备战2025高考数学一轮复习配套试题含答案（新高考版）六

PAGE1提能训练练案[51]A组基础巩固一、单选题1．(2022·河北保定高三期末)若P(0,1)为圆x2＋2x＋y2－15＝0的弦MN的中点，则直线MN的方程为(A)A．y＝－x＋1 B．y＝x＋1C．y＝2x＋1 D．y＝－2x＋1[解析]圆x2＋2x＋y2－15＝0的圆心为C(－1,0)，则CP⊥MN.因为kCP＝eq\f(1－0,0－－1)＝1，所以kMN＝－1，故直线MN的方程为y＝－x＋1.故选A.2．(2023·东北三校联考)已知圆C：x2＋y2＋2ay＝0(a>0)截直线eq\r(3)x－y＝0所得的弦长为2eq\r(3)，则圆C与圆C′：(x－1)2＋(y＋1)2＝1的位置关系是(C)A．相离 B．外切C．相交 D．内切[解析]圆C的圆心为(0，－a)，半径为a，其圆心到直线eq\r(3)x－y＝0的距离为eq\f(|a|,\r(3＋1))＝eq\f(a,2)，所截得的弦长为2eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\r(3)a＝2eq\r(3)，解得a＝2，所以C：x2＋(y＋2)2＝4，C的圆心为(0，－2)，半径为r1＝2；又C′的圆心为(1，－1)，半径为r2＝1，|CC′|＝eq\r(0－12＋－2＋1)＝eq\r(2)，可得r1－r2<|CC′|<r1＋r2，则两圆的位置关系是相交，故选C.3．(2024·广东南粤名校联考)直线x＋y·2cosθ＝0被圆x2＋y2＋2eq\r(3)x＋2＝0截得的弦长最大值为(A)A.eq\f(2\r(10),5) B．eq\f(\r(10),10)C．2 D．eq\f(4\r(5),5)[解析]将圆的方程化为标准式可得(x＋eq\r(3))2＋y2＝1，即可知圆心(－eq\r(3)，0)，半径r＝1；根据弦长公式可知，当圆心到直线距离最小时，截得的弦长最大，易知圆心(－eq\r(3)，0)到直线x＋y·2cosθ＝0的距离为d＝eq\f(|－\r(3)|,\r(1＋4cos2θ))≥eq\f(\r(15),5)，当cos2θ＝1时，取等号．此时弦长为2eq\r(r2－d\o\al(2,min))＝2eq\r(1－\f(3,5))＝eq\f(2\r(10),5).故选A.4．(2023·高考新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝(B)A．1 B．eq\f(\r(15),4)C．eq\f(\r(10),4) D．eq\f(\r(6),4)[解析]因为x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圆心C(2,0)，半径r＝eq\r(5)，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，因为|PC|＝eq\r(22＋－22)＝2eq\r(2)，则|PA|＝eq\r(|PC|2－r2)＝eq\r(3)，可得sin∠APC＝eq\f(\r(5),2\r(2))＝eq\f(\r(10),4)，cos∠APC＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4)，则sin∠APB＝sin2∠APC＝2sin∠APCcos∠APC＝2×eq\f(\r(10),4)×eq\f(\r(6),4)＝eq\f(\r(15),4).所以sinα＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝eq\f(\r(15),4).5．(2024·广西示范性贵州期中联考)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，则下列说法正确的是(C)A．圆C1与圆C2公共弦所在直线的方程为3x＋4y－5＝0B．圆C1与圆C2有两条公切线C．x＝－1是圆C1与圆C2的一条公切线D．圆C1与圆C2上均恰有两点到直线3x＋4y－5＝0的距离为2[解析]由条件可得：圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1；圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为C2(3,4)，半径r2＝4.∵|C1C2|＝eq\r(32＋42)＝5＝r1＋r2，∴圆C1与圆C2外切，选项A，B错误；对于选项C，圆心C1(0,0)到直线x＝－1的距离d1＝|0－(－1)|＝1＝r1；圆心为C2(3,4)到直线x＝－1的距离d2＝|3－(－1)|＝4＝r2，所以x＝－1是圆C1与圆C2的一条公切线，选项C正确；对于选项D，圆心C1(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d3＝eq\f(|－5|,\r(32＋42))＝1＝r1，所以圆C1：x2＋y2＝1上有且仅有一点到直线的距离为2，选项D错误．6．(2024·重庆名校联盟期中)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：(x＋4)2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存在点P，且点P关于直线y＝x＋1的对称点Q在圆C2：(x－4)2＋y2＝4上，则r的取值范围是(B)A．(3,7) B．[3,7]C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)[解析]圆C1：(x＋4)2＋(y－1)2＝r2(r>0)的圆心为C1(－4,1)，其关于直线y＝x＋1的对称点为C3(0，－3)，由题意得，以C3为圆心，以r为半径的圆与圆C2有公共点，所以|r－2|≤|C2C3|≤r＋2，解得3≤r≤7.故选B.7．(2023·山东烟台一模)过直线x－y－m＝0上一点P作圆M：(x－2)2＋(y－3)2＝1的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为eq\r(7)的点P有两个，则实数m的取值范围为(A)A．－5<m<3B．－3<m<5C．m<－5或m>3D．m<－3或m>5[解析]由圆M：(x－2)2＋(y－3)2＝1可知，圆心M(2,3)，半径为1，∴|MA|＝|MB|＝1，∴四边形PAMB的面积为S＝eq\f(1,2)|PA||MA|＋eq\f(1,2)|PB||MB|＝|PA|＝eq\r(7)，∴|PM|＝eq\r(|MA|2＋|PA|2)＝eq\r(12＋\r(7)2)＝2eq\r(2)，要使四边形PAMB的面积为eq\r(7)的点P有两个，则eq\f(|2－3－m|,\r(12＋－12))<2eq\r(2)，解得－5<m<3.故选A.二、多选题8．(2023·山西忻州模拟)已知圆O1：(x－1)2＋y2＝4，圆O2：(x－5)2＋y2＝4m，下列说法正确的是(AC)A．若m＝4，则圆O1与圆O2相交B．若m＝4，则圆O1与圆O2外离C．若直线x－y＝0与圆O2相交，则m>eq\f(25,8)D．若直线x－y＝0与圆O1相交于M，N两点，则|MN|＝eq\f(\r(14),2)[解析]若m＝4，O2：(x－5)2＋y2＝16，则圆心O2(5,0)，半径r2＝4，则|O1O2|＝4，r1＋r2＝6，|r1－r2|＝2，所以|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2，则圆O1与圆O2相交，故A正确；B错误；若直线x－y＝0与圆O2相交，则圆心O2(5,0)到直线x－y＝0的距离d＝eq\f(|5－0|,\r(2))<eq\r(4m)，解得m>eq\f(25,8)，故C正确；因为圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离d＝eq\f(|1－0|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以|MN|＝2eq\r(r\o\al(2,1)－d2)＝eq\r(14)，故D错误．故选AC.9．(2024·江苏盐城学情调研)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，△ABC满足|AC|＝|BC|，顶点A(1,0)、B(－1,2)，且其“欧拉线”与圆M：(x－3)2＋y2＝r2相切，则下列结论正确的是(BD)A．△ABC的“欧拉线”方程为y＝x－1B．