥2eq\r(ex·\f(4,ex))＋4＝8，当且仅当ex＝eq\f(4,ex)，即ex＝2，x＝ln2时等号成立，所以0<f′(x)≤eq\f(1,2)，所以直线l的斜率的最大值为eq\f(1,2).二、多选题9．(2023·珠海调考改编)下列求导运算不正确的是(ACD)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq\f(1,x2)B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(3x)′＝3x·log3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx[解析]因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1－eq\f(1,x2)，所以选项A不正确；因为(log2x)′＝eq\f(1,xln2)，所以选项B正确；因为(3x)′＝3xln3，所以选项C不正确；因为(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以选项D不正确．故选ACD．10．(2022·江苏淮安五校联考)若直线y＝eq\f(1,2)x＋b是函数f(x)图象的一条切线，则函数f(x)可以是(BCD)A．f(x)＝eq\f(1,x) B．f(x)＝x4C．f(x)＝sinx D．f(x)＝ex[解析]直线y＝eq\f(1,2)x＋b的斜率k＝eq\f(1,2)，f(x)＝eq\f(1,x)的导数为f′(x)＝－eq\f(1,x2)，即切线的斜率小于0，故A不正确；f(x)＝x4的导数为f′(x)＝4x3，令4x3＝eq\f(1,2)，解得x＝eq\f(1,2)，故B正确；f(x)＝sinx的导数为f′(x)＝cosx，而cosx＝eq\f(1,2)有解，故C正确；f(x)＝ex的导数为f′(x)＝ex，令ex＝eq\f(1,2)，解得x＝－ln2，故D正确．故选BCD．11．已知定义在R上的奇函数f(x)的部分图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论中正确的是(BC)A．f(2)＝－1B．f(1)·f(2)>4C．f′(1)·f′(2)<0D．方程f′(x)＝0无解[解析]结合函数图象及奇函数性质分别判断各选项即可．由图可知f(－1)＝2，f(－2)>2，又∵函数f(x)是奇函数，∴f(1)＝－2，f(2)<－2，∴f(1)·f(2)>4，∴B对；由f(x)是奇函数，结合图象可知f′(1)<0，f′(2)>0，∴f′(1)·f′(2)<0，∴C对；由图象可知f(2)＝－f(－2)<－2，f′(x)＝0有解，∴A、D错误．故选BC．12．(2022·新高考8省联考)已知函数f(x)＝xln(1＋x)，则(AC)A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增B．f(x)有两个零点C．曲线y＝f(x)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))))处的切线的斜率为－1－ln2D．f(x)是偶函数[解析]f(x)＝xln(x＋1)，所以当x>0时，f′(x)＝ln(x＋1)＋eq\f(x,x＋1)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以A正确；令xln(x＋1)＝0，所以x＝0或ln(x＋1)＝0，所以x＝0，故f(x)只有1个零点0，所以B不正确；f′(x)＝ln(x＋1)＋eq\f(x,x＋1)，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝lneq\f(1,2)－1＝－1－ln2，所以C正确；定义域不关于原点对称，所以f(x)不是偶函数，所以D不正确．故选AC．三、填空题13．(1)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为_e__；(2)若f(x)＝sin4x－cos4x则y′＝_2sin_2x__.[解析](1)∵f(x)＝exlnx，∴f′(x)＝exeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x)))，∴f′(1)＝e1×(ln1＋1)＝e.(2)∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos2x，∴y′＝(－cos2x)′＝－(－sin2x)·(2x)′＝2sin2x.14．(2020·课标Ⅰ)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_y＝2x__.[解析]设该切线的切点坐标为(x0，y0)，由y＝lnx＋x＋1得y′＝eq\f(1,x)＋1，则在该切点处的切线斜率k＝eq\f(1,x0)＋1，即eq\f(1,x0)＋1＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1,2)，∴该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.15．若曲线y＝lnx在点P(e,1)处的切线与曲线y＝eax相切，则a＝_e－2__.[解析]因为y＝lnx，所以y′＝eq\f(1,x)，则y′|x＝e＝eq\f(1,e)，所以曲线y＝lnx在点P(e,1)处的切线方程为y＝eq\f(1,e)x.设y＝eq\f(1,e)x与y＝eax相切于点(x0，eax0)，因为(eax)′＝aeax，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aeax0＝\f(1,e)，,eax0＝\f(1,e)x0，))则aeax0＝eq\f(eax0,x0)，a＝eq\f(1,x0)，可得x0＝e2，从而a＝e－2.16．(2022·聊城二模)请你举出与函数f(x)＝e2x－1在(0,0)处具有相同切线的一个函数：_y＝x2＋2x(或y＝sin_2x或y＝2ex－2)__.