圆M上存在三个点到直线x－y－1＝0的距离为eq\r(2)C．若点(x，y)在圆M上，则eq\f(y,x＋1)的最小值是－eq\r(2)D．若圆M与圆x2＋(y－a)2＝2有公共点，则a∈[－3,3][解析]因为|AC|＝|BC|，所以△ABC是等腰三角形，由三线合一得：△ABC的外心、重心、垂心均在底边上的中线或高线上，设△ABC的欧拉线为l，则l过AB的中点，且与直线AB垂直，由A(1,0)、B(－1,2)可得：AB的中点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－1,2)，\f(0＋2,2)))，即C(0,1)，kAB＝eq\f(2－0,－1－1)＝－1，所以kl＝1，故l的方程为：y－1＝x，即y＝x＋1，A选项错误；因为l与圆M：(x－3)2＋y2＝r2相切，故r＝eq\f(|4|,\r(1＋1))＝2eq\r(2)，又圆心到x－y－1＝0的距离d1＝eq\f(|2|,\r(1＋1))＝eq\r(2)，所以圆M上存在三个点到直线x－y－1＝0的距离为eq\r(2)，B选项正确；点(x，y)在圆M上，eq\f(y,x＋1)表示圆上的点与(－1,0)的连线的斜率，当连线与圆相切且位于圆的下方时(如图)，此时k<0，eq\f(y,x＋1)最小，设直线m：y＝k(x＋1)，由eq\f(|4k|,\r(k2＋1))＝2eq\r(2)，解得k＝±1，因为k<0，所以k＝－1，即eq\f(y,x＋1)的最小值是－1，C选项错误；圆x2＋(y－a)2＝2的圆心坐标为(0，a)，半径r1＝eq\r(2)，则eq\r(2)≤eq\r(9＋a2)≤3eq\r(2)，解得a∈[－3,3]，D选项正确．故选BD.10．(2024·江苏苏州期中)以下四个命题表述正确的是(BCD)A．直线(3＋m)x＋4y－3＋3m＝0(m∈R)恒过定点(－3，－3)B．圆x2＋y2＝4上有且仅有3个点到直线l：x－y＋eq\r(2)＝0的距离都等于1C．圆C1：x2＋y2＋2x＝0与圆C2：x2＋y2－4x－8y＋m＝0恰有三条公切线，则m＝4D．已知圆C：x2＋y2＝4，点P为直线eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点(1,2)[解析]对于选项A：由(3＋m)x＋4y－3＋3m＝0(m∈R)可得m(x＋3)＋3x＋4y－3＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝0，,3x＋4y－3＝0，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝3，))所以直线恒过定点(－3,3)，故A不正确；对于选项B：圆心(0,0)到直线l：x－y＋eq\r(2)＝0的距离等于1，圆的半径r＝2，平行于l：x－y＋eq\r(2)＝0且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切，故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，故B正确；对于选项C：由C1：x2＋y2＋2x＝0可得(x＋1)2＋y2＝1，圆心C1(－1,0)，r1＝1，由C2：x2＋y2－4x－8y＋m＝0可得(x－2)2＋(y－4)2＝20－m>0，圆心C2(2,4)，r2＝eq\r(20－m)，由题意可得两圆相外切，所以|C1C2|＝r1＋r2，即eq\r(－1－22＋42)＝1＋eq\r(20－m)，解得m＝4，故C正确；对于选项D：设点P坐标为(m，n)，所以eq\f(m,4)＋eq\f(n,2)＝1，即m＋2n＝4，因为PA、PB分别为过点P所作的圆的两条切线，所以CA⊥PA，CB⊥PB，所以点A，B在以OP为直径的圆上，以OP为直径的圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(n,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(m2＋n2),2)))2，整理可得x2＋y2－mx－ny＝0，与已知圆C：x2＋y2＝4相减可得mx＋ny＝4，消去m可得(4－2n)x＋ny＝4即n(y－2x)＋4x－4＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－2x＝0，,4x－4＝0，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))所以直线AB经过定点(1,2)，故D正确．故选BCD.三、填空题11．(2024·广东调研)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝16相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则a的值为－1.[解析]∵由题意得到△ABC为等腰直角三角形，∴圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离d＝rsin45°，即eq\f(|a＋a－2|,\r(1＋a2))＝2eq\r(2)，解得a＝－1.12．(2024·四川成都名校联考)圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2＋2x－2y＝0的公共弦长为eq\f(2\r(5),5).[解析]由已知圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2＋2x－2y＝0公共弦所在直线方程为4x－2y＝0，因为圆x2＋y2－2x＝0圆心为(1,0)，半径r＝1所以d＝eq\f(4,\r(42＋－22))＝eq\f(2\r(5),5)，弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(1－\f(4,5))＝eq\f(2\r(5),5).13．(2024·山东青岛调研)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，直线l过P(3,4)．若直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(3)，写出满足上面条件的一条直线l的方程x＝3(写出x＝3或15x－8y－13＝0中的一个即可).[解析]圆C：x2＋y2－4x＝0的圆心为(2,0)，半径为r＝2，当直线l无斜率时，此时l：x＝3，圆心(2,0)到l：x＝3的距离为1，由|AB|＝2eq\r(3)，r＝2可知圆心到直线的距离为eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2)＝1，故l：x＝3满足要求，当直线l有斜率时，设直线方程为y＝k(x－3)＋4，故圆心到直线的距离为eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2)＝1＝eq\f(|－k＋4|,\r(1＋k2))，解得k＝eq\f(15,8)，所以直线方程为15x－8y－13＝0.14．(2023·福建龙岩质检)写出一个与圆x2＋y2＝1外切，并与直线y＝eq\f(\r(3),3)x及y轴都相切的圆的方程(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝1或(x＋1)2＋(y＋eq\r(3))2＝1或(x－2eq\r(3)－3)2＋(y＋2＋eq\r(3))2＝21＋12eq\r(3)或(x＋2eq\r(3)＋3)2＋(y－2－eq\r(3))2＝21＋12eq\r(3)(写出其中一个即可).[解析]设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为与圆x2＋y2＝1外切，所以eq\r(a2＋b2)＝1＋r，又因为与直线y＝eq\f(\r(3),3)x及y轴都相切，所以圆心在y＝eq\r(3)x上或y＝－eq\f(\r(3),3)x上，当圆心在y＝eq\r(3)x上，所以b＝eq\r(3)a，r＝|a|，联立得3a2＝2|a|＋1，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\r(3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－\r(3)，))r＝1.