[解析]函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x，可得在(0,0)处的切线的斜率为2，切线的方程为y＝2x，可取y＝x2＋2x，其导数为y′＝2x＋2，满足在(0,0)处的切线的斜率为2；y＝sin2x，其导数为y′＝2cos2x，满足在(0,0)处的切线的斜率为2；y＝2ex－2，其导数为y′＝2ex，满足在(0,0)处的切线的斜率为2.B组能力提升1．y＝lneq\f(1,x)的导函数为(A)A．y′＝－eq\f(1,x) B．y′＝eq\f(1,x)C．y′＝lnx D．y′＝－ln(－x)[解析]∵y＝lneq\f(1,x)＝－lnx，∴y′＝－eq\f(1,x).2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(D)[解析]由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C．又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B．3．(2023·四川名校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(C)A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)[解析]设f′(3)，f(3)－f(2)＝eq\f(f3－f2,3－2)，f′(2)分别表示直线n，m，l的斜率，数形结合知0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故选C．4．已知曲线C：y＝xex过点A(a,0)的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是(A)A．(－∞，－4)∪(0，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)[解析]对函数y＝xex求导得y′＝ex＋x·ex＝(1＋x)·ex.设切点坐标为(x0，x0ex0)，则曲线y＝xex过点A(a,0)的切线的斜率k＝(1＋x0)ex0＝eq\f(x0ex0,x0－a)，化简得xeq\o\al(2,0)－ax0－a＝0.依题意知，上述关于x0的二次方程有两个不相等的实数根．所以Δ＝(－a)2－4×1×(－a)>0.解得a<－4或a>0.5．(多选题)若两曲线y＝x2－1与y＝alnx－1存在公切线，则正实数a的取值可能是(ABD)A．1.2 B．4C．5.6 D．2e[解析]设公切线与两曲线的切点，利用导数求得过切点的切线方程，再由斜率相等、直线在y轴上的截距相等列式，可得a＝－4xeq\o\al(2,2)(lnx2－1)，令g(x)＝－4x2(lnx－1)(x>0)，再由导数求最值得答案．切线与两曲线y＝x2－1与y＝alnx－1的切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝x2－1，得y′＝2x，由y＝alnx－1，得y′＝eq\f(a,x)，则两切线方程分别为y－(xeq\o\al(2,1)－1)＝2x1(x－x1)与y－(alnx2－1)＝eq\f(a,x2)(x－x2)，化简得y＝2x1x－1－xeq\o\al(2,1)，y＝eq\f(a,x2)x＋alnx2－a－1，又两条切线为同一条，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x1＝\f(a,x2)，,alnx2－a＝－x\o\al(2,1)，))得a＝－4xeq\o\al(2,2)(lnx2－1)，令g(x)＝－4x2(lnx－1)(x>0)，得g′(x)＝4x(1－2lnx)，当x∈(0，eq\r(e))时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(eq\r(e)，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，∴g(x)max＝g(eq\r(e))＝2e，∴a∈(0,2e]．结合选项可得，正实数a的取值可能是ABD．故选ABD．6．(2024·山东潍坊模拟)阅读材料：求函数y＝ex的导函数．解：因为y＝ex，所以x＝lny，所以x′＝(lny)′，所以1＝eq\f(1,y)·y′，所以y′＝y＝ex.借助上述思路，曲线y＝(2x－1)x＋1，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))在点(1,1)处的切线方程为(A)A．y＝4x－3 B．y＝4x＋3C．y＝2x－3 D．y＝2x＋3[解析]解法一：因为y＝(2x－1)x＋1，所以lny＝(x＋1)ln(2x－1)，所以eq\f(1,y)·y′＝ln(2x－1)＋eq\f(2x＋1,2x－1)，所以y′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ln2x－1＋\f(2x＋1,2x－1)))(2x－1)x＋1，当x＝1时，y′＝4，所以曲线y＝(2x－1)x＋1，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))在点(1,1)处的切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.解法二：观察过点(1,1)的切线只有A选项，所以选

提能训练练案[16]A组基础巩固一、单选题1．函数f(x)＝xlnx＋1的单调递减区间是(C)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,e))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))) D．(e，＋∞)[解析]f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋lnx，令f′(x)<0，得0<x<eq\f(1,e)，所以f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))).2．已知函数f(x)＝x(ex－e－x)，则f(x)(D)A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减B．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增C．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增[解析]因为f(x)＝x(ex－e－x)，x∈R，定义域关于原点对称，且f(－x)＝－x(e－x－ex)＝x(ex－e－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，当x>0时，f′(x)＝ex－e－x＋x(ex＋e－x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．3．设函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(A)A．(1,2] B．[4，＋∞)C．(－∞，2] D．(0,3][解析]f′(x)＝x－eq\f(9,x)(x>0)，当x－eq\f(9,x)≤0时，有0<x≤3，即函数f(x)的单调递减区间是(0,3]，所以0<a－1<a＋1≤3，解得1<a≤2.故选A．4．已知f(x)＝eq\f(lnx,x)，则(D)A．f(2)>f(e)>f(3) B．f(3)>f(e)>f(2)C．f(3)>f(2)>f(e) D．f(e)>f(3)>f(2)[解析]f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，令f′(x)＝0，得x＝e.所以当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故当x＝e时，f(x)max＝f(e)＝eq\f(1,e)，而f(2)＝eq\f(ln2,2)＝eq\f(ln8,6)，f(3)＝eq\f(ln3,3)＝eq\f(ln9,6)，所以f(e)>f(3)>f(2)．5．(2022·重庆名校联考)若曲线f(x)＝(ax－1)ex－2在点(2，f(2))处的切线过点(3,3)，则函数f(x)的单调递增区间为(A)A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，2)[解析]由题意，得f(2)＝(2a－1)e0＝2a－1，f′(x)＝aex－2＋(ax－1)ex－2＝(ax＋a－1)ex－2，∴f′(2)＝3a－1，∴eq\f(3－2a－1,3－2)＝3a－1，得a＝1，∴f(x)＝(x－1)ex－2，f′(x)＝xex－2.∵x>0时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．6．(2022·江南十校联考)若函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)．若f′(x)－3<0恒成立，f(－2)＝0，则f(x)－3x<6的解集为(D)A．(－∞，－2) B．(－2,2)C．(－∞，2) D．(－2，＋∞)[解析]令g(x)＝f(x)－3x－6，则g′(x)＝f′(x)－3<0，所以函数g(x)在R上单调递减，g(－2)＝f(－2)－3×(－2)－6＝0，由g(x)<0⇔g(x)<g(－2)，则x>－2.7．(2023·河南许昌、平顶山期中)已知f(x)是偶函数，在(－∞，0)上满足xf′(x)>0恒成立，则下列不等式成立的是(A)A．f(－3)<f(4)<f(－5)B．f(4)<f(－3)<f(－5)C．f(－5)<f(－3)<f(4)D．f(4)<f(－5)<f(－3)[解析]x∈(－∞，0)时，xf′(x)>0即f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，又f(x)为偶函数，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴f(3)<f(4)<f(5)，∴f(－3)<f(4)<f(－5)，故选A．8．已知a＝eq\f(1,2)ln2＋eq\f(1,4)，b＝eq\f(2,e)，c＝eq\f(lnπ＋1,π)，则a，b，c之间的大小关系为(B)A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．b<c<a[解析]令f(x)＝eq\f(lnx＋1,x)，则f′(x)＝eq\f(－lnx,x2)，令f′(x)>0，解得0<x<1，所以f(x)在(0,1)上单调递增，令f′(x)<0，解得x>1，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减，a＝eq\f(1,2)ln2＋eq\f(1,4)＝eq\f(2ln2＋1,4)＝eq\f(ln4＋1,4)＝f(4)，b＝eq\f(2,e)＝eq\f(lne＋1,e)＝f(e)，c＝eq\f(lnπ＋1,π)＝f(π)，因为1<e<π<4，所以f(e)>f(π)>f(4)，即b>c>a.故选B．二、多选题9．已知函数f(x)的定义域为R，且f′(x)>1，f(3)＝4，则下列结论中正确的有(ABD)A．f(x)为增函数B．g(x)＝f(x)－x为增函数C．f(2x－1)>4的解集为(－∞，2)D．f(2x－1)>2x的解集为(2，＋∞)[解析]利用导数与函数的单调性的关系可判断AB，利用函数的单调性解不等式判断CD．对于A，因为f′(x)>1，所以f(x)为增函数，故A正确；对于B，由g(x)＝f(x)－x，g′(x)＝f′(x)－1>0，所以g(x)为增函数，故B正确；对于C，f(3)＝4，则f(2x－1)>4等价于f(2x－1)>f(3)，又f(x)为增函数，所以2x－1>3，解得x>2，所以f(2x－1)>4的解集为(2，＋∞)，故C错误；对于D，f(2x－1)>2x等价于f(2x－1)－(2x－1)>1＝f(3)－3.