所以求得圆的方程为(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝1或(x＋1)2＋(y＋eq\r(3))2＝1.当圆心在y＝－eq\f(\r(3),3)x上，所以b＝－eq\f(\r(3),3)a，r＝|a|，联立得eq\f(1,3)a2＝2|a|＋1，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3＋2\r(3)，,b＝－\r(3)－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3－2\r(3)，,b＝\r(3)＋2，))r＝3＋2eq\r(3)，所以求得圆的方程为(x－2eq\r(3)－3)2＋(y＋2＋eq\r(3))2＝21＋12eq\r(3)或(x＋2eq\r(3)＋3)2＋(y－2－eq\r(3))2＝21＋12eq\r(3).四、解答题15．(2023·辽宁大边滨城高中联盟期中)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2eq\r(7)，求此圆的方程．[解析]解法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切，∴设所求圆的圆心为C(3a，a)，半径为r＝3|a|.又圆在直线y＝x上截得的弦长为2eq\r(7)，圆心C(3a，a)到直线y＝x的距离为d＝eq\f(|3a－a|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)|a|.又d2＋(eq\r(7))2＝r2.∴2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.解法二：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为eq\f(|a－b|,\r(2)).∴r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－b|,\r(2))))2＋(eq\r(7))2.即2r2＝(a－b)2＋14.①由于所求的圆与y轴相切，∴r2＝a2.②又因为所求圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0.③联立①②③，解得a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9.故所求的圆的方程是(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.解法三：设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.由圆与y轴相切，得Δ＝0，即E2＝4F.④又圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))到直线x－y＝0的距离为eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))，由已知，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))))2＋(eq\r(7))2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．⑤又圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直线x－3y＝0上，∴D－3E＝0.⑥联立④⑤⑥，解得D＝－6，E＝－2，F＝1或D＝6，E＝2，F＝1.故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.B组能力提升1．(2023·河北石家庄质检)若点P在曲线x2＋y2＝|x|＋|y|上运动，则点P到直线x＋y＋2＝0的距离的最大值为(A)A．2eq\r(2) B．2C.eq\r(2) D．4[解析]当x≥0，y≥0时，x2＋y2＝|x|＋|y|⇔eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2(x≥0，y≥0)，依次讨论x，y的符号知曲线由分别以正方形ABCD的四边为直径的半圆弧组成，如图，所求距离最大值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))到直线的距离与eq\f(\r(2),2)之和，即eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋2)),\r(2))＋eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2).故选A.2．(2024·安徽六校教育研究会联考)已知A(－1,0)，B(2,0)，若动点M满足|MB|＝2|MA|，直线l：x＋y－2＝0与x轴、y轴分别交于两点P，Q，则△MPQ的面积的最小值为(D)A．4＋2eq\r(2) B．4C．2eq\r(2) D．4－2eq\r(2)[解析]设M(x，y)，由|MB|＝2|MA|可得(x－2)2＋y2＝4(x＋1)2＋4y2，化简可得(x＋2)2＋y2＝4，故动点M的轨迹为圆心为(－2,0)，半径为r＝2的圆，圆心(－2,0)到l：x＋y－2＝0的距离为eq\f(|－2－2|,\r(12＋12))＝2eq\r(2)，故圆上的点到直线l：x＋y－2＝0的最小距离为2eq\r(2)－r＝2eq\r(2)－2，由于P(2,0)，Q(0,2)，所以|PQ|＝2eq\r(2)，故△MPQ的面积的最小值为eq\f(1,2)×2eq\r(2)×(2eq\r(2)－2)＝4－2eq\r(2)，故选D.3．(2024·河南顶级名校联盟期中)已知圆C1：(x－1)2＋y2＝1，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝4，其中a，b∈R.若两圆外切，则eq\f(b－3,a＋3)的取值范围为(A)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(24,7)，0)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)，0))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(24,7))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5)))[解析]由题意知(a－1)2＋b2＝9.令eq\f(b－3,a＋3)＝k，则ak－b＋3k＋3＝0，由eq\f(|4k＋3|,\r(1＋k2))≤3得－eq\f(24,7)≤k≤0，故选A.4．(2024·河南豫南名校质检)设O为坐标原点，A(3,4)，若⊙M：x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(8,3)))2＝r2(r>0)上存在点P，使得|PA|＝2|PO|，则r的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，5)).[解析]设点P(x，y)，由|PA|＝2|PO|，可知eq\r(x－32＋y－42)＝2eq\r(x2＋y2)，整理可得点P的轨迹方程为⊙N：(x＋1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(4,3)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)))2，即⊙M与⊙N存在交点，易知圆心距为eq\f(5,3)，因此eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r－\f(10,3)))≤eq\f(5,3)≤r＋eq\f(10,3)，解得r∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，5)).5．(2024·湖北云学新高考联盟联考)已知直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋m－1＝0，若直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，则|AB|的最小值为(C)A.eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．4[解析]直线l过定点P(0，－1)，圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心C(1,0)，半径r＝2，因为|PC|＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)<2，所以点P(0，－1)在圆C内，则圆心C到直线l的距离d≤|PC|＝eq\r(2)(PC⊥l时取等号)，所以|AB|＝2eq\r(r2－d2)≥2eq\r(4－2)＝2eq\r(2)(PC⊥l时取等号)，所以|AB|的最小值为2eq\r(2).故选C.6．(2024·贵州阶段测试改编)已知圆C过点M(0，－1)且与圆C1：x2＋y2－2eq\r(2)x－2eq\r(2)y＋3＝0相切于点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，直线l：kx－y－k＋3＝0与圆C交于不同的两点A、B.(1)求圆C的方程；(2)若圆C与x轴的正半轴交于点P，直线PA、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2是定值．[解析](1)由圆C1：(x－eq\r(2))2＋(y－eq\r(2))2＝1，∴圆C1的圆心C1(eq\r(2)，eq\r(2))，半径r1＝1，∵圆C与圆C1相切于点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，∴点C、C1、N三点共线，即圆C的圆心在直线C1N上，∴直线C1N的方程为eq\f(y－\f(\r(2),2),\r(2)－\f(\r(2),2))＝eq\f(x－\f(\r(2),2),\r(2)－\f(\r(2),2))，即y＝x，又∵点M(0，－1)、Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))均在圆C上，∴弦MN的垂直平分线过圆C的圆心，kMN＝eq\f(\f(\r(2),2)＋1,\f(\r(2),2))＝1＋eq\r(2)，则弦MN的垂直平分线的斜率k＝－eq\f(1,1＋\r(2))＝1－eq\r(2)，则弦MN的垂直平分线的方程为y－eq\f(\r(2)－2,4)＝(1－eq\r(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(2),4)))，即y＝(1－eq\r(2))x，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝1－\r(2)x，))解得圆C的圆心C(0,0)，圆C的半径r＝|CM|＝eq\r(0－02＋0＋12)＝1，∴圆C的方程为x2＋y2＝1.(2)证明：由已知，求得P(1,0)，直线l：kx－y－k＋3＝0即y＝k(x－1)＋3，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1＋3，,x2＋y2＝1，))化简得(1＋k2)x2＋(6k－2k2)x＋k2－6k＋8＝0，Δ＝(6k－2k2)2－4(1＋k2)(k2－6k＋8)＝24k－32>0，∴k>eq\f(4,3).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(2k2－6k,1＋k2)，x1x2＝eq\f(k2－6k＋8,1＋k2)，∴k1＝eq\f(y1,x1－1)＝eq\f(kx1－1＋3,x1－1)＝k＋eq\f(3,x1－1)，k2＝eq\f(y2,x2－1)＝eq\f(kx2－1＋3,x2－1)＝k＋eq\f(3,x2－1)，∴k1＋k2＝2k＋eq\f(3,x1－1)＋eq\f(3,x2－1)＝2k＋eq\f(3x2－1＋3x1－1,x1－1x2－1)＝2k＋eq\f(3x1＋x2－6,x1x2－x1＋x2＋1)＝2k＋eq\f(3×\f(2k2－6k,1＋k2)－6,\f(k2－6k＋8,1＋k2)－\f(2k2－6k,1＋k2)＋1)＝2k＋eq\f(3×2k2－6k－61＋k2,k2－6k＋8－2k2－6k＋1＋k2)＝2k＋eq\f(－18k－6,9)＝2k－2k－eq\f(2,3)＝－eq\f(2,3)，∴k1＋k2是定值－

提能训练练案[52]A组基础巩固一、单选题1．(2024·四川成都七中开学考)椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距是2，则m的值为(C)A．5 B．3C．5或3 D．20[解析]因为焦距是2，所以c＝1，当焦点在x轴时，a2＝m，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝m－4＝1，解得m＝5，当焦点在y轴时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝a2－b2＝4－m＝1，解得m＝3，故选C.2．(2023·河北省衡水中学调研)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq\f(1,4)，则该椭圆的离心率为(B)A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)[解析]不妨设直线l：eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0⇒椭圆中心到l的距离eq\f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq\f(2b,4)⇒e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故选B.3．(2023·安徽六安示范性高中质检)过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(3,2)))，且与双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为(D)A.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,14)＋eq\f(y2,10)＝1 D．eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,6)＝1[解析]由题意c＝2，双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的左焦点为F1(－2,0)，右焦点为F2(2,0)，设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(3,2)))，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2)＝2eq\r(10)，所以a＝eq\r(10)，b2＝10－4＝6，所以椭圆的方程为eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,6)＝1.故选D.4．(2022·安徽宣城模拟)设椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝9，则|PF1|·|PF2|的值是(D)A．14 B．17C．20 D．23[解析]由题意知a＝5，b＝4，∴c＝eq\r(a2－b2)＝3.且|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝10，又eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝9，∴|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|·cos∠F1PF2＝9.又62＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2－2|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|·cos∠F1PF2＝(|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|)2－2|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|－18＝82－2|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|，∴|PF1|·|PF2|＝23.