即g(2x－1)>g(3)，又g(x)为增函数，所以2x－1>3，解得x>2，所以f(2x－1)>2x的解集为(2，＋∞)，故D正确．故选ABD．10．(2024·河北衡水月考)下列不等式成立的是(AD)A．2lneq\f(3,2)<eq\f(3,2)ln2 B．eq\r(2)lneq\r(3)<eq\r(3)lneq\r(2)C．5ln4<4ln5 D．π>elnπ[解析]设f(x)＝eq\f(lnx,x)(x>0)，则f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，所以当0<x<e时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．因为eq\f(3,2)<2<e，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<f(2)，即2lneq\f(3,2)<eq\f(3,2)ln2，故选项A正确；因为eq\r(2)<eq\r(3)<e，所以f(eq\r(2))<f(eq\r(3))，即eq\r(2)lneq\r(3)>eq\r(3)lneq\r(2)，故选项B不正确；因为e<4<5，所以f(4)>f(5)，即5ln4>4ln5，故选项C不正确．同理e<π，则f(e)>f(π)，即π>elnπ，故选项D正确．11．已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)．下列结论正确的是(BD)A．f(x)<0恒成立B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))>eq\f(fx1＋fx2,2)D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))<eq\f(fx1＋fx2,2)[解析]由导函数的图象可知，导函数f′(x)的图象在x轴下方，即f′(x)<0，故原函数为减函数，并且递减的速度是先快后慢，所以f(x)的图象如图所示：f(x)<0恒成立，没有依据，故A不正确；B表示(x1－x2)与[f(x1)－f(x2)]异号，即f(x)为减函数．故B正确；C，D左边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，右边式子代表的是函数值的平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，故C不正确，D正确．三、填空题12．函数f(x)＝xln(－x)的单调递减区间是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，0)).[解析]函数f(x)＝xln(－x)的定义域为(－∞，0)，f′(x)＝ln(－x)＋1，令f′(x)≤0，解得－eq\f(1,e)≤x<0，所以函数f(x)的单调递减区间是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，0)).13．(2023·通辽蒙古族中学高三模拟)已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x－2alnx在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是_(－∞，0]__.[解析]由单调性可知f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，采用分离变量法可得2a≤x2＋2x，由二次函数的最值可求得a的范围．∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)＝x＋2－eq\f(2a,x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2a≤x2＋2x在(0，＋∞)上恒成立；又当x>0时，x2＋2x>0，∴2a≤0，解得：a≤0，∴实数a的取值范围为(－∞，0]．14．已知函数f(x)＝x(2x－2－x)，则不等式2f(x)－3<0的解集为_(－1,1)__.[解析]因为f(x)＝x(2x－2－x)，x∈R，所以f(－x)＝(－x)·(2－x－2x)＝x(2x－2－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数，又因为f′(x)＝2x－2－x＋xln2(2x＋2－x)，当x>0时，f′(x)>0，则f(x)单调递增．又因为f(0)＝0，f(1)＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，由2f(x)－3<0可得f(x)<f(1)，所以|x|<1，解得－1<x<1，即不等式的解集为(－1,1)．四、解答题15．函数f(x)＝(x2＋ax＋b)e－x，若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为6x－y－5＝0.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[解析](1)∵f′(x)＝(2x＋a)e－x－(x2＋ax＋b)e－x＝[－x2＋(2－a)x＋a－b]e－x，∴f′(0)＝a－b，又f(0)＝b，∴曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－b＝(a－b)x，即(a－b)x－y＋b＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝6，,b＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－5.))(2)由(1)，得f(x)＝(x2＋x－5)e－x，x∈R，∴f′(x)＝(－x2＋x＋6)e－x＝－(x＋2)(x