故选D.5．(2024·云南师大附中月考)已知点P为椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1上的一个动点，点F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，当△F1F2P的面积为1时，∠F1PF2＝(D)A.eq\f(2π,3) B．eq\f(π,6)C.eq\f(π,4) D．eq\f(π,2)[解析]易知焦点三角形F1F2P的面积为1，故S△F1F2P＝b2taneq\f(∠F1PF2,2)＝1，所以taneq\f(∠F1PF2,2)＝1，则∠F1PF2＝eq\f(π,2)，故选D.6．(2023·高考新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，C2：eq\f(x2,4)＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝eq\r(3)e1，则a＝(A)A.eq\f(2\r(3),3) B．eq\r(2)C.eq\r(3) D．eq\r(6)[解析]由e2＝eq\r(3)e1，得eeq\o\al(2,2)＝3eeq\o\al(2,1)，因此eq\f(4－1,4)＝3×eq\f(a2－1,a2)，而a>1，所以a＝eq\f(2\r(3),3).故选A.7．(2024·河南平许济络质检)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－2，则椭圆C的方程为(B)A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1 B．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,2)＋eq\f(2y2,3)＝1[解析]显然离心率e＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(1,2)，解得eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，即b2＝eq\f(3,4)a2，A1，A2分别为C的左右顶点，B为上顶点，则A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，于是eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(－a，－b)，eq\o(BA2,\s\up6(→))＝(a，－b)，而eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－2，即－a2＋b2＝－2，又b2＝eq\f(3,4)a2，因此联立解得a2＝8，b2＝6，所以椭圆的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1.故选B.8．(2024·江苏淮安淮阴中学期中)若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则eq\f(y,x－2)的最小值为(C)A．1 B．－1C．－eq\f(2\r(3),3) D．以上都不对[解析]设直线y＝k(x－2)，代入椭圆方程消去y得(4＋k2)x2－4k2x＋4k2－4＝0，令Δ＝16k4－4(4＋k2)(4k2－4)＝0，解得k＝±eq\f(2\r(3),3)，由图可知，直线与椭圆相切时k取得最值，所以kmin＝－eq\f(2\r(3),3)，即eq\f(y,x－2)的最小值为－eq\f(2\r(3),3).故选C.9．(2024·湖北高中名校联盟联考)已知F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且eq\o(MF1,\s\up6(→))＝2eq\o(F1N,\s\up6(→))，eq\o(MF2,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝0，则椭圆C的离心率为(C)A.eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(\r(5),3) D．eq\f(\r(7),4)[解析]连接NF2，设|NF1|＝n，则|MF1|＝2n，|MF2|＝2a－2n，|NF2|＝2a－n，在Rt△MNF2中(3n)2＋(2a－2n)2＝(2a－n)2，∴9n2＋4a2－8an＋4n2＝4a2－4an＋n2，∴12n2＝4an，n＝eq\f(a,3)，∴|MF1|＝eq\f(2a,3)，|MF2|＝eq\f(4a,3).在Rt△MF1F2中，4c2＝eq\f(4a2,9)＋eq\f(16a2,9)，∴36c2＝20a2，e2＝eq\f(20,36)＝eq\f(5,9)，又∵e∈(0,1)，∴e＝eq\f(\r(5),3)，故选C.二、多选题10．(2024·山东临沂联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且|PF1|的最大值为3，最小值为1，则(AD)A．椭圆C的离心率为eq\f(1,2)B．△PF2F1的周长为4C．若∠F2PF1＝60°，则△PF2F1的面积为3D．若|PF1||PF2|＝4，则∠F2PF1＝60°[解析]由题意a＋c＝3，a－c＝1，故a＝2，c＝1，故A正确；△PF2F1的周长为2a＋2c＝6，故B错误；若∠F2PF1＝60°，则|F2F1|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，即(2c)2＝(2a)2－3|PF1|·|PF2|，故|PF1|·|PF2|＝4，故S△PF2F1＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝eq\r(3)，故C错误；由余弦定理|F2F1|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F2PF1＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|(1＋cos∠F2PF1)，即4＝16－2×4(1＋cos∠F2PF1)，解得cos∠F2PF1＝eq\f(1,2)，故∠F2PF1＝60°，故D正确．故选AD.11．(2023·广东六校联考)已知椭圆C：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,1－m)＝1焦点在x轴上，且F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上一点，则下列结论正确的是(ACD)A.eq\f(1,2)<m<1B．C的离心率为eq\r(\f(1,m))C．存在m，使得∠F1PF2＝90°D．△F1PF2面积的最大值为eq\f(\r(2),4)[解析]椭圆C：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,1－m)＝1的焦点在x轴上，故m>1－m>0，解得eq\f(1,2)<m<1，A正确；设F1(－c,0)，F2(c,0)，则c2＝m－(1－m)＝2m－1，故C的离心率为eq\r(\f(2m－1,m))＝eq\r(2－\f(1,m))，B错误；由c2－b2＝a2－2b2＝3m－2≥0得m≥eq\f(2,3)，即当eq\f(2,3)≤m<1时，以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点P，此时∠F1PF2＝90°，C正确；S△F1PF2≤cb＝eq\r(2m－11－m)≤eq\r(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2m－1＋2－2m,2)))2)＝eq\f(\r(2),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当m＝\f(3,4)时取等号))，D正确．故选ACD.三、填空题12．(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为8.[解析]因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝8，m2＋n2＝48，所以64＝(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2＝48＋2mn，mn＝8，即四边形PF1QF2面积等于8.13．(2023·广西柳州摸底)已知A(3,1)，B(－3,0)，P是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1上的一点，则|PA|＋|PB|的最大值为9.[解析]根据题意可得：a＝4，b＝eq\r(7)，c＝3，则点B为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点F(3,0)，∴|PB|＋|PF|＝8，即|PB|＝8－|PF|，∵eq\f(32,16)＋eq\f(12,7)<1，即点A在椭圆内|PA|＋|PB|＝|PA|－|PF|＋8≤|AF|＋8＝9，当且仅当点P在AF的延长线上时，等号成立．14．(2023·福建泉州适应性考试)设F1，F2分别是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|AF2|，AF2⊥x轴，则椭圆的离心率为eq\f(\r(2),2).[解析]由|AF1|＝3|AF2|，得|AF1|＋|AF2|＝4|AF2|＝2a，所以|AF2|＝eq\f(a,2)，|AF1|＝eq\f(3a,2)，因为AF2⊥x轴，所以|AF2|2＋|F1F2|2＝|AF1|2，即eq\f(a2,4)＋4c2＝eq\f(9a2,4)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，即椭圆的离心率为eq\f(\r(2),2).15．(2024·广东百校联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线y＝－x的对称点P落在C上或C内，则椭圆C的离心率的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).[解析]设C的半焦距为c，则F(－c,0)关于直线y＝－x的对称点P的坐标为(0，c)，因为P落在C上或C内，所以b≥c，所以a2－c2＝b2≥c2，即e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2≤eq\f(1,2)⇔e≤eq\f(\r(2),2).又0<e<1，所以e∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).B组能力提升1．(2024·重庆联考、浙江百校调研)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且PF1⊥F1F2.直线PF2与C交于另一点Q，与y轴交于点M，若eq\o(MF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2Q,\s\up6(→))，则C的离心率为(D)A.eq\f(3\r(3),7) B．eq\f(4,7)C．eq\f(\r(7),3) D．eq\f(\r(21),7)[解析]如图，连接F1Q，由eq\o(MF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2Q,\s\up6(→))，得|PF2|＝4|F2Q|，设|F2Q|＝t，则|PF2|＝4t，|PF1|＝2a－4t，|QF1|＝2a－t.由余弦定理得|QF1|2＝|PF1|2＋|PQ|2－2|PF1||PQ|cos∠F1PQ，即(2a－t)2＝(2a－4t)2＋(5t)2－2(2a－4t)×5t×eq\f(2a－4t,4t)，整理得t＝eq\f(5,14)a，则|F1F2|＝eq\r(4t2－2a－4t2)＝eq\r(16at－4a2)＝eq\f(2\r(21),7)a，故e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,2a)＝eq\f(\r(21),7).2．(2024·河北沧州七县期中联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为点F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆C上存在一点M使得△MF1F2的内切圆半径为eq\f(c,2)，则椭圆C的离心率的最大值是(C)A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[解析]由题意可得|MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，所以S△MF1F2＝eq\f(1,2)(|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|)·eq\f(c,2)＝eq\f(ca＋c,2)，又S△MF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|yM|＝c·|yM|，所以|yM|＝eq\f(a＋c,2)，又|yM|≤b，所以eq\f(a＋c,2)≤b＝eq\r(a2－c2)，化简，得eq\f(a＋c2,4)≤a2－c2，即eq\f(a＋c,4)≤a－c，解得eq\f(c,a)≤eq\f(3,5)，所以e的最大值为eq\f(3,5).故选C.3．(2023·高考全国甲卷)已知椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝eq\f(3,5)，则|PO|＝(B)A.eq\f(2,5) B．eq\f(\r(30),2)C．eq\f(3,5) D．eq\f(\r(35),2)[解析]解法一：设∠F1PF2＝2θ，0<θ<eq\f(π,2)，所以S△PF1F2＝b2taneq\f(∠F1PF2,2)＝b2tanθ，由cos∠F1PF2＝cos2θ＝eq\f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq\f(3,5)，解得tanθ＝eq\f(1,2)，由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×|yP|＝6×eq\f(1,2)，解得yeq\o\al(2,P)＝3，即xeq\o\al(2,P)＝9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,6)))＝eq\f(9,2)，因此|OP|＝eq\r(x\o\al(2,P)＋y\o\al(2,P))＝eq\r(3＋\f(9,2))＝eq\f(\r(30),2).故选B.解法二：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－eq\f(6,5)|PF1||PF2|＝12②，联立①②，解得|PF1||PF2|＝eq\f(15,2)，|PF1|2＋|PF2|2＝21，而eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→)))，所以|OP|＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|，即|eq\o(PO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)eq\r(|\o(PF1,\s\up6(→))|2＋2\o(PF1,\s\up6(→))·\o(PF2,\s\up6(→))＋|\o(PF2,\s\up6(→))|2)＝eq\f(1,2)eq\r(21＋2×\f(3,5)×\f(15,2))＝eq\f(\r(30),2).故选B.解法三：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－eq\f(6,5)|PF1||PF2|＝12②，联立①②，解得|PF1|2＋|PF2|2＝21，由中线定理可知，(2|OP|)2＋|F1F2|2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)＝42，易知|F1F2|＝2eq\r(3)，解得|OP|＝eq\f(\r(30),2).故选B.4．(2024·吉林四平期中)已知椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点，则|PF1|·(|PF2|＋2)的最大值为25.[解析]因为点P是椭圆C上的一点，所以|PF1|＋|PF2|＝8，又由均值不等式可得|PF1|(|PF2|＋2)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|＋2,2)))2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＋2，即|PF1|＝5，|PF2|＝3时等号成立．5．(2024·四川达州外国语学校测试)已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x－3)2＋(y－2)2＝1上任意一点，则|MN|－|MF1|的最小值为2eq\r(2)－5.[解析]由题意椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x－3)2＋(y－2)2＝1上任意一点，故|MF1|＋|MF2|＝4，|MN|≥|ME|－1，当且仅当M，N，E共线时等号成立，故|MN|－|MF1|＝|MN|－(4－|MF2|)＝|MN|＋|MF2|－4≥|ME|＋|MF2|－5≥|EF2|－5，当且仅当M，N，E，F2共线时等号成立，而F2(1,0)，E(3,2)，故|EF2|＝eq\r(3－12＋2－02)＝2eq\r(2)，即|MN|－|MF1|的最小值为2eq\r(2)－5.6．(2024·天津北辰区期中)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq\f(1,2)，直线x＋y－eq\r(6)＝0与圆x2＋y2＝b2相切．(1)求椭圆的方程；(2)过点N(4,0)的直线l与椭圆交于不同两点A，B，线段AB的中垂线为l′，若l′在y轴上的截距为eq\f(4,13)，求直线l的方程．[解析](1)由题意得，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,4)，即a2＝eq\f(4,3)b2，直线x＋y－eq\r(6)＝0与圆x2＋y2＝b2相切得，b＝eq\f(\r(6),\r(2))＝eq\r(3)，∴a＝2.故椭圆的方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由题意得直线l的斜率k存在且不为零，设l：y＝k(x－4)，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点Q(x0，y0)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－4，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y并整理得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，x1＋x2＝eq\f(32k2,4k2＋3)，又Δ＝(－32k2)2－4(3＋4k2)(64k2－12)>0，解得－eq\f(1,2)<k<eq\f(1,2)且k≠0，x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(16k2,4k2＋3)，y＝k(x0－4)＝－eq\f(12k,3＋4k2)，得Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16k2,3＋4k2)，－\f(12k,3＋4k2)))，由l′：y－y0＝－eq\f(1,k)(x－x0)，即y＋eq\f(12k,3＋4k2)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(16k2,3＋4k2)))，化简得y＝－eq\f(1,k)x＋eq\f(4k,4k2＋3)，令x＝0得eq\f(4k,4k2＋3)＝eq\f(4,13)，解得k＝eq\f(1,4)或k＝3，由于－eq\f(1,2)<k<eq\f(1,2)且k≠0，故k＝eq\f(1,4)，直线l的方程为y＝eq\f(1,4)(x－4)，即x－4y－4＝

提能训练练案[53]A组基础巩固一、单选题1．(2023·湖北荆州沙市中学模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F为其左焦点，直线y＝kx(k>0)与椭圆C交于点A，B，且AF⊥AB.若∠ABF＝30°，则椭圆C的离心率为(A)A.eq\f(\r(7),3) B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(7),6) D．eq\f(\r(6),6)[解析]设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2，故四边形AFBF2为平行四边形，设|AF|＝m，∠ABF＝30°，则|FB|＝2m，|BF2|＝|AF|＝m，|BF|＋|BF2|＝2m＋m＝2a，m＝eq\f(2,3)a，在△BFF2中，(2c)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a))2－2×eq\f(4,3)a×eq\f(2,3)a×cos120°，整理得到4c2＝eq\f(28a2,9)，即c＝eq\f(\r(7),3)a，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(7),3).故选A.2．(2024·福建三明一中月考)焦距为2eq\r(2)，并且截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是eq\f(2,7)的椭圆的标准方程为(A)A．x2＋eq\f(y2,3)＝1B．x2＋3y2＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,12)＝1D．x2＋eq\f(y2,3)＝1或eq\f(x2,3)＋y2＝1[解析]设椭圆方程为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，m>0，n>0，m≠n，直线y＝2x－1与椭圆相交的两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知x1＋x2＝eq\f(4,7)，所以y1＋y2＝(2x1－1)＋(2x2－1)＝2(x1＋x2)－2＝2×eq\f(4,7)－2＝－eq\f(6,7)，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),m)＋\f(y\o\al(2,1),n)＝1，,\f(x\o\al(2,2),m)＋\f(y\o\al(2,2),n)＝1，))两式相减得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),m)＋eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),n)＝0，整理得eq\f(x1＋x2x1－x2,m)＝－eq\f(y1＋y2y1－y2,n)，所以2＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2n,3m)，即n＝3m.又c＝n－m＝eq\r(2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝m＋2，,n＝3m，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝3，,m＝1，))故椭圆的标准方程为x2＋eq\f(y2,3)＝1.故选A.3．(2024·浙江杭金湖四校联考)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F2，过右焦点作x轴垂线交椭圆于B、C两点，连接BO并延长交AC于点M，若M为AC的中点，则椭圆的离心率为(A)A.eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(\r(3),2)[解析]当x＝c时，eq\f(c2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，∴y＝±eq\f(b2,a)，∴A(－a,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，O(0,0)，故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c－a,2)，－\f(b2,2a)))，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c－a,2)，－\f(b2,2a)))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，又eq\o(OM,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\f(c－a,2)·eq\f(b2,a)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b2,2a)))c＝0，∴a＝2c，∴e＝eq\f(1,2).故选A.4．斜率为1的直线l与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(C)A．2 B．eq\f(4\r(5),5)C．eq\f(4\r(10),5) D．eq\f(8\r(10),5)[解析]设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－eq\f(8,5)t，x1x2＝eq\f(4t2－1,5).∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)t))2－4×\f(4t2－1,5))＝eq\f(4\r(2),5)·eq\r(5－t2)，当t＝0时，|AB|max＝eq\f(4\r(10),5).故选C.5．(2024·安徽江淮十校联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F1，过左焦点F1作倾斜角为eq\f(π,6)的直线交椭圆于A，B两点，且eq\o(AF1,\s\up6(→))＝3eq\o(F1B,\s\up6(→))，则椭圆C的离心率为(C)A.eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(2\r(2),3)[解析]设F1(－c,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点F1倾斜角为eq\f(π,6)的直线方程为x＝eq\r(3)y－c，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,x＝\r(3)y－c，))得(a2＋3b2)y2－2eq\r(3)b2cy－b4＝0，所以y1＋y2＝eq\f(2\r(3)b2c,a2＋3b2)，y1y2＝－eq\f(b4,a2＋3b2)，①因为eq\o(AF1,\s\up6(→))＝3eq\o(F1B,\s\up6(→))，所以y1＝－3y2，②由①②得eq\f(3c2,a2＋3b2)＝eq\f(1,3)，所以a2＋3b2＝9c2，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋3b2＝9c2，,a2＝b2＋c2，))得a2＝3c2，e2＝eq\f(1,3)⇒e＝eq\f(\r(3),3).故选C.6．(2024·江苏南通海安中学月考)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))，则椭圆C的离心率为(A)A.eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(\r(2),2)[解析]不妨设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，椭圆另一焦点为E，由于B是短轴的一个端点，所以|BF|＝|BE|＝eq\r(|BO|2＋|OF|2)＝eq\r(b2＋c2)＝a，又eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))，所以|FD|＝eq\f(1,2)a，由椭圆定义可得|DE|＝2a－|DF|＝2a－eq\f(1,2)a＝eq\f(3,2)a，由于∠DBE＝2∠FBO，所以cos∠DBE＝cos2∠FBO，故eq\f(|BD|2＋|BE|2－|DE|2,2|BD||BE|)＝1－2sin2∠FBO＝1－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2，即eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a,2)))2＋a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a,2)))2,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a,2)))a)＝1－2e2，解得e＝eq\f(\r(3),3)，故选A.7．设F1，F2分别是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆E上存在点P满足eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝eq\f(a2,2)，则椭圆E离心率的取值范围(B)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))[解析]设P(x0，y0)，由椭圆的方程可得F1(－c,0)，F2(c,0)，eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝eq\f(a2,2)，则(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝eq\f(a2,2)，即xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝eq\f(a2,2)＋c2，由P在椭圆上得eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，所以yeq\o\al(2,0)＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),a2)))，所以可得eq\f(c2,a2)·xeq\o\al(2,0)＋b2＝eq\f(a2,2)＋c2，所以xeq\o\al(2,0)＝eq\f(4a2c2－a4,2c2).又xeq\o\al(2,0)∈[0，a2]，0≤eq\f(4a2c2－a4,2c2)≤a2，解得：eq\f(1,2)≤eq\f(c,a)≤eq\f(\r(2),2)，即e∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))).故选B.二、多选题8．如图所示，用一个与圆柱底面成θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2)))角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，θ＝eq\f(π,3)，则下列说法正确的是(BCD)A．椭圆的长轴长等于4B．椭圆的离心率为eq\f(\r(3),2)C．椭圆的标准方程可以是eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4－2eq\r(3)[解析]设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝eq\f(π,3)得：2a＝eq\f(4,cosθ)＝8，解得a＝4，A不正确；显然b＝2，则c＝eq\r(a2－b2)＝2eq\r(3)，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，B正确；当以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝4－2eq\r(3)，D正确．故选BCD.9．(2024·河北沧州联考)已知椭圆C：eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,m2)＝1的焦点分别为F1(0,2)，F2(0，－2)，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))为